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49.
Lunes
29 de junio de 2015. Juan
J. Salamanca. (Universidad
de Córdoba). Uniqueness
of maximal hypersurfaces in GRW spacetimes. Applications to
Calabi-Bernstein type problems.
Lugar
y hora: Aula 0.25 del edificio de Ingenierías.. 12:30.
Abstract.
The
main aim of this talk is to introduce a new technique in order
to
study
maximal hypersurfaces in certain spacetimes. The motivation for
this problem emerges from Physics and Geometry. In General
Relativity,
maximal
hypersurfaces are useful to understand some physical aspects of
the underlying geometry of the spacetime, as the presence of
singularities.
On
the other hand, a maximal hypersurface
appears
as a
critical
point of the
area
functional.
The
class of
ambient
spacetimes we consider are generalized
Robertson-Walker
(GRW)
spacetimes.
Some of their features will be showed and also their relevance in
General Relativity. We will focus on spatially
parabolic
GRW spacetimes (in
the sense
of [2]). The central technical
results
concern
to
assure parabolicity on a complete spacelike
hypersurface
when some natural extrinsic assumptions are fulfilled. Then, we
can provide new uniqueness results for complete maximal
hypersurfaces (see
also
[1]).
As
application of our results, we can solve new Calabi-Bernstein
type problems.
[1]
A. Romero, R..R. M. Rubio and .J. J. Salamanca, Uniqueness of
complete maximal hypersurfaccs in spatially parabolic generalized
Robertson-Walker spacetimes, Class.
Quantum Grav., 30
(2013), 115007(1-13).
[2]
A. Romero, R. M. Rubio and J. J. Salamanca, A new approach for
uniqueness of complete maximal hypersurfaces in spatially
parabolic GRW spacetimes,
J. Math. Anal. Appl., 419
(2014), 355
372.
48.
Martes
24 de febrero de 2015. Eraldo
A. Lima Jr. (Universidade
do Ceará, Brasil). Maximal
sufaces and graphs in a Lorentzian product -RxM.
Lugar
y hora: Seminario de Álgebra. 12:30.
Resumen.
We will present several results for maximal surfaces in a
Lorentzian product manifold -R×M. The main purpose is to
characterize the slices as complete maximal surfaces satisfying a
comparison between the growth of lenght of the gradient of the
height function and norm of the shape operator and additional
bound assumptions. Several Calabi-Bernstein results are also
shown. Finally, examples of maximal surfaces in -R×M are
explained to emphasize the necessity of the assumptions.
47.
Miércoles
21 de enero de 2015. Benjamín
Olea (Universidad
de Málaga). Hipersuperficies
luz
en espacios Robertson-Walker generalizados.
Lugar
y hora: Seminario de Análisis. 17:00.
46.
Viernes
28 de noviembre de 2014. Jonatan
Herrera (Instituto
de Matemática e Estatística, Universidade de São
Paulo (IME/USP), Brasil).
Rigidez
y bifurcación en problemas de tipo Yamabe con y sin borde,
II.
Lugar
y hora: Seminario de Álgebra. 17:00.
45.
Viernes
21 de noviembre de 2014. Jonatan
Herrera (Instituto
de Matemática e Estatística, Universidade de São
Paulo (IME/USP), Brasil).
Rigidez
y bifurcación en problemas de tipo Yamabe con y sin borde,
I.
Lugar
y hora: Seminario de Álgebra. 17:00.
Resumen:
El problema clásico de Yamabe consiste en mostrar que toda
variedad Riemaniana compacta sin borde admite una métrica
conforme con curvatura escalar constante. Éstas métricas
vienen caracterizadas variacionalmente como puntos críticos
del funcional de Hilbert-Einstein en sus respectivas clases
conformes.
Cuando
la variedad presenta un borde no vacío, diferentes
condiciones de frontera pueden ser consideradas. Por ejemplo,
desde el punto de vista de la geometría conforme, una
condición geométrica para el borde razonable debiera
involucrar a la curvatura media. Al igual que ocurría en el
caso sin borde, métricas con curvatura escalar constante y
que, adicionalmente, determinan un borde con curvatura media
constante están también caracterizadas
variacionalmente como puntos críticos de un funcional,
siendo en este caso el funcional de Gibbons-Hawking-York el que
debemos considerar.
En
ambos casos, dichos puntos críticos no son necesariamente
mínimos, lo cual permite la existencia de una rica familia
de puntos críticos de los funcionales, es decir, de
diferentes soluciones para el correspondiente problema de Yamabe.
Esto nos lleva a plantearnos la interesante cuestión de
determinar cuando el problema de Yamabe aplicado a una clase
conforme conforme presenta solución única o bien si,
por el contrario, pueden aparecer múltiples soluciones. Es
en este punto donde aparece la teoría de bifurcación,
la cual es una teoría clásica para obtener nuevas
soluciones para EDPs a partir de una curva de métricas.
Este
seminario estará dividido en tres secciones bien
diferenciadas: En una primera sección introduciré
todas las herramientas necesarias sobre teoría de
bifurcación que necesitaremos, lo cual incluye tanto las
definiciones de rígidez y bifurcación para curvas de
métricas, como los resultados necesarios que nos permitan
asegurarlas. En una segunda sección, estudiaremos el caso
del problema de Yamabe sin borde, mostrando tanto la
caracterización variacional de las métricas con
curvatura escalar constante como las condiciones que nos permitan
asegurar tanto la rígidez como la bifurcación en
curvas de métricas.
Finalmente,
en la tercera sección, afrontaremos el caso del problema de
Yamabe con borde. Al igual que en el caso sin borde, daremos la
caracterización variacional y obtendremos algunas
condiciones que nos aseguren, principalmente, la rígidez de
curvas de métricas.
44.
Viernes
12 de septiembre de 2014. Anna
Maria Candela (Universitá
di Bari, Italia).
Geometric
assumptions and variational tools in Lorentzian geometry.
Lugar
y hora: Seminario de Álgebra. 12:00.
During the past
years there has been a considerable amount of research related to
the problem of geodesic connectedness of Lorentzian manifolds. In
particular, some geometric sufficient conditions have been
introduced so that stationary space-times, i.e. spacetimes equiped
with a timelike Killing vector field, are geodesically connected.
Recently, we characterized geodesically connected points in a
spacetime equiped with a lightlike Killing vector field.
Joint
work with Rosella Bartolo, José Luis Flores and Miguel
Sánchez.
43.
Jueves
4 de septiembre de 2014. Ivan
P. Costa e Silva (Universidade
Federal de Santa Catarina, Brasil).
Rigid
singularity theorems in Lorentzian Geometry.
Lugar
y hora: Seminario de Álgebra. 17:00.
Resumen: The
importance of the singularity theorems in Lorentzian Geometry,
which give sufficient conditions on a spacetime entailing the
incompleteness of its null or timelike geodesics, is well known.
But equally important is to ascertain the rigidity of their
conclusions if certain specific key assumptions in these theorems
are removed or weakened, a problem related to the genericity of
the singularities in physically motivated contexts. In this talk I
shall review the general setting of rigid singularity theorems and
will present some examples, including some quite recent ones.
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