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{\bf Convocatoria Ordinaria.\hfill Martes 19 de septiembre de 2006.}

\vskip 0.5truecm

 \centerline{\bf{Examen de \'{A}lgebra Homol\'{o}gica}}\vskip 0.3truecm

\ejj Sea $R$ un anillo unitario y  $M$ un $R$-m\'{o}dulo por la izquierda sobre $R$.

\item{(i)} Define funtor exacto (exacto izquierda, exacto derecha) y todas las nociones que aparezcan involucradas. \hfill {\bf 1}
\item{(ii)}  Construye el funtor (contravariante) $\hom_R(-,M)$ y demuestra que es  exacto por un
lado.  \hfill {\bf 1}
\item{(iii)} Pon un ejemplo que demuestre que no es exacto.
\hfill {\bf 1}

\ejj Define sucesi\'{o}n exacta corta escindida y pon un ejemplo de una S.E.C  no escindida. \hfill {\bf 1}
\item{(ii)} Demuestra que si $0\to N\to M\to P\to 0$ es una sucesi\'{o}n exacta corta escindida de $R$-m\'{o}dulos por la izquierda y $Q$ es
un $R$-m\'{o}dulo por la derecha, entonces $$0\to Q\otimes N\to Q\otimes M\to Q\otimes P\to 0$$ es exacta. \hfill {\bf 1}

\ejj Sea $M$ un $R$-m\'{o}dulo. Construye una resoluci\'{o}n proyectiva sobre $M$. \hfill {\bf 2}

\ejj El funtor de Homolog\'{\i}a. \hfill {\bf 3}



\vfill\eject \centerline{ \bf Problemas}

\ejj En el siguiente diagrama conmutativo las filas son exactas y el m\'{o}dulo $I$ es inyectivo. Demuestra que existe un
homomorfismo de m\'{o}dulos $f:M\to I$ que sigue haciendo el diagrama conmutativo: \hfill {\bf 3}
 \vskip0.5truecm
\centerline{\epsfxsize=4cm \epsfysize=3cm \epsfbox{Dia.png}}


\ejj Sea, $R_1,R_2,R_3,R_4$ cuatro anillos unitarios, $M$ un $(R_1,R_2)$ bim\'{o}dulo, $N$ un $(R_2,R_3)$ bim\'{o}dulo y $P$ un
$(R_1,R_3)$ bim\'{o}dulo. Entonces \hfill {\bf 3}$$\Hom_{R_1}(M\otimes N,P)\cong \hom_{R_1}(M,\Hom_{R_3}(N,P)).$$


\ejj  Como se relacionan las resoluciones proyectivas y las sucesiones exactas cortas.
 Explica que resultados hay y para que sirven. \hfill {\bf 3}

 \ejj Sabes dar un m\'{o}dulo proyectivo que no sea libre? \hfill {\bf 1}

\vskip 8truecm

{\bf Nota:} En la parte de teor\'{\i}a no se podr\'{a}n usar los apuntes. Se deben elegir ejercicios (o apartados de estos) para
que la puntuaci\'{o}n m\'{a}xima del examen, teor\'{\i}a y problemas, sea de 10.


\end
