Convocatoria Ordinaria de junio. Miércoles 21 de junio de 2006.

Examen de Álgebra Homológica

Teoría

1-. Sea R un anillo unitario, M un R-módulo por la derecha sobre R y N un R-módulo por la izquierda sobre R.

(i) Define el producto tensorial M ⊗ N. 1

(ii) Construye el funtor M ⊗ – : R-Mod → Ab y demuestra que es un funtor exacto por un lado. 1

(iii) Pon un ejemplo que demuestre que no es exacto. 1

2-. (i) Define lo que es una traslación homotópica. 1

(ii) Sean M = {M_{i}} y N = {N_{i}} dos complejos de cadena y f, g : M → N dos morfismos de complejos homotópicos. Demuestra que H(f) = H(g) para todo i. 1

(iii) Sea F : R − Mod → Ab un funtor aditivo. Demuestra que la aplicación objeto del funtor derivado (para resoluciones inyectivas) de F está bien definida. 1

3-. Define objeto inicial en una categoría y demuestra que es único salvo isomorfismo. Puede tener un objeto la propiedad de ser objeto inicial y objeto final? 0.5

4-. Demuestra que si I es un R-modulo inyectivo, entonces la sucesión exacta corta 0 → I → M → P → 0 es escindida. 0.5

¿En que lugar de la teoría es importante este hecho? ¿Por qué? 1

5-. Haz una construcción esquemática del funtor derivado. Enunciando los resultados más relevantes. 2

Nota: En la parte de teoría no se podrán usar los apuntes. Se deben elegir ejercicios (o apartados de estos) para que la puntuación máxima del examen, teoría y problemas, sea de 10.

Problemas

6-. En el siguiente diagrama conmutativo las filas son exactas y el módulo I es inyectivo. Demuestra que existe un homomorfismo de módulos f : M → I que sigue haciendo el diagrama conmutativo: 3

7-. Escribe el resultado dual del ejercicio anterior. 1

8-. Sea, R_{1}, R_{2}, R_{3}, R_{4} cuatro anillos unitarios, M un (R_{1}, R_{2}) bimódulo, N un (R_{2}, R_{3}) bimódulo y P un (R_{1}, R_{3}) bimódulo. Entonces 3

Hom_{R_{1}}(M ⊗ N, P) ≅ hom_{R_{1}}(M, Hom_{R_{3}}(N, P)).

9-. Como se relacionan las resoluciones inyectivas y las sucesiones exactas cortas. Explica que resultados hay y para que sirven. 3

Nota: En la parte de teoría no se podrán usar los apuntes. Se deben elegir ejercicios (o apartados de estos) para que la puntuación máxima del examen, teoría y problemas, sea de 10.