INDEPENDENCIA LINEAL DE CARACTÉRES

  1. Sea una extensión finita de cuerpos y el grupo de los -automorfismos de Supóngase que es un subgrupo de y que es una base de sobre Demostrar que genera sobre al cuerpo fijo de
  2. (Teorema de la base normal. Caso cíclico). Sea una extensión de Galois finita y cíclica. Demostar que existe algún elemento de tal que el conjunto de los transformados de por los automorfismos del grupo del grupo de Galois constituye una base del -espacio vectorial
  3. Sea un cuerpo y un grupo finito de automorfismos de cuyo cuerpo fijo es Se dice que un conjunto de elementos no nulos de es una solución del problema de Noether si se satisfacen las siguientes igualdades:

    1. Demostrar que es una solución del problema de Noether si y sólo si existe algún elemento no nulo de tal que para todo
    2. Demostrar que si es una solución del problema de Noether que está en entonces la aplicación definida por es un carácter. Mostrar recíprocamente que todo carácter de a define una solución del problema de Noether contenida en Demostrar en tal caso que si es el mínimo común múltiplo de los órdenes de los elementos de entonces el elemento del apartado anterior es tal que su potencia -ésima pertenece a
  4. Sea un cuerpo, una extensión finita y de Galois del cuerpo con grupo de Galois Sea Demostrar que se verifica

    si y sólo si existe algún tal que para todo

  5. Para los del ejercicio anterior dar un análogo de la segunda parte del ejercicio XX.