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%%% Cuando a consinnombre se le da la valor 1, entonces el nombre del
%%% resultado aparece
%%% al lado del mismo, si se le da otro valor numerico, commo 0, entonces
%%% el nombre
%%% desparece

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\def\headimpar{\hskip 4truecm{\rm \'{A}lgebra Homol\'{o}gica (2005-2006)
\hfill \folio}}
\def\headpar{\folio \hskip 7truecm{\rm  Tema \number\Temacount }\hfill}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Bibliograf\'{\i}a%%
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\def\J{2}
\def\Nort{3}
\def\Sch{4}
\def\Wei{5}
\def\ZSSS{6}




\Tema{\Temauno}{\bf  Cap\'{\i}tulo I: M\'{O}DULOS}

$\star$ ?`donde aparece el \'{a}lgebra homol\'{o}gica? [\Wei]

 $\star$ Vamos a seguir  [\Nort], aunque con definiciones de Jacobson [\J].

\parrafo{Nociones previas}
\re{\defannillo}{Def:} Sea $R$ un conjunto no vac\'{\i}o con dos operaciones ``$+$" y ``$\ \  $" a la primera operaci\'{o}n se la suele denominar suma y a la
segunda producto. Diremos que $(R,+,\ )$ es un anillo si:

-- $(R,+)$ es un grupo abeliano.

-- La segunda operaci\'{o}n es asociativa.

-- Se verifican las propiedades distributivas:  para todo $x,y,z\in R$ $$(x+y)z=xz+yz\qquad z(x+y)=zx+zy.$$


$\star$ Diremos que un anillo $(R,+,\ )$ es unitario si la segunda operaci\'{o}n posee elemento unidad. A la unidad se la denotar\'{a} normalmente por $1$.

$\star$ Diremos que un anillo $(R,+,\ )$ es conmutativo si la segunda operaci\'{o}n es conmutativa.

$\star$ Diremos que un elemento no nulo $x\in R$ es un divisor absoluto de cero por la izquierda (por la derecha) si existe $0\ne y\in R$ tal que
$xy=0$ ( $yx=0$). Diremos que $0\ne x\in R$ es un divisor absoluto de cero si es divisor absoluto de cero por la izquierda o por la derecha. Diremos
que un anillo $(R,+,\ )$ es un dominio de integridad si es un anillo conmutativo, unitario sin divisores de cero.



$\star$ Diremos que un anillo $(R,+,\ )$ es de divisi\'{o}n si todo elemento no nulo de $R$ tiene inverso.

$\star$ Diremos que un anillo $(R,+,\ )$ es un cuerpo si es un anillo de divisi\'{o}n conmutativo.

{\bf Nota:} Al neutro de la suma se le denotar\'{a} por $0$. Al neutro del producto se le denota por $1$. La unidad, caso de existir es \'{u}nica y si $a\in
R$ es un elemento inversible, el inverso de $a$ es \'{u}nico (al que denotaremos por $a^{-1}$).
\endre


\re{\unit}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo. Entonces ${\bbb Z}\times R$ con suma  y producto:
 $$\eqalign{(\lambda,r)+(\mu,r'):&=(\lambda+\mu, r+r')\cr (\lambda,r).(\mu,r'):&=(\lambda\mu, \lambda r'+\mu r+ r.r') }$$
 Tiene estructura de anillo unitario. Es m\'{a}s. la aplicaci\'{o}n $\psi:R\to {\bbb Z}\times R$ dada por $\psi(r)=(0,r)$ es un monomorfismo de anillos.\endre

\re{\deunit}{Def:} Sea $R$ un anillo. Se define la unitizaci\'{o}n de $R$, y se representa por $R^1$ como $R$, si \'{e}ste ya es un anillo unitario o ${\bbb
Z}\times R$ caso de que $R$ no sea unitario.\endre

\re{\ejemploanillo}{Ejemplos:}

I-. $\bbb Z, Q, R$ o $\bbb C$ son anillos unitarios. $2{\bbb Z}:=\{2x\ \vert\ x\in {\bbb Z}\}$ es un anillo no unitario.



II-.  Los anillos m\'{o}dulo n. Sea $n$ un n\'{u}mero natural y consideremos ${\bbb Z}_n:=\{0,1,2,\dots, n-1\}$. Observar que ${\bbb Z}_n$ tiene $n$
elementos. Dados $a,b\in {\bbb Z}_n$ definimos:

-- La suma de $a$ y $b$ como el resto de dividir $a+b$ por $n$.

-- El producto de  $a$ y $b$ como el resto de dividir $ab$ por $n$.

Entonces $({\bbb Z}_n, +, \ )$ tiene estructura de anillo conmutativo y unitario. Es m\'{a}s,  si $n=p$ es un n\'{u}mero primo, $({\bbb Z}_p, + ,\ )$ es un
cuerpo (con $p$ elementos).


{\bf Nota:} Caso de que nuestro anillo $R$ tenga caracter\'{\i}stica $n$, podemos hacer la construcci\'{o}n  anterior sobre ${\bbb Z}_n\times R$, lo que nos
dar\'{a} una envolvente unitaria de $R$ conservando la caracter\'{\i}stica. \endre



\parrafo{Construcci\'{o}n de nuevos anillos.}

 \re{\deprodirect}{proposici\'{o}n} Sea $I$ un conjunto de indices y $R_i$, $i\in I$ una familia de anillos. Entonces $\Pi_{i\in I} R_i$ con su estructura
habitual de grupo abeliano:
$$\Pi_{i\in I} R_i:=\{(r_i)_{i\in I}\quad \hbox{con}\quad r_i\in R_i,\ \ i\in I\}$$
$\star$ Con suma: $(r_i)_{i\in I}+(r'_i)_{i\in I}=(r_i+r'_i)_{i\in I}$

\noindent$\star$ y producto dado  por componentes, $(r_i)_{i\in I}.(r'_i)_{i\in I}=(r_i.r'_i)_{i\in I}$

\noindent  tiene estructura de anillo, llamado el {\bf producto directo} de los $R_i$.\endre

\re{\desumdirect}{proposici\'{o}n} Sea $I$ un conjunto de indices y $R_i$, $i\in I$ una familia de anillos. Entonces $\bigoplus_{i\in I} R_i$, con su
estructura habitual de grupo abeliano:
$$\bigoplus_{i\in I} R_i=\{(r_i)_{i\in I}\in \Pi_{i\in I} R_i\ \vert \ r_i=0 \quad \hbox{para casi todo $i$}\}$$

\noindent $\star$ Con suma: $(r_i)_{i\in I}+(r'_i)_{i\in I}=(r_i+r'_i)_{i\in I}$

\noindent $\star$ y producto dado  por componentes, $(r_i)_{i\in I}.(r'_i)_{i\in I}=(r_i.r'_i)_{i\in I}$

\noindent  tiene estructura de anillo, llamado la {\bf suma directa externa} de los $R_i$.\endre

\re{\dematrices}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo y $n\in {\bbb N}$. Entonces ${\cal M}_n(R)$ con su suma y producto habitual tiene estructura de
anillo. Es m\'{a}s,

\item{--} ${\cal M}_n(R)$ es conmutativo si y s\'{o}lo si $R$ es conmutativo y $n=1$.
\item{--} ${\cal M}_n(R)$ es un anillo de divisi\'{o}n si y s\'{o}lo si $R$ es un anillo de divisi\'{o}n  y $n=1$.
\item{--} ${\cal M}_n(R)$ es un cuerpo si y s\'{o}lo si $R$ es un cuerpo  y $n=1$.
\endre


\re{\anilloseries}{Def:} Sea $R$ un anillo. Se define el anillo de las series formales sobre $R$ y se representa por $R[[X]]$ como:
$$\eqalign{R[[X]]:=\{f:{\bbb N}\to R \ \vert\  &\hbox{con}\ 0\in {\bbb N}\}\quad\hbox{con operaciones:}\cr \ & \cr (n)(f+g):&=(n)f+(n)g\cr (n)(f.g):&
=\sum_{k=0}^n (k)f\ (n-k)g }$$

{\bf Nota:} Un  elemento $f$ de $R[[X]]$ se denotan por $p(X)=\sum_{n=0}^\infty r_n X^n$ en donde $r_n$ es $(n)f$ y la suma y el producto son los
usuales.

\re{\anillopol}{Def:} Sea $R$ un anillo. Se define el anillo de polinomios sobre $R$ y se representa por $R[X]$ como:
$$\eqalign{R[X]:=\{f:{\bbb N}\to R \ \vert\  & (n)f=0 \hbox{ para casi todo $n$, con}\ 0\in {\bbb N}\}\cr \ & \cr (n)(f+g):&=(n)f+(n)g\cr (n)(f.g):&=
\sum_{k=0}^n (k)f\ (n-k)g }$$

{\bf Nota:} Un  elemento $f$ de $R[X]$ se denotan por $p(X)=\sum_{i=0}^n r_i X^n$ en donde $r_i$ es $(i)f$ y la suma y el producto son los usuales.


\re{\deopues}{Def:} Dado un anillo $R$, se define el opuesto de $R$ y se representa por $R^{op}$ como un nuevo anillo en donde el grupo abeliano
vuelve a ser $(R,+)$ y el producto se define por $$x.y:=yx.$$




\parrafo{La noci\'{o}n de m\'{o}dulo.}

\re{\deesp}{Def:} Sea $R$ un anillo y $M$ un conjunto no vac\'{\i}o con dos operaciones, una interna $+:M\times M\to M$ y otra externa $R\times M\to M$.
Se dir\'{a} que $(M,+,\ )$ tiene estructura de $R$--m\'{o}dulo por la izquierda si verifica:

\noindent $\star$ La operaci\'{o}n interna (tambi\'{e}n llamada suma) tiene estructura de grupo abeliano, es decir,

\itemitem{(1.1)} Propiedad asociativa: $(m+n)+u=m+(n+u)\quad \forall\  m,n,u\in M$.
\itemitem{(1.2)} Existencia de elemento neutro: $\exists \ \overline 0\in M$ tal que $\forall\  m\in M$,\quad  $\overline 0+m=m+\overline 0=m$.
\itemitem{(1.3)} Existencia de elemento opuesto: $\forall\ m\in M,\ \exists \  -m\in M$ tal que $(-m)+m=m+(-m)=\overline 0$.
\itemitem{(1.4)} Propiedad conmutativa: $m+n=n+m\quad \forall\  m,n \in M$.

\noindent $\star$ La operaci\'{o}n externa verifica,

\itemitem{(2.1)} $x(m+n)=x m+x n\quad \forall\  m,n\in M,\ x\in R$.
\itemitem{(2.2)} $(x+y)m=x m+y m\quad \forall\  m\in V,\ x,y\in R$.
\itemitem{(2.3)} $1 m=  m\quad \forall\  v\in M $.
\itemitem{(2.4)} $x(y m)=  (x y)m\quad \forall\ m\in M,\ x,y\in R$.


\re{\deesp}{Def:} Sea $R$ un anillo y $M$ un conjunto no vac\'{\i}o con dos operaciones, una interna $+:M\times M\to M$ y otra externa $M\times R\to M$.
Se dir\'{a} que $(M,+,\ )$ tiene estructura de $R$--m\'{o}dulo por la derecha si verifica:

\noindent $\star$ La operaci\'{o}n interna tiene estructura de grupo abeliano,

 \noindent $\star$ La operaci\'{o}n externa verifica,

\itemitem{(2.1)} $(m+n)x=mx+nx\quad \forall\  m,n\in M,\ x\in R$.
\itemitem{(2.2)} $m(x+y)=mx +my \quad \forall\  m\in V,\ x,y\in R$.
\itemitem{(2.3)} $ m1=  m\quad \forall\  v\in M $.
\itemitem{(2.4)} $(mx)y=m(xy)\quad \forall\ m\in M,\ x,y\in R$.\endre

\re{\ejem}{Ejemplos} 1.- Es claro que todo espacio vectorial por la izquierda ( por la derecha) es un m\'{o}dulo por la izquierda (por la derecha).

2.- Sea $G$ un grupo abeliano. Si definimos en $G$ la operaci\'{o}n externa ${\Bbb Z}\times G\to G$ definida por $$ng=\cases{\ g+g+\dots +g \quad \hbox{
si } n>0\cr \ 0\hskip 2.9truecm  \hbox{ si } n=0 \cr -g-g-\dots-g \quad \hbox{si } n<0}$$ tenemos que $G$ es un $\Bbb Z$--m\'{o}dulo.\endre



{\bf Nota:} Aunque todo espacio vectorial tenga estructura de m\'{o}dulo, no podemos esperar que estos \'{u}ltimos tengan
propiedades parecidas a los espacios vectoriales. Por ejemplo, no todo m\'{o}dulo posee base.

\re{\intercam}{Proposici\'{o}n} Si $M$ es un $R$--m\'{o}dulo por la izquierda y definimos la operaci\'{o}n externa $M\times R^{op}\to M$ definida por $m.x:=xm$.
Tenemos entonces que $M$ tiene estructura de $R^{op}$-m\'{o}dulo por la derecha. De forma sim\'{e}trica todo $R$-m\'{o}dulo por la derecha tiene estructura de
$R^{op}$--m\'{o}dulo por la izquierda.\endre

{\bf Nota:} Si $R$ es un anillo conmutativo ($R\cong R^{op}$), todo $R$-modulo por la izquierda (por la derecha) tiene estructura natural de
$R$-modulo por la derecha (por la izquierda).

\re{\bimo}{Def:} Sean $R$ y $S$ dos anillos. Diremos que $M$ es un $R,S$-bim\'{o}dulo si $M$ tiene estructura de $R$-m\'{o}dulo por la izquierda, $M$ tiene
estructura de $S$-m\'{o}dulo por la derecha y se verifica la propiedad

\itemitem{(3.1)} $(rm)s=r(ms)$ para todo $r\in R$, $m\in M$ y $s\in S$. \endre

{\bf Nota:} Si $M$ es un $R$-m\'{o}dulo por la izquierda y $S$ es el centro de $R$, $M$ tiene estructura de $R,S$-bim\'{o}dulo. Cuando estudiemos los
homomorfismos de m\'{o}dulos veremos que hay otra estructura natural de bim\'{o}dulo asociada a un m\'{o}dulo.

\parrafo{Homomorfismos de m\'{o}dulos}

\re{\defapliLin}{Def:} Sean $M$ y $N$ dos $R$-m\'{o}dulos   y sea $f:M\to N$ una aplicaci\'{o}n. Se dice que $f$ es un {\bf homomorfismo de m\'{o}dulos} si
verifica:
\itemitem{(i)} $(m_1+m_2)f=(m_1)f+(m_2)f$ para todo $m_1,m_2\in M$.
\itemitem{(ii)} $(x m)f=x (m)f$ para todo $x\in R$ y $m\in M$.

{\bf Nota:} Los homomorfismos de $R$-m\'{o}dulos por la izquierda (por la derecha) los escribiremos por la derecha (por la izquierda).


 \re{\defaplilin}{Def:} Sean $M$ y $N$ dos
$R$-m\'{o}dulos y $f:M\to N$ un homomorfismo de $R$-m\'{o}dulos. Entonces:
\item{$\star$} Si $f$ es inyectivo se dice que $f$ es un {\bf monomorfismo} de $R$-m\'{o}dulos.
\item{$\star$} Si $f$ es sobreyectiva se dice que $f$ es un {\bf epimorfismo} dde $R$-m\'{o}dulos.
\item{$\star$} Si $f$ es biyectiva se dice que $f$ es un {\bf isomorfismo} de $R$-m\'{o}dulos.
\item{$\star$} A un homomorfismo de $R$-m\'{o}dulos  $g:M\to M$ se le denomina un
{\bf endomorfismo} (es decir, si tiene el mismo dominio que co-dominio).
\item{$\star$} Un endomorfismo biyectivo se le denomina un {\bf automorfismo}.\endre
\re{\deiso}{} Diremos que dos  $R$-m\'{o}dulos $M$ y $N$  son {\bf isomorfos} si existe un isomorfismo de $R$-m\'{o}dulos $f:M\to N$.\endre


 Denotaremos  por $Hom_R(M,N)$ al conjunto de todos los homomorfismos de $R$-m\'{o}dulos de $M$ en $N$ y por $End_R(M)$ al conjunto de
 todos los endomorfismos de $M$ como $R$-m\'{o}dulo.

 $\star$ Podemos definir una suma
en $Hom_R(M,N)$ que dota a este conjunto de estructura de grupo abeliano:
 Si $f,g\in Hom_R(M,N)$ definimos $$(m)(f+g) :=(m)f+(m)g.$$

 $\star$ Podemos definir un producto en $End_R(M)$, la composici\'{o}n, que dota a los endomorfismos de estructura de anillo unitario.

{\bf Nota 1:} $Hom_R(M,N)$ no tiene que tener estructura de $R$-m\'{o}dulo.

{\bf Nota 2:} Si $M$ es un $R$-m\'{o}dulo por la izquierda, $M$ tiene estructura natural de $End_R(M)$-m\'{o}dulo por la derecha definiendo el producto
$mf:=(m)f$. Es m\'{a}s, con estas estructuras $M$ es un $R,End_R(M)$-bim\'{o}dulo.


\parrafo{Subm\'{o}dulos}

{\bf Nota:} Asociada a cada una de las estructuras que vamos a ir introduciendo aparecer\'{a} un cierto homomorfismo de m\'{o}dulos asociado (o una cierta
propiedad fundamental)



\re{\sub}{Def:} Sea $R$ un anillo unitario y $M$ un $R$-m\'{o}dulo por la izquierda. Se dice que $N\subset M$ es un $R$-subm\'{o}dulo de $M$, y se representa
por $N\le M$, si tanto la suma como la multiplicaci\'{o}n de $M$ son cerradas en $N$ y $(N,+,\ )$ tiene estructura de $R$-m\'{o}dulo.

{\bf Nota:} que las operaciones sean cerradas en $N$ significa: $$\eqalign{n_1+n_2\in N\quad &\forall\  n_1,n_2\in N. \cr xn\in N\quad &\forall\ x\in
R,n\in N.}$$


\re{\lemsubm}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo unitario y $M$ un $R$-m\'{o}dulo por la izquierda. Entonces un subconjunto $N$ de $M$ es un $R$-subm\'{o}dulo si
y s\'{o}lo si las operaciones son cerradas en $N$.\endre


\re{\nucleoimg}{Lema} Sean $M$ y $N$ dos $R$-m\'{o}dulos y $f:M\to N$ un homomorfismo de $R$-m\'{o}dulos. Entonces $$\eqalign{Im(f):=&\{(m)f\quad m\in M\}\le
N\cr Ker(f):=&\{m\in M\quad (m)f=0\}\le M}$$


\re{\submap}{Lema} Sea $N$ un subm\'{o}dulo de un $R$-m\'{o}dulo $M$. Entonces la aplicaci\'{o}n inclusi\'{o}n de $N$ en $M$ es un monomorfismo de m\'{o}dulos, llamado
el monomorfismo inclusi\'{o}n. Es m\'{a}s, si $f:N\to M$ es un monomorfismo de m\'{o}dulos, $N\cong Im(f)$ es un subm\'{o}dulo de $M$.

{\bf Nota:} Todo subm\'{o}dulo queda determinado a partir de un monomorfismo de m\'{o}dulos y viceversa.


\parrafo{m\'{o}dulo cociente}

La estructura cociente va a relacionar las relaciones de equivalencia con la estructura de m\'{o}dulo. As\'{\i}, si $R$ es un anillo unitario y $M$ es un
$R$-m\'{o}dulo por la izquierda, vamos a ver que relaciones de equivalencia en $M$ son compatibles con la suma y el producto por escalares de $M$ (es
decir con la estructura de $R$-m\'{o}dulo). Es decir, si $\cong$ es una relaci\'{o}n de equivalencia en $M$, denotamos la clase de equivalencia de un $m\in
M$ como $\bar m$, ?`cuando $\bar m+\bar m':=\overline{m+m'}$ y $x\bar m:=\overline{xm}$ est\'{a}n bien definidas y dan estructura de m\'{o}dulo al conjunto
cociente $M/\cong$ ?

Es f\'{a}cil ver que $\bar 0$ es un subm\'{o}dulo de $M$ y que la relaci\'{o}n de equivalencia es exactamente $m\cong m'$ si y s\'{o}lo si $m-m'\in \overline 0$. Por
lo que todas estas relaciones de equivalencia quedan determinadas por subm\'{o}dulos de $M$. Es m\'{a}s, se verifica el rec\'{\i}proco:


\re{\cocmod}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo unitario, $M$ un $R$-m\'{o}dulo por la izquierda y $N$ un subm\'{o}dulo de $M$. Entonces:

\item{(i)} La relaci\'{o}n $m\cong m'$ si y s\'{o}lo si $m-m'\in N$ es una relaci\'{o}n de equivalencia en $M$.
\item{(ii)} En el conjunto cociente $M/\cong$, las operaciones:
$$\eqalign{\bar m+\bar m'&:=\overline{m+m'}\cr r\bar m&:=\overline {rm}}$$ definen una estructura de $R$-m\'{o}dulo.\endre

\re{\defcoc}{Def.} El m\'{o}dulo  definido anteriormente se denomina el m\'{o}dulo cociente de $M$ sobre $N$ y se representa por $M/N$.\endre


\re{\proy}{Def:} Sea $R$ un anillo unitario, $M$ un $R$-m\'{o}dulo por la izquierda y $N$ un subm\'{o}dulo suyo. Entonces la aplicaci\'{o}n $\pi: M\to M/N$
definida por $(m)\pi:=\bar m$ es un epimorfismo de m\'{o}dulos.\endre


\re{\profun}{Teorema}   Sea $R$ un anillo unitario, $M$ un $R$-m\'{o}dulo por la izquierda y $N$ un subm\'{o}dulo suyo. Entonces, para cada modulo $M'$ y
cada morfismo de m\'{o}dulo $f:M\to M'$ tal que $(N)f=0$ ($N\subset \Ker(f)$) existe un homomorfismo de m\'{o}dulos $\bar f:M/N\to M'$ tal que $\pi\bar f=f$.
Es decir, el siguiente diagrama es conmutativo.

\centerline{\epsfxsize=4cm \epsfysize=3cm \epsfbox{Profuncoc.png}}

\re{\deco}{Def:} Sea $R$ un anillo unitario,  $M,M'$ dos $R$-m\'{o}dulos y $f:M\to M'$ un homomorfismo de $R$-m\'{o}dulos. Se define la coimagen de $f$ y se
representa por $CoIm(f):=M/\Ker(f)$, se define el con\'{u}cleo de $f$ y se representa por $CoKer(f):=M'/\Im(f)$.


\re{\teoiso}{Teorema} Sea $R$ un anillo unitario,  $M,M'$ dos $R$-m\'{o}dulos y $f:M\to M'$ un homomorfismo de $R$-m\'{o}dulos. Entonces:

\item{(i)} $f$ es inyectivo si y s\'{o}lo si  $\Ker(f)=0$.

 \item{(ii)} $f$ es sobreyectivo si y s\'{o}lo si $CoKer(f)=0$.\endre

\re{\teoisos}{Teorema(1$^o$ Teorema de Isomorf\'{\i}a)} Sea $R$ un anillo unitario,  $M,M'$ dos $R$-m\'{o}dulos y $f:M\to M'$ un homomorfismo de $R$-m\'{o}dulos.
Entonces $CoIm(f)\cong Im(f)$.\endre

\parrafo{Producto directo de m\'{o}dulos}

\re{\deprodirect}{proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo unitario, $I$ un conjunto de indices y $M_i$, $i\in I$ una familia de $R$-m\'{o}dulos. Entonces
$$\Pi_{i\in I} M_i:=\{(m_i)_{i\in I}\quad \hbox{con}\quad m_i\in M_i,\ \ i\in I\}$$
$\star$ Con suma: $(m_i)_{i\in I}+(m'_i)_{i\in I}=(m_i+m'_i)_{i\in I}$

\noindent$\star$ y producto dado  por componentes, $r(m_i)_{i\in I}=(rm_i)_{i\in I}$

\noindent  tiene estructura de $R$-m\'{o}dulo, llamado el {\bf producto directo} de los $M_i$.\endre

\re{\defproy}{Def:} Sean $M_i,\ {i\in I}$ una familia de $R$-m\'{o}dulos y sea $M=\Pi_{i\in I} M_i$ el producto directo de los $M_i$. Se define la {\bf
proyecci\'{o}n ``can\'{o}nica"} de $M$ en $M_k$, con $k\in I$, como: $$\matrix{\pi_k: &M&\to &M_k\cr &(m_i)_{i\in I}&\mapsto &m_k.}$$ Es f\'{a}cil ver que para
cada $k\in I$, $\pi_k$ es un epimorfismo de $R$-m\'{o}dulo.

\re{\propfund}{Propiedad fundamental del producto directo de m\'{o}dulos.} Sean $M_i,\ {i\in I}$ una familia de $R$-m\'{o}dulos y sea $M=\Pi_{i\in I} M_i$ el
producto directo de los  $M_i$. Entonces para cada $R$-m\'{o}dulo $M'$ y cada familia de homomorfismos de m\'{o}dulos $f_i:M'\to M_i$ existe un \'{u}nico
homomorfismo de m\'{o}dulos  $f:M'\to M$ tal que para cada $k\in I$ el siguiente diagrama es conmutativo:

\centerline{\epsfxsize=4cm \epsfysize=3cm \epsfbox{ProdFundProd.png}}

Es m\'{a}s, Si $\hat M$ es un $R$-m\'{o}dulo y $\rho_i:\hat M\to M_i$ son una familia de epimorfismos de anillos tales que para cada anillo $M'$ y cada
familia de homomorfismos de anillos $f_i:M'\to M_i$ existe un \'{u}nico homomorfismo de anillos $f:M'\to \hat M$ tal que para cada $k\in I$ el diagrama
anterior es conmutativo, entonces $\hat M$ es isomorfo a $\Pi_{i\in I} M_i$.

\parrafo{Suma directa de m\'{o}dulos}

\re{\desumdirect}{proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo unitario, $I$ un conjunto de indices y $M_i$, $i\in I$ una familia de $R$-m\'{o}dulos. Entonces
$$\bigoplus_{i\in I} M_i=\{(m_i)_{i\in I}\in \Pi_{i\in I} M_i\ \vert \ m_i=0 \quad \hbox{para casi todo $i$}\}$$

\noindent $\star$ Con suma: $(m_i)_{i\in I}+(m'_i)_{i\in I}=(m_i+m'_i)_{i\in I}$

\noindent $\star$ y producto dado  por componentes, $r(m_i)_{i\in I}=(rm_i)_{i\in I}$

\noindent  tiene estructura de $R$-m\'{o}dulo, llamado la {\bf suma directa externa} de los $M_i$.\endre


{\bf Nota:} Si $\# I<\infty$ se tiene que la suma directa   y el producto directo son isomorfos.


\re{\propfund}{Def:} Sean $\{M_i\}_{i\in I}$ una familia de $R$-m\'{o}dulos y sea  $\bigoplus _{i\in I} M_i$ la suma directa de \'{e}stos. Entonces para cada
$k\in I$ se define la {\bf inclusi\'{o}n can\'{o}nica} de $M_k$ en $\bigoplus _{i\in I} M_i$ y se representa por
$$\rho_k: M_k\to \bigoplus _{i\in I} M_i$$ como $\rho_k(m_k)=(x_i)_{i\in I}$ en donde $x_i=0$ si $i\ne k$ y $x_k=m_k$. Es decir, el vector de $\Pi _{i\in
I} M_i$ que tiene todas las coordenadas cero, salvo la $k$ que vale $m_k$. Es claro que $\rho_k$ es un monomorfismo de anillos.



\re{\propfund}{Propiedad fundamental de la suma directa  de $R$-m\'{o}dulos.} Sean $\{M_i\}_{i\in I}$ una familia de $R$-m\'{o}dulos y sea $\bigoplus _{i\in
I} M_i$ la suma directa de \'{e}stos. Entonces para cada $R$-m\'{o}dulo $M'$ y cada familia de homomorfismos de $R$-m\'{o}dulos $f_i: M_i\to M'$ existe un \'{u}nico
homomorfismo de $R$-m\'{o}dulos $f:\bigoplus _{i\in I} M_i\to M'$ tal que para cada $k\in I$ el siguiente diagrama es conmutativo:

  \centerline{\epsfxsize=4cm \epsfysize=3cm \epsfbox{ProdFundSum.png}}

Es m\'{a}s, Si $\hat M$ es un $R$-m\'{o}dulo y $g_i: M_i\to \hat M$ son una familia de monomorfismos de $R$-m\'{o}dulos tales que para cada $R$-m\'{o}dulo $M'$ y
cada familia de homomorfismos de $R$-m\'{o}dulos $f_i: M_i\to M'$ existe un \'{u}nico homomorfismo de $R$-m\'{o}dulos $f:\hat M\to M'$ tal que para cada $k\in I$
el diagrama anterior es conmutativo, entonces $\hat M$ es isomorfo a $\bigoplus_{i\in I} M_i$.

{\bf Nota:} La suma directa de m\'{o}dulos es la noci\'{o}n ``dual" del producto directo de m\'{o}dulos.
\parrafo{Operaciones con subm\'{o}dulos}

En esta secci\'{o}n va a quedar patente la gran diferencia entre los espacios vectoriales y los m\'{o}dulos. Aqu\'{\i} estudiaremos dependencia e independencia,
bases (caso de que existan) y subm\'{o}dulos generados.

 \re{\suinsub}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo unitario, $M$ un $R$-m\'{o}dulo por la izquierda y $\{N_i\}_{i\in I}$
una familia de $R$-subm\'{o}dulos de $M$. Entonces:

\item{(i)} Existe el mayor subm\'{o}dulo de $M$ contenido en todos los $N_i$, es m\'{a}s, este subm\'{o}dulo es $\bigcap _{i\in I} N_i$.
\item{(ii)} Existe el menor subm\'{o}dulo de $M$ que contiene a todos los $N_i$, es m\'{a}s, este subm\'{o}dulo es
$$\sum  _{i\in I} N_i:=\{\sum_{i\in I} n_i\quad \hbox{con } n_i\in N_i \quad \hbox{casi todos nulos}\}.$$


\re{\desuma}{Def:} Al subm\'{o}dulo dado en (ii) se le denomina la suma (interna) de los subm\'{o}dulos $\{N_i\}$ y se le representa por $\sum_i N_i$. Si
para $k\in I$ se verifica que $N_k\cap \sum_{i\ne k} N_i=\{0\}$, diremos que la suma de los $N_i$ es directa. En este caso, la  suma interna de los
$N_i$ es isomorfa a la suma directa externa de los m\'{o}dulos $\{N_i\}$.\endre

 {\bf Nota:} La uni\'{o}n de subm\'{o}dulos no tiene que ser un subm\'{o}dulo.

\re{\sumdirect}{Def:} Sea $R$ un anillo unitario y $M$ un $R$-m\'{o}dulo por la izquierda sobre $R$. Diremos que un subm\'{o}dulo $N$ de $M$ es un sumando
directo de $M$ si $M=N\oplus N'$ para $N'$ un subm\'{o}dulo de $M$.\endre

\re{\sumdirectI}{Def:} Sea $R$ un anillo unitario y sean $M, M'$ dos $R$-m\'{o}dulos por la izquierda sobre $R$. Un monomorfismo de m\'{o}dulos $f:M\to M'$
se dir\'{a} que es directo si $\Im(f)$ es sumando directo de $M'$. Un epimorfismo $f:M\to M'$ se dir\'{a} que es directo si $\Ker(f)$ es un sumando directo
de $M$.
\endre



 \re{\deind}{Def:} Sea $R$ un anillo unitario, $M$ un $R$-m\'{o}dulo por la izquierda y
$X\subset M$. Se define una combinaci\'{o}n lineal de elementos de $X$ como cualquier elemento $m\in M$ tal que existan $r_i\in R$ y $x_i\in X$ con
$m=\sum_{i=1}^n r_i x_i$.

{\bf Nota:} En algunos casos entenderemos por combinaci\'{o}n lineal, no al elemento $m$ en si, sino a la expresi\'{o}n formal $\sum_{i=1}^n r_i x_i$.

\re{\gensub}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo unitario, $M$ un $R$-m\'{o}dulo por la izquierda y $U\subset M$. Entonces existe el menor subm\'{o}dulo de $M$
que contiene a $U$. A este subm\'{o}dulo se le denomina el subm\'{o}dulo generado por $U$ y se le representa por  $<U>$. Es m\'{a}s,
$$<U>=\{\sum_{finitas} x_iu_i\quad u_i\in U, x_i\in R\}$$
Es decir, $<U>$ es el subconjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de $U$. \endre


\re{\degen}{Def:} Sea $R$ un anillo unitario y $M$ un $R$-m\'{o}dulo por la izquierda. Diremos que un subconjunto $U$ de $M$ es un sistema de generadores
de $M$ si el subm\'{o}dulo generado por $U$ es $M$, es decir, $<U>=M$. Es claro que $M$ siempre es un sistema de generadores de $M$. Diremos que $M$ es
finitamente generado si posee un sistema de generadores finito.
\endre

\re{\degen}{Def:} Sea $R$ un anillo unitario y $M$ un $R$-m\'{o}dulo por la izquierda. Diremos que un subconjunto $U$ de $M$ es un conjunto independiente
si toda combinaci\'{o}n lineal de elementos de $U$ igual a cero forzosamente tiene todos sus escalares cero.

{\bf Nota:} En espacios vectoriales todo vector no nulo forma un conjunto de vectores independientes. En el caso de m\'{o}dulos este resultado no es
cierto. Es m\'{a}s, en ${\bbb Z}_n$ como ${\bbb Z}$-m\'{o}dulo no hay conjuntos de vectores independientes.\endre

\re{\delibre}{Def:} Sea $R$ un anillo unitario y $M$ un $R$-m\'{o}dulo por la izquierda de $R$. Diremos que $B\subset M$ es una base de $M$ si es un
conjunto independiente y un sistema de generadores de $M$.

{\bf Nota:} No todo $R$-m\'{o}dulo posee base. Por ejemplo ${\bbb Z}_n$ como ${\bbb Z}$-m\'{o}dulo no posee base.

\re{\delibres}{Def:} Sea $R$ un anillo unitario y $M$ un $R$-m\'{o}dulo por la izquierda de $R$. Diremos que $M$ es libre, si posee una base. \endre


 {\bf Nota:} en el caso de espacios vectoriales, el cardinal de una base es un invariante, llamado la dimensi\'{o}n, en
m\'{o}dulos esto no sucede.


\re{\propante}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo unitario, $M$ un $R$-m\'{o}dulo por la izquierda y $\{m_i\}_{i\in I}$ un
subconjunto de $M$. Entonces la aplicaci\'{o}n  $$f:\oplus_{i\in I} R\to M,\quad \hbox{definido por}\quad (\sum_{i\in
I}^{finita} x_i)f=\sum_{i\in I}^{finita} x_i m_i$$ es un homomorfismo de $R$-m\'{o}dulos. Es m\'{a}s,

\item{(i)}$f$ es un monomorfismo si y
s\'{o}lo si $\{m_i\}_{i\in I}$ es una familia de vectores independientes.
\item{(ii)} $f$ es sobreyectiva si y s\'{o}lo si esta
familia es un sistema de generadores de $M$.


 \re{\pprolibre} {Corolario} Sea $R$ un anillo unitario y $M$ un $R$-m\'{o}dulo por la izquierda
libre. Entonces, si $B=\{b_i\}_{i\in I}$ es una base para $M$,   $M\cong \pi_{i\in I} R_i$ con $R_i\cong R$ para todo
$i$.




\re{\profund}{Teorema}  Sea $M$ un $R$ m\'{o}dulo libre con base $\{b_i\}_{i\in I}$. Entonces para cada $R$-m\'{o}dulo $N$ y cada subconjunto $\{n_i\}_{i\in
I}$ existe un \'{u}nico homomorfismo de $R$-m\'{o}dulos $f:M\to N$ tal que $(b_i)f=n_i$.


\re{\pprolibres} {Corolario I} Sea $R$ un anillo unitario. Entonces todo $R$-modulo por la izquierda es cociente de un $R$-m\'{o}dulo libre. Es m\'{a}s, si
$M$ es finitamente generado, $M$ es cociente de un m\'{o}dulo libre con base finita.\endre

\re{\pprolibres} {Corolario II} Sea $R$ un anillo unitario y $M$ un $R$-m\'{o}dulo por la izquierda Libre. Entonces, para
cada par de $R$-m\'{o}dulos $N,N'$ y homomorfismos de $R$-m\'{o}dulos $f:M\to N$ y $g:N'\to N$ con $g$ sobreyectivo, existe un
homomorfismo de $R$-m\'{o}dulos (no necesariamente \'{u}nico) $h:M\to N'$ que hace conmutativo el diagrama, $hg=f$.\endre

\parrafo{Sucesiones de m\'{o}dulos}

\re{\desuce}{Def:} Sea $R$ un anillo unitario. Se define una sucesi\'{o}n de  $R$ m\'{o}dulos como una familia $\{M_i\}_{i\in {\bbb Z}}$ de $R$ m\'{o}dulos junto
con una familia $f_i:M_i\to M_{i+1}$ de homomorfismos de $R$-m\'{o}dulos tales que para cada $i\in {\bbb Z}$, $f_if_{i+1}=0$. Es decir,

$$\cdots {\buildrel f_{i-2} \over \longrightarrow} M_{i-1}{\buildrel f_{i-1} \over \longrightarrow}
M_i{\buildrel f_{i} \over \longrightarrow}M_{i+1}{\buildrel f_{i+1} \over \longrightarrow} \cdots$$ en donde
$\Im(f_i)\subset \Ker(f_{i+1})$. En caso de que $\Im(f_i)= \Ker(f_{i+1})$, diremos que la sucesi\'{o}n $\{M_i\}_{i\in {\bbb
Z}}$  es exacta. Una sucesi\'{o}n exacta de la forma $$0\longrightarrow  N{\buildrel f \over \longrightarrow} M{\buildrel g
\over \longrightarrow} P\longrightarrow 0$$ se dir\'{a} exacta corta. Diremos que una sucesi\'{o}n exacta corta de $R$ m\'{o}dulos
es escindida si $\Ker(g)=\Im(f)$ es un sumando directo de $M$.

{\bf Nota:} Sea $M$ es un $R$-m\'{o}dulo y $N$ es un subm\'{o}dulo suyo, la sucesi\'{o}n $$0\longrightarrow N{\buildrel f \over
\longrightarrow} M {\buildrel g \over \longrightarrow} M/N\longrightarrow 0$$ es exacta corta. Si $M$ y $M'$ son dos
$R$-m\'{o}dulos, la sucesi\'{o}n $$0\longrightarrow M{\buildrel f \over \longrightarrow} M\oplus M' {\buildrel g \over
\longrightarrow} M'\longrightarrow 0$$ en donde $f(m)=(m,0)$ y $g(m+m')=m'$ es una sucesi\'{o}n exacta corta escindida.
\re{\desucort}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo unitario y $0\longrightarrow N{\buildrel f \over \longrightarrow}
M{\buildrel g \over \longrightarrow} P\longrightarrow 0$  una sucesi\'{o}n exacta corta de $R$ m\'{o}dulos. Las siguientes
condiciones son equivalentes:

\item{(i)} Existe un homomorfismo de $R$-m\'{o}dulos $g': P\to M$ tal que $g'g=\Id_P$.
\item{(ii)} La sucesi\'{o}n es escindida.
\item{(ii)} Existe un homomorfismo de $R$-m\'{o}dulos $f': M\to N$ tal que $ff'=\Id_N$.

\vskip 5truecm

 \centerline{Bibliograf\'{\i}a}

\item{[\CE]} {\bf H. Cartan y S. Eilenberg} `` Homological algebra", Princeton U. Press, 1956.

\item{[\J]} {\bf N. Jacobson} ``Basic algebra I y II", W. H. Freeman and company, 1980.


 \item{[\Nort]} {\bf D.G. Northcott} ``An introduction to homological algebra", Cambridge University Press, 1972.

\item{[\Wei]} {\bf C.A. Weibel} ``History of homological algebra", direcci\'{o}n de internet:

  http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0245/

\item{[\ZSSS]} {\bf    K.A. Zhevlakov, A.M. Slin'ko, I.P. Shestakov $\&$ A.I. Shirshov} ``Rings that are nearly associative". Academic Press, New York,
1982.

\end




 Subm\'{o}dulo sumando
directo. Monomorfismo directo, epimorfismo directo (Mirar [\Nort] pag. 12).
\itemitemitem{$\diamondsuit$}  Sucesiones (exactas) cortas, sucesiones split. [\Sch, Pag. 13]
 \itemitem{$\star$} El grupo abeliano $Hom_R(M,N)$.
 \itemitem{$\star$} Producto tensorial de m\'{o}dulos: $M\bigotimes N$.

 \item{} {\bf  Cap\'{\i}tulo II: Categor\'{\i}as y Funtores} (Vamos a seguir el orden dado en [\Nort], aunque con definiciones de Jacobson [\J]).
