- Sea . Determinar los casos en que es una
extensión de Galois, siendo:
- es raíz del polinomio ().
- es raíz del polinomio ().
- Dar el cuerpo de descomposición sobre de cada uno de los
polinomios siguientes:
Dar en cada uno de los casos el grado de las extensiones correspondientes y
establecer explicitamente las biyecciones subgrupo-subcuerpo del teorema
fundamental de la teoría de Galois.
- Sea donde
Demostrar que es una
extensión de Galois. Determinar el grupo de Galois de la
extensión.
- Suponer que es una extensión de Galois cuyo grupo de Galois
es de orden y puede darse por generadores y relaciones por
Determinar el número de cuerpos estrictamente comprendidos entre
y Dar los enteros para los que existe algún cuerpo intermedio
de grado sobre y determinar el número de ellos para cada uno de
estos enteros.
- Dar el grupo de Galois del cuerpo de descomposión del polinomio
sobre cada uno de los cuerpos siguientes:
- Considérese el polinomio con coeficientes en
siguiente
- Demostrar que es un polinomio irreducible de
- Sea una raíz de en una clausura algebraica de
y ¿ Es un cuerpo de descomposición de
- Determinar el grado del cuerpo de descomposición de
sobre y dar el retículo de cuerpos intermedios
de dicha extensión.
- Sea un cuerpo finito de elementos y
una
extensión finita.
Comprobar que la aplicación dada por es un
-automorfismo de y que todo elemento del grupo de Galois
es una potencia de Mostrar, en particular, que
los automorfismos de un cuerpo finito son potencia de su
automorfismo de Frobenius.
- Demostrar que todos los cuerpos intermedios de la extensión
son extensiones normales de Dar para cada
uno de ellos un polinomio del que sea cuerpo de descomposición sobre
- Sea una extensión de Galois finita, un primo
positivo y un entero tal que pero con
no dividiendo a Demostrar que existe una cadena de
subcuerpos
tal que no divide a y de manera que
para cada la extensión
es normal de grado
- Sea donde es trascendente sobre y
un número complejo tal que Sean
y los automorfismos de que dejan fijo cada elemento
de y para los que se satisfacen las igualdades
y Demostrar que
Comprobar que el grupo de los automorfismos generado por
y tiene orden Demostrar que el cuerpo fijo de es
donde
- Sea una extensión de Galois de
grado cuyo grupo de Galois es
isomorfo a Supóngase de
característica distinta de Demostrar que siendo
e elementos con cuadrados en el cuerpo
- Sea una extensión de cuerpos finita, y
cuerpos estrictamente comprendidos entre y y tales que
Demostrar:
- Si es una extensión de Galois entonces también
lo es pudiéndose identificar con un subgrupo
de Mostrar que si además entonces
es isomorfo a
- Si y son extensiones de Galois de entonces
es una extensión de Galois y en el caso en que
se tiene es isomorfo a
- Sea un cuerpo finito y el cuerpo de descomposición
sobre de un polinomio irreducible de grado Demostrar que el
grupo de Galois de la extensión es isomorfo al grupo alternado
- Sea un cuerpo que contiene alguna raíz primitiva
-ésima de la unidad y dos polinomios
irreducibles de Demostrar que estos dos polinomios tienen
el mismo cuerpo de descomposición si existe algún
entero positivo primo relativo con tal que
para algún Comprobar que si los
cuerpos de descomposición coinciden y tiene característica
cero o un primo que no divide a entonces se satisface una
igualdad como la precedente.
- Sea un cuerpo y el cuerpo de funciones racionales en
la indeterminada Considérese el conjunto de los automorfismos de
dados por
Demostrar que estos automorfismos constituyen un subgrupo del
grupo de todos los automorfismos de que dejan fijo a cada
uno de los elementos de y que el cuerpo fijo de coincide
con siendo el elemento de definido por la
igualdad siguiente:
- Sea un cuerpo y el cuerpo de funciones
racionales sobre Demostrar que las aplicaciones
dadas por
constituyen un subgrupo del grupo de automorfismos del
ejercicio anterior. Sea su cuerpo fijo. Determinar
y dar un elemento que genere sobre y otro
que genere sobre
- Sea un cuerpo de característica prima
y un cuerpo extensión del cuerpo dado
con trascendente sobre
Sean y los -automorfismos de que actúan sobre
del modo siguiente
Demostrar que el subgrupo de los -automorfismos generado por
y es finito. Determinar el cuerpo fijo del mismo.
- Sea una extensión de cuerpos en la que
es trascendente sobre Sea el grupo
de Galois de dicha extensión. Demostrar
que existe un homomorfismo de grupos
cuyo dominio es el grupo de todas
las matrices no singulares
con coeficientes en y que está definido del
siguiente modo
Aquí se denota por
al -automorfismo de que transforma el elemento en
Demostrar que
y que es isomorfo al grupo lineal proyectivo general
- Sea un cuerpo finito con elementos y
Sea el grupo de los -automorfismos de Demostrar:
- El orden de es
- El cuerpo fijo de es donde
- Sea el subgrupo de los -automorfismos de tales que
con y el subgrupo de formado
por los -automorfismos que tansforman en Comprobar
que los cuerpos fijos de y son y donde
y
- Sea un cuerpo y una clausura algebraica de
Supóngase que es un automorfismo de que deja fijo a
cada elemento de Sea el cuerpo fijo del subgrupo generado por
Demostrar que cualquier extensión de es cíclica.
- Un cuerpo se dice cuasi-finito si es perfecto y para
cada entero existe una única extensión de de grado
contenida en una clausura algebraica de
Demostrar que si es un cuerpo cuasi-finito cualquier
extensión finita es de Galois y cíclica.
- Sea un cuerpo de característica el primo
positivo Sea una extensión cíclica de
grado y un automorfsmo generador del grupo
de Galois. Demostrar que la aplicación lineal
dada por
es nilpotente y existe en consecuencia algún elemento
que está en el núcleo de y no en el de
Mostrar que satisface
Obtener entonces que es raíz
de un polinomio de del tipo