Dependencia entera

1. Mostrar que y son enteros algebraicos y dar una ecuación de dependencia entera de cada uno de ellos, 1) directamente, 2) utilizando el -módulo engendrado por los números y siguiendo la demostración del teorema en que se caracteriza la dependencia entera.
2. Mostrar que el anillo es isomorfo al subanillo de los elementos de que se escriben en la forma con y pertenecientes a Comprobar que es un dominio de integridad que no es íntegramante cerrado.
3. Sea un anillo y un subanillo suyo. Sea un polinomio de con coeficiente líder y un elemento de tal que es entero sobre Demostrar que entonces también es entero sobre
4. Sea una extensión entera de anillos con dominio de integridad. Demostrar que si es un ideal no nulo de entonces es un ideal no nulo de Mostrar que aún suponiendo que el ideal es primo, la hipótesis de ser entero sobre no puede suprimirse.
5. Sea una extensión entera de anillos con finitamente generado como -álgebra. Justificar que es finitamente generado como -módulo.
6. Comprobar que para todo número algebraico existe algún entero tal que es un entero algebraico.
7. Sea una clase de anillos en la que se verifica la siguiente propiedad: para cualesquiera anillos de , con y subanillos de existe un subanillo de mínimo entre los subanillos de que están en y que contienen tanto a como a Sea una clase de extensiones de anillos. Se dirá que es una clase -distinguida de extensiones si se satisfacen las dos condiciones siguientes: 1) es una clase transitiva de extensiones; 2) si son anillos de , con subanillo de y y con éstos últimos subanillos de tales que está en entonces también pertenece a Demostrar que si es una clase -distinguida de extensiones de anillos, son anillos de con y subanillos de , subanillo de y y si se verifica además que y están en entonces también lo está
8. Sea la clase de todos los anillos. Demostrar que la clase de las extensiones enteras es una clase -distinguida. (Ver el ejercicio precedente para la definición).
9. Sea un anillo y un subanillo suyo. Sea un elemento inversible de Muéstrese que es entero sobre si y sólo si
10. Sea un dominio integridad, un subanillo de y un ideal no nulo y finitamente generado de Comprobar que si es un elemento de tal que entonces es entero sobre
11. El anillo de los enteros de Gauss ¿es íntegramente cerrado?
12. Sean y dos anillos con subanillo de y el complementario de en Supóngase que y demuéstrese que es íntegramente cerrado en
13. Sea una extensión de anillos y un elemento inversible de Demostrar que todo elemento de es entero sobre [Indicación: Comprobar que para todo existe algún de modo que puede dotarse de una conveniente estructura de -módulo].