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%%% Cuando a consinnombre se le da la valor 1, entonces el nombre del
%%% resultado aparece
%%% al lado del mismo, si se le da otro valor numerico, commo 0, entonces
%%% el nombre
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Bibliograf�a%%
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\Tema{\Temados}{\bf  Cap\'{\i}tulo III}

\parrafo{Categor\'{\i}as}

\re{\decate}{Def:} Se define una categor\'{\i}a $\cal C$ como un par de clases ${\cal C}:=(\Ob{\cal C}, \Mor{\cal C })$, llamadas
respectivamente la clase de los objetos y la clase de los morfismos tal que:

\item{(i)} Para cada par (ordenado) de elementos $(A,B)\in \Ob {\cal C}$ existe un conjunto $\Hom_{\cal C}(A,B)$, cuyos elementos son llamados
morfismos con dominio $A$ y codominio $B$, tales que

\itemitem{(i.1)}  Si $(A,B)\ne (C,D)$, entonces $\Hom_{\cal C}(A,B)\cap  \Hom_{\cal C}(C,D)=\emptyset$

\itemitem{(i.2)}  $\Mor{\cal C}= \bigcup_{(A,B)} \Hom_{\cal C}(A,B)$

\item{(ii)} Para cada $(A,B,C)\in \Ob {\cal C}$, conjunto ordenado, existe una aplicaci\'{o}n
 $$\matrix{\Hom_{\cal C}(A,B)&\times &\Hom_{\cal C}(B,C)&\to& \Hom_{\cal C}(A,C)\cr f& &g & &f\circ g }$$ verificando:

\itemitem{(ii.1)} Si $(A,B,C,D)\in \Ob {\cal C}$ y $f\in  \Hom_{\cal C}(A,B)$, $g\in  \Hom_{\cal C}(B,C)$ y $h\in  \Hom_{\cal C}(C,D)$
entonces $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$

\itemitem{(ii.1)} Para cada $A\in \Ob{\cal C}$ existe un \'{u}nico  $1_A\in \Hom_{\cal C}(A,A)$ tal que para todo $B\in \Ob{\cal C}$
y todos $g\in  \Hom_{\cal C}(A,B)$ y $h\in  \Hom_{\cal C}(B,A)$, $1_A\circ g=g$, $h\circ 1_A=h$.


\re{\ejemcat}{Ejemplos:} Tenemos la categor\'{\i}as siguientes:
\item{--} {\bf Set}: que tiene por clase de objetos la clase de todos los conjuntos y por morfismos entre estos, las aplicaciones entre
conjuntos.
\item{--} {\bf Grp}: que tiene por clase de objetos la clase de todos los grupos y por morfismos entre estos, los homomorfismos de grupos.
\item{--} {\bf Ab}: que tiene por clase de objetos la clase de todos los grupos abelianos y por morfismos entre estos,
los homomorfismos de grupos (abelianos).
\item{--} {\bf Ring}: que tiene por clase de objetos la clase de todos los anillos y por morfismos entre estos,
los homomorfismos de anillos.
\item{--} {\bf $R$-Mod}: que tiene por clase de objetos la clase de todos los $R$-m\'{o}dulos por la izquierda y por morfismos entre estos,
los homomorfismos de $R$-m\'{o}dulos por la izquierda.
\item{--} {\bf Mod-$R$}: que tiene por clase de objetos la clase de todos los $R$-m\'{o}dulos por la derecha y por morfismos entre estos,
los homomorfismos de $R$-m\'{o}dulos por la derecha.
\item{--} {\bf Top}: que tiene por clase de objetos la clase de todos los espacios topol\'{o}gicos y por morfismos entre estos,
las aplicaciones continuas entre estos.
\item{--} Si $(X,\le)$ es un conjunto ordenado, podemos considerar $$\Ob X:=X\quad \hbox{y}\quad \Hom (x,y):=\cases{$(x, y)$& Si $x\le y$ \cr  \emptyset & Si $x\not\le y$}$$



\re{\tipcat}{Def:} Diremos que una categor\'{\i}a $\cal C$ es peque�a si $\Ob{\cal C}$ es un conjunto.

{\bf Nota:} De las categor\'{\i}as anteriores s\'{o}lo la \'{u}ltima es una categor\'{\i}a peque\~{n}a.

\re{\tipcat}{Def:}  Diremos que un morfismo $f\in \Hom_{\cal C}(A,B)$ es un isomorfismo si existe $g\in \Hom_{\cal C}(B,A)$ tal que
$f\circ g=\Id_A$ y $g\circ f=\Id_B$. A $g$ se le denomina el inverso de $f$. Es claro que $g$ es \'{u}nico, por lo que lo denotaremos
por $f^{-1}$.

{\bf Nota:} la composici\'{o}n de isomorfismos es un isomorfismo. Es m\'{a}s, $$(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}.$$

Los isomorfismos en {\bf Set, Grp} y {\bf Ab} son precisamente las aplicaciones biyectivas y los isomorfismos de grupo
respectivamente.  En la categor\'{\i}a definida por un conjunto ordenado, s\'{o}lo las aplicaciones identidad son isomorfismos.

\re{\subcat}{Def:} Sea $\cal C$ una categor\'{\i}a. Se dice que $\cal D$ es una subcategor\'{\i}as de $\cal C$ si
\item{--}$\Ob{\cal D}\subset \Ob{\cal C}$
\item{--} Para cada $A,B\in\Ob{\cal D}$, $\Hom_{\cal D}(A,B)\subset\Hom_{\cal C}(A,B)$
\item{--} El neutro y la composici\'{o}n en $\cal D$ son los de $\cal C$.

$\star$ Se dice que una subcategor\'{\i}a $\cal D$ de $\cal C$ es plena si para todo par $(A,B)\subset  \Ob(D)$, se tiene que
$\Hom_{\cal C}(A,B)=\Hom_{\cal D}(A,B)$.

{\bf Nota:} La categor\'{\i}a {\bf Ab} es una subcategor\'{\i}a plena de {\bf Grp}. La categor\'{\i}a {\bf Grp} no es una subcategor\'{\i}a plena de
{\bf Set}.


\re{\catop}{Lema} Sea $\cal C$ una categor\'{\i}a. Entonces podemos definir una nueva cate\-gor\'{\i}a, ${\cal C}^{op}$, llamada categor\'{\i}a
opuesta, que tiene por clase de objetos la misma que $\cal C$ y por clase de morfismos: $\Hom_{{\cal C}^{op}}(A,B):=\Hom_{\cal
C}(B,A)$ con composici\'{o}n la procedente de $\cal C$:
 $$\matrix{\Hom_{{\cal C}^{op}}(A,B)&\times &\Hom_{{\cal C}^{op}}(B,C)&\to& \Hom_{{\cal C}^{op}}(A,C)\cr f& &g & &g\circ f }$$

{\bf Nota:} observar que se ha cambiado el orden de la composici\'{o}n.
 \re{\catopII}{Lema} Sea $\cal C$ y $\cal D$ dos categor\'{\i}as. Entonces podemos definir una nueva categor\'{\i}a, ${\cal C}\times {\cal D}$, llamada
 la categor\'{\i}a producto, que
tiene:

\item{--}  Objetos $\Ob ({\cal C}\times {\cal D}):=\Ob{\cal C}\times \Ob{\cal D}$

\item{--} Morfismos: $\Hom_{{\cal C}\times {\cal D}}((A,B),(C,D)):=\Hom_{\cal C}(A,C)\times \Hom_{\cal C}(B,D) $. En donde la unidad y composici\'{o}n son
 las obvias.

\re{\conceps}{Def:} Sea $\cal C$ una categor\'{\i}a y  $f\in \Hom_{\cal C}(A,B)$. Se dice que $f$ es:
 \item{(i)}   \'{e}pico si para todo par de
morfismos $g_1,g_2\in \Hom_{\cal C}(B,C)$,  $$\hbox{Si}\  f\circ g_1=f\circ g_2, \quad\hbox{entonces}\quad g_1=g_2.$$

 \item{(i)}   m\'{o}nico si para todo par de
morfismos $g_1,g_2\in \Hom_{\cal C}(C,A)$,  $$\hbox{Si}\  g_1\circ f=g_2\circ f, \quad\hbox{entonces}\quad g_1=g_2.$$

{\bf Nota} En la categor\'{\i}a {\bf Set} m\'{o}nico equivale a inyectivo, \'{e}pico a sobreyectivo. Es m\'{a}s, en cualquier subcategor\'{\i}a de la
categor\'{\i}a {\bf Set}, se tiene que:

$\star$ Inyectivo implica m\'{o}nico.

$\star$ Sobreyectivo implica \'{e}pico.

 En la categor\'{\i}a {\bf Ring} (que es subcategor\'{\i}a de {\bf Set}) m\'{o}nico es inyectivo, pero \'{e}pico no equivale a sobreyectivo: Lo
 aplicaci\'{o}n inclusi\'{o}n de ${\bbb Z}$ en ${\bbb Q}$ es \'{e}pica, pero no es sobreyectiva.

 \re{\ejuno}{Ejercicio} ?`Cuales son los morfismos m\'{o}nico y \'{e}pico en la categor\'{\i}a procedente de un conjunto ordenado?

Nos encontramos en condiciones de definir sumas directas y productos en  categor\'{\i}as. Es m\'{a}s, cualquier propiedad que podamos
definir por una propiedad universal, se podr\'{a} definir en categor\'{\i}as:

\re{\prod}{Def:} Sea $\cal C$ una categor\'{\i}a y $\{A_i\}\subset \Ob{\cal C}$ con $i\in I$. Se define el producto directo de los
$\{A_i\}$ como un par,  $(A,\{p_i\}_{i\in I})$ en donde $A\in\Obc$, $p_i\in \Hom_{\cal C}(A,A_i)$ con $i\in I$ tales que para cada
$B\in \Obc$ y cada familia de homomorfismos $f_i\in \Hom_{\cal C}(B,A_i)$ existe un \'{u}nico homomorfismo $f\in \Hom_{\cal C}(B,A)$
tal que $f\circ p_i=f_i$ para todo $i$.

{\bf Nota:} Es claro que en la categor\'{\i}a de anillos, de grupos, de grupos abelianos, de $R$ m\'{o}dulos, o en la de conjuntos, el
producto de una familia de objetos existe y el, respectivamente, el producto de anillos, grupos, grupos abelianos, de $R$ m\'{o}dulos o
conjuntos.

 $\star$ No en toda
categor\'{\i}a existe el producto de objetos, es mas, la categor\'{\i}a definida por el conjunto ordenado, ?`a que equivale el producto de
objetos?

\re{\prodirec}{Proposici\'{o}n} Si el producto de objetos existe en una categor\'{\i}a $\cal C$, este es \'{u}nico salvo isomorfismo.\endre

\re{\coprod}{Def:} Sea $\cal C$ una categor\'{\i}a y $\{A_i\}\in \Ob{\cal C}$ con $i\in I$. Se define el coproducto  de los $\{A_i\}$
como un par,  $(A,\{\rho_i\}_{i\in I})$ en donde $A\in\Obc$, $\rho_i\in \Hom_{\cal C}(A_i,A)$ con $i\in I$ tales que para cada
$B\in \Obc$ y cada familia de homomorfismos $f_i\in \Hom_{\cal C}(A_i,B)$ existe un \'{u}nico homomorfismo $f\in \Hom_{\cal C}(A,B)$
tal que $ \rho_i\circ f=f_i$ para todo $i$.

{\bf Nota:} Es claro que en la categor\'{\i}a de  grupos, de grupos abelianos, o de $R$ m\'{o}dulos, el coproducto de una familia de objetos
existe y el, respectivamente, la suma directa de  grupos,  grupos abelianos o $R$ m\'{o}dulos.

$\star$  No en toda categor\'{\i}a existe el producto de objetos, es mas, la categor\'{\i}a definida por el conjunto ordenado, ?`a que
equivale el coproducto de objetos?

\re{\prodirec}{Proposici\'{o}n} Si el coproducto de objetos existe en una categor\'{\i}a $\cal C$, este es \'{u}nico salvo isomorfismo.\endre


\re{\ejerdos}{Ejercicio} Sea $\cal C$ una categor\'{\i}a. Se dice que  $A\in \Obc$ es  inicial si para todo $B\in \Obc$ existe un \'{u}nico
morfismos en $\Hom_{\cal C}(A,B)$. Demuestra que si existe un objeto inicial, este es \'{u}nico salvo isomorfismo. ?`De las categor\'{\i}as
expuestas  cuales poseen objeto inicial? ?`Que seria un objeto inicial en la categor\'{\i}a procedente de un conjunto ordenado?

\re{\ejerdos}{Ejercicio} Sea $\cal C$ una categor\'{\i}a. Se dice que  $A\in \Obc$ es  final si para todo $B\in \Obc$ existe un \'{u}nico
morfismos en $\Hom_{\cal C}(B,A)$. Demuestra que si existe un objeto final, este es \'{u}nico salvo isomorfismo. ?`De las categor\'{\i}as
expuestas  cuales poseen objeto final? ?`Que seria un objeto final en la categor\'{\i}a procedente de un conjunto ordenado?


\parrafo{Funtores}

En esta secci\'{o}n vamos a definir y estudiar las propiedades de las ``aplicaciones" entre categor\'{\i}as.

\re{\deun}{Def:} Sean $\cal C$ y $\cal D$ dos categor\'{\i}as. Se define un funtor  covariante $\cal F$ de $\cal C$ en $\cal D$ como un
par de aplicaciones:
\item{--} ${\cal F}_ob:\Obc\to \Obd$
\item{--} Para cada par de objetos $A,B\in \Obc$ una aplicaci\'{o}n $${\cal F}_2:\Hom_{\cal C}(A,B)\to \Hom_{\cal D}({\cal F}_1(A), {\cal
F}_1(B))$$ tales que:
\item{--} Para todo $A\in \Obc$, ${\cal F}_2(1_A)=1_{{\cal F}_1(A)}$
\item{--} Para todo $A,B,C\in \Obc$ y $f\in \Hom_{\cal C}(A,B)$ y  $g\in \Hom_{\cal C}(B,C)$, $${\cal F}_2(f\circ g)={\cal
F}_2(f)\circ{\cal F}_2(g).$$

\re{\deun}{Def:} Sean $\cal C$ y $\cal D$ dos categor\'{\i}as. Se define un funtor  contravariante $\cal F$ de $\cal C$ en $\cal D$ como
un par de aplicaciones:
\item{--} ${\cal F}_ob:\Obc\to \Obd$
\item{--} Para cada par de objetos $A,B\in \Obc$ una aplicaci\'{o}n $${\cal F}_2:\Hom_{\cal C}(A,B)\to \Hom_{\cal D}({\cal F}_1(B), {\cal
F}_1(A))$$ tales que:
\item{--} Para todo $A\in \Obc$, ${\cal F}_2(1_A)=1_{{\cal F}_1(A)}$
\item{--} Para todo $A,B,C\in \Obc$ y $f\in \Hom_{\cal C}(A,B)$ y  $g\in \Hom_{\cal C}(B,C)$, $${\cal F}_2(f\circ g)={\cal
F}_2(g)\circ{\cal F}_2(f).$$


{\bf Nota:} Si ${\cal F}:{\cal C}\to {\cal D}$ es un funtor covariante (contravariante), entonces  $\bar {\cal F}:{\cal C}^{op}\to
{\cal D}$ definido por $\bar {\cal F}_1:={\cal F}_1$ y  $\bar {\cal F}_2:={\cal F}_2$ es un funtor contravariante (covariante).


\re{\profun}{Def:} Un funtor ${\cal F}:\cal C\to \cal D$ se dice fiel si para cada par de objetos $A,B\in \Obc$ la aplicaci\'{o}n
${\cal F}_2$ restringida a $\Hom_{\cal C}(A,B)$ es inyectiva. Caso de ser sobreyectiva se dir\'{a} que el funtor $\cal F$ es pleno.


\re{\ejemfun}{Ejemplos:}
\item{$\star$} Sea $\cal D$ una subcategor\'{\i}a de $\cal C$. Entonces, la aplicaci\'{o}n inclusi\'{o}n es un funtor de $\cal D$ en $\cal C$.
Observar que si $\cal D$ es una subcategor\'{\i}a plena, el funtor inclusion es pleno (en cualquier caso siempre es fiel).
\item{$\star$} La aplicaci\'{o}n inclusi\'{o}n de la categor\'{\i}a de grupos, anillos, espacios vectoriales, topol\'{o}gicos, etc. en la categor\'{\i}a
de conjuntos se denomina funtor olvido.
\item{$\star$}Un funtor entre dos categor\'{\i}as de conjuntos ordenados es precisamente una aplicaci\'{o}n mon\'{o}tona (creciente para
funtores covariantes, de creciente para funtores contravariantes).
\item{$\star$} Para el producto de categor\'{\i}as tenemos el funtor proyecci\'{o}n.

Veamos ahora que hemos trabajado con varios funtores, aun sin saberlo:

\item{$\star$} Dado $R$ un anillo unitario y $M$ un $R$ m\'{o}dulo por la izquierda tenemos:

\item{$\star$} El funtor covariante $\Hom_R(M,-)$ de la categor\'{\i}a de $R$-mod en la categor\'{\i}a de grupos abelianos definido por
$$\eqalign{\Hom_R(M,-)_1(N)&:=\Hom_R(M,N)\cr \Hom_R(M,-)_2(f)&:= \Hom_R(\Id,f )}$$

\item{$\star$}  El funtor contravariante $\Hom_R(-,M)$ de la categor\'{\i}a de
$R$-mod en la categor\'{\i}a de grupos abelianos definido por $$\eqalign{\Hom_R(-,M)_1(N)&:=\Hom_R(N,M)\cr \Hom_R(-,M)_2(f)&:=
\Hom_R(f,\Id )}$$

\item{$\star$} Dado $R$ un anillo unitario y $M$ un $R$ m\'{o}dulo por la izquierda tenemos el funtor covariante $-\otimes M$ de la categor\'{\i}a de $R$-mod
por la derecha en la categor\'{\i}a de grupos abelianos definido por
$$\eqalign{(-\otimes M)_1(N)&:=N\otimes M\cr (-\otimes M)_2(f)&:=f\otimes \Id}$$

\item{$\star$} El funtor covariante $M\otimes -$ de la categor\'{\i}a de $R$-mod
por la izquierda en la categor\'{\i}a de grupos abelianos definido por
$$\eqalign{(M\otimes -)_1(N)&:=M\otimes N\cr (M\otimes -)_2(f)&:=\Id\otimes f}$$

\item{$\star$} El funtor covariante $-\otimes M$ de la categor\'{\i}a de $R$-mod
por la derecha en la categor\'{\i}a de grupos abelianos definido por
$$\eqalign{(-\otimes M)_1(N)&:=N\otimes M\cr (-\otimes M)_2(f)&:=f\otimes \Id}$$

 \re{\comfun}{Proposici\'{o}n} Sean $\cal C,D,E$ tres categor\'{\i}as, ${\cal F}:{\cal C}\to {\cal D}$ y ${\cal G}:{\cal
D}\to {\cal E}$ dos funtores, entonces ${\cal F}\circ{\cal G}$ es un funtor de $\cal C$ en $\cal E$. Es m\'{a}s, ${\cal F}\circ{\cal
G}$ es covariante si
 ambos son del mismo tipo, contravariante en caso contrario.


{\bf Nota:} Un funtor (covariante o contravariante) manda un isomorfismo en un isomorfismo. No sucede as\'{\i} para los morfismos m\'{o}nicos o
\'{e}picos (ver el funtor olvido de la categor\'{\i}a {\bf Ring} en la categor\'{\i}a {\bf Set}.

 $\star$ Los ejemplos $\Hom_R(M,-)$, $\Hom_R(-,M)$, $M\otimes -$ y $-\otimes M$ da pie a definir el concepto de bifuntor, y m\'{a}s generalmente, el
 concepto de funtor en varias variables.

\re{\debi}{Def:} Sean $\{{\cal C}_i\}_{i\in I}$ una familia de categor\'{\i}as con $\# I=n$ y $\cal D$ otra categor\'{\i}a. Sea $J\subset I$ y
$\sigma:I\to \{op,\ \}$ la aplicaci\'{o}n  $$\sigma(i)=\cases{\ & Si $i\in J$\cr op& Si $i\in I-J$}$$ Se define un funtor en n variables
covariante en $J$ y contravariante en $I-J$, como un funtor ${\cal F}:{\cal C}_1^{\sigma(1)}\times\cdots\times {\cal C}_n^{\sigma(n)}\to
{\cal D}$.

\re{\ejem}{Ejemplos} $\star$  Sea $R$ un anillo unitario. Entonces  $\Hom_R(-,-)$ es un bi-funtor (funtor en dos variables), de la
categor\'{\i}a de $R$-m\'{o}dulos por la izquierda (por la derecha) en la categor\'{\i}a de grupos abelianos, contravariante en la primera variable y
covariante en la segundo.

$\star$ Sea $R$ un anillo unitario. Entonces el funtor $-\otimes-$ de la categor\'{\i}a de $R$ m\'{o}dulos por la derecha por la categor\'{\i}a de $R$
-m\'{o}dulos por la izquierda en la categor\'{\i}a de grupos abelianos es un funtor covariante en ambas variables.

{\bf Nota:} Sean $\{{\cal C}_i\}_{i\in I}$ una familia de categor\'{\i}as con $\# I=n$ y $\cal D$ otra categor\'{\i}a. Sea $J\subset I$ y
$\sigma:I\to \{op,\ \}$ la aplicaci\'{o}n definida por: $$\sigma(i)=\cases{\ & si $i\in J$\cr op& si $i\in I-J$}$$ Sea ${\cal F}:{\cal
C}_1^{\sigma(1)}\times\cdots\times {\cal C}_n^{\sigma(n)}\to {\cal D}$ un funtor en n variables, covariante en J y contravariante en $I-J$.
Entonces si fijamos $k$ coordenadas, (fijando los objetos y los morfismos correspondientes) nos encontramos con un funtor en $n-k$
variables.



\parrafo{Categor\'{\i}as de Diagramas}

\re{\dedia}{Def:} Sea $R$ un anillo unitario, $I$ un conjunto de indices y $\Gamma\subset I\times I$. Se define la categor\'{\i}a de diagramas
sobre $(I,\Gamma)$ como:

$\star$ La clase de los objetos esta formada por los pares $(\{M_i\}_{i\in I},\{f_{ij}\}_{(i,j)\in \Gamma})$ en donde:

\itemitem{--}  $\{M_i\}_{i\in I}$ es una familia de $R$-m\'{o}dulos por la izquierda (por la derecha),

\itemitem{--} $f_{ij}\in \Hom_R(M_i,M_j)$ para cada $(i,j)\in \Gamma$,

\itemitem{--}  si $(i,j),(j,k)\in \Gamma$, entonces $(i,k)\in \Gamma$ y adem\'{a}s, $f_{ij}\circ f_{jk}=f_{ik}$.

$\star$ La clase de los morfismos son: dados  ${\cal M}:=(\{M_i\}_{i\in I},\{f_{ij}\}_{(i,j)\in \Gamma})$, ${\cal N}:=(\{N_i\}_{i\in
I},\{g_{ij}\}_{(i,j)\in \Gamma})$ dos diagramas sobre $(I,\Gamma)$, un homomorfismo $\phi:{\cal M}\to {\cal N}$ es una familia $\phi_{i}\in
\Hom_R(M_i,N_i)$, con $i\in I$, tales que si $(i,j)\in \Gamma$, $\phi_i\circ g_{ij}=f_{ij}\circ \phi_j$.

\re{\ejem}{Ejemplo:} Consideremos la categor\'{\i}a de diagramas de la forma: $$M_1{\buildrel f_{12} \over \longrightarrow} M_2$$ Aqu\'{\i} el
conjunto de indices es $I=\{1,2\}$ y $\Gamma=\{(1,2)\}$. Un morfismo $\phi$ entre $M_1{\buildrel f_{12} \over \longrightarrow} M_2$ y
$N_1{\buildrel g_{12} \over \longrightarrow} N_2$ ser\'{a} un par de homomorfismos de $R$ m\'{o}dulos $\phi=(\phi_1,\phi_2)$ tales que el siguiente
diagrama es conmutativo:

\centerline{\epsfxsize=4cm \epsfysize=3cm \epsfbox{DiaI.png}}

\re{\ejer}{Ejercicio} Nos encontramos con 4 funtores covariantes de esta categor\'{\i}a en la categor\'{\i}a de $R$-m\'{o}dulos que, realmente,  ya han
sido definidos: sean
$${\cal M}=M{\buildrel f \over \longrightarrow} M,\quad {\cal N}=N{\buildrel g \over \longrightarrow} N\quad \hbox{y}\quad \phi:{\cal M}\to {\cal
N}$$

$\star$ El funtor $\Ker$, definido por:
$$\eqalign{\Ker_1({\cal M})&=\Ker (f)\cr \Ker_2(\phi) &=\phi_1: \Ker(f)\to \Ker(g)}$$

$\star$ El funtor $\Im$, definido por:
$$\eqalign{\Im_1({\cal M})&=\Im (f)\cr \Im_2(\phi) &=\phi_2: \Im(f)\to \Im(g)}$$

$\star$ El funtor $\CoKer$, definido por:
$$\eqalign{\CoKer_1({\cal M})&=\CoKer (f)\cr \CoKer_2(\phi) &=\phi_2: \CoKer(f)\to \CoKer(g)}$$

$\star$ El funtor $\CoIm$, definido por:
$$\eqalign{\CoIm_1({\cal M})&=\CoIm (f)\cr \CoIm_2(\phi) &=\phi_1: \CoIm(f)\to \CoIm(g)}$$


\re{\tehomuno}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo unitario y $M',M,M'',N$ cuatro $R$ m\'{o}dulos y $f',f,g$ tres homomorfismos de $R$
m\'{o}dulos tales que en el siguiente diagrama, la fila es exacta y se verifica que $f'\circ g=0$.

\centerline{\epsfxsize=8cm \epsfysize=3cm \epsfbox{DiaIII.png}}

 Entonces existe un \'{u}nico homomorfismo de $R$ m\'{o}dulos $h:M''\to N$
que hace conmutativo el diagrama:

\centerline{\epsfxsize=8cm \epsfysize=3cm \epsfbox{DiaII.png}}

Es m\'{a}s, cualquier morfismo de diagramas del primer tipo, es un morfismo de diagramas del segundo.

\re{\corouno}{Corolario} Sea $R$ un anillo unitario y $M',M,M'',N',N,N''$ seis $R$ m\'{o}dulos y $f',f,g',g, h',h$ seis morfismos de $R$
m\'{o}dulos tales que el siguiente diagrama es conmutativo con la fila superior exacta y la fila inferior una sucesi\'{o}n.

\centerline{\epsfxsize=9cm \epsfysize=3cm \epsfbox{DiaIV.png}}

Entonces existe un \'{u}nico homomorfismo de $R$ m\'{o}dulos $h:M''\to N''$ tales que el siguiente diagrama es conmutativo.

\centerline{\epsfxsize=9cm \epsfysize=3cm \epsfbox{DiaV.png}}

Es m\'{a}s, cualquier morfismo de diagramas del primer tipo, es un morfismo de diagramas del segundo.

\re{\tehomuno}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo unitario y $M',M,M'',N$ cuatro $R$ m\'{o}dulos y $f',f,g$ tres homomorfismos de $R$ m\'{o}dulos tales
que en el siguiente diagrama, la fila es exacta y se verifica que $g\circ f=0$.

\centerline{\epsfxsize=8cm \epsfysize=3cm \epsfbox{DiaVI.png}}

 Entonces existe un \'{u}nico homomorfismo de $R$ m\'{o}dulos $h:N\to M'$
que hace conmutativo el diagrama:

\centerline{\epsfxsize=8cm \epsfysize=3cm \epsfbox{DiaVII.png}}

Es m\'{a}s, cualquier morfismo de diagramas del primer tipo, es un morfismo de diagramas del segundo.

\re{\corouno}{Corolario} Sea $R$ un anillo unitario y $M',M,M'',N',N,N''$ seis $R$ m\'{o}dulos y $f',f,g',g, h',h$ seis morfismos de $R$
m\'{o}dulos tales que el siguiente diagrama es conmutativo con la fila inferior exacta y la fila superior  una sucesi\'{o}n.

\centerline{\epsfxsize=9cm \epsfysize=3cm \epsfbox{DiaVIII.png}}

Entonces existe un \'{u}nico homomorfismo de $R$ m\'{o}dulos $h':N'\to M'$ tales que el siguiente diagrama es conmutativo.

\centerline{\epsfxsize=9cm \epsfysize=3cm \epsfbox{DiaIX.png}}

Es m\'{a}s, cualquier morfismo de diagramas del primer tipo, es un morfismo de diagramas del segundo.
\end
