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{\bf Convocatoria Ordinaria de septiembre.\hfill Lunes 19 de septiembre de 2005.}

\vskip 0.5truecm

 \centerline{\bf{Examen de \'{A}lgebra Homol\'{o}gica}}\vskip 0.3truecm



\ejj Define la noci\'{o}n de Funtor y demuestra que ``$\Ker$" de la categor\'{\i}a de diagramas con forma $f:A\to B$ en la categor\'{\i}a de m\'{o}dulos es un funtor
covariante y exacto por un lado. \hfill {\bf 1.5}

\ejj Sea $0\to N \to M\to P\to 0$ una sucesi\'{o}n exacta corta.

\item{(i)} Demuestra que  esta sucesi\'{o}n  es escindida si y s\'{o}lo si existe un
morfismo de m\'{o}dulos $h:P\to M$ tal que $hg=\Id_P$. \hfill {\bf 1}

\item{(ii)} Define m\'{o}dulo proyectivo y demuestra que si $P$ es proyectivo, la sucesi\'{o}n exacta
corta anterior es escindida. \hfill {\bf 1}

\item{(iii)} Enuncia el resultado dual (ii). \hfill {\bf 1}

 \ejj Enuncia la propiedad fundamental del producto tensorial y demuestra, a partir de ella (si quieres),  que \hfill {\bf 1}

$$N\otimes (\oplus M_i)\cong \oplus (N\otimes M_i)$$

\ejj Define lo que es una traslaci\'{o}n homot\'{o}pica y di porque este concepto es relevante en la asignatura.\hfill {\bf 1.25}

\ejj Sea $M$ un $R$-m\'{o}dulo.
\item{(i)} Define lo que es una resoluci\'{o}n inyectiva de  $M$. \hfill {\bf 1}

\item{(ii)}?`Todo m\'{o}dulo posee resoluci\'{o}n inyectiva? ?`como se construye? \hfill {\bf 0.5}

\item{(iii)} Como se relacionan las resoluciones inyectivas y las sucesiones exactas cortas. Explica que resultados hay y para que sirven. \hfill {\bf 1}

\ejj Haz una construcci\'{o}n esquem\'{a}tica del funtor $\Tor$. Enunciando los resultados m\'{a}s relevantes relativos. \hfill {\bf 1.75}

\vfill {\bf Nota 1:} Se contar. La puntuaci\'{o}n total del examen es de $11$ puntos. Se aprueba la asignatura si se alcanza el $5$ (al sumar la nota de
clase y la del examen).


\end
