Convocatoria Ordinaria de Julio. Miércoles 6 de Julio de 2005.

Examen de Álgebra Homológica

1-. Define la noción de Funtor y demuestra que “Ker” de la categoría de diagramas con forma f : A → B en la categoría de módulos es un funtor covariante y exacto por un lado. 1.5

2-. Sea 0 → N → M → P → 0 una sucesión exacta corta.

(i) Demuestra que esta sucesión es escindida si y sólo si existe un morfismo de módulos h : P → M tal que hg = Id_{P}. 1

(ii) Define módulo proyectivo y demuestra que si P es proyectivo, la sucesión exacta corta anterior es escindida. 1

(iii) Enuncia el resultado dual (ii). 1

3-. Enuncia la propiedad fundamental del producto tensorial y demuestra, a partir de ella (si quieres), que 1

N ⊗ (⊕M_{i}) ≅ ⊕(N ⊗ M_{i})

4-. Define lo que es una traslación homotópica y di porque este concepto es relevante en la asignatura. 1.25

5-. Sea M un R-módulo.

(i) Define lo que es una resolución inyectiva de M. 1

(ii) ¿Todo módulo posee resolución inyectiva? ¿como se construye? 0.5

(iii) Como se relacionan las resoluciones inyectivas y las sucesiones exactas cortas. Explica que resultados hay y para que sirven. 1

6-. Haz una construcción esquemática del funtor Tor. Enunciando los resultados más relevantes relativos. 1.75

Nota 1: Se contar. La puntuación total del examen es de 11 puntos. Se aprueba la asignatura si se alcanza el 5 (al sumar la nota de clase y la del examen).