Convocatoria Ordinaria. Martes 19 de septiembre de 2006.

Examen de Álgebra Homológica

1-. Sea R un anillo unitario y M un R-módulo por la izquierda sobre R.

(i) Define funtor exacto (exacto izquierda, exacto derecha) y todas las nociones que aparezcan involucradas. 1

(ii) Construye el funtor (contravariante) hom_{R}(−, M) y demuestra que es exacto por un

lado. 1 (iii) Pon un ejemplo que demuestre que no es exacto. 1

2-. Define sucesión exacta corta escindida y pon un ejemplo de una S.E.C no escindida. 1 (ii) Demuestra que si 0 → N → M → P → 0 es una sucesión exacta corta escindida de

R-módulos por la izquierda y Q es un R-módulo por la derecha, entonces

0 → Q ⊗ N → Q ⊗ M → Q ⊗ P → 0

es escindida. 1

3-. Sea M un R-módulo. Construye una resolución proyectiva sobre M. 2

4-. El funtor de Homología. 3

Problemas

5-. En el siguiente diagrama conmutativo las filas son exactas y el módulo I es inyectivo. Demuestra que existe un homomorfismo de módulos f : M → I que sigue haciendo el diagrama conmutativo: 3

6-. Sea, R_{1}, R_{2}, R_{3}, R_{4} cuatro anillos unitarios, M un (R_{1}, R_{2}) bimódulo, N un (R_{2}, R_{3}) bimódulo y P un (R_{1}, R_{3}) bimódulo. Entonces 3

Hom_{R_{1}}(M ⊗ N, P) ≅ hom_{R_{1}}(M, Hom_{R_{3}}(N, P)).

7-. Como se relacionan las resoluciones proyectivas y las sucesiones exactas cortas. Explica que resultados hay y para que sirven. 3

8-. Sabes dar un módulo proyectivo que no sea libre? 1

Nota: En la parte de teoría no se podrán usar los apuntes. Se deben elegir ejercicios (o apartados de estos) para que la puntuación máxima del examen, teoría y problemas, sea de 10.