Entre los números , ,
¿cuáles son enteros algebraicos?.
Sea una raíz del polinomio de e
una raíz del polinomio Los números y
¿son algebraicos sobre ? Determinar el grado de la
extensión
Sea
un elemento algebraico sobre un cuerpo cuyo
polinomio irreducible
tiene grado impar. Demostrar que
Sea una extensión de cuerpos. Supóngase que
e son elementos de y a lo menos uno de ellos
trascendente sobre Mostrar que ó son
trascendentes sobre
Sea
un cuerpo de característica distinta de
, una extensión de cuerpos y e
dos elementos de
que no están en
pero cuyos cuadrados si lo están.
Demostrar que si y sólo si
es un cuadrado de
Sean e dos números complejos
para los que se satisfacen las
igualdades siguientes:
Determinar mostrar que y que
Dar el grado de la extensión cuando es
un número complejo que es raíz de y cuando lo es
de
Sea
un número primo. Demostrar que
es un
número algebraico y que
Sea
una extensión finita de grado impar.
Mostrar que las únicas raíces de la unidad en son
y
Sea una extensión finita de cuerpos
en la que el conjunto de los
cuerpos intermedios es totalmente ordenado
respecto a la inclusión.
Demostrar que es monógena.
Sea donde es un número complejo
para el que se verifica
Expresar y en la forma con
Sea
una extensión algebraica de cuerpos.
Demostrar que
si es finito,
es a lo sumo numerable, y si es infinito, los
cardinales de y coinciden.
Sea
una extesión de cuerpos. Supóngase que existe
un entero positivo para el que todo cuerpo intermedio
estrictamente contenido en es tal que
se verifica
Demostrar que es una extensión finita de
[Indicación. Comprobar primero que es una extensión
algebraica].
Sean
y subcuerpos de un cuerpo común. Supongamos
otro cuerpo tal que y son extensiones algebraicas.
Demostrar que el mínimo subcuerpo que contiene a y
está formado por las sumas finitas donde los
elementos están en y los en
Sea la clase de todos los cuerpos.
Demostrar que tanto la clase de las extensiones finitas
como la de las extensiones algebraicas son clases
-distinguidas
de extensiones (Ver el ejercicio 7 de la sección anterior).
Sea
una extensión de cuerpos.
Demostrar que dicha extensión es algebraica
si y sólo si todo subanillo tal que
es necesariamente un cuerpo.
Sea
el cuerpo de funciones racionales
en una indeterminada sobre el
cuerpo y un cuerpo intermedio de la
extensiones
Demostrar que si y sólo si
es una extensión finita.
Determinar el grado de esta extensión cuando
Sea una extensión de cuerpos. Supóngase:
La unión de cualquier cadena de subcuerpos intermedios y
distintos de es distinto de
Todo cuerpo intermedio y distinto de es una extensión
finita de
Demostrar que es una extensión finita de
Comprobrar que el polinomio
es reducible
en
Sea una familia de
subcuerpos de un cuerpo todos ellos extensiones
de un cuerpo Para cada sea
el subcuerpo de los elementos de
que son algebraicos sobre Comprobar que el cuerpo de los
elementos de que son algebraicos sobre coincide con
Supongamos que el número complejo tiene
por polinomio irreducible
sobre a
Demostrar que la condición necesaria y suficiente
para que exista algún tal que
es que existan
tales que
[Indicación: Considerar el polinomio irreducible de
sobre ].
Mostrar que si es un número complejo raíz
del polinomio
entonces no tiene ninguna raíz cuadrada en
Dar como un cuadrado de
Sea un elemento trascendente sobre el cuerpo y
Escribamos cada elemento no nulo de como donde y son polinomios en una indeterminada
tales que Al máximo de los
grados de y se llama grado de y se denota por Demostrar que si e son dos indeterminadas distintas
entonces es irreducible tanto en como en
Demostrar que si entonces es
algebraico sobre y el polinomio irreducible de sobre
coincide con el único polinomio mónico que puede
obtenerse de multiplicándolo por una constante no
nula de Concluir así que
cuando y en particular se verifica si y
sólo si donde
Sea
un cuerpo, y cuerpos extensiones
algebraicas de que están contenidos como subcuerpos de un
mismo cuerpo Sea el mínimo subcuerpo de que
contiene a y a Establecer la desigualdad caracterizando los casos en que se da la
igualdad mediante una propiedad de las bases del -espacio
vectorial
Sean
y cuerpos en
las condiciones del ejercicio anterior. Supóngase además que
y son ambas finitas. Caracterizar también los casos
en que se da la igualdad en términos
de los polinomios irreducibles de los elmentos de los subconjuntos
finitos tales que
Demostrar que si entonces
Mostrar que en el caso en que y sean
primos relativos se verifica entonces
Supóngase que
Demostrar la equivalencia de las propiedades siguientes:
i) ii)
iii) es una base del -espacio
vectorial
Sea un cuerpo y un subanillo de
Mostrar que el cuerpo de cocientes de
puede identificarse a un subcuerpo de
Supóngase que es finitamente generado como -módulo.
Descomponiendo como suma directa de y un cierto
-subespacio sumplementario muéstrese que
es finitamente generado como -módulo. Pruébese
la igualdad
Sea un cuerpo, un subanillo de y
un subcuerpo de que coincide con el cuerpo de
cocientes de Supóngase que
con cada algebraico sobre
Mostrar que existe algún , para el que
es un -módulo finitamente generado.
Usando el ejercicio anterior,
probar que Demostrar que pertenece a todo
ideal primo no nulo de
Sea una extensión de cuerpos tal que
Demostrar que los son algebraicos sobre
[Indicación. Razonar por reducción al absurdo y formar
un subconjunto maximal entre los subconjuntos de
que
son algebraicamente independientes. Comprobar que en
la intersección de todos los ideales maximales es
y aplicar el ejercicio precedente].
En el caso en que sea un cuerpo algebraicamente cerrado,
¿qué \ puede decirse del cuerpo del apartado anterior?.
Mostrar que en el álgebra de polinomios
todo ideal maximal tiene codimensión finita sobre
Los apartados 1) y 2) de este ejercicio constituyen
la versión algebraica de la forma débil
del teorema de los ceros de Hilbert.