Capítulo V.

1. MÓDULOS PROYECTIVOS

1.1 Def: Sea R un anillo unitario. Se dice que un R-módulo P es proyectivo si para todo par de módulos N, M y homomorfismos h : P → M y f : N → M, con f sobreyectivo, existe un homomorfismo h′ : P → N tal que h′ ∘ f = h. En forma de diagrama:

Nota: Todo módulo libre es proyectivo.

Dado un R-módulo P, sabemos que el funtor Hom_{R}(P, −) es exacto por la izquierda, es decir, una sucesión exacta corta de R módulos,

0 → N⟶^{f}M⟶^{g}Q → 0

da lugar a una sucesión exacta de grupos abelianos

0 → Hom_{R}(P, N) → Hom_{R}(P, M) → Hom_{R}(P, Q)

Nota: puede ocurrir que Hom_{R}(Id, g) no sea sobreyectiva. El siguiente teorema caracteriza los módulos proyectivos a partir de este funtor.

1.2 Teorema Sea R un anillo unitario y P un R-módulo. Las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) P es proyectivo.

(ii) El funtor Hom_{R}(P, −) es exacto.

1.3 Proposición Sea R un anillo unitario y P_{i} una familia de R-módulos. Las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) P := ⨁ P_{i} es proyectivo.

(ii) Cada P_{i} es proyectivo.

1.4 Teorema Sea R un anillo unitario y P un R-módulo. Las siguientes condiciones son equivalentes.

(i) P es proyectivo.

(ii) Toda sucesión exacta corta de R-módulos 0 → N⟶^{f}M⟶^{g}P → 0 es escindida.

Los teoremas anteriores nos ha demostrado el siguiente Teorema.

1.5 Teorema Sea R un anillo unitario y P un R-módulo. Las siguientes condiciones son equivalentes.

(i) P es proyectivo.

(ii) P es sumando directo de un módulo libre.

Veamos como se comportan los R-módulos proyectivos respecto del funtor producto tensorial. Dado un R-módulo P, sabemos que el funtor − ⊗ P es exacto por la derecha, es decir, una sucesión exacta corta de R módulos,

0 → N⟶^{f}M⟶^{g}Q → 0

da lugar a una sucesión exacta de grupos abelianos

N ⊗ P → M ⊗ P → Q ⊗ P → 0

Nota: puede ocurrir que f ⊗ Id no sea inyectiva.

1.6 Proposición Sea R un anillo unitario, P un R-módulo por la izquierda proyectivo y P′ un R-módulo por la derecha proyectivo. Entonces − ⊗ P y P′ ⊗ − son funtores exactos.

La siguiente proposición la resaltamos, ya que nos será de utilidad.

1.7 Proposición Sea R un anillo unitario y M un R-módulo. Entonces existe un R-módulo proyectivo P y un epimorfismo de módulo f : P → M.

2. MÓDULOS INYECTIVOS

2.1 Def: Sea R un anillo unitario. Se dice que un R-módulo I es inyectivo si para todo par de módulos N, M y homomorfismos h : N → I y f : N → M, con f inyectivo, existe un homomorfismo h′ : M → I tal que f ∘ h′ = h. En forma de diagrama:

Dado un R-módulo P, sabemos que el funtor contravariante Hom_{R}(−, I) es exacto por la izquierda, es decir, una sucesión exacta corta de R módulos,

0 → N⟶^{f}M⟶^{g}Q → 0

da lugar a una sucesión exacta de grupos abelianos

0 → Hom_{R}(Q, I) → Hom_{R}(M, I) → Hom_{R}(N, I)

Nota: puede ocurrir que Hom_{R}(g, Id) no sea sobreyectiva. El siguiente teorema caracteriza los módulos inyectivos a partir de este funtor.

2.2 Teorema Sea R un anillo unitario y I un R-módulo. Las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) P es inyectivo.

(ii) El funtor Hom_{R}(−, I) es exacto.

2.3 Proposición Sea R un anillo unitario y I_{i} una familia de R-módulos. Las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) I := ∏ I_{i} es inyectivo.

(ii) Cada P_{i} es inyectivo.

2.4 Teorema Sea R un anillo unitario y I un R-módulo. Las siguientes condiciones son equivalentes.

(i) I es inyectivo.

(ii) Toda sucesión exacta corta de R-módulos 0 → I⟶^{f}M⟶^{g}Q → 0 es escindida.

Como resultado dual al hecho de que todo módulo es cociente de un módulo proyectivo (es más, de un módulo libre) enunciamos el siguiente resultado (que no será demostrado por el momento):

2.5 Proposición Sea R un anillo unitario y M un R-módulo. Entonces existe un R-módulo inyectivo I y un monomorfismo de módulo f : M → I.

3. RESOLUCIONES PROYECTIVAS E INYECTIVAS

3.1 Def: Sea M un R módulo. Por una resolución proyectiva sobre M entenderemos cualquier complejo exacto

⋯ → P_{−n} → P_{−(n−1)} → ⋯ → P_{1} → M → 0 → 0 ⋯

en donde todos los P_{i} son R-módulos proyectivos.

3.2 Def: Sea M un R-módulo. Por una resolución inyectiva sobre M entenderemos cualquier complejo exacto

0 → 0 → M → I_{1} → ⋯ → I_{n} → I_{n+1} → ⋯

en donde todos los I_{i} son R-módulos inyectivos.

3.3 Teorema Sea R un anillo unitario, M y N dos R-módulos por la izquierda y f : M → N un homomorfismo de R-módulos. Entonces

(i) M y N poseen resoluciones proyectivas.

(ii) f se extiende a un homomorfismo entre sus resoluciones proyectivas que es único salvo traslaciones homotópicas.

3.4 Teorema Sea R un anillo unitario, M y N dos R-módulos por la izquierda y f : M → N un homomorfismo de R-módulos. Entonces

(i) M y N poseen resoluciones inyectivas.

(ii) f se extiende a un homomorfismo entre sus resoluciones inyectivas que es único salvo traslaciones homotópicas.

4. FUNTORES DERIVADOS

4.1 Def: Sean R y S dos anillos unitarios. Se dice que un funtor

F : R-Mod → S-Mod

es aditivo si para cada par de objetos A, B ∈ Ob(R-Mod)

F_{2} : Hom_{R-Mod}(A, B) → Hom_{S-Mod}(F_{1}(A), F_{2}(B))

es un homomorfismo de grupos abelianos.

4.2 Sea R un anillo unitario y F : R-Mod → Ab un funtor aditivo. Construyamos los funtores derivados pos la derecha y por la izquierda del funtor F. Sean M y N dos R-módulos por la izquierda y f : M → N un homomorfismo de R-módulos.

⋆ Funtor derivado por la izquierda: