Capítulo I: MÓDULOS.

⋆ ¿donde aparece el álgebra homológica? [5]

⋆ Vamos a seguir [3], aunque con definiciones de Jacobson [2].

1. NOCIONES PREVIAS

1.1 Def: Sea R un conjunto no vacío con dos operaciones “+” y “ ” a la primera operación se la suele denominar suma y a la segunda producto. Diremos que (R, +, ) es un anillo si:

– (R, +) es un grupo abeliano.

– La segunda operación es asociativa.

– Se verifican las propiedades distributivas: para todo x, y, z ∈ R

(x + y)z = xz + yz z(x + y) = zx + zy.

⋆ Diremos que un anillo (R, +, ) es unitario si la segunda operación posee elemento unidad. A la unidad se la denotará normalmente por 1.

⋆ Diremos que un anillo (R, +, ) es conmutativo si la segunda operación es conmutativa.

⋆ Diremos que un elemento no nulo x ∈ R es un divisor absoluto de cero por la izquierda (por la derecha) si existe 0 ≠ y ∈ R tal que xy = 0 ( yx = 0). Diremos que 0 ≠ x ∈ R es un divisor absoluto de cero si es divisor absoluto de cero por la izquierda o por la derecha. Diremos que un anillo (R, +, ) es un dominio de integridad si es un anillo conmutativo, unitario sin divisores de cero.

⋆ Diremos que un anillo (R, +, ) es de división si todo elemento no nulo de R tiene inverso.

⋆ Diremos que un anillo (R, +, ) es un cuerpo si es un anillo de división conmutativo.

Nota: Al neutro de la suma se le denotará por 0. Al neutro del producto se le denota por 1. La unidad, caso de existir es única y si a ∈ R es un elemento inversible, el inverso de a es único (al que denotaremos por a^{−1}).

1.2 Proposición Sea R un anillo. Entonces ℤ × R con suma y producto:

\begin{aligned}(λ, r) + (μ, r′) : & = (λ + μ, r + r′) \\ (λ, r).(μ, r′) : & = (λμ, λr′ + μr + r.r′) \end{aligned}

Tiene estructura de anillo unitario. Es más. la aplicación ψ : R → ℤ × R dada por ψ(r) = (0, r) es un monomorfismo de anillos.

1.3 Def: Sea R un anillo. Se define la unitización de R, y se representa por R^{1} como R, si éste ya es un anillo unitario o ℤ × R caso de que R no sea unitario.

1.4 Ejemplos:

I-. ℤ, ℚ, ℝ o ℂ son anillos unitarios. 2ℤ := {2x | x ∈ ℤ} es un anillo no unitario.

II-. Los anillos módulo n. Sea n un número natural y consideremos ℤ_{n} := {0, 1, 2, …, n−1}. Observar que ℤ_{n} tiene n elementos. Dados a, b ∈ ℤ_{n} definimos:

– La suma de a y b como el resto de dividir a + b por n.

– El producto de a y b como el resto de dividir ab por n.

Entonces (ℤ_{n}, +, ) tiene estructura de anillo conmutativo y unitario. Es más, si n = p es un número primo, (ℤ_{p}, +, ) es un cuerpo (con p elementos).

Nota: Caso de que nuestro anillo R tenga característica n, podemos hacer la construcción anterior sobre ℤ_{n} × R, lo que nos dará una envolvente unitaria de R conservando la característica.

2. CONSTRUCCIÓN DE NUEVOS ANILLOS.

2.1 proposición Sea I un conjunto de indices y R_{i}, i ∈ I una familia de anillos. Entonces Π_{i∈I}R_{i} con su estructura habitual de grupo abeliano:

Π_{i∈I}R_{i} := {(r_{i})_{i∈I} con r_{i} ∈ R_{i}, i ∈ I}

⋆ Con suma: (r_{i})_{i∈I} + (r′_{i})_{i∈I} = (r_{i} + r′_{i})_{i∈I}

⋆ y producto dado por componentes, (r_{i})_{i∈I}.(r′_{i})_{i∈I} = (r_{i}.r′_{i})_{i∈I}

tiene estructura de anillo, llamado el producto directo de los R_{i}.

2.2 proposición Sea I un conjunto de indices y R_{i}, i ∈ I una familia de anillos. Entonces ⨁_{i∈I} R_{i}, con su estructura habitual de grupo abeliano:

⨁_{i∈I} R_{i} = {(r_{i})_{i∈I} ∈ Π_{i∈I}R_{i} | r_{i} = 0 para casi todo i}

⋆ Con suma: (r_{i})_{i∈I} + (r′_{i})_{i∈I} = (r_{i} + r′_{i})_{i∈I} ⋆ y producto dado por componentes, (r_{i})_{i∈I}.(r′_{i})_{i∈I} = (r_{i}.r′_{i})_{i∈I} tiene estructura de anillo, llamado la suma directa externa de los R_{i}.

2.3 Proposición Sea R un anillo y n ∈ ℕ. Entonces M_{n}(R) con su suma y producto habitual tiene estructura de anillo. Es más,

– M_{n}(R) es conmutativo si y sólo si R es conmutativo y n = 1.

– M_{n}(R) es un anillo de división si y sólo si R es un anillo de división y n = 1.

– M_{n}(R) es un cuerpo si y sólo si R es un cuerpo y n = 1.

2.4 Def: Sea R un anillo. Se define el anillo de las series formales sobre R y se representa por R[[X]] como:

R[[X]] := {f : ℕ → R | con 0 ∈ ℕ} con operaciones:
(n)(f + g) : = (n)f + (n)g
(n)(f.g) : = ∑_{k=0}^{n}(k)f (n − k)g

Nota: Un elemento f de R[[X]] se denotan por p(X) = ∑_{n=0}^{∞} r_{n}X^{n} en donde r_{n} es (n)f y la suma y el producto son los usuales.

2.5 Def: Sea R un anillo. Se define el anillo de polinomios sobre R y se representa por R[X] como:

R[X] := {f : ℕ → R | (n)f = 0 para casi todo n, con 0 ∈ ℕ}
(n)(f + g) : = (n)f + (n)g
(n)(f.g) : = ∑_{k=0}^{n}(k)f (n − k)g

Nota: Un elemento f de R[X] se denotan por p(X) = ∑_{i=0}^{n} r_{i}X^{n} en donde r_{i} es (i)f y la suma y el producto son los usuales.

2.6 Def: Dado un anillo R, se define el opuesto de R y se representa por R^{op} como un nuevo anillo en donde el grupo abeliano vuelve a ser (R, +) y el producto se define por

x.y := yx.

3. LA NOCIÓN DE MÓDULO.

3.1 Def: Sea R un anillo y M un conjunto no vacío con dos operaciones, una interna + : M × M → M y otra externa R × M → M. Se dirá que (M, +, ) tiene estructura de R–módulo por la izquierda si verifica: ⋆ La operación interna (también llamada suma) tiene estructura de grupo abeliano, es decir,

(1.1) Propiedad asociativa: (m + n) + u = m + (n + u) ∀ m, n, u ∈ M.

(1.2) Existencia de elemento neutro: ∃ \overline{0} ∈ M tal que ∀ m ∈ M, \overline{0} + m =

m + \overline{0} = m. (1.3) Existencia de elemento opuesto: ∀ m ∈ M, ∃ − m ∈ M tal que (−m) +

m = m + (−m) = \overline{0}. (1.4) Propiedad conmutativa: m + n = n + m ∀ m, n ∈ M.

⋆ La operación externa verifica, (2.1) x(m + n) = xm + xn ∀ m, n ∈ M, x ∈ R. (2.2) (x + y)m = xm + ym ∀ m ∈ V, x, y ∈ R. (2.3) 1m = m ∀ v ∈ M. (2.4) x(ym) = (xy)m ∀ m ∈ M, x, y ∈ R. 3.2 Def: Sea R un anillo y M un conjunto no vacío con dos operaciones,

una interna + : M × M → M y otra externa M × R → M. Se dirá que (M, +, ) tiene estructura de R–módulo por la derecha si verifica: ⋆ La operación interna tiene estructura de grupo abeliano, ⋆ La operación externa verifica,

(2.1) (m + n)x = mx + nx ∀ m, n ∈ M, x ∈ R.

(2.2) m(x + y) = mx + my ∀ m ∈ V, x, y ∈ R.

(2.3) m1 = m ∀ v ∈ M.

(2.4) (mx)y = m(xy) ∀ m ∈ M, x, y ∈ R.

3.3 Ejemplos 1.- Es claro que todo espacio vectorial por la izquierda ( por la derecha) es un módulo por la izquierda (por la derecha).

2.- Sea G un grupo abeliano. Si definimos en G la operación externa ℤ × G → G definida por

ng = \{ \begin{matrix}g + g + … + g si n > 0 \\ 0 si n = 0 \\ −g − g − … − g si n < 0 \end{matrix}

tenemos que G es un ℤ–módulo.

Nota: Aunque todo espacio vectorial tenga estructura de módulo, no podemos esperar que estos últimos tengan propiedades parecidas a los espacios vectoriales. Por ejemplo, no todo módulo posee base.

3.4 Proposición Si M es un R–módulo por la izquierda y definimos la operación externa M × R^{op} → M definida por m.x := xm. Tenemos entonces que M tiene estructura de R^{op}-módulo por la derecha. De forma simétrica todo R-módulo por la derecha tiene estructura de R^{op}–módulo por la izquierda.

Nota: Si R es un anillo conmutativo (R ≅ R^{op}), todo R-modulo por la izquierda (por la derecha) tiene estructura natural de R-modulo por la derecha (por la izquierda).

3.5 Def: Sean R y S dos anillos. Diremos que M es un R, S-bimódulo si M tiene estructura de R-módulo por la izquierda, M tiene estructura de S-módulo por la derecha y se verifica la propiedad

(3.1) (rm)s = r(ms) para todo r ∈ R, m ∈ M y s ∈ S.

Nota: Si M es un R-módulo por la izquierda y S es el centro de R, M tiene estructura de R, S-bimódulo. Cuando estudiemos los homomorfismos de módulos veremos que hay otra estructura natural de bimódulo asociada a un módulo.

4. HOMOMORFISMOS DE MÓDULOS

4.1 Def: Sean M y N dos R-módulos y sea f : M → N una aplicación. Se dice que f es un homomorfismo de módulos si verifica:

(i) (m_{1} + m_{2})f = (m_{1})f + (m_{2})f para todo m_{1}, m_{2} ∈ M.

(ii) (xm)f = x(m)f para todo x ∈ R y m ∈ M.

Nota: Los homomorfismos de R-módulos por la izquierda (por la derecha) los escribiremos por la derecha (por la izquierda).

4.2 Def: Sean M y N dos R-módulos y f : M → N un homomorfismo de R-módulos. Entonces:

⋆ Si f es inyectivo se dice que f es un monomorfismo de R-módulos.

⋆ Si f es sobreyectiva se dice que f es un epimorfismo dde R-módulos.

⋆ Si f es biyectiva se dice que f es un isomorfismo de R-módulos.

⋆ A un homomorfismo de R-módulos g : M → M se le denomina un endomor-

fismo (es decir, si tiene el mismo dominio que co-dominio). ⋆ Un endomorfismo biyectivo se le denomina un automorfismo.

4.3 Diremos que dos R-módulos M y N son isomorfos si existe un isomorfismo de R-módulos f : M → N.

Denotaremos por Hom_{R}(M, N) al conjunto de todos los homomorfismos de R-módulos de M en N y por End_{R}(M) al conjunto de todos los endomorfismos de M como R-módulo.

⋆ Podemos definir una suma en Hom_{R}(M, N) que dota a este conjunto de estructura de grupo abeliano: Si f, g ∈ Hom_{R}(M, N) definimos

(m)(f + g) := (m)f + (m)g.

⋆ Podemos definir un producto en End_{R}(M), la composición, que dota a los endomorfismos de estructura de anillo unitario.

Nota 1: Hom_{R}(M, N) no tiene que tener estructura de R-módulo.

Nota 2: Si M es un R-módulo por la izquierda, M tiene estructura natural de End_{R}(M)-módulo por la derecha definiendo el producto mf := (m)f. Es más, con estas estructuras M es un R, End_{R}(M)-bimódulo.

5. SUBMÓDULOS Nota: Asociada a cada una de las estructuras que vamos a ir introduciendo aparecerá un cierto homomorfismo de módulos asociado (o una cierta propiedad fundamental)

5.1 Def: Sea R un anillo unitario y M un R-módulo por la izquierda. Se dice que N ⊂ M es un R-submódulo de M, y se representa por N ≤ M, si tanto la suma como la multiplicación de M son cerradas en N y (N, +, ) tiene estructura de R-módulo.

Nota: que las operaciones sean cerradas en N significa:

\begin{matrix}n_{1} + n_{2} ∈ N & ∀ n_{1}, n_{2} ∈ N. \\ xn ∈ N & ∀ x ∈ R, n ∈ N. \end{matrix}

5.2 Proposición Sea R un anillo unitario y M un R-módulo por la izquierda. Entonces un subconjunto N de M es un R-submódulo si y sólo si las operaciones son cerradas en N.

5.3 Lema Sean M y N dos R-módulos y f : M → N un homomorfismo de R-módulos. Entonces

\begin{matrix}Im(f) := & \{(m)f m ∈ M\} ≤ N \\ Ker(f) := & \{m ∈ M (m)f = 0\} ≤ M \end{matrix}

5.4 Lema Sea N un submódulo de un R-módulo M. Entonces la aplicación inclusión de N en M es un monomorfismo de módulos, llamado el monomorfismo inclusión. Es más, si f : N → M es un monomorfismo de módulos, N ≅ Im(f) es un submódulo de M.

Nota: Todo submódulo queda determinado a partir de un monomorfismo de módulos y viceversa.

6. MÓDULO COCIENTE

La estructura cociente va a relacionar las relaciones de equivalencia con la estructura de módulo. Así, si R es un anillo unitario y M es un R-módulo por la izquierda, vamos a ver que relaciones de equivalencia en M son compatibles con la suma y el producto por escalares de M (es decir con la estructura de Rmódulo). Es decir, si ≅ es una relación de equivalencia en M, denotamos la clase de equivalencia de un m ∈ M como m̄, ¿cuando m̄ + m̄′ := \overline{m + m′} y xm̄ := \overline{xm} están bien definidas y dan estructura de módulo al conjunto cociente M/ ≅ ?

Es fácil ver que ¯0 es un submódulo de M y que la relación de equivalencia es exactamente m ≅ m′ si y sólo si m − m′ ∈ \overline{0}. Por lo que todas estas relaciones de equivalencia quedan determinadas por submódulos de M. Es más, se verifica el recíproco:

6.1 Proposición Sea R un anillo unitario, M un R-módulo por la izquierda y N un submódulo de M. Entonces:

(i) La relación m ≅ m′ si y sólo si m − m′ ∈ N es una relación de equivalencia en M.

(ii) En el conjunto cociente M/ ≅, las operaciones:

\begin{aligned}m̄ + m̄′ & := \overline{m + m′} \\ rm̄ & := \overline{rm} \end{aligned}

definen una estructura de R-módulo.

6.2 Def. El módulo definido anteriormente se denomina el módulo cociente de M sobre N y se representa por M/N.

6.3 Def: Sea R un anillo unitario, M un R-módulo por la izquierda y N un submódulo suyo. Entonces la aplicación π : M → M/N definida por (m)π := m̄ es un epimorfismo de módulos.

6.4 Teorema Sea R un anillo unitario, M un R-módulo por la izquierda y N un submódulo suyo. Entonces, para cada modulo M′ y cada morfismo de módulo f : M → M′ tal que (N)f = 0 (N ⊂ Ker(f)) existe un homomorfismo de módulos f̄ : M/N → M′ tal que πf̄ = f. Es decir, el siguiente diagrama es conmutativo.

6.5 Def: Sea R un anillo unitario, M, M′ dos R-módulos y f : M → M′ un homomorfismo de R-módulos. Se define la coimagen de f y se representa por CoIm(f) := M/ Ker(f), se define el conúcleo de f y se representa por CoKer(f) := M′/ Im(f).

6.6 Teorema Sea R un anillo unitario, M, M′ dos R-módulos y f : M → M′ un homomorfismo de R-módulos. Entonces:

(i) f es inyectivo si y sólo si Ker(f) = 0.

(ii) f es sobreyectivo si y sólo si CoKer(f) = 0.

6.7 Teorema(1^{o} Teorema de Isomorfía) Sea R un anillo unitario, M, M′ dos R-módulos y f : M → M′ un homomorfismo de R-módulos. Entonces CoIm(f) ≅ Im(f).

7. PRODUCTO DIRECTO DE MÓDULOS

7.1 proposición Sea R un anillo unitario, I un conjunto de indices y M_{i}, i ∈ I una familia de R-módulos. Entonces

Π_{i∈I}M_{i} := {(m_{i})_{i∈I} con m_{i} ∈ M_{i}, i ∈ I}

⋆ Con suma: (m_{i})_{i∈I} + (m′_{i})_{i∈I} = (m_{i} + m′_{i})_{i∈I}

⋆ y producto dado por componentes, r(m_{i})_{i∈I} = (rm_{i})_{i∈I}

tiene estructura de R-módulo, llamado el producto directo de los M_{i}.

7.2 Def: Sean M_{i}, i ∈ I una familia de R-módulos y sea M = Π_{i∈I}M_{i} el producto directo de los M_{i}. Se define la proyección “canónica” de M en M_{k}, con k ∈ I, como:

\begin{aligned}π_{k} : & M & → & M_{k} \\ & (m_{i})_{i∈I} & ↦ & m_{k}. \end{aligned}

Es fácil ver que para cada k ∈ I, π_{k} es un epimorfismo de R-módulo.

7.3 Propiedad fundamental del producto directo de módulos. Sean M_{i}, i ∈ I una familia de R-módulos y sea M = Π_{i∈I}M_{i} el producto directo de los M_{i}. Entonces para cada R-módulo M′ y cada familia de homomorfismos de módulos f_{i} : M′ → M_{i} existe un único homomorfismo de módulos f : M′ → M tal que para cada k ∈ I el siguiente diagrama es conmutativo:

Es más, Si M̂ es un R-módulo y ρ_{i} : M̂ → M_{i} son una familia de epimorfismos de anillos tales que para cada anillo M′ y cada familia de homomorfismos de anillos f_{i} : M′ → M_{i} existe un único homomorfismo de anillos f : M′ → M̂ tal que para cada k ∈ I el diagrama anterior es conmutativo, entonces M̂ es isomorfo a Π_{i∈I}M_{i}.

8. SUMA DIRECTA DE MÓDULOS

8.1 proposición Sea R un anillo unitario, I un conjunto de indices y M_{i}, i ∈ I una familia de R-módulos. Entonces

⨁_{i∈I} M_{i} = {(m_{i})_{i∈I} ∈ Π_{i∈I}M_{i} | m_{i} = 0 para casi todo i}

⋆ Con suma: (m_{i})_{i∈I} + (m′_{i})_{i∈I} = (m_{i} + m′_{i})_{i∈I}

⋆ y producto dado por componentes, r(m_{i})_{i∈I} = (rm_{i})_{i∈I}

tiene estructura de R-módulo, llamado la suma directa externa de los M_{i}.

Nota: Si #I < ∞ se tiene que la suma directa y el producto directo son isomorfos.

8.2 Def: Sean {M_{i}}_{i∈I} una familia de R-módulos y sea ⨁_{i∈I} M_{i} la suma directa de éstos. Entonces para cada k ∈ I se define la inclusión canónica de M_{k} en ⨁_{i∈I} M_{i} y se representa por

ρ_{k} : M_{k} → ⨁_{i∈I} M_{i}

como ρ_{k}(m_{k}) = (x_{i})_{i∈I} en donde x_{i} = 0 si i ≠ k y x_{k} = m_{k}. Es decir, el vector de Π_{i∈I}M_{i} que tiene todas las coordenadas cero, salvo la k que vale m_{k}. Es claro que ρ_{k} es un monomorfismo de anillos.

8.3 Propiedad fundamental de la suma directa de R-módulos. Sean {M_{i}}_{i∈I} una familia de R-módulos y sea ⨁_{i∈I} M_{i} la suma directa de éstos.

Entonces para cada R-módulo M′ y cada familia de homomorfismos de R-módulos f_{i} : M_{i} → M′ existe un único homomorfismo de R-módulos f : ⨁_{i∈I} M_{i} → M′ tal que para cada k ∈ I el siguiente diagrama es conmutativo:

Es más, Si M̂ es un R-módulo y g_{i} : M_{i} → M̂ son una familia de monomorfismos de R-módulos tales que para cada R-módulo M′ y cada familia de homomorfismos de R-módulos f_{i} : M_{i} → M′ existe un único homomorfismo de R-módulos f : M̂ → M′ tal que para cada k ∈ I el diagrama anterior es conmutativo, entonces M̂ es isomorfo a ⨁_{i∈I} M_{i}.

Nota: La suma directa de módulos es la noción “dual” del producto directo de módulos.

9. OPERACIONES CON SUBMÓDULOS

En esta sección va a quedar patente la gran diferencia entre los espacios vectoriales y los módulos. Aquí estudiaremos dependencia e independencia, bases (caso de que existan) y submódulos generados.

9.1 Proposición Sea R un anillo unitario, M un R-módulo por la izquierda y {N_{i}}_{i∈I} una familia de R-submódulos de M. Entonces:

(i) Existe el mayor submódulo de M contenido en todos los N_{i}, es más, este submódulo es ⋂_{i∈I} N_{i}.

(ii) Existe el menor submódulo de M que contiene a todos los N_{i}, es más, este submódulo es

∑_{i∈I} N_{i} := {∑_{i∈I} n_{i} con n_{i} ∈ N_{i} casi todos nulos}.

9.2 Def: Al submódulo dado en (ii) se le denomina la suma (interna) de los submódulos {N_{i}} y se le representa por ∑_{i} N_{i}. Si para k ∈ I se verifica que N_{k} ∩ ∑_{i≠k} N_{i} = {0}, diremos que la suma de los N_{i} es directa. En este caso, la suma interna de los N_{i} es isomorfa a la suma directa externa de los módulos {N_{i}}.

Nota: La unión de submódulos no tiene que ser un submódulo.

9.3 Def: Sea R un anillo unitario y M un R-módulo por la izquierda sobre R. Diremos que un submódulo N de M es un sumando directo de M si M = N ⊕ N′ para N′ un submódulo de M.

9.4 Def: Sea R un anillo unitario y sean M, M′ dos R-módulos por la izquierda sobre R. Un monomorfismo de módulos f : M → M′ se dirá que es directo si Im(f) es sumando directo de M′. Un epimorfismo f : M → M′ se dirá que es directo si Ker(f) es un sumando directo de M.

9.5 Def: Sea R un anillo unitario, M un R-módulo por la izquierda y X ⊂ M. Se define una combinación lineal de elementos de X como cualquier elemento m ∈ M tal que existan r_{i} ∈ R y x_{i} ∈ X con m = ∑_{i=1}^{n} r_{i}x_{i}.

Nota: En algunos casos entenderemos por combinación lineal, no al elemento m en si, sino a la expresión formal ∑_{i=1}^{n} r_{i}x_{i}.

9.6 Proposición Sea R un anillo unitario, M un R-módulo por la izquierda y U ⊂ M. Entonces existe el menor submódulo de M que contiene a U. A este submódulo se le denomina el submódulo generado por U y se le representa por < U >. Es más,

< U >= { ∑_{finitas} x_{i}u_{i} u_{i} ∈ U, x_{i} ∈ R}

Es decir, < U > es el subconjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de U.

9.7 Def: Sea R un anillo unitario y M un R-módulo por la izquierda. Diremos que un subconjunto U de M es un sistema de generadores de M si el submódulo generado por U es M, es decir, < U >= M. Es claro que M siempre es un sistema de generadores de M. Diremos que M es finitamente generado si posee un sistema de generadores finito.

9.8 Def: Sea R un anillo unitario y M un R-módulo por la izquierda. Diremos que un subconjunto U de M es un conjunto independiente si toda combinación lineal de elementos de U igual a cero forzosamente tiene todos sus escalares cero.

Nota: En espacios vectoriales todo vector no nulo forma un conjunto de vectores independientes. En el caso de módulos este resultado no es cierto. Es más, en ℤ_{n} como ℤ-módulo no hay conjuntos de vectores independientes.

9.9 Def: Sea R un anillo unitario y M un R-módulo por la izquierda de R. Diremos que B ⊂ M es una base de M si es un conjunto independiente y un sistema de generadores de M.

Nota: No todo R-módulo posee base. Por ejemplo ℤ_{n} como ℤ-módulo no posee base.

9.10 Def: Sea R un anillo unitario y M un R-módulo por la izquierda de R. Diremos que M es libre, si posee una base.

Nota: en el caso de espacios vectoriales, el cardinal de una base es un invariante, llamado la dimensión, en módulos esto no sucede.

9.11 Proposición Sea R un anillo unitario, M un R-módulo por la izquierda y {m_{i}}_{i∈I} un subconjunto de M. Entonces la aplicación

f : ⊕_{i∈I}R → M, definido por ( ∑_{i∈I}^{finita} x_{i})f = ∑_{i∈I}^{finita} x_{i}m_{i}

es un homomorfismo de R-módulos. Es más,

(i) f es un monomorfismo si y sólo si {m_{i}}_{i∈I} es una familia de vectores independientes.

(ii) f es sobreyectiva si y sólo si esta familia es un sistema de generadores de M.

9.12 Corolario Sea R un anillo unitario y M un R-módulo por la izquierda libre. Entonces, si B = {b_{i}}_{i∈I} es una base para M, M ≅ π_{i∈I}R_{i} con R_{i} ≅ R para todo i.

9.13 Teorema Sea M un R módulo libre con base {b_{i}}_{i∈I}. Entonces para cada R-módulo N y cada subconjunto {n_{i}}_{i∈I} existe un único homomorfismo de R-módulos f : M → N tal que (b_{i})f = n_{i}.

9.14 Corolario I Sea R un anillo unitario. Entonces todo R-modulo por la izquierda es cociente de un R-módulo libre. Es más, si M es finitamente generado, M es cociente de un módulo libre con base finita.

9.15 Corolario II Sea R un anillo unitario y M un R-módulo por la izquierda Libre. Entonces, para cada par de R-módulos N, N′ y homomorfismos de R-módulos f : M → N y g : N′ → N con g sobreyectivo, existe un homomorfismo de R-módulos (no necesariamente único) h : M → N′ que hace conmutativo el diagrama, hg = f.

10. SUCESIONES DE MÓDULOS

10.1 Def: Sea R un anillo unitario. Se define una sucesión de R módulos como una familia {M_{i}}_{i∈ℤ} de R módulos junto con una familia f_{i} : M_{i} → M_{i+1} de homomorfismos de R-módulos tales que para cada i ∈ ℤ, f_{i}f_{i+1} = 0. Es decir,

⋯ ⟶^{f_{i−2}}M_{i−1}⟶^{f_{i−1}}M_{i}⟶^{f_{i}}M_{i+1}⟶^{f_{i+1}} ⋯

en donde Im(f_{i}) ⊂ Ker(f_{i+1}). En caso de que Im(f_{i}) = Ker(f_{i+1}), diremos que la sucesión {M_{i}}_{i∈ℤ} es exacta. Una sucesión exacta de la forma

0 ⟶ N⟶^{f}M⟶^{g}P ⟶ 0

se dirá exacta corta. Diremos que una sucesión exacta corta de R módulos es escindida si Ker(g) = Im(f) es un sumando directo de M.

Nota: Sea M es un R-módulo y N es un submódulo suyo, la sucesión

0 ⟶ N⟶^{f}M⟶^{g}M/N ⟶ 0

es exacta corta. Si M y M′ son dos R-módulos, la sucesión

0 ⟶ M⟶^{f}M ⊕ M′⟶^{g}M′ ⟶ 0

en donde f(m) = (m, 0) y g(m + m′) = m′ es una sucesión exacta corta escindida.

10.2 Proposición Sea R un anillo unitario y 0 ⟶ N⟶^{f}M⟶^{g}P ⟶ 0 una sucesión exacta corta de R módulos. Las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) Existe un homomorfismo de R-módulos g′ : P → M tal que g′g = Id_{P}.

(ii) La sucesión es escindida.

(ii) Existe un homomorfismo de R-módulos f′ : M → N tal que ff′ = Id_{N}.

Bibliografía

[1] H. Cartan y S. Eilenberg “ Homological algebra”, Princeton U. Press, 1956.

[2] N. Jacobson “Basic algebra I y II”, W. H. Freeman and company, 1980.

[3] D.G. Northcott “An introduction to homological algebra”, Cambridge University Press, 1972.

[5] C.A. Weibel “History of homological algebra”, dirección de internet: http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0245/

[6] K.A. Zhevlakov, A.M. Slin’ko, I.P. Shestakov & A.I. Shirshov “Rings that are nearly associative”. Academic Press, New York, 1982.