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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% DIBUJOS
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%%% Cuando a consinnombre se le da la valor 1, entonces el nombre del
%%% resultado aparece
%%% al lado del mismo, si se le da otro valor numerico, commo 0, entonces
%%% el nombre
%%% desparece

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\vfill\eject \centerline{{ \ver #2}.}}


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\uppercase{#1}}\par\nobreak\vskip 3 pt  plus 3 pt\nobreak}



%%%%%%%%%%%%%% FUENTES %%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\headimpar{\hskip 4truecm{\rm \'{A}lgebra Homol\'{o}gica (2005-2006)
\hfill \folio}}
\def\headpar{\folio \hskip 7truecm{\rm  Tema \number\Temacount }\hfill}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Bibliograf�a%%
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\Tema{\Temados}{\bf  Cap\'{\i}tulo V}

\parrafo{M\'{o}dulos Proyectivos}

\re{\depry}{Def:} Sea $R$ un anillo unitario. Se dice que un
$R$-m\'{o}dulo $P$ es proyectivo si para todo par de m\'{o}dulos $N,M$ y
homomorfismos $h: P\to M$ y $f:N\to M$, con $f$ sobreyectivo, existe
un homomorfismo $h':P\to N$ tal que $h'\circ f=h$. En forma de
diagrama:



 \centerline{\epsfxsize=6cm \epsfysize=3cm \epsfbox{ProyI.png}}

{\bf Nota:} Todo m\'{o}dulo libre es proyectivo.

Dado un $R$-m\'{o}dulo $P$, sabemos que el funtor $\Hom_R(P,-)$ es exacto por la izquierda, es decir,  una sucesi\'{o}n exacta corta de $R$
m\'{o}dulos,
$$0\to N{\buildrel f \over \longrightarrow} M{\buildrel g \over \longrightarrow} Q\to 0$$ da lugar a una sucesi\'{o}n exacta de grupos abelianos
$$0\to \Hom_R(P,N)\to \Hom_R(P,M)\to
\Hom_R(P,Q)$$ {\bf Nota:} puede ocurrir que $\Hom_R(\Id, g)$ no sea sobreyectiva. El siguiente teorema caracteriza los m\'{o}dulos proyectivos
a partir de este funtor.


\re{\proyII}{Teorema} Sea $R$ un anillo unitario y $P$ un $R$-m\'{o}dulo. Las siguientes condiciones son equivalentes:
\item{(i)} $P$ es proyectivo.
\item{(ii)} El funtor $\Hom_R(P,-)$ es exacto. \endre

\re{\proyIII}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo unitario y $P_i$ una familia de  $R$-m\'{o}dulos. Las siguientes condiciones son equivalentes:
\item{(i)} $P:=\bigoplus P_i$ es proyectivo.
\item{(ii)} Cada $P_i$ es proyectivo. \endre


 \re{\proyIV}{Teorema} Sea $R$ un anillo unitario y $P$ un $R$-m\'{o}dulo. Las
siguientes condiciones son equivalentes.
\item{(i)} $P$ es proyectivo.
\item{(ii)} Toda sucesi\'{o}n exacta corta de $R$-m\'{o}dulos $0\to N{\buildrel f \over \longrightarrow} M{\buildrel g \over \longrightarrow} P\to
0$ es escindida.

Los teoremas anteriores  nos ha demostrado el siguiente Teorema.

 \re{\proyV}{Teorema} Sea $R$ un anillo unitario y $P$ un $R$-m\'{o}dulo. Las
siguientes condiciones son equivalentes.
\item{(i)} $P$ es proyectivo.
\item{(ii)} $P$ es sumando directo de un m\'{o}dulo libre. \endre

Veamos como se comportan los $R$-m\'{o}dulos proyectivos respecto del funtor producto tensorial. Dado un $R$-m\'{o}dulo $P$, sabemos que el funtor
$-\otimes P$ es exacto por la derecha, es decir,  una sucesi\'{o}n exacta corta de $R$ m\'{o}dulos,
$$0\to N{\buildrel f \over \longrightarrow} M{\buildrel g \over \longrightarrow} Q\to 0$$ da lugar a una sucesi\'{o}n exacta de grupos abelianos
 $$N\otimes P\to M\otimes P\to Q\otimes P\to 0$$ {\bf Nota:} puede ocurrir que $f\otimes \Id$ no sea inyectiva.

 \re{\proVI}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo unitario, $P$ un $R$-m\'{o}dulo por la izquierda proyectivo y  $P'$ un $R$-m\'{o}dulo por la derecha proyectivo.
  Entonces $-\otimes P$ y $P'\otimes -$ son  funtores exactos.


La siguiente proposici\'{o}n la resaltamos, ya que nos ser\'{a} de utilidad.
  \re{\proVII}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo unitario y $M$ un $R$-m\'{o}dulo. Entonces existe un $R$-m\'{o}dulo proyectivo $P$ y un epimorfismo
  de m\'{o}dulo $f:P\to M$.


  \parrafo{M\'{o}dulos Inyectivos}

\re{\depry}{Def:} Sea $R$ un anillo unitario. Se dice que un
$R$-m\'{o}dulo $I$ es inyectivo si para todo par de m\'{o}dulos $N,M$ y
homomorfismos $h: N\to I$ y $f:N\to M$, con $f$ inyectivo, existe un
homomorfismo $h':M\to I$ tal que $ f\circ h'=h$. En forma de
diagrama:

\centerline{\epsfxsize=6cm \epsfysize=3cm \epsfbox{ProyII.png}}



Dado un $R$-m\'{o}dulo $P$, sabemos que el funtor contravariante
$\Hom_R(-,I)$ es exacto por la izquierda, es decir,  una sucesi\'{o}n
exacta corta de $R$ m\'{o}dulos,
$$0\to N{\buildrel f \over \longrightarrow} M{\buildrel g \over \longrightarrow} Q\to 0$$ da lugar a una sucesi\'{o}n exacta de grupos abelianos
$$0\to \Hom_R(Q,I)\to \Hom_R(M,I)\to
\Hom_R(N,I)$$ {\bf Nota:} puede ocurrir que $\Hom_R(g, \Id)$ no sea
sobreyectiva. El siguiente teorema caracteriza los m\'{o}dulos
inyectivos a partir de este funtor.


\re{\proyII}{Teorema} Sea $R$ un anillo unitario y $I$ un
$R$-m\'{o}dulo. Las siguientes condiciones son equivalentes:
\item{(i)} $P$ es inyectivo.
\item{(ii)} El funtor $\Hom_R(-,I)$ es exacto. \endre

\re{\proyIII}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo unitario y $I_i$ una
familia de  $R$-m\'{o}dulos. Las siguientes condiciones son
equivalentes:
\item{(i)} $I:=\prod I_i$ es inyectivo.
\item{(ii)} Cada $P_i$ es inyectivo. \endre


\re{\proyIV}{Teorema} Sea $R$ un anillo unitario y $I$ un
$R$-m\'{o}dulo. Las siguientes condiciones son equivalentes.
\item{(i)} $I$ es inyectivo.
\item{(ii)} Toda sucesi\'{o}n exacta corta de $R$-m\'{o}dulos $0\to I{\buildrel f \over \longrightarrow} M{\buildrel g \over \longrightarrow} Q\to
0$ es escindida.

Como resultado dual al hecho de que todo m\'{o}dulo es cociente de un
m\'{o}dulo proyectivo (es m\'{a}s, de un m\'{o}dulo libre) enunciamos el
siguiente resultado (que no ser\'{a} demostrado por el momento):


  \re{\proVII}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo unitario y $M$ un $R$-m\'{o}dulo. Entonces existe un $R$-m\'{o}dulo inyectivo $I$ y un monomorfismo
  de m\'{o}dulo $f:M\to I$.

\parrafo{Resoluciones proyectivas e inyectivas}

\re{\dereproy}{Def:} Sea $M$ un $R$ m\'{o}dulo. Por una resoluci\'{o}n proyectiva sobre $M$ entenderemos cualquier complejo
exacto
$$\cdots \to P_{-n}\to P_{-(n-1)}\to\cdots\to P_1\to M\to 0\to 0\cdots$$ en donde todos los $P_i$ son $R$-m\'{o}dulos
proyectivos.

\re{\dereiny}{Def:} Sea $M$ un $R$-m\'{o}dulo. Por una resoluci\'{o}n inyectiva sobre $M$ entenderemos cualquier complejo
exacto
$$0\to0\to M\to I_1\to\cdots\to I_n\to I_{n+1}\to\cdots$$ en donde todos los $I_i$ son $R$-m\'{o}dulos inyectivos.

\re{\constproy}{Teorema} Sea $R$ un anillo unitario,  $M$ y $N$ dos  $R$-m\'{o}dulos por la izquierda y $f:M\to N$ un
homomorfismo de $R$-m\'{o}dulos. Entonces
\item{(i)} $M$ y $N$ poseen resoluciones proyectivas.
\item{(ii)}  $f$ se extiende a un homomorfismo entre sus resoluciones proyectivas que es \'{u}nico salvo traslaciones
homot\'{o}picas. \endre

\re{\constproy}{Teorema} Sea $R$ un anillo unitario,  $M$ y $N$ dos  $R$-m\'{o}dulos por la izquierda y $f:M\to N$ un
homomorfismo de $R$-m\'{o}dulos. Entonces
\item{(i)} $M$ y $N$ poseen resoluciones inyectivas.
\item{(ii)}  $f$ se extiende a un homomorfismo entre sus resoluciones inyectivas que es \'{u}nico salvo traslaciones
homot\'{o}picas. \endre


\parrafo{Funtores derivados}

\re{\denfunabe}{Def:} Sean $R$ y $S$ dos anillos unitarios. Se dice que un funtor $${\cal F}:R\hbox{-}Mod\to
S\hbox{-}Mod$$ es aditivo si para cada par de objetos $A,B\in \Ob (R\hbox{-}Mod)$ $${\cal
F}_2:\Hom_{R\hbox{-}Mod}(A,B)\to \Hom_{S\hbox{-}Mod}({\cal F}_1(A),{\cal F}_2(B))$$ es un homomorfismo de grupos
abelianos.\endre

\re{\constder}{} Sea $R$ un anillo unitario y  ${\cal F}:R\hbox{-}Mod\to Ab$ un funtor aditivo. Cons\-truyamos los
funtores derivados pos la derecha y por la izquierda del funtor  $\cal F$. Sean $M$ y $N$ dos $R$-m\'{o}dulos por la
izquierda y $f:M\to N$ un homomorfismo de $R$-m\'{o}dulos.

$\star$ Funtor derivado por la izquierda: Sean $$\eqalign{\cdots\to P_3\to P_2\to P_1\to P_0\to M\to 0\cr \cdots\to P'_3\to P'_2\to P'_1\to P'_0\to
N\to 0}$$ resoluciones proyectivas de $M$ y $N$ respectivamente y $f_i:P_i\to P_i'$,  homomorfismos de complejos que extienden a $f$. Tenemos
entonces que $$\eqalign{\cdots\to {\cal F}P_3\to {\cal F}P_2\to {\cal F}P_1\to {\cal F}P_0\to  0\cr \cdots\to {\cal F}P'_3\to {\cal F}P'_2\to {\cal
F}P'_1\to {\cal F}P'_0\to 0}$$ son dos nuevas sucesiones con ${\cal F}f_i$ homomorfismos entre ellos.

Se define el funtor derivado $n$-esimo por la izquierda de $\cal F$ y se representa por $L_n{\cal F}$ como:

$$\eqalign{L_n{\cal F}(M):&=H(P_{n-1}\to P_n\to P_{n+1})\cr L_n{\cal F}(f):&=H(L_n{\cal F}f_n)}$$

Es obvio que hay que demostrar que $L_n{\cal F}$ no depende ni de la resoluci\'{o}n proyectiva que tomemos ni de la forma en que extendamos el
homomorfismo $f$ a un homomorfismo entre las resoluciones asociadas.

$\star_1$ Queda como ejercicio.

$\star_2$ Si $f_i'$ es otra familia de homomorfismos de $R$ m\'{o}dulos que extiende a $f$, sabemos que $f_i$ y $f_i'$ son homot\'{o}picas, por lo que
existes $\rho_i:P_i\to P_{i+1}'$ tales que $f_i-f_i'=\phi_i\rho_{i-1}+\rho_i\phi_{i+1}'$ por lo que como $\cal F$ es un funtor aditivo,
$${\cal F}f_i-{\cal F}f_i'={\cal F}\phi_i{\cal F}\rho_{i-1}+{\cal F}\rho_i{\cal F}\phi_{i+1}'$$ As\'{\i}, ${\cal F}f_i$ es homot\'{o}pica a ${\cal F}f_i'$ y
por tanto, $L_n{\cal F}f_n=L_n{\cal F}f_n'$.



\end
