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{\bf Convocatoria Ordinaria de junio.\hfill Mi\'{e}rcoles 21 de junio de 2006.}

\vskip 0.5truecm

 \centerline{\bf{Examen de \'{A}lgebra Homol\'{o}gica}}\vskip 0.3truecm

\vskip 0.5truecm

\centerline{\bf Teor\'{\i}a}

\ejj Sea $R$ un anillo unitario, $M$ un $R$-m\'{o}dulo por la derecha sobre $R$ y $N$ un $R$-m\'{o}dulo por la izquierda sobre
$R$.
\item{(i)} Define el producto tensorial $M\otimes N$.  \hfill {\bf 1}
\item{(ii)}  Construye el funtor $M\otimes \hbox{-- : {R-Mod}}\to \hbox{Ab}$ y demuestra que es  un funtor exacto por un
lado.  \hfill {\bf 1}
\item{(iii)} Pon un ejemplo que demuestre que no es exacto.
\hfill {\bf 1}

\ejj (i) Define lo que es una traslaci\'{o}n homot\'{o}pica.  \hfill {\bf 1}

\item{(ii)} Sean ${\cal M}=\{M_i\}$ y ${\cal N}=\{N_i\}$ dos complejos de cadena y $f,g:{\cal M}\to {\cal N}$ dos morfismos de complejos homot\'{o}picos.
Demuestra que $H(f)=H(g)$ para todo $i$.  \hfill {\bf 1}

\item{(iii)}  Sea ${\cal F}:R-Mod\to Ab$  un funtor aditivo. Demuestra que la aplicaci\'{o}n objeto del funtor derivado
  (para resoluciones inyectivas) de $\cal F$ est\'{a} bien definida.  \hfill {\bf 1}



\ejj Define objeto inicial en una categor\'{\i}a y demuestra que es \'{u}nico salvo isomorfismo. Puede tener un objeto la
propiedad de ser objeto inicial y objeto final?  \hfill {\bf 0.5}

\ejj Demuestra que si $I$ es un $R$-modulo inyectivo, entonces la sucesi\'{o}n exacta corta $0\to I\to M\to P\to 0$ es
escindida.  \hfill {\bf 0.5}

?`En que lugar de la teor\'{\i}a es importante este hecho? ?`Por qu\'{e}?  \hfill {\bf 1}

\ejj Haz una construcci\'{o}n esquem\'{a}tica del funtor derivado. Enunciando los resultados m\'{a}s relevantes. \hfill {\bf 2}
\vskip4truecm

{\bf Nota:} En la parte de teor\'{\i}a no se podr\'{a}n usar los apuntes. Se deben elegir ejercicios (o apartados de estos) para
que la puntuaci\'{o}n m\'{a}xima del examen, teor\'{\i}a y problemas, sea de 10.

\vfill\eject
\centerline{ \bf Problemas}

\ejj En el siguiente diagrama conmutativo las filas son exactas y el m\'{o}dulo $I$ es inyectivo. Demuestra que existe un
homomorfismo de m\'{o}dulos $f:M\to I$ que sigue haciendo el diagrama conmutativo: \hfill {\bf 3}
 \vskip0.5truecm
\centerline{\epsfxsize=4cm \epsfysize=3cm \epsfbox{Dia.png}}

 \ejj Escribe el resultado dual del ejercicio anterior.
\hfill {\bf 1}

\ejj Sea, $R_1,R_2,R_3,R_4$ cuatro anillos unitarios, $M$ un $(R_1,R_2)$ bim\'{o}dulo, $N$ un $(R_2,R_3)$ bim\'{o}dulo y $P$ un
$(R_1,R_3)$ bim\'{o}dulo. Entonces \hfill {\bf 3}$$\Hom_{R_1}(M\otimes N,P)\cong \hom_{R_1}(M,\Hom_{R_3}(N,P)).$$


\ejj  Como se relacionan las resoluciones inyectivas y las sucesiones exactas cortas.
 Explica que resultados hay y para que sirven. \hfill {\bf 3}

\vskip 8truecm

{\bf Nota:} En la parte de teor\'{\i}a no se podr\'{a}n usar los apuntes. Se deben elegir ejercicios (o apartados de estos) para
que la puntuaci\'{o}n m\'{a}xima del examen, teor\'{\i}a y problemas, sea de 10.


\end
