Sea una extensión finita de cuerpos y el
grupo de los -automorfismos de Supóngase que
es un subgrupo de y que es una
base de sobre Demostrar que
genera sobre al cuerpo fijo de
(Teorema de la base normal. Caso cíclico). Sea
una extensión de Galois finita y cíclica. Demostar
que existe algún elemento de tal que el conjunto de
los transformados de por los automorfismos del grupo del grupo
de Galois constituye una base del -espacio vectorial
Sea un cuerpo y un grupo finito de automorfismos de
cuyo cuerpo fijo es Se dice que un conjunto de elementos no nulos de es una
solución del problema de Noether si se satisfacen
las siguientes igualdades:
Demostrar que es una
solución del problema de Noether si y sólo si existe
algún elemento no nulo de tal que para todo
Demostrar que
si es una solución del
problema de Noether que está en entonces la
aplicación definida por es un carácter. Mostrar recíprocamente que
todo carácter de a define una solución del problema
de Noether contenida en Demostrar en tal caso que si es
el mínimo común múltiplo de los
órdenes de los elementos de entonces el elemento
del apartado anterior es tal que su potencia -ésima
pertenece a
Sea un cuerpo, una extensión finita y de
Galois del cuerpo con grupo de Galois Sea Demostrar que se verifica
si y sólo si existe algún tal que
para todo
Para los del ejercicio anterior dar un
análogo de la segunda parte del ejercicio XX.