\chapter{Conceptos B\'{a}sicos} \hypertarget{temacero}{ }
\label{temacero} \hrule \vskip0.5cm
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\noindent{\sffamily\bfseries Objetivos del cap\'{\i}tulo} $\,$
\begin{itemize}\footnotesize
 \item Introducir los conceptos b\'{a}sicos de la Teor\'{\i}a de conjuntos. Estudiar las operaciones entre conjuntos y sus propiedades.
 \item Estudiar el concepto de aplicaci\'{o}n. Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas. Composici\'{o}n de aplicaciones. Aplicaci\'{o}n inversible y caracterizaciones.
 \item Estudio de las relaciones de equivalencia y su relaci\'{o}n con las particiones. Estudio de las relaciones de orden y sus elementos notables.
\end{itemize}
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\[\,\]


\section{Algunas nociones de L\'{o}gica.}

Seg\'{u}n la real academia de la ciencia espa\~{n}ola, la l\'{o}gica es la ciencia que estudia la estructura, los fundamentos y el uso de la expresiones del conocimiento humano (es la ciencia que trata de ser una teor\'{\i}a formal del razonamiento).
La l\'{o}gica investiga la relaci\'{o}n de consecuencia que se da entre una serie de premisas y la conclusi\'{o}n (argumento). La sentencia anterior es algo vaga (como comprobar\'{e}is, en matem\'{a}ticas y especialmente en \'{a}lgebra, intentaremos que todo quede definido sin ambig\"{u}edades). Primero fijemos algunas ideas:

Un \textbf{argumento} es un conjunto de una o m\'{a}s oraciones. La \'{u}ltima de ellas se denomina \textbf{conclusi\'{o}n}, las anteriores se llaman \textbf{premisas}. Intuitivamente, las premisas son las evidencias o razones que nos deben convencer de la veracidad de la conclusion. El argumento es la concatenaci\'{o}n de las primeras con la \'{u}ltima. Un argumento se dice que es correcto si la conclusi\'{o}n es correcta siempre que se parta de premisas correctas (la conclusion de un argumento correcto debe de ser aceptada si todas las premisas han sido aceptadas).

Comencemos con algunas nociones sobre l\'{o}gica de proposiciones. El proceso comienza introduciendo un lenguaje formal para dicha l\'{o}gica (no pretendemos ser muy estrictos). Con este lenguaje formal evitaremos las ambig\"{u}edades propias del lenguaje com\'{u}n a la vez que nos permitir\'{a} una representaci\'{o}n clara de los razonamientos l\'{o}gicos:

\begin{defi}\rm
Se define una proposici\'{o}n como un enunciado que puede ser o verdadero o falso, pero no ambas cosas a la vez. Se suelen representar por letras en min\'{u}sculas, normalmente, p,q,r,s... A la verdad o falsedad de una proposici\'{o}n $p$ se le denomina el valor de verdad de $p$. \end{defi}

Simplemente esta primera definici\'{o}n ya nos puede dar alg\'{u}n problema. Debemos de diferenciar claramente el lenguaje formal que estudiamos en la l\'{o}gica proposicional y el lenguaje real en donde lo interpretamos. Por ejemplo:

\begin{ejem}
  Tenemos los siguientes ejemplos de proposiciones:
\begin{enumerate}
  \item[$\bullet$] Dos mas dos son cuatro (verdadero).
  \item[$\bullet$] S\'{o}crates fue un hombre (verdadero).
  \item[$\bullet$] Existe vida fuera de la via L\'{a}ctea (aunque no sabemos si es verdadera o falsa).
  \item[$\bullet$] El universo es est\'{a}tico (falso).
  \end{enumerate}
  Ejemplo de oraciones que no son proposiciones:
\begin{enumerate}
  \item[$\bullet$] Sal de esta habitaci\'{o}n.
  \item[$\bullet$] Lava el coche por favor.
  \item[$\bullet$] Pedro sabe que lavaron su coche.\hfill$(\star)$
  \end{enumerate}
\end{ejem}

$(\star)$ Esta (no) proposici\'{o}n tiene ciertos problemas en el estudio de los silogismos.

Una vez que tenemos una serie de proposiciones (un enunciado junto con su valor de verdad) vamos a poder combinarlos, a partir de conectivas, para obtener proposiciones m\'{a}s complejas. As\'{\i},

\begin{defi}
  Dadas $p$ y $q$ dos proposiciones entonces podemos construir,
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]  con la conectiva \textquotedblleft no\textquotedblright\  o negaci\'{o}n, que se representa por el signo $\neg$, la proposici\'{o}n $\neg q$, que se lee \textquotedblleft  no $q$\textquotedblright\  y que tiene por valor de verdad los dados en la tabla ($\star$).
\item[$\bullet$]  con la conectiva \textquotedblleft y\textquotedblright\  o conjunci\'{o}n, que se representa por el signo $\wedge$, la proposici\'{o}n $p\wedge q$ que se lee \textquotedblleft$p$ y $q$\textquotedblright\  y tiene por valor de verdad los dados en la tabla ($\star$).
\item[$\bullet$]  con la conectiva \textquotedblleft o\textquotedblright\  o disyunci\'{o}n inclusiva, que se representa por el signo $\vee$, la proposici\'{o}n $p\vee q$, que se lee \textquotedblleft $p$ o $q$\textquotedblright\  y que tiene por valor de verdad los dados en la tabla ($\star$).
\item[$\bullet$]  con la conectiva \textquotedblleft o...o\textquotedblright\  o disyunci\'{o}n exclusiva, que se representa por el signo $\oplus$, la proposici\'{o}n $p\oplus q$, que se lee \textquotedblleft o $p$ o $q$ pero no ambas\textquotedblright\  y que tiene por valor de verdad los dados en la tabla ($\star$).
\item[$\bullet$]  con la conectiva \textquotedblleft si...entonces\textquotedblright\  o condicional, que se representa por el signo $\rightarrow$, la proposici\'{o}n $p\rightarrow q$, que se lee \textquotedblleft si $p$ entonces $q$\textquotedblright\  y que tiene por valor de verdad los dados en la tabla ($\star$).
\item[$\bullet$]  con la conectiva \textquotedblleft si y s\'{o}lo si\textquotedblright\  o bi-condicional, que se representa por el signo $\leftrightarrow$, la proposici\'{o}n $p\leftrightarrow q$, que se lee \textquotedblleft  $p$ si y s\'{o}lo si $q$\textquotedblright\  y que tiene por valor de verdad los dados en la tabla ($\star$).
\end{itemize}



 \begin{center}
   \begin{tikzpicture}[thick]
\draw (0,0)--(11.5,0);
\draw (2,.5)--(2,-4.3);
\draw (.5,0) node[above] {p};
\draw (.5,-1) node[above] {v};
\draw (.5,-2) node[above] {v};
\draw (.5,-3) node[above] {f};
\draw (.5,-4) node[above] {f};
\draw (1.5,0) node[above] {q};
\draw (1.5,-1) node[above] {v};
\draw (1.5,-2) node[above] {f};
\draw (1.5,-3) node[above] {v};
\draw (1.5,-4) node[above] {f};
\draw (3,0) node[above] {$\neg q$};
\draw (3,-1) node[above] {f};
\draw (3,-2) node[above] {v};
\draw (3,-3) node[above] {f};
\draw (3,-4) node[above] {v};
\draw (4.5,0) node[above] {$p\wedge q$};
\draw (4.5,-1) node[above] {v};
\draw (4.5,-2) node[above] {f};
\draw (4.5,-3) node[above] {f};
\draw (4.5,-4) node[above] {f};
\draw (6,0) node[above] {$p\vee q$};
\draw (6,-1) node[above] {v};
\draw (6,-2) node[above] {v};
\draw (6,-3) node[above] {v};
\draw (6,-4) node[above] {f};
\draw (7.5,0) node[above] {$p\oplus q$};
\draw (7.5,-1) node[above] {f};
\draw (7.5,-2) node[above] {v};
\draw (7.5,-3) node[above] {v};
\draw (7.5,-4) node[above] {f};
\draw (9,0) node[above] {$p\rightarrow q$};
\draw (9,-1) node[above] {v};
\draw (9,-2) node[above] {f};
\draw (9,-3) node[above] {v};
\draw (9,-4) node[above] {v};
\draw (10.5,0) node[above] {$p\leftrightarrow q$};
\draw (10.5,-1) node[above] {v};
\draw (10.5,-2) node[above] {f};
\draw (10.5,-3) node[above] {f};
\draw (10.5,-4) node[above] {v};
\draw (14,-2.2) node[right]{$(\star)$};
\end{tikzpicture}
 \end{center}
\end{defi}

Las proposiciones que aparecen construidas de esta forma (a partir de otras proposiciones) se les denomina proposiciones compuestas. En este caso nos vamos a encontrar con proposiciones tipo $$(p\vee q)\wedge ((\neg r)\rightarrow s)$$
 Observar que hemos introducido dos nuevos signos, los par\'{e}ntesis, para que no haya ambig\"{u}edad a la hora de construir nuevas proposiciones. Es claro que nos podr\'{\i}amos encontrar con expresiones \textquotedblleft mal construidas\textquotedblright que no fueran proposiciones, por ejemplo $$(p\vee q\neg.$$ No nos vamos a preocupar aqu\'{\i} de verificar si una expresi\'{o}n concreta est\'{a} o no est\'{a} bien construida (aunque es un tema que podremos tratar al final de la secci\'{o}n).

 Nos va a interesar conocer la tabla de verdad de una proposici\'{o}n compuesta, es decir, conocer la verdad o falsedad de una proposici\'{o}n sabiendo la verdad o falsedad de las proposiciones que la forman. Veamos un ejemplo, la tabla de verdad de la proposici\'{o}n $\neg((p\vee q)\rightarrow s)$ es la siguiente:

  \begin{center}
   \begin{tikzpicture}[thick]
\draw (0,0)--(11.5,0);
\draw (3,.5)--(3,-4.3);
\draw (.5,0) node[above] {p};
\draw (.5,-.5) node[above] {v};
\draw (.5,-1) node[above] {v};
\draw (.5,-1.5) node[above] {v};
\draw (.5,-2) node[above] {v};
\draw (.5,-2.5) node[above] {f};
\draw (.5,-3) node[above] {f};
\draw (.5,-3.5) node[above] {f};
\draw (.5,-4) node[above] {f};
\draw (1.5,0) node[above] {q};
\draw (1.5,-.5) node[above] {v};
\draw (1.5,-1) node[above] {v};
\draw (1.5,-1.5) node[above] {f};
\draw (1.5,-2) node[above] {f};
\draw (1.5,-2.5) node[above] {v};
\draw (1.5,-3) node[above] {v};
\draw (1.5,-3.5) node[above] {f};
\draw (1.5,-4) node[above] {f};
\draw (2.5,0) node[above] {s};
\draw (2.5,-.5) node[above] {v};
\draw (2.5,-1) node[above] {f};
\draw (2.5,-1.5) node[above] {v};
\draw (2.5,-2) node[above] {f};
\draw (2.5,-2.5) node[above] {v};
\draw (2.5,-3) node[above] {f};
\draw (2.5,-3.5) node[above] {v};
\draw (2.5,-4) node[above] {f};
\draw (4,0) node[above] {$p\vee q$};
\draw (4,-.5) node[above] {v};
\draw (4,-1) node[above] {v};
\draw (4,-1.5) node[above] {v};
\draw (4,-2) node[above] {v};
\draw (4,-2.5) node[above] {v};
\draw (4,-3) node[above] {v};
\draw (4,-3.5) node[above] {f};
\draw (4,-4) node[above] {f};
\draw (6,0) node[above] {$(p\vee q)\rightarrow s$};
\draw (6,-.5) node[above] {v};
\draw (6,-1) node[above] {f};
\draw (6,-1.5) node[above] {v};
\draw (6,-2) node[above] {f};
\draw (6,-2.5) node[above] {v};
\draw (6,-3) node[above] {f};
\draw (6,-3.5) node[above] {v};
\draw (6,-4) node[above] {v};
\draw[dashed] (7.5,.5)--(7.5,-4.3);
\draw (9,0) node[above] {$\neg((p\vee q)\rightarrow s$)};
\draw (9,-.5) node[above] {f};
\draw (9,-1) node[above] {v};
\draw (9,-1.5) node[above] {f};
\draw (9,-2) node[above] {v};
\draw (9,-2.5) node[above] {f};
\draw (9,-3) node[above] {v};
\draw (9,-3.5) node[above] {f};
\draw (9,-4) node[above] {f};
\end{tikzpicture}
 \end{center}




 \begin{defi}
  ss
 \end{defi}

