


%\appendix

\chapter{Conceptos B\'{a}sicos} \hypertarget{temacero}{ }
\label{temacero} \hrule \vskip0.5cm
%-----------------------------------------------------------------
\noindent{\sffamily\bfseries Objetivos del cap\'{\i}tulo} $\,$
\begin{itemize}\footnotesize
 \item Introducir los conceptos b\'{a}sicos de la Teor\'{\i}a de conjuntos. Estudiar las operaciones entre conjuntos y sus propiedades.
 \item Estudiar el concepto de aplicaci\'{o}n. Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas. Composici\'{o}n de aplicaciones. Aplicaci\'{o}n inversible y caracterizaciones.
 \item Estudio de las relaciones de equivalencia y su relaci\'{o}n con las particiones. Estudio de las relaciones de orden y sus elementos notables.
 \item Nociones b\'{a}sicas sobre cardinales.
\end{itemize}
\vskip0.25cm
%-----------------------------------------------------------------
\hrule
\vskip0.3cm
\[\,\]


\section{Conjuntos.}
Toda teor\'{\i}a matem\'{a}tica consta de axiomas, o elementos primitivos, a partir de estos se construyen las  definiciones.
Las relaciones \textquotedblleft l\'{o}gicas\textquotedblright\  entre definiciones dan lugar a los teoremas (Lema,
Proposici\'{o}n, Teorema y Corolario). Comenzamos este cap\'{\i}tulo con la noci\'{o}n de conjunto.


\subsection{Definiciones b\'{a}sicas.}

\begin{conc}\rm
Un \textbf{conjunto}\index{Conjunto} es una colecci\'{o}n de objetos. Para construir o crear un conjunto damos expl\'{\i}citamente cada uno de sus elementos o bien  damos una propiedad que  caracterice a dichos elementos.


\item{$\star$} Hasta que no se han dado o caracterizados los elementos de un conjunto, este no es, por lo que la propiedad que determina a los elementos de un conjunto no debe de hacer uso del conjunto en s\'{\i}. Esta propiedad, como puede verse en  \fullref{el ejercicio}{ejjcuatro}{}, puede ser algo escurridiza.

\item{$\star$} Por la misma raz\'{o}n, un conjunto no puede ser elemento de si mismo (para incluirlo como elemento tiene que ser algo y un conjunto no es algo hasta que se fijan todos sus elementos).
\end{conc}


\begin{defi}\rm Diremos que un elemento \textquotedblleft $a$\textquotedblright\  \textbf{pertenece}  a un conjunto $X$, y lo denotaremos por $a\in X$, si $a$ es
uno de los miembros de $X$. Si $a$ no es miembro de $X$ diremos que $a$ \textbf{no pertenece} a $X$ y lo denotaremos
por $a\not\in X$.\index{Pertenece} \nomenclature{$\in$}{pertenece} \nomenclature{$\not\in$}{no pertenece}
\end{defi}

\noindent \textbf{Nota:} Para que un conjunto est\'{e} correctamente definido debe de poderse determinar si un objeto pertenece o no
pertenece a \'{e}l de forma inequ\'{\i}voca.

\noindent \textbf{Notaci\'{o}n:} Los conjuntos los denotaremos por letras may\'{u}sculas mientras que los elementos ser\'{a}n denotados por
letras min\'{u}sculas.

\begin{ejem}\rm
\item{$\star$} El conjunto de los n\'{u}meros naturales, $\mathbb{N}$.
\item{$\star$} El conjunto de los n\'{u}meros naturales que son pares.
\item{$\star$} $A=:\{1,2,a\}; B=:\{a,b,c\}; C=:\{2,3,5,7,11\}$.
\item{$\star$} $Y=:\{n\in \mathbb{N}\ \vert\ {n\over 2}\in \mathbb{N}\}$.
\item{$\star$} $X=:\{1,2,3,\{1,c\},\{a\},b\}$. En este caso, algunos de los elementos de este conjunto son a su vez conjuntos. Esto nos puede llevar a cierta confusi\'{o}n a la hora de saber si un elemento pertenece o no a un conjunto. As\'{\i}, en este ejemplo, $$1,b,\{1,c\}\in X,\quad\hbox{pero}\quad  a,c,\{1\},\{2\}\notin X $$
\end{ejem}

\retodo{Hacer hincapi\'{e}  cada vez que se introduzca notaci\'{o}n matem\'{a}tica (en $Y$).}
\begin{defi}\rm Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos: \index{Conjunto!Subconjunto} \index{Conjunto!Igualdad de}\nomenclature{$\subset$}{Contenido} \nomenclature{$\not \subset$}{no contenido} \nomenclature{$\iff$}{si y s\'{o}lo si}  \nomenclature{$\Rightarrow$}{implica} \nomenclature{$=$}{igualdad de conjuntos} \nomenclature{$\ne$}{desigual}

$\bullet$   Diremos que $X$ es un \textbf{subconjunto}  de $Y$, y lo representaremos por $X\subset Y$,  que se leer\'{a} $X$
contenido en $Y$, si todo elemento de $X$ es elemento de $Y$, es decir,
$$X\subset Y\quad \iff\hskip-.3truecm\footnote{Relaci\'{o}n l\'{o}gica $\iff$: establece que las proposiciones a izquierda y derecha de ella son o ambas falsas o ambas verdaderas. A veces es usada para dar una definici\'{o}n} \quad \forall\footnote{$\forall$: se lee para todo} a\in X,\ \Rightarrow\hskip-.15truecm\footnote{Relaci\'{o}n l\'{o}gica $\Rightarrow$: establece que si la proposici\'{o}n de la izquierda es verdadera, la de la derecha tambi\'{e}n lo es}\ a\in Y$$

En caso contrario, cuando $X$ no sea subconjunto de $Y$ (lo que significa que hay un elemento de $X$ que no es elemento de $Y$)  se denotar\'{a} por $X\not \subset Y$.

$\bullet$  Diremos que $X$ es \textbf{igual} a $Y$, y lo representaremos $X=Y$, si $$X\subset Y\hbox{ e } Y\subset X.$$
Denotaremos por $X\ne Y$  cuando $X$ \textbf{no} sea \textbf{igual} que $Y$.


$\bullet$ Diremos que $X$ est\'{a} \textbf{estrictamente contenido} \index{Contenido Estricto} en $Y$, y lo denotaremos
$X\subsetneq Y$ \nomenclature{$\subsetneq$}{estrictamente contenido}si $$X\subset Y\hbox{ y }X\ne Y.$$

$\bullet$ Definimos el  \textbf{conjunto vac\'{\i}o}, denotado por $\emptyset$, \nomenclature{$\emptyset$}{conjunto vaci\'{o}}\index{Conjunto!Vac\'{\i}o}como aqu\'{e}l que carece de elementos.

$\bullet$  Definimos el  \textbf{conjunto partes de} \index{Conjunto!Partes de} $X$, y lo representamos por ${\cal P}(X)$
\nomenclature{${\cal P}(X)$}{Partes de un conjunto}
 como el conjunto que tiene por elementos los subconjuntos de $X$.\end{defi}

\textbf{Nota:} Observar que de la igualdad de conjuntos se deduce que no importa el \textquotedblleft orden\textquotedblright\  en el que se encuentren colocados los elementos de un conjunto. As\'{\i}, el conjunto $\{a,b,c\}$ es el mismo que el conjunto $\{c,a,b\}$.

\retodo{Aunque parezcan nociones f\'{a}ciles tienen su pega. Poner un conjunto y preguntar que  pertenece y que est\'{a} contenido. Estas nociones tienen que quedar completamente claras. }

\begin{ejem}\rm
\item{$\star$} Las nociones de pertenece y contenido, aunque f\'{a}ciles pueden llegar a confundirnos. Sea  $X=\{1,\{1\},\{1,a\},\{a\}\}$. Entonces $$ 1,\{a\}\in X,\quad a\notin X,\quad \{1\},\{\{a\}\}\subset X,\quad \{1,a\}\not \subset X$$
    Observar que en este ejemplo $\{1\}\in X$ y $\{1\}\subset X$.

\item{$\star$} Para $A=\{1,2,a\}$, se tiene que $${\cal P}(A)=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{a\}, \{1,2\}, \{1,a\}, \{2,a\},
\{1,2,a\}\}.$$
 \end{ejem}


\subsection{Operaciones con conjuntos}

\retodo{Vamos a definir varios conceptos: (i) cual es la idea, el concepto que queremos definir. (ii) como se define matem\'{a}ticamente (un poco en la notaci\'{o}n matem\'{a}tica de las definiciones). (iii) como se representan por diagramas de Venn (Pueden que no hayan visto nunca representados los conjuntos como diagramas de Venn.)}

\index{Conjunto!Diagramas de Venn}

\hskip -0.9truecm  \begin{tabularx}{15cm}{ll}
\begin{tikzpicture}[thick]
\draw (0,0) rectangle (3.25,3.25) (2.4,2.6) node[right, opacity=1] {$Y$};
\draw (2.13,1.33) ellipse (.75cm and 1.15cm) (.9,3) node[right, opacity=1] {$X\cap Y$};
\draw (1.13,1.33) ellipse (.75cm and 1.15cm) (1,2.6) node[left, opacity=1] {$X$};
\draw[<-] (1.63,1.4)--(1.63,2.7);
\clip (2.13,1.33) ellipse (.75cm and 1.15cm);
\clip (1.13,1.33) ellipse (.75cm and 1.15cm);
\filldraw[red!40] (0,0) rectangle (3.25,3.25);
\draw[<-] (1.63,1.4)--(1.63,2.7);
\draw (2.13,1.33) ellipse (.75cm and 1.15cm);
\draw (1.13,1.33) ellipse (.75cm and 1.15cm);
\end{tikzpicture}& %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% El otro trozo de la minipagina
\begin{minipage}[t][-.3cm][b] {12.3cm} \begin{defi}\rm Dados dos conjuntos $X,Y$, se define
 la \textbf{intersecci\'{o}n} \index{Conjunto!Intersecci\'{o}n de}de $X$ con $Y$ y se representa por $X\cap Y$\nomenclature{$\cap$}{intersecci\'{o}n} a un nuevo conjunto que tiene los
elementos que est\'{a}n tanto en $X$ como en $Y$.
$$X\cap Y=\{z\ \vert \ z\in X \hbox{ y } z\in Y\}$$
\end{defi}
\vfill\end{minipage}
\end{tabularx}
\vskip .5truecm
\textbf{Nota:} Diremos que dos conjuntos $X$, $Y$ son \textbf{disjuntos} \index{Conjunto!disjunto}si $X\cap Y=\emptyset$.


\hskip -0.9truecm \begin{tabularx}{15cm}{ll}
\begin{minipage}[b][0cm][b] {12.3cm} \begin{defi}\rm Dados dos conjuntos $X,Y$, se define la \textbf{uni\'{o}n} \index{Conjunto!Uni\'{o}n de} de $X$ con $Y$ y se representa por $X\cup Y$\nomenclature{$\cup$}{Uni\'{o}n} a un nuevo conjunto que tiene por
elementos tanto los elementos de $X$ como los de $Y$.
$$X\cup Y=\{z\ \vert \ z\in X \hbox{ \'{o} } z\in Y\}$$
\end{defi}
\vfill\end{minipage}& %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% El otro trozo de la minipagina
\begin{tikzpicture}[thick]
\draw (0,0) rectangle (3.25,3.25) (.9,3) node[right, opacity=1] {$X\cup Y$};
\filldraw[fill=red!40] (1.13,1.33) ellipse (.75cm and 1.15cm) (1,2.6) node[left, opacity=1] {$X$};
\filldraw[fill=red!40] (2.13,1.33) ellipse (.75cm and 1.15cm) (2.4,2.6) node[right, opacity=1] {$Y$};
\draw (1.13,1.33) ellipse (.75cm and 1.15cm);
\draw (2.13,1.33) ellipse (.75cm and 1.15cm);
\draw[<-] (1.63,1.4)--(1.63,2.7);
\draw[<-] (1,1.4)--(1.63,2.7);
\draw[<-] (2.26,1.4)--(1.63,2.7);
\end{tikzpicture}
\end{tabularx}

\hskip -0.9truecm
\begin{tabularx}{15cm}{ll}
 \begin{tikzpicture}[thick]
\draw (0,0) rectangle (3.25,3.25) (.9,3) node[right, opacity=1] {$X-Y$};
\filldraw[fill=red!40] (1.13,1.33) ellipse (.75cm and 1.15cm) (1,2.6) node[left, opacity=1] {$X$};
\filldraw[fill=white] (2.13,1.33) ellipse (.75cm and 1.15cm) (2.4,2.6) node[right, opacity=1] {$Y$};
\draw (1.13,1.33) ellipse (.75cm and 1.15cm);
\draw (2.13,1.33) ellipse (.75cm and 1.15cm);
\draw[<-] (1,1.4)--(1.63,2.7);
\end{tikzpicture}
& %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% El otro trozo de la minipagina
\begin{minipage}[t][-.3cm][b] {12.3cm}\begin{defi}\rm  Dados dos conjuntos $X,Y$, se define la \textbf{diferencia} \index{Conjunto!Diferencia de}de $X$ con $Y$ y se representa por $X- Y$\nomenclature{$-$}{Diferencia} al conjunto formado
 por  los elementos de $X$ que no est\'{a}n en $Y$. Es decir,
$$X- Y=\{z\in X\ \vert \ z\not \in Y\}$$
\end{defi}\vfill\end{minipage}
\end{tabularx}
\vskip .5truecm

\hskip -0.9truecm
\begin{tabularx}{15cm}{ll}
\begin{minipage}[t][0.3cm][b] {12.3cm} \begin{defi}\rm  Dados dos
conjuntos $X,Y$, se define la \textbf{diferencia sim\'{e}\-trica}\nomenclature{$\triangle$}{Diferencia sim\'{e}trica} \index{Conjunto!Diferencia Sim\'{e}trica de}de $X$ con $Y$ y
se representa por $X\triangle Y$ al conjunto formado por los elementos de $X$ que no est\'{a}n en $Y$ junto con los de $Y$
que no est\'{a}n en $X$.
$$X\triangle Y=(X\cup Y)-(Y\cap X)=(X-Y)\cup (Y-X)$$
\end{defi}
\vfill\end{minipage}
& %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% El otro trozo de la minipagina
\begin{tikzpicture}[thick]
\draw (0,0) rectangle (3.25,3.25) (.9,3) node[right, opacity=1] {$X\triangle Y$};
\filldraw[fill=red!40, even odd rule] (1.13,1.33) ellipse (.75cm and 1.15cm) (1,2.6) node[left, opacity=1] {$X$} (2.13,1.33) ellipse (.75cm and 1.15cm) (2.4,2.6) node[right, opacity=1] {$Y$};
\draw (1.13,1.33) ellipse (.75cm and 1.15cm);
\draw (2.13,1.33) ellipse (.75cm and 1.15cm);
\draw[<-] (1,1.4)--(1.63,2.7);
\draw[<-] (2.26,1.4)--(1.63,2.7);
\end{tikzpicture}
\end{tabularx}

\vskip .5truecm




\hskip -0.9truecm
\begin{tabularx}{15cm}{ll}
\begin{tikzpicture}[thick]
\draw (0,0) rectangle (3.25,3.25);
\filldraw[fill=red!40] (1.65,1.33) ellipse (.75cm and 1.15cm) (2.5,1.5) node[left, opacity=1] {\small $Y$\normalsize};
\filldraw[fill=white] (1.8,1) ellipse (.40cm and .5cm) (.8,2.6) node[right, opacity=1] {$X$};
\draw[<-] (1.6,2)--(2.4,2.7)   node[right, opacity=1] {$\overline Y$};
\end{tikzpicture}
& %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% El otro trozo de la minipagina
\begin{minipage}[t][-.2cm][b] {12.3cm}\begin{defi}\rm  Dados dos conjuntos $X,Y$, con $X$ subconjunto de $Y$  se define el \textbf{complemento}
 \index{Conjunto!Complemento de}de  $X$ en $Y$ y se representa por $\overline X$ al \nomenclature{$\overline X$}{Complemento}
conjunto formado  por los elementos de $Y$ que no est\'{a}n en $X$. Es decir,
$$\overline X=\{z\in Y\ \vert \ z\not \in X\}$$
\end{defi}
\vfill\end{minipage}
\end{tabularx}
\vskip .5truecm



\begin{defi}\rm  Dados dos conjuntos $X,Y$ se define el \textbf{producto cartesiano} \index{Conjunto!Producto Cartesiano de}de $X$ e $Y$ y se representa por $X\times Y$ como un nuevo conjunto \nomenclature{$X\times Y$}{Producto cartesiano}
formado por todos los pares $(x,y)$ en donde $x\in X$ e $y\in Y$.
$$X\times Y:=\{(x,y)\ \vert\ x\in X \hbox{ e } y\in Y\}$$
\end{defi}

\begin{ejem}\rm  Dados $A=\{1,2,a\}$ y $B=\{a,b,c\}$ se tiene que
$$A\times B:=\{(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c), (a,a), (a,b), (a,c) \}$$
\end{ejem}


\textbf{Nota:} Los conjuntos $X\times Y$ e $Y\times X$ son distintos siempre que $X\ne Y$.

\retodo{Es la primera demostraci\'{o}n que se les hace}
\timeclase{Fin de clase primera 27-09-2011, grupo A y B}


\begin{prop}\rm  Sean $X,Y,Z$ tres conjuntos. Entonces:\index{Propiedad}\index{Ley}

\item{(i)} Propiedad Conmutativa: \index{Propiedad!Conmutativa} $X\cup Y=Y\cup X$;\quad $X\cap Y=Y\cap X$.
\item{(ii)} Propiedad asociativa: \index{Propiedad!Asociativa}$(X\cup Y)\cup Z=X\cup (Y\cup Z) $\par \hskip 4.1truecm
$(X\cap Y)\cap Z=X\cap (Y\cap Z) $.
\item{(iii)} Propiedad distributiva:\index{Propiedad!Distributiva} $(X\cup Y)\cap Z=(X\cap Z)\cup (Y\cap Z) $\par \hskip 4.2truecm
$(X\cap Y)\cup Z=(X\cup Z)\cap (Y\cup  Z) $ \par \hskip 4.2truecm $X\cap (Y\cup Z)=(X\cap Y)\cup (X\cap  Z) $ \par
\hskip 4.2truecm $X\cup (Y\cap Z)=(X\cup Y)\cap (X\cup  Z)$.
\item{(iv)} Propiedad Idempotente:\index{Propiedad!Idempotente} $X\cup X= X$;\quad $X\cap X= X$.
\item{(v)} Leyes de simplificaci\'{o}n:\index{Ley!de Simplificaci\'{o}n} $(X\cup Y)\cap X= X$;\quad $(X\cap Y)\cup X= X$.
\item{(vi)} Leyes de Morgan: \index{Ley! de Morgan}supongamos que $X,Y$ son subconjuntos de un conjunto $T$, entonces: $$\overline {(X\cup Y)}=\overline X\cap \overline Y;\quad \overline {(X\cap Y)}=\overline X\cup \overline Y.$$
\end{prop}

\noindent \pdfcomment[icon=Check,hspace=0.5 truecm,author={Puntos clave},markup=Underline,color=verde]{Tenemos que empezar a tener en cuenta las definiciones que se nos han dado. Esta proposici\'{o}n nos dice que ciertos conjuntos son iguales y para demostrar que dos conjuntos son iguales hay que demostrar el doble contenido. Un segundo m\'{e}todo de demostraci\'{o}n ser\'{\i}a usar los diagramas de Venn.}
\textbf{Demo:} (i) Demostremos que $X\cup Y=Y\cup X$. Para ello tenemos que demostrar que $X\cup Y\subset Y\cup X$ y que $Y\cup X\subset X\cup Y$. Veamos el primer contenido:

Sea $a\in X\cup Y$ tenemos, por definici\'{o}n de uni\'{o}n de conjuntos que $a\in X$ o $a\in Y$. Por tanto, $a\in Y\cup X$. El otro contenido es igual.

(ii). Demostremos que $(X\cup Y)\cup Z=X\cup (Y\cup Z)$. Sea $a\in (X\cup Y)\cup Z$. Por la definici\'{o}n de uni\'{o}n, $a\in X\cup Y$ o $a\in Z$ y por tanto, $a\in X$ o $a\in Y$ o $a\in Z$. As\'{\i}, $a\in X$ o $a\in Y\cup Z$ lo que implica que $a\in X\cup (Y\cup Z)$. El otro contenido es id\'{e}ntico.

\noindent \textbf{Nota:} Es posible que estas dos primeras demostraciones, de f\'{a}ciles, sean confusas. Demostremos algo un poco menos evidente.

(vi). Demostremos una de las leyes Morgan: Sean $X,Y\subset T$, entonces $$\overline {(X\cup Y)}=\overline X\cap \overline Y.$$
Como en los casos anteriores tendremos que demostrar el doble contenido:

Sea $a\in  \overline {(X\cup Y)}$. Por definici\'{o}n, $a$ es un elemento de $T$ que no es elemento de $X\cap Y$. Por tanto es un elemento de $T$ que no es elemento de $X$ ni elemento de $Y$. Como $a$ no es elemento de $X$, $a\in \overline X$ y como $a$ no es elemento de $Y$, $a\in \overline Y$. Por tanto $a\in \overline X\cap \overline Y$. Es decir, $$\overline {(X\cup Y)}\subset \overline X\cap \overline Y.$$

Sea $a\in \overline X\cap \overline Y$. Tenemos entonces que por definici\'{o}n de intersecci\'{o}n, $a\in \overline X$ y $a\in \overline Y$ o lo que es lo mismo, $a\notin X$ y $a\notin Y$. Por lo tanto, $a\notin X\cup Y$ o lo que es lo mismo, $a\in \overline {(X\cup Y)}$. Lo que nos demuestra el otro contenido,
$$\overline X\cap \overline Y\subset \overline {(X\cup Y)}.$$

Veamos un ejemplo de demostraci\'{o}n por diagramas de Venn: (iii). $X\cup (Y\cap Z)=(X\cup Y)\cap (X\cup  Z) $
Representamos por diagramas de Ven los tres conjuntos $X,Y,Z$:

\begin{center}
  \begin{tikzpicture}[thick,scale=.7]
%\draw (0,0) rectangle (8,5);
%\draw[step=1cm] (0,0) grid (8,5);
\draw (2.25,4.3) circle (0pt) node[above] {$X$};
\draw[fill=red!40] (1.5,1) ellipse (1cm and 1.5cm) (1,2.3) node[left, opacity=1] {\small $X$\normalsize};
\draw (3,1) ellipse (1cm and 1.5cm) (3.6,2.3) node[right, opacity=1] {\small $Y$\normalsize};
\draw (2.25,2.7) ellipse (1cm and 1.5cm) (2.8,3.8) node[right, opacity=1] {\small $Z$\normalsize};
\end{tikzpicture}
\quad
  \begin{tikzpicture}[thick,scale=.7]
%\draw (0,0) rectangle (8,5);
%\draw[step=1cm] (0,0) grid (8,5);
\draw (2.25,4.3) circle (0pt) node[above] {$Y\cap Z$};
\draw (1.5,1) ellipse (1cm and 1.5cm) (1,2.3) node[left, opacity=1] {\small $X$\normalsize};
\draw (3,1) ellipse (1cm and 1.5cm) (3.6,2.3) node[right, opacity=1] {\small $Y$\normalsize};
\draw (2.25,2.7) ellipse (1cm and 1.5cm) (2.8,3.8) node[right, opacity=1] {\small $Z$\normalsize};
\clip (3,1) ellipse (1cm and 1.5cm);
\draw[fill=red!40] (2.25,2.7) ellipse (1cm and 1.5cm);
\draw (1.5,1) ellipse (1cm and 1.5cm) (1,2.3) node[left, opacity=1] {\small $X$\normalsize};
\draw (3,1) ellipse (1cm and 1.5cm) (3.6,2.3) node[right, opacity=1] {\small $Y$\normalsize};
\end{tikzpicture}
\quad
  \begin{tikzpicture}[thick,scale=.7]
%\draw (0,0) rectangle (8,5);
%\draw[step=1cm] (0,0) grid (8,5);
\draw (2.25,4.3) circle (0pt) node[above] {$X\cup (Y\cap Z$)};
\draw[fill=red!40] (1.5,1) ellipse (1cm and 1.5cm) (1,2.3) node[left, opacity=1] {\small $X$\normalsize};
\draw (3,1) ellipse (1cm and 1.5cm) (3.6,2.3) node[right, opacity=1] {\small $Y$\normalsize};
\draw (2.25,2.7) ellipse (1cm and 1.5cm) (2.8,3.8) node[right, opacity=1] {\small $Z$\normalsize};
\clip (3,1) ellipse (1cm and 1.5cm);
\draw[fill=red!40] (2.25,2.7) ellipse (1cm and 1.5cm);
\draw (1.5,1) ellipse (1cm and 1.5cm) (1,2.3) node[left, opacity=1] {\small $X$\normalsize};
\draw (3,1) ellipse (1cm and 1.5cm) (3.6,2.3) node[right, opacity=1] {\small $Y$\normalsize};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{center}
  \begin{tikzpicture}[thick,scale=.7]
%\draw (0,0) rectangle (8,5);
%\draw[step=1cm] (0,0) grid (8,5);
\draw (2.25,4.3) circle (0pt) node[above] {$X\cup Y$};
\draw[fill=red!40] (1.5,1) ellipse (1cm and 1.5cm) (1,2.3) node[left, opacity=1] {\small $X$\normalsize};
\draw[fill=red!40] (3,1) ellipse (1cm and 1.5cm) (3.6,2.3) node[right, opacity=1] {\small $Y$\normalsize};
\draw (1.5,1) ellipse (1cm and 1.5cm) (1,2.3) node[left, opacity=1] {\small $X$\normalsize};
\draw (2.25,2.7) ellipse (1cm and 1.5cm) (2.8,3.8) node[right, opacity=1] {\small $Z$\normalsize};
\end{tikzpicture}
\quad
  \begin{tikzpicture}[thick,scale=.7]
%\draw (0,0) rectangle (8,5);
%\draw[step=1cm] (0,0) grid (8,5);
\draw (2.25,4.3) circle (0pt) node[above] {$X\cup Z$};
\draw[fill=red!40] (1.5,1) ellipse (1cm and 1.5cm) (1,2.3) node[left, opacity=1] {\small $X$\normalsize};
\draw[fill=red!40] (2.25,2.7) ellipse (1cm and 1.5cm) (2.8,3.8) node[right, opacity=1] {\small $Z$\normalsize};
\draw (1.5,1) ellipse (1cm and 1.5cm) (1,2.3) node[left, opacity=1] {\small $X$\normalsize};
\draw (3,1) ellipse (1cm and 1.5cm) (3.6,2.3) node[right, opacity=1] {\small $Y$\normalsize};
\end{tikzpicture}
\quad
  \begin{tikzpicture}[thick,scale=.7]
%\draw (0,0) rectangle (8,5);
%\draw[step=1cm] (0,0) grid (8,5);
\draw (2.25,4.3) circle (0pt) node[above] {$(X\cup Y)\cap (X\cup Z$)};
\draw[fill=red!40] (1.5,1) ellipse (1cm and 1.5cm) (1,2.3) node[left, opacity=1] {\small $X$\normalsize};
\draw (3,1) ellipse (1cm and 1.5cm) (3.6,2.3) node[right, opacity=1] {\small $Y$\normalsize};
\draw (2.25,2.7) ellipse (1cm and 1.5cm) (2.8,3.8) node[right, opacity=1] {\small $Z$\normalsize};
\clip (3,1) ellipse (1cm and 1.5cm);
\draw[fill=red!40] (2.25,2.7) ellipse (1cm and 1.5cm);
\draw (1.5,1) ellipse (1cm and 1.5cm) (1,2.3) node[left, opacity=1] {\small $X$\normalsize};
\draw (3,1) ellipse (1cm and 1.5cm) (3.6,2.3) node[right, opacity=1] {\small $Y$\normalsize};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Luego $X\cup (Y\cap Z)=(X\cup Y)\cap (X\cup  Z) $. El resto de la demostraci\'{o}n no tiene mayor dificultad. \EndProof



\subsection{Conjuntos indexados}

\paragraph{} Normalmente tendremos que trabajar con m\'{a}s de dos conjuntos, posiblemente con una colecci\'{o}n infinita, por tanto
vamos a introducir la siguiente notaci\'{o}n:

\begin{defi}\rm
 Cuando tengamos una familia de conjuntos, los nombra\-re\-mos por  letras (may\'{u}sculas) con
sub\'{\i}ndices (\textbf{indexar}). \index{Conjunto!Indexar}As\'{\i}, diremos: dada una familia de conjuntos $X_i$, con $i\in I$, (en donde $I$ es un conjunto, llamado el conjunto de \'{\i}ndices) lo que querr\'{a} decir que para cada
elemento $i\in I$ tendremos el conjunto $X_i$. \nomenclature{$\{X_i\}_{i\in I}$}{Conjuntos indexados}
\end{defi}

\begin{ejem}\rm
Consideremos para cada natural $n$ los conjuntos
\begin{eqnarray*}
X_n:&=&\{x\in {\mathbb N}\ \vert\ x\le n\}\\ Y_n:&=&\{x\in {\mathbb N}\ \vert\ x\ge n\}.
\end{eqnarray*}
Tenemos entonces que $X_7=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ o $X_{11}=\{1,2,3,\dots,10,11\}$. Mientras que $Y_7=\{7,8,9,\dots\}$ e $Y_{1000}=\{1000,1001,1002,\dots\}$.
\end{ejem}


\begin{defi}\rm  Dada una familia de conjuntos $X_i$, con $i\in I$ (conjunto de \'{\i}ndices). Se define la \textbf{uni\'{o}n} \index{Conjunto!Uni\'{o}n de} de los $X_i$ y se representa por $\bigcup_{i\in I} X_i$
\nomenclature{$\bigcup_{i\in I}$}{Uni\'{o}n indexada} a un nuevo conjunto que tiene por elementos  los elementos que pertenecen a alg\'{u}n $X_i$. Es decir:
$$\bigcup_{i\in I} X_i=\{z\ \vert \ \exists\footnote{$\exists$: existe.} i \hbox{ con }\ z\in X_i \}$$\end{defi}


\begin{defi}\rm  Dada una familia de conjuntos $X_i$, con $i\in I$. Se define la \textbf{intersecci\'{o}n} \index{Conjunto!Intersecci\'{o}n de}de los $X_i$ y se representa por \nomenclature{$\bigcap_{i\in I}$}{Intersecci\'{o}n indexada}
$\bigcap_{i\in I} X_i$ a un nuevo conjunto que tiene  los elementos que est\'{a}n en todos los  $X_i$.
$$\bigcap_{i\in I} X_i=\{z\ \vert \ \forall\footnote{$\forall$: para todo.} i, \ z\in X_i\}$$\end{defi}



\begin{defi}\rm  Dada una familia finita de conjuntos no vac\'{\i}os $X_i$, con $i=\{1,2,\dots,n\}$ se define el \textbf{producto cartesiano}
\index{Conjunto!Producto Cartesiano de}de los $X_i$  y se representa
por  $X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$ a un nuevo conjunto que tiene  por elementos a todas las n-uplas $(x_1,x_2,\dots,x_n)$ en donde
cada $x_i\in X_i$ para $i\in \{1,2,\dots,n\}$.
$$X_1\times X_2\times\cdots\times X_n:=\{(x_1,x_2,\dots,x_n)\ \vert\ x_i\in X_i\hbox{ para } i=1,2,\dots,n\}$$\end{defi}

\begin{ejem}\rm  Dados $A=\{1,2,a\}$, $B=\{a,b,c\}$ y $D=\{\alpha, \beta\}$,
\begin{eqnarray*}
A\times B\times C&=&\{(1,a,\alpha), (1,b,\alpha), (1,c,\alpha), (2,a,\alpha), (2,b,\alpha), (2,c,\alpha),\\ & & (a,a,\alpha),
(a,b,\alpha),  (a,c,\beta), (1,a,\beta), (1,b,\beta), (1,c,\beta), \\& & (2,a,\beta), (2,b,\beta), (2,c,\beta),
(a,a,\beta), (a,b,\beta), (a,c,\beta) \}
\end{eqnarray*}
\end{ejem}

$\bigstar$ Los ejercicios del 1 al 5 de este tema pueden servirte para comprobar si has asimilado las nociones de esta secci\'{o}n.





\section{Aplicaciones}


\subsection{Definiciones b\'{a}sicas}


\begin{defi}\rm   Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos no vac\'{\i}os. Se define una \textbf{correspondencia} \index{Correspondencia}  de $X$ en $Y$, como un
subconjunto $C\subset X\times Y$.
\end{defi}

\retodo{Siempre tienen problemas con la noci\'{o}n de aplicaci\'{o}n.}


\begin{defi}\rm   Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos no vac\'{\i}os. Se define una \textbf{aplicaci\'{o}n} \index{Aplicaci\'{o}n}$f$ de $X$ en $Y$, y se representa por $f:X\to Y$, como una correspondencia \nomenclature{$f:X\to Y$}{Aplicaci\'{o}n}
 $F\subset X\times Y$ tal que para todo $x\in X$ existe un \'{u}nico $y\in Y$ con $(x,y)\in F$

$$\forall x\in X \quad  \exists !\  y\in Y\quad \vert \quad (x,y)\in F\footnote{$\forall$ para todo; $\exists$ existe; ${!}$ un \'{u}nico; $\vert$ tal que. En conjunto esta formula centrada se lee: para todo $x$ perteneciente a $X$ existe un \'{u}nico $y$ perteneciente a $Y$ tal que $(x,y)$ pertenece a $F$}$$

Este elemento
$y$ no es m\'{a}s que lo que usualmente llamamos $f(x)$. Al conjunto  $X$ se le denomina el \textbf{dominio} \index{Aplicaci\'{o}n!Dominio} de $f$ y se representa por $\Dom(f)$.  Al conjunto  $Y$ se le denomina el \textbf{codominio} \index{Aplicaci\'{o}n!Codominio}de $f$ y se representa por $\CoDom(f)$. \nomenclature{$\vert$}{tal (tales) que}  \nomenclature{$\exists$}{Existe} \nomenclature{$\forall$}{Para todo} \nomenclature{$\Dom(f)$}{Dominio} \nomenclature{$\CoDom(f)$}{Codominio}
\end{defi}

\begin{ejem}\rm \label{ejaplipol} Normalmente daremos una aplicaci\'{o}n dando  una regla que asigna  a cada elemento de $X$  un y s\'{o}lo un
elemento de $Y$. Podemos representar aplicaciones a partir de diagramas de Venn:\index{Diagramas de Venn}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[thick]
%\draw (0,0) rectangle (8,5);
\draw (2,2.5) ellipse (1cm and 2cm) (3.1,4.3) node[left, opacity=1] {$X$};
\draw (6,2.5) ellipse (1cm and 2cm) (6.4,4.3) node[right, opacity=1] {$Y$};
\draw[<-]  (5.8,3.8) node[right] {$2$}--(2,4) node[left]{$1$};
\draw[<-]  (6.2,1.2) node[right] {$4$}--(2.4,3) node[left]{$2$};
\draw[<-]  (6.2,1.2) node[right] {$4$}--(1.9,2) node[left]{$3$};
\draw[<-]  (5.8,3) node[right] {$8$}--(2.3,1.2) node[left]{$4$};
\node at (5.5,2.2) {$6$};
\end{tikzpicture}
\end{center}



En este caso la aplicaci\'{o}n $f$ tiene  dominio $X=\{1,2,3,4\}$, codominio $Y=\{2,4,6,8\}$ y consiste en el subconjunto $F=\{(1,2),(2,4),(3,4),(4,8)\}\subset X\times Y$. En este caso, $f$ puede quedar representada por $f:X\to Y$ definida por  $f(x)=-8+16x-7x^2+x^3$
\end{ejem}


\begin{ejem}\label{ejcas}\rm
\item{$\star$} Sea $f:\mathbb{ N}\to \mathbb{ N}$ definida por $f(n)=2n+1$. En este caso la aplicaci\'{o}n es el subconjunto $\{(n,2n+1)\ \vert\ n\in \mathbb{N}\}$.
\item{$\star$} Sean $X$ e $Y$  dos conjuntos no vac\'{\i}os y $y_0$ un elemento de $Y$.  La \textbf{aplicaci\'{o}n constante}:\index{Aplicaci\'{o}n!Constante}
$f_{y_0}: X\to Y$ definida por $f(x)=y_0$ para todo $x\in X$. En este caso la aplicaci\'{o}n es el subconjunto  $\{(x,y_0)\ \vert\ x\in X\}$.
\item{$\star$} La \textbf{aplicaci\'{o}n identidad}: \index{Aplicaci\'{o}n!Identidad}$\Id_X: X\to X$ definida por $\Id_X(x)=x$ para todo $x\in X$. En este caso la aplicaci\'{o}n es el subconjunto  $\{(x,x)\ \vert\ x\in X\}$. \nomenclature{$\Id_X$}{Aplicaci\'{o}n identidad en $X$}
\end{ejem}

\begin{defi}\rm \label{deffunpp}\rm  Diremos que dos aplicaciones $f,g$ son \textbf{iguales} si $\Dom(f)=\Dom(g)$, $\CoDom(f)=\CoDom(g)$ y para todo $x\in \Dom(f)$ se tienen que $f(x)=g(x)$ (es decir, el subconjunto que las define es el mismo).\index{Aplicaci\'{o}n!Igualdad de} \nomenclature{$=$}{igualdad de aplicaciones}\end{defi}

En el \fullref{ejemplo}{ejaplipol}{} la aplicaci\'{o}n $f$ puede  ser representada por  $$f:X\to Y\quad\text{con}\quad \left\{\begin{array}{ll}
                                                                                         f(x)=-8+16x-7x^2+x^3, & \hbox{o} \\
                                                                              f(x)=16 - 34 x + 28 x^2 - 9 x^3 + x^4, &
\end{array}
  \right.
$$

Ya que ambas definiciones de $f$ tienen el mismo dominio, el mismo codominio y verifican que $f(1)=2$, $f(2)=f(3)=4$, y $f(4)=8$, por lo que son la misma aplicaci\'{o}n.

\timeclase{Fin de clase 2; 29-09-2011, grupo A y B}

\retodo{Otra vez nos encontramos aqu\'{\i} con un concepto nuevo (son dos imagen e imagen inversa). Explicar el concepto ?`con diagramas de Venn? y luego dar la definici\'{o}n matem\'{a}tica.}

\begin{defi}\label{fundireinmv}\rm  Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos no vac\'{\i}os
y $f:X\to Y$ una aplicaci\'{o}n.

\item{$\bullet$} Dado un subconjunto $A$ de $X$ se define la imagen de $A$ por $f$ y se denota por $f(A)$ como:$$f(A):=\{f(a)\
\vert\ a\in A\}\subset Y$$ Se define la \textbf{imagen} \index{Aplicaci\'{o}n!Imagen}de $f$ como $\im(f):=f(X)$. \nomenclature{$\im(f)$}{imagen}
\nomenclature{$f(A)$}{imagen  de un subconjunto}

\textbf{Nota:} Visto en diagramas de Venn, la imagen de $f$ son los elementos de $Y$ a los que les llega alguna flecha de alg\'{u}n elemento de $X$. Si miramos la aplicaci\'{o}n dada en el \fullref{ejemplo}{ejemploaplic}{} (un p\'{a}rrafo abajo) la aplicaci\'{o}n $f$ tiene por imagen $\im(f):=\{y,4,a,1\}$.

\item{$\bullet$}  Dado un subconjunto $B$ de $Y$ se define la \textbf{imagen inversa} de $B$ por $f$ y se denota por $f^{-1}(B)$ como: \index{Aplicaci\'{o}n!Imagen inversa}
$$f^{-1}(B):=\{x\in X\ \vert\ f(x)\in B\}\subset X$$
\end{defi}

\begin{ejem}\label{ejemploaplic} Consideremos la aplicaci\'{o}n:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[thick]
%\draw (0,0) rectangle (8,5);
\draw (2,2.5) ellipse (1cm and 2cm) (3.1,4.3) node[left, opacity=1] {$X$};
\draw (8,2.5) ellipse (1cm and 2cm) (6.4,4.3) node[right, opacity=1] {$Y$};
\draw[<-]  (8.2,1.2) node[right] {$1$}--(2,4) node[left]{$1$};
\draw[<-]  (7.8,3.2) node[right] {$4$}--(1.7,2.4) node[left]{$2$};
\draw[<-]  (8,4) node[right] {$y$}--(2,3.2) node[left]{$3$};
\draw[<-]  (7.8,3.2) node[right] {$4$}--(2.5,1) node[left]{$4$};
\draw[<-]  (7.4,2.4) node[right] {$a$}--(2.3,2) node[left]{$5$};
\draw[<-]  (7.8,3.2) node[right] {$4$}--(2,1.5) node[left]{$6$};
\node at (8.5,2.2) {$b$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Tenemos entonces que
\begin{align*}
&f(\{1,2,3\})=\{1,4,y\},\quad f(\{2,4,6\})=\{4\},\hskip.8truecm f(\{4,5\})=\{4,a\}\\
&f^{-1}(\{b\})=\emptyset,\hskip2truecm f^{-1}(\{4\})=\{2,4,6\},\quad f^{-1}(\{a,4,y\})=\{2,3,4,5,6\}
\end{align*}
\end{ejem}

\noindent \textbf{Nota:} Dada una aplicaci\'{o}n $f:X\to Y$ acabamos de definir dos aplicaciones:
\begin{align*} \Phi_f:{\cal P}(X)\to
{\cal P}(Y)&\hbox{ definida por } \Phi_f(A):=f(A)\\
\Psi_f:{\cal P}(Y)\to {\cal P}(X)&\hbox{ definida por } \Psi_f(B):=f^{-1}(B)
\end{align*}




\retodo{Siempre tienen problemas con inyectiva, sobreyectiva, biyectiva. Hay que dar la noci\'{o}n intuitiva (diagramas de Venn), la definici\'{o}n matem\'{a}tica y en la practica como se demuestra que una aplicaci\'{o}n es... }

\begin{defi}\rm   Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos no vac\'{\i}os y $f:X\to Y$ una aplicaci\'{o}n.  Diremos que $f$ es:\index{Aplicaci\'{o}n!Inyectiva} \index{Aplicaci\'{o}n!Sobreyectiva} \index{Aplicaci\'{o}n!Biyectiva}

\item{$\bullet$}  \textbf{inyectiva}:  Si para todo par de elementos  $x,y\in X$, con $x\ne y$, se tiene que $f(x)\ne f(y)$. Es decir, dos elementos distintos de $X$ no pueden ir a para al mismo sitio. Esta noci\'{o}n es bastante clara cuando usamos diagramas de Venn:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[thick,scale=.7]
%\draw (0,0) rectangle (8,5);
\draw (2,2.5) ellipse (1cm and 2cm) (3.1,4.3) node[left, opacity=1] {$X$};
\draw (6,2.5) ellipse (1cm and 2cm) (6.4,4.3) node[right, opacity=1] {$Y$};
\draw[<-]  (5.8,3.8) node[right] {$1$}--(2,4) node[left]{$a$};
\draw[<-]  (6.2,1.2) node[right] {$2$}--(2.4,3) node[left]{$b$};
\draw[<-]  (6.2,1.2) node[right] {$2$}--(1.9,2) node[left]{$c$};
\draw[<-]  (5.8,3) node[right] {$5$}--(2.3,1.2) node[left]{$d$};
\node at (5.5,2.2) {$6$};
\node at (4,4.7) {$g_1$};
\end{tikzpicture} \quad
\begin{tikzpicture}[thick,scale=.7]
%\draw (0,0) rectangle (8,5);
\draw (2,2.5) ellipse (1cm and 2cm) (3.1,4.3) node[left, opacity=1] {$X$};
\draw (6,2.5) ellipse (1cm and 2cm) (6.4,4.3) node[right, opacity=1] {$Y$};
\draw[<-]  (5.8,3.8) node[right] {$1$}--(2,4) node[left]{$a$};
\draw[<-]  (6.2,1.2) node[right] {$2$}--(2.4,3) node[left]{$b$};
\draw[<-]  (5.5,2.2) node[right] {$6$}--(1.9,2) node[left]{$c$};
\draw[<-]  (5.8,3) node[right] {$5$}--(2.3,1.2) node[left]{$d$};
\node at (4,4.7) {$h_1$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
La aplicaci\'{o}n $g_1$ no es inyectiva, ya que al elemento $2$ de $Y$ le llegan dos flechas ($b$ y $c$ son dos elementos distintos de $X$ que tienen por imagen el $2$. La aplicaci\'{o}n $h_1$ si es inyectiva, a ning\'{u}n elemento de $Y$ le llegan dos flechas).

\textbf{Nota:} la inyectividad significa que dos elementos distintos van a parar a sitios distintos, o lo que es lo mismo, que un elemento de $Y$ no puede ser imagen de dos elementos de $X$. Por tanto, para demostrar que una aplicaci\'{o}n $f$ es inyectiva se supondr\'{a} que hay \textquotedblleft dos\textquotedblright\ elementos $x,x'\in X$ tales que $f(x)=f(x')$ y se demostrar\'{a} que $x=x'$. Estamos usando la equivalencia de los enunciados:
$$\text{ si p entonces q} \quad \iff\quad \text{si no q entonces no p}$$
 en donde $p$ es  \textquotedblleft $x$ es distinto de $x'$\textquotedblright\ ,  $q$ es \textquotedblleft $f(x)$ es distinto de $f(x')$\textquotedblright\  y por tanto, no $p$ es $x$ es igual a $x'$ y no $q$ es $f(x)$ es igual que $f(x')$.


 \item{$\bullet$} \textbf{sobreyectiva}: si para todo $y\in Y$ existe un $x\in X$ tal que $f(x)=y$. Es decir, todo elemento de $Y$ es imagen  de alg\'{u}n elemento de $X$. Al igual que con la noci\'{o}n de inyectividad, la sobreyectividad es bastante clara usando diagramas de Venn:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[thick,scale=.7]
%\draw (0,0) rectangle (8,5);
\draw (2,2.5) ellipse (1cm and 2cm) (3.1,4.3) node[left, opacity=1] {$X$};
\draw (6,2.5) ellipse (1cm and 2cm) (6.4,4.3) node[right, opacity=1] {$Y$};
\draw[<-]  (5.8,3.8) node[right] {$a$}--(2,4) node[left]{$1$};
\draw[<-]  (6.2,1.2) node[right] {$b$}--(2.4,3) node[left]{$2$};
\draw[<-]  (5.5,2.2) node[right] {$c$}--(1.9,2) node[left]{$3$};
\draw[<-]  (5.8,3) node[right] {$d$}--(2.3,1.2) node[left]{$4$};
\node at (4,4.7) {$g_2$};
\end{tikzpicture}\quad
\begin{tikzpicture}[thick,scale=.7]
%\draw (0,0) rectangle (8,5);
\draw (2,2.5) ellipse (1cm and 2cm) (3.1,4.3) node[left, opacity=1] {$X$};
\draw (6,2.5) ellipse (1cm and 2cm) (6.4,4.3) node[right, opacity=1] {$Y$};
\draw[<-]  (5.8,3.8) node[right] {$a$}--(2,4) node[left]{$1$};
\draw[<-]  (6.2,1.2) node[right] {$b$}--(2.4,3) node[left]{$2$};
\draw[<-]  (5.8,3.8) node[right] {$a$}--(1.9,2) node[left]{$3$};
\draw[<-]  (5.8,3) node[right] {$c$}--(2.3,1.2) node[left]{$4$};
\node at (5.5,2.2) {$d$};
\node at (4,4.7) {$h_2$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

La aplicaci\'{o}n $g_2$ es sobreyectiva, ya que a todo elemento de $Y$ le llega una flecha. La aplicaci\'{o}n $h_2$ no es sobreyectiva, ya que $d$ no es imagen de ning\'{u}n elemento de $X$ (a $d$ no le llega ninguna flecha).

 \item{$\bullet$} \textbf{biyectiva}: si es a la vez inyectiva y sobreyectiva. Las aplicaciones $h_1$ y $g_2$ son biyectivas, ya que a cada elemento de $Y$ le llega una y s\'{o}lo una flecha de $X$.
\end{defi}


\begin{ejem}\rm
\item{$\star$} Dada una aplicaci\'{o}n $f:X\to Y$ y dado $X'$ un subconjunto de $X$ tenemos la \textbf{restricci\'{o}n de $f$} a $X'$ como:
$f\vert_{X'}:X'\to Y$ definida por $f\vert_{X'}(x)=f(x)$. \index{Aplicaci\'{o}n!Restricciones}
\item{$\star$} Dada una aplicaci\'{o}n $f:X\to Y$ y dado $Y'$ un subconjunto de $Y$ con $\im(f)\subset Y'$ tenemos \textbf{restricci\'{o}n de $f$} a $Y'$ como:
$f\vert_{Y'}:X\to Y'$ definida por $f\vert_{Y'}(x)=f(x)$.
\end{ejem}

\begin{lema}\rm \label{lem5}
 Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos no vac\'{\i}os y $f:X\to Y$ una aplicaci\'{o}n. Entonces:
 \begin{enumerate}
  \item[(i)]  $f$  es sobreyectiva si y s\'{o}lo si $\im(f)=Y$.
\item[(ii)] La restricci\'{o}n de una aplicaci\'{o}n $f$ a su imagen,  $f\vert_{\im(f)}:X\to\im(f)$ es una aplicaci\'{o}n sobreyectiva.
\item[(iii)] Si $f:X\to Y$ es inyectiva y $X'$ es un subconjunto de $X$, entonces $f\vert_{X'}:X'\to Y$ es tambi\'{e}n
inyectiva.
\item[(iv)]  $f:X\to Y$ es inyectiva si y s\'{o}lo si para todo $y\in Y$ el conjunto $f^{-1}(\{y\})$ tiene como mucho un elementos.  (ejercicio)
\item[(v)]  $f:X\to Y$ es sobreyectiva si y s\'{o}lo si para todo $y\in Y$ el conjunto $f^{-1}(\{y\})$ tiene al menos un elemento. (ejercicio)
 \end{enumerate}
\end{lema}


\noindent \pdfcomment[icon=Check,hspace=0.5 truecm,author={Puntos clave},markup=Underline,color=verde]{Cualquier apartado debe de poder demostrarse sin problemas.} \textbf{Demo:}  Los tres apartados son obvios (ten\'{e}is que demostrarlo vosotros).  \EndProof

\begin{ejem}\rm
\item{$\star$} La aplicaci\'{o}n $f:\mathbb{ R} \to \mathbb{ R}$ definida por $f(x)=2x+1$ es biyectiva.
\item{$\star$} La aplicaci\'{o}n $g:\mathbb{ N} \to \mathbb{ N}$ definida por $g(x)=2x+1$ es s\'{o}lo inyectiva. No existe ning\'{u}n natural
$n$ tal que $f(n)=4$.
\item{$\star$} La aplicaci\'{o}n $h:\mathbb{ R} \to \mathbb{ R}$ definida por $h(x)=x^2$ no es ni inyectiva ni sobreyectiva.
$h(2)=h(-2)$ por lo que no es inyectiva y no existe ning\'{u}n elemento $x\in \mathbb{ R}$ tal que $f(x)=-1$, por lo que no
es sobreyectiva.
\end{ejem}


\subsection{Composici\'{o}n de aplicaciones}
\begin{defi}\rm  Sean $X,Y,Z$ tres conjuntos y $f:X\to Y$ y $g: Y \to Z$ dos aplicaciones. Se define la \textbf{composici\'{o}n} \index{Aplicaci\'{o}n!Composici\'{o}n de}de $f$ con $g$ y se
representa por $g\circ f$ como la aplicaci\'{o}n $$g\circ f:X\to Z \quad\hbox{definida por } g\circ f(x):=g(f(x)) \quad\forall\  x\in X$$ \nomenclature{$g\circ f$}{composici\'{o}n de aplicaciones}
\end{defi}

\noindent \textbf{Nota:} Observar que el dominio de $g\circ f$ es el dominio de $f$ y el recorrido de $g\circ f$ es el recorrido de $g$.

\begin{ejem}
  Sea $\NN$ el conjunto de los naturales y sean $f:\NN\to \NN$ y $g:\NN\to \NN$ las aplicaciones definidas por:
  $$f(n)=2n+1\quad\text{y}\quad g(n)=n^2$$
  Tenemos entonces que $g\circ f$ es la aplicaci\'{o}n $g\circ f:\NN\to \NN$ definida por $$g\circ f(n)=g(f(n))=g(2n+1)=(2n+1)^2.$$ Y que $f\circ g$ es la aplicaci\'{o}n $f\circ g:\NN\to \NN$ definida por $$f\circ g(n)=f(g(n))=g(n^2)=2n^2+1.$$
\end{ejem}

\begin{theo}\rm Sean $X,Y,Z$ y $T$ cuatro conjuntos no vac\'{\i}os y consideremos $$f:X\to Y,\quad g:Y\to Z,\quad h:Z\to T$$ tres aplicaciones. Entonces $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$.\end{theo}

\noindent \pdfcomment[icon=Check,hspace=0.5 truecm,author={Puntos clave},markup=Underline,color=verde]{Para demostrar este teorema debes de hacer uso de la definici\'{o}n de igualdad de aplicaciones: tienes que demostrar que las aplicaciones  $h\circ (g\circ f)$ y $(h\circ g)\circ f$ tienen el mismo dominio y codominio y que evaluadas en cualquier elemento de su dominio ambas coinciden. } \textbf{Demo:}  Es una mera comprobaci\'{o}n: El dominio de ambas aplicaciones es $X$ y el codominio de ambas aplicaciones es $T$. Es m\'{a}s, dado cualquier  $x\in X$ se tiene que,
\begin{align*}
   h\circ (g\circ f)(x)&=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x)))\cr
   (h\circ g)\circ f(x)&=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))
\end{align*}
Luego las aplicaciones $h\circ (g\circ f)$ y  $(h\circ g)\circ f$ coinciden para todo $x\in X$, lo que demuestra que son la misma aplicaci\'{o}n, ver \fullref{definici\'{o}n}{deffunpp}{}.
 \EndProof

\textbf{Nota:} La composici\'{o}n de aplicaciones no tiene que verificar la propiedad conmutativa. Es m\'{a}s, si dominio y codominio no son el mismo conjunto no tiene sentido esta pregunta, e incluso si $X$ un conjunto no vac\'{\i}o y $f,g:X\to X$ son dos aplicaciones  no tiene que verificarse que $f\circ g=g\circ f$.

Ver definici\'{o}n de $\Id_X$ en \fullref{el ejemplo}{ejcas}{$\star_3$}.

\begin{lema}\rm Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos no vac\'{\i}os y  $f: X\to Y$ una aplicaci\'{o}n.
\item{(i)}  Si $\Id_Y$ denotan la aplicaci\'{o}n identidad en $Y$, entonces $\Id_Y\circ f=f$.
\item{(ii)}  Si $\Id_X$ denotan la aplicaci\'{o}n identidad en $X$, entonces $f\circ \Id_X=f$.
\end{lema}

\noindent \pdfcomment[icon=Check,hspace=0.5 truecm,author={Puntos
clave},markup=Underline,color=verde]{Simplemente hay que saberse la definici\'{o}n de igualdad de aplicaciones y comprobar que estas aplicaciones son la misma} \textbf{Demo:}  Los dos apartados son obvios.
\EndProof


\begin{prop}\rm\label{funinyinv}  Sean $X$, $Y$ y $Z$ tres conjuntos no vac\'{\i}os y $f:X\to Y$, $g:Y\to Z$ dos aplicaciones. Entonces:
\item{(i)} Si $f$ y $g$ son inyectivas, entonces $g\circ f$ es inyectiva.
\item{(ii)} Si $f$ y $g$ son sobreyectivas, entonces $g\circ f$ es sobreyectiva. \hfill (ejercicio)
\item{(iii)} Si $g\circ f$ es inyectiva, entonces $f$ es inyectiva.\hfill
    (ejercicio)
\item{(iv)} Si $g\circ f$ es sobreyectiva, entonces $g$ es sobreyectiva.
\item{(v)} $f$ y $g$ son biyectivas, entonces  $g\circ f$ es biyectiva.
\end{prop}


\noindent \pdfcomment[icon=Check,hspace=0.5 truecm,author={Puntos
clave},markup=Underline,color=verde]{Si tienes claras las definiciones  debes
de poder demostrar cualquier apartado sin problemas.} \textbf{Demo:} \par
(i). Supongamos que $f$ y $g$ son dos aplicaciones inyectivas y consideremos
$x_1,x_2\in X$ tales que $g\circ f(x_1)=g\circ f(x_2)$ (tenemos que
demostrar, para ver que $g\circ f$ es inyectiva, que $x_1=x_2$). Por
definici\'{o}n
$$g(f(x_1))=g\circ f(x_1)=g\circ f(x_2)=g(f(x_2))$$ por tanto, como $g$ es
inyectiva, $f(x_1)=f(x_2)$ y como $f$ es  inyectiva $x_1=x_2$.

(iv). Supongamos que $g\circ f:X\to Z$ es una aplicaci\'{o}n sobreyectiva y
veamos que $g:Y\to Z$ es tambi\'{e}n sobreyectiva. Dado $z\in Z$ tenemos que
encontrar un $y\in Y$ tal que $g(y)=z$. Como $g\circ f$ es sobreyectiva,
existe $x\in X$ tal que $z=g\circ f(x)=g(f(x))$. Por tanto, $y=f(x)$ es el
elemento que buscamos: $$g(y)=g(f(x))=g\circ f(x)=z$$

(v) es corolario de (i) y (ii). \EndProof

\retodo{Es claro que estos resultados les cuesta.}
\timeclase{Fin de clase 3; 30-09-2011, grupo A y B}

\begin{prop}\rm \label{cachoinysobr} Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos no vac\'{\i}os y $f:X\to Y$ una aplicaci\'{o}n. Entonces,
\item{(i)} $f$ es sobreyectiva si y s\'{o}lo si existe $g: Y\to X$ tal que $f\circ g=Id_Y$. Es m\'{a}s, si $g$ es \'{u}nica, $f$ es biyectiva.
\item{(ii)} $f$ es inyectiva si y s\'{o}lo si  existe  $g: Y\to X$ tal que $g\circ f=\Id_X$. Es m\'{a}s, si $g$ es \'{u}nica,
$f$ es biyectiva o $\# X=1$ \footnote{ver \fullref{la definici\'{o}n}{Carord}{}}. \nomenclature{$\# X$}{Cardinal de $X$}
\end{prop}

\noindent \pdfcomment[icon=Check,hspace=0.5 truecm,author={Puntos
clave},markup=Underline,color=azul]{Aunque es un resultado algo m\'{a}s dif\'{\i}cil, la construcci\'{o}n de g es l\'{o}gica (en ambos apartados) por lo que debe de comprenderse (a lo mejor con alg\'{u}n esfuerzo). Pon un ejemplo con diagramas de Venn y construye la aplicaci\'{o}n $g$ (el proceso es el mismo).}
\textbf{Demo:} (i) Si existe una aplicaci\'{o}n $g:Y\to X$ tal que $f\circ g=\Id_Y$, por \fullref{la proposici\'{o}n}{funinyinv}{(iv)}, $f$ es sobreyectiva (ya que la aplicaci\'{o}n $\Id_Y$ es sobreyectiva). Supongamos ahora que $f:X\to Y$ es una aplicaci\'{o}n sobreyectiva (para terminar de demostrar el apartado tenemos que construir una aplicaci\'{o}n $g:Y\to X$ tal que $f\circ g=\Id_Y$). Dado $y\in Y$ como $f$ es sobreyectiva, $f^{-1}(\{y\})\ne \emptyset$. Por tanto para cada $y\in Y$ elegimos un $x\in f^{-1}(\{y\})$ y definimos $g:Y\to X$ como
$$g(y)=x\quad \text{siendo $x$ el elemento  elegido anteriormente en  $f^{-1}(\{y\})$}.$$
 Tenemos entonces que $f\circ g (y)=f(g(y))=y$ (ya que por construcci\'{o}n $g(y)\in f^{-1}(\{y\})$. Es m\'{a}s como la elecci\'{o}n de $x\in f^{-1}(\{y\})$ es arbitraria, si existe un $y\in Y$ tal que el conjunto  $f^{-1}(\{y\})$ tiene m\'{a}s de un elemento, entonces podemos definir m\'{a}s de una $g$, en caso contrario, si para todo $y\in Y$ el conjunto $f^{-1}(\{y\})$ tiene un elemento, la  aplicaci\'{o}n es inyectiva, ver \fullref{el ejercicio}{inyinvapli}{}.


(ii) Si existe una aplicaci\'{o}n $g:Y\to X$ tal que $g\circ f=\Id_X$, por \fullref{la proposici\'{o}n}{funinyinv}{(iii)}, $f$ es inyectiva (ya que la aplicaci\'{o}n $\Id_X$ es inyectiva). Supongamos ahora que $f:X\to Y$ es una aplicaci\'{o}n inyectiva (para terminar de demostrar el apartado tenemos que construir una aplicaci\'{o}n $g:Y\to X$ tal que $g\circ f=\Id_X$).  Sea $\im(f)$ la imagen de $f$ y consideremos $Y=\im(f)\cup \overline{\im(f)}$ ($Y$ queda partido en dos trozos, por un lado la imagen de $f$ y por el otro lo que falta, el complemento de la imagen).  Por \'{u}ltimo elegimos un elemento arbitrario de $X$, llam\'{a}ndolo $x_0$. Definimos entonces la aplicaci\'{o}n $g$. Dado $y\in Y$:
$$g(y):=\left\{
         \begin{array}{ll}
           x, & \hbox{si $y\in \im(f)$ donde x es el \'{u}nico elemento de $X$ tal que $f(x)=y$;} \\
           x_0, & \hbox{si $y\notin \im(f)$.}
         \end{array}
       \right.$$
Tenemos entonces que $g\circ f(x)=g(f(x))$ y por como hemos definido $g$, como $f(x)\in \im(f)$, $g(f(x))$ es el \'{u}nico elemento de $X$, llam\'{e}moslo  $a$, tal que $f(a)=f(x)$ es decir, $g(f(x))=x$. Por \'{u}ltimo, observar que si $\#X>1$ y $f$ no es sobreyectiva, es decir, $\im(f)\ne Y$ (o equivalentemente $\overline{\im(f)}\ne \emptyset$) podemos definir m\'{a}s de una $g$ (cada vez que cambiamos el $x_0$ [por hip\'{o}tesis hay m\'{a}s de uno] tenemos una nueva $g$ que verifica la tesis).\EndProof

\begin{center}
\shadowbox{\parbox{\columnwidth+0\fboxsep+10\fboxrule-\shadowsize}{
\centering
\begin{theo}\rm \label{thbiy} Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos no vac\'{\i}os y $f:X\to Y$ una aplicaci\'{o}n. Las siguientes condiciones son equivalentes:
\begin{enumerate}
 \item[\quad (i)] $f$ es biyectiva.
 \item[\quad (ii)]  Existe una aplicaci\'{o}n $g: Y\to X$ tal que $f\circ g=\Id_Y$ y $g\circ f=\Id_X$.
\end{enumerate}
 Es m\'{a}s,  $g$ es \'{u}nica, que denotaremos por $f^{-1}$. En este caso se dice que  $f$  es \textbf{inversible} \index{Elemento inverso!Aplicaci\'{o}n inversible}con inversa $f^{-1}$.\nomenclature{$f^{-1}$}{aplicaci\'{o}n inversa}
\end{theo}
}}
\end{center}

\noindent \pdfcomment[icon=Check,hspace=0.5 truecm,author={Puntos
clave},markup=Underline,color=verde]{Es corolario del teorema anterior. Hay que tener un poco de cuidado ya que si $f$ es biyectiva, por ser sobreyectiva el apartado (i) te da una inversa por la derecha y por ser sobreyectiva el apartado (ii) te da una inversa por la izquierda, pero no se ha demostrado que tengan que ser la misma.}
\textbf{Demo:}  Supongamos que estamos en las condiciones de (ii). Entonces por \fullref{la proposici\'{o}n}{cachoinysobr}{(i)} $f$ es sobreyectiva, ya que $f\circ g=\Id_Y$ y por \fullref{la proposici\'{o}n}{cachoinysobr}{(ii)} $f$ es inyectiva, ya que $g\circ f=\Id_X$. Por tanto $f$ es biyectiva. Supongamos ahora que $f$ es biyectiva. Entonces, como $f$ es sobreyectiva,  por \fullref{la proposici\'{o}n}{cachoinysobr}{(i)} existe una aplicaci\'{o}n $g:Y\to X$ tal que $f\circ g=\Id_Y$ y como $f$ es inyectiva,  por \fullref{la proposici\'{o}n}{cachoinysobr}{(ii)} existe una aplicaci\'{o}n $g':Y\to X$ tal que $g'\circ f=\Id_X$ (nadie nos asegura en principio que tengan que ser la misma). Por \'{u}ltimo,
$$g'=g'\circ \Id_Y=g'\circ (f\circ g)=(g'\circ f)\circ g=\Id_X\circ g=g$$
Es m\'{a}s, la identidad anterior nos demuestra que  $g$ es \'{u}nica.\EndProof



\begin{prop}\rm Sean $X$, $Y$ y $Z$ tres conjuntos no vac\'{\i}os y $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ dos aplicaciones biyectivas. Entonces $g\circ f$ es biyectiva, por tanto inversible con inversa, $$(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.$$
\end{prop}

\noindent \pdfcomment[icon=Check,hspace=0.5 truecm,author={Puntos
clave},markup=Underline,color=verde]{Es una mera comprobaci\'{o}n.}
\textbf{Demo:} Comprobemos simplemente que $f^{-1}\circ g^{-1}$ es la inversa de $g\circ f$. Tendremos entonces que  $g\circ f$ es biyectiva por \fullref{el Teorema}{thbiy}{}.
\begin{align*}
  (f^{-1}\circ g^{-1})\circ (g\circ f)&=f^{-1}\circ (g^{-1}\circ g)\circ f=f^{-1}\circ \Id_Y\circ f=f^{-1}\circ  f=\Id_X\\
  (g\circ f)\circ (f^{-1}\circ g^{-1})&=g\circ (f\circ f^{-1})\circ g^{-1}=g\circ \Id_X\circ g^{-1}=g\circ  g^{-1}=\Id_Y.
\end{align*}
Lo que demuestra la proposici\'{o}n. \EndProof

\textbf{Nota:} Dados dos conjuntos no vac\'{\i}os $X,Y$ y  una aplicaci\'{o}n $f:X\to Y$ NO SE DEBE CONFUNDIR la imagen inversa
de un subconjunto $B$ de $Y$ por $f$, denotado por $f^{-1}(B)$, con la inversa de la aplicaci\'{o}n (QUE S\'{O}LO EXISTIR\'{A} SI
$f$ ES BIYECTIVA).
\vskip.5truecm
$\bigstar$ Los ejercicios del 7 al 18 de este tema pueden servirte para comprobar si has asimilado las nociones de esta secci\'{o}n.

\timeclase{Fin de clase 4; 04-10-2011, grupo A y B}

\section{Relaciones}

\begin{defi}\rm Se define una \textbf{relaci\'{o}n} \index{Relaci\'{o}n}en un conjunto no vac\'{\i}o $X$, y se denota por $\cal R$, como cualquier
subconjunto del producto cartesiano $X\times X$. Si un elemento $(a,b)\in {\cal R}$ diremos que $a$ est\'{a} relacionado
con $b$ y lo denotaremos por $a\mathrel{{\cal R}} b$. \nomenclature{$a\mathrel{{\cal R}} b$}{a relacionado con b}
\end{defi}


\begin{ejem}\rm
\item{$\star$} En el conjunto de los n\'{u}meros naturales definimos la relaci\'{o}n \textquotedblleft ser menor o igual que\textquotedblright, es decir,
diremos $n\mathrel{{\cal R}} m$ si y s\'{o}lo si $n\le m$. As\'{\i}, $3\mathrel{{\cal R}} 5$ si est\'{a}n relacionados, mientras que $5\mathrel{{\cal R}}2$ no. \nomenclature{$\le$}{relaci\'{o}n menor o igual}
\item{$\star$} Podemos considerar, en el conjunto de los seres humanos, la relaci\'{o}n  \textquotedblleft ser hermano de\textquotedblright.
\end{ejem}

\begin{defi}\rm Sea $X$ un conjunto no vac\'{\i}o y $\cal R$ una relaci\'{o}n en $X$. Diremos que $\cal R$ verifica la
propiedad: \index{Relaci\'{o}n! Reflexiva} \index{Relaci\'{o}n!Transitiva} \index{Relaci\'{o}n!Sim\'{e}trica} \index{Relaci\'{o}n!Antisim\'{e}trica}
\item{$\bullet$} \textbf{Reflexiva:} Para todo $x\in X$, se tiene que $x\mathrel{{\cal R}} x$.
\item{$\bullet$} \textbf{Transitiva:}  Si $x\mathrel{{\cal R}} y$ e $y\mathrel{{\cal R}} z$, entonces $x\mathrel{\mathrel{{\cal R}}} z$.
\item{$\bullet$} \textbf{Sim\'{e}trica:}  Si $x\mathrel{{\cal R}} y$,  entonces $y\mathrel{{\cal R}} x$.
\item{$\bullet$} \textbf{Antisim\'{e}trica:}  Si $x\mathrel{{\cal R}} y$ e $y\mathrel{{\cal R}} x$, entonces $x=y$.
\end{defi}

\retodo{La antisim\'{e}trica se puede enunciar si $x\mathrel{{\cal R}} y$ y $x\ne y$ entonces $y$ no esta relacionado con $x$.}

\begin{ejem}
Consideremos las siguientes relaciones:
\begin{align*} {\cal R}:&=\{(x,y)\in {\mathbb N}\times {\mathbb N}\ \vert\ x \hbox{ divide a } y\}\\
{\cal R'}:&=\{(x,x+1)\ \vert\ \hbox{ con } x\in {\mathbb N}\}\\
 {\cal R''}:&=\{(1,1), (2,2), (a,a), (1,a), (a,1)\}\hbox { en } A=\{1,2,a\}
\end{align*} Entonces: $\cal R$ es reflexiva, transitiva y antisim\'{e}trica (no es
sim\'{e}trica). $\cal R'$ verifica solamente la propiedad antisim\'{e}trica. $\cal R''$ es reflexiva, transitiva y sim\'{e}trica
(no es antisim\'{e}trica).
\end{ejem}


\subsection{Relaci\'{o}n de equivalencia.}


\begin{defi}\rm  \index{Relaci\'{o}n De Equivalencia}
Sea $X$ un conjunto no vac\'{\i}o y $\cal R$ una relaci\'{o}n  en $X$. Diremos que $\cal R$ es una \textbf{relaci\'{o}n de
equivalencia} si verifica las propiedades reflexiva, transitiva y sim\'{e}trica.
\end{defi}

\begin{ejem}[La relaci\'{o}n de Congruencia]\rm\par  \nomenclature{$\dot n$}{m\'{u}ltiplo de $n$}
 Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de los enteros y sea $n\in \mathbb{Z}$. Definimos la relaci\'{o}n $$a{\cal R}b\quad \iff\quad a-b=\dot n\quad (\hbox{$a-b$ es multiplo de $n$})$$
Tenemos que $\cal R$ es una relaci\'{o}n de equivalencia, llamada la \textbf{relaci\'{o}n de congruencia modulo} $n$. Esta relaci\'{o}n se denota de forma especial. As\'{\i}, si dos enteros  $a,b\in \mathbb{Z}$ est\'{a}n relacionados se denotar\'{a} por $a\equiv b\ (\Mod n)$. \nomenclature{$a\equiv b\ (\Mod n)$}{a congruente con b m\'{o}dulo $n$} \index{Relaci\'{o}n De Equivalencia!Congruencias}
\end{ejem}

\noindent \pdfcomment[icon=Check,hspace=0.5 truecm,author={Puntos
clave},markup=Underline,color=verde]{Es una mera comprobaci\'{o}n. Si comprendes la definici\'{o}n de relaci\'{o}n de equivalencia  lo debes de poder demostrar sin problemas}
\textbf{Demo:} Veamos que la relaci\'{o}n de congruencia  verifica las  propiedades  reflexiva, transitiva y sim\'{e}trica:

$(i).$ Reflexiva:  dado $x\in \ZZ$, tenemos que $x-x=0\cdot n$ por lo que $x\equiv x (\Mod n)$.

$(ii).$ Transitiva: Sean $x,y,z\in \ZZ$ tales que $x\equiv y\ (\Mod n)$ e $y\equiv z\ (\Mod n)$. Tenemos entonces que existe un $\alpha\in \ZZ$ tal que $x-y=\alpha n$ y existe un $\beta\in \ZZ$ tal que $y-z=\beta n$. Por tanto $$x-z=(x-y)+(y-z)=\alpha n+\beta n=(\alpha+\beta)n.$$ Luego $x\equiv z (\Mod n)$.

$(iii).$ Sim\'{e}trica: Sean $x,y\in \NN$ tales que $x\equiv y (\Mod n)$. Por definici\'{o}n existe $\alpha\in \ZZ$ tal que $x-y=\alpha n$. As\'{\i}, $y-x=(-\alpha)n$ y por tanto $y\equiv x (\Mod n)$.
\EndProof


\begin{ejem} Sean $X,Y$ dos conjuntos no vac\'{\i}os y $f:X\to Y$ una aplicaci\'{o}n. Entonces la relaci\'{o}n $a{\cal R}b\ \iff\ f(a)=f(b)$ es de equivalencia. \hfill (Ejercicio)
\end{ejem}


La siguiente definici\'{o}n nos va a permitir construir nuevos ejemplos de relaciones de equivalencia. Como veremos al final de esta secci\'{o}n, cualquier relaci\'{o}n de equivalencia ser\'{a} de este tipo.

\begin{defi}\rm
Sea $X$ un conjunto no vac\'{\i}o y ${\cal P}=\{A_i\}_{i\in I}$ una familia de subconjuntos de $X$. Diremos que $\cal P$ es
una \textbf{partici\'{o}n} de $X$ si: \index{Partici\'{o}n} \nomenclature{${\cal P}$}{partici\'{o}n}
\begin{enumerate}
\item[$\bullet$] Para todo $i\in I$, se tiene que $A_i\ne \emptyset$.
\item[$\bullet$] Dados $i,j\in I$, con $i\ne j$, se tiene que $A_i\cap A_j=\emptyset$.
\item[$\bullet$] $\bigcup_{i\in I} A_i=X$.
\end{enumerate}
\end{defi}

\begin{theo}\rm
  Sea $X$ un conjunto no vaci\'{o} y sea ${\cal P}=\{A_i\}_{i\in I}$ una partici\'{o}n en $X$. Entonces la relaci\'{o}n $x {\cal R} y$ si y s\'{o}lo si $x, y$ est\'{a}n en un mismo trozo de la partici\'{o}n, es decir,
  $$x{\cal R}y\quad\iff\quad \exists \ i\in I\ \vert\ x,y\in A_{i},$$ es una relaci\'{o}n de equivalencia en $X$.
\end{theo}

\noindent \pdfcomment[icon=Check,hspace=0.5 truecm,author={Puntos
clave},markup=Underline,color=verde]{Es una mera comprobaci\'{o}n. Si comprendes la definici\'{o}n de relaci\'{o}n de equivalencia y de partici\'{o}n lo debes de poder demostrar sin problemas}
\textbf{Demo:} Veamos que $\cal R$ verifica las  propiedades  reflexiva, transitiva y sim\'{e}trica:

$(i).$ Reflexiva:  dado $x\in X$, por la propiedad tercera de la definici\'{o}n de partici\'{o}n se tiene que $x\in X=\cup_{i\in I} A_i$ por tanto existe un $i\in I$ tal que $x\in A_i$ y as\'{\i}, $x{\cal R}x$.

$(ii).$ Transitiva: Sean $x,y,z\in X$ tal que $x{\cal R}y$ e $y{\cal R}z$. Por definici\'{o}n, existe $i\in I$ tal que $x,y\in A_{i}$ y existe un $j\in I$ tal que $y,z\in A_{j}$. Por tanto $y\in A_{i}\cap A_{j}$ y por la propiedad segunda de la definici\'{o}n de partici\'{o}n $i=j$. As\'{\i}, $x,y,z\in A_{i}(=A_{j})$, y por tanto $x{\cal R}z$.

$(iii).$ Sim\'{e}trica: Sean $x,y\in X$ tales que $x{\cal R}y$. Por definici\'{o}n existe $i_0\in I$ tal que $x,y\in A_{i_0}$ y por tanto $y{\cal R}x$.
\EndProof

\begin{ejem}
  Sea $X$ un conjunto no vac\'{\i}o y $\cal P$ una partici\'{o}n en $X$. Entonces, el teorema anterior nos permite asociar una relaci\'{o}n de equivalencia a la partici\'{o}n $\cal P$ que se denotar\'{a} por ${\cal R}_{\cal P}$. \nomenclature{${\cal R}_{\cal P}$}{Relaci\'{o}n de equivalencia asociada a una partici\'{o}n}
\end{ejem}

Desde este momento, hasta el final de la secci\'{o}n vamos a demostrar que toda relaci\'{o}n de equivalencia es de este tipo. Es decir, si tenemos una relaci\'{o}n de equivalencia $\cal R$ en un conjunto no vac\'{\i}o $X$ podemos construir una partici\'{o}n ${\cal P}$ en $X$ tal que $\cal R$  es exactamente la relaci\'{o}n de equivalencia asociada a $\cal P$.


\begin{defi}\rm \index{Relaci\'{o}n De Equivalencia!Clase de Equivalencia}
Sea $X$ un conjunto no vac\'{\i}o y $\cal R$ una relaci\'{o}n de equivalencia  en $X$. Dado un elemento $x\in X$ definimos la
\textbf{clase de equivalencia} de $x$ y la representamos por $[x]$ o $\overline x$ como el conjunto:
$$\overline x=\{y\in X\ \vert \ x\mathrel{{\cal R}} y\}\subset X$$ \nomenclature{$[x]$}{clase de equivalencia de $x$}
\nomenclature{$\overline x$}{clase de equivalencia de $x$}
\textbf{Nota:} Observar que  la propiedad reflexiva nos asegura que  $x\in \overline x$.

El conjunto de todas las clases de equivalencia de una relaci\'{o}n $\cal R$ en un conjunto $X$ se le llamar\'{a} el
\textbf{conjunto cociente} \index{Conjunto!Cociente}de $X$ respecto de $\cal R$ y se denotar\'{a} por $X/\mathrel{{\cal R}}$ o $X/_{\approx }$  \nomenclature{$X/_{\approx }$}{Conjunto cociente} \nomenclature{$X/\mathrel{{\cal R}}$}{Conjunto cociente}
\end{defi}

\begin{ejem}\rm
$\star$ Consideremos la relaci\'{o}n de congruencia $\Mod 3$. Tenemos entonces que
\begin{align*}
\overline 0&=\{x\in \mathbb{Z}\ \vert\  x\equiv 0\ (\Mod 3)\}=\{3x\quad \quad x\in \mathbb{Z}\}=\{\cdots,-6,-3,0,3,6,\cdots\}\\
\overline 1&=\{x\in \mathbb{Z}\ \vert\  x\equiv 1\ (\Mod 3)\}=\{3x+1\quad x\in \mathbb{Z}\}=\{\cdots,-5,-2,1,4,7,\cdots\}\\\
\overline 2&=\{x\in \mathbb{Z}\ \vert\  x\equiv 2\ (\Mod 3)\}=\{3x+2\quad x\in \mathbb{Z}\}=\{\cdots,-4,-1,2,5,8,\cdots\}\\\
\end{align*}
Observar que $\overline 0=\overline 3=\overline 6=$etc y que los subconjuntos $\{\overline 0,\overline 1,\overline 2\}$ son una partici\'{o}n de $\ZZ$.

$\star$ Sea $A=\{1,2,a\}$ y $\mathrel{{\cal R}}=\{(1,1), (2,2), (a,a), (1,a), (a,1)\}$. Entonces $\cal R$ es una relaci\'{o}n de
equivalencia y $A/_{\approx }=\{\{1,a\},\{2\}\}$ (observar que forman una partici\'{o}n de $X$).

$\star$ Sean $X,Y$ dos conjuntos no vac\'{\i}os, $f:X\to Y$ una aplicaci\'{o}n y consideremos la relaci\'{o}n de equivalencia en $X$: $a{\cal R}b\quad\iff\quad f(a)=f(b)$. Entonces, para todo $a\in X$, $$\overline a=\{x\in X\ \vert\ f(x)=f(a)\}=f^{-1}(f(a))$$
Aunque pueda ser aqu\'{\i} un poco m\'{a}s dif\'{\i}cil de visualizar, nos encontramos otra vez con que el conjunto cociente es un realidad una partici\'{o}n de $X$. Por ejemplo, si consideramos la aplicaci\'{o}n dada en \fullref{el ejemplo}{ejemploaplic}{},

\vskip .5truecm \
\hskip -1truecm
\begin{tabularx}{15cm}{ll}
\fbox{\begin{tikzpicture}[thick,scale=.8]
%\draw (0,0) rectangle (8,5);
\draw (2,2.5) ellipse (1cm and 2cm) (3.4,4.3) node[left, opacity=1] {$X$};
\draw (8,2.5) ellipse (1cm and 2cm) (6.6,4.3) node[right, opacity=1] {$Y$};
\draw[<-,red]  (8.2,1.2) node[right] {$1$}--(2,4) node[left]{$1$};
\draw[<-,blue]  (7.8,3.2) node[right] {$4$}--(1.7,2.4) node[left]{$2$};
\draw[<-,green]  (8,4) node[right] {$y$}--(2,3.2) node[left]{$3$};
\draw[<-,blue]  (7.8,3.2) node[right] {$4$}--(2.5,1) node[left]{$4$};
\draw[<-,orange]  (7.4,2.4) node[right] {$a$}--(2.3,2) node[left]{$5$};
\draw[<-,blue]  (7.8,3.2) node[right] {$4$}--(2,1.5) node[left]{$6$};
\node at (8.5,2.2) {$b$};
\end{tikzpicture}}
& %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% El otro trozo de la minipagina
\begin{minipage}[t][-1.6cm][b] {9cm}  Tenemos que el conjunto cociente respecto de esta relaci\'{o}n es  $X/_{\approx }=\{\{1\},\{2,4,6\},\{3\},\{5\}\}$.  Obser\-var que, en este caso tambi\'{e}n,  se trata de una partici\'{o}n del conjunto $X$.
\vfill\end{minipage}
\end{tabularx}
\end{ejem}


\begin{center}
\shadowbox{\parbox{\columnwidth+0\fboxsep+10\fboxrule-\shadowsize}{
\centering
\begin{theo}\label{caracrelclas}\rm  Sea $X$ un conjunto no vac\'{\i}o y sea  $\cal R$ una relaci\'{o}n de equivalencia en $X$. Entonces la familia de las clases de equivalencia de elementos de $X$ es una partici\'{o}n de $X$, denotada por ${\cal P}_{\cal R}$. Es m\'{a}s,
\begin{itemize}
  \item[(i)] Para todo $x\in X$ se tiene que $x\in \overline x$.
  \item[(ii)] $x{\cal R}y$ si y s\'{o}lo si $x\in \overline y$ ($\iff y\in \overline x$).
  \item[(iii)] $x{\cal R}y$ si y s\'{o}lo si $\overline x=\overline y$.
   \item[(iv)] $x{\cal R}y$ si y s\'{o}lo si existe $z\in X$ tal que $x,y\in \overline z$.
\end{itemize}
Observar que $(iv)$ lo que dice es que la relaci\'{o}n $\cal R$ es la relaci\'{o}n de equivalencia asociada a la partici\'{o}n ${\cal P}_{\cal R}$.
\end{theo}
}}
\end{center}
\noindent \pdfcomment[icon=Check,hspace=0.5 truecm,author={Puntos
clave},markup=Underline,color=verde]{ No te lies con las definiciones}
\textbf{Demo:} Vamos a demostrar los cuatro apartados, ya que ellos nos demostraran el teorema.

(i). Por la propiedad reflexiva $x{\cal R} x$, por lo que por definici\'{o}n $x\in \overline x=\{y\in X\ \vert \ x{\cal R}y\}$.

(ii). Este apartado m\'{a}s bien es un recordatorio, ya que  $x{\cal R}y$,  si y s\'{o}lo si  $y\in \overline x$ (por simetr\'{\i}a, $x\in \overline y$).

(iii). Supongamos que $x{\cal R}y$ y veamos que $\overline x=\overline y$. Veamos ambos contenidos: sea $z\in \overline x$, entonces $x{\cal R}z$. Por la propiedad  sim\'{e}trica, $z{\cal R}x$ y como tenemos $x{\cal R}y$, la propiedad transitiva nos demuestra que  $z{\cal R}y$ es decir, $z\in \overline y$. De forma similar, si $z\in \overline x$ se tiene que $z\in \overline y$, por lo que $\overline x=\overline y$.

Supongamos ahora que $\overline x=\overline y$. Entonces, por (i), $x\in \overline x=\overline y$ y por tanto, ver (ii), $x{\cal R}y$.

(iv) Supongamos que $x{\cal R}y$, entonces, por (i) y (iii), $x,y\in \overline x=\overline y$. Supongamos ahora que existe un $z\in X$ tal que $x,y\in \overline z$. Entonces, $x{\cal R}z$ y $y{\cal R}z$. Por tanto, aplicando la propiedad sim\'{e}trica, $x{\cal R}z$ y $z{\cal R}y$ y por la transitiva, $x{\cal R}y$.

Por \'{u}ltimo, para cada $x\in X$, $x\in \overline x$ por lo que $\overline x\ne \emptyset$. Por otro lado, si $\overline x\cap \overline y\ne \emptyset$, existe $z\in \overline x\cap \overline y$ y por tanto, por (ii), $z{\cap R}x$ y $z{\cap R}y$ por lo que por (iii), $\overline x=\overline z=\overline y$. Claramente se tiene que $\bigcup_{x\in X} \overline x=X$. Lo que demuestra que las clases de equivalencia de $\cal R$ definen una partici\'{o}n en $X$ y $(iv)$ demuestra que $\cal R$ es la relaci\'{o}n asociada a esta partici\'{o}n. \EndProof


\timeclase{Fin de clase 5; 06-10-2011, grupo A y B}


\textbf{Nota:} Este teorema nos demuestra que los conceptos de partici\'{o}n y relaci\'{o}n de equivalencia son el mismo. Es decir, si tenemos una relaci\'{o}n de equivalencia la podemos ver como una partici\'{o}n y si tenemos una partici\'{o}n la podemos ver como una relaci\'{o}n de equivalencia.


\textbf{Nota:} Observar que por el apartado 3 del teorema anterior si $x{\cal R}y$, $\overline x=\overline y$, es decir, que el subconjunto $\overline x\subset X$ tambi\'{e}n se puede representar por $\overline y$. Por tanto, \subr{un mismo  elemento del conjunto cociente $X/_{\approx }$ se podr\'{a}n nombrar usando distintos representantes}. Por ejemplo, si consideramos la relaci\'{o}n de congruencia modulo 3, tenemos que el conjunto cociente es $$\ZZ/\Mod n=\{\overline 1, \overline 2,\overline 3\}=\{\overline {10}, \overline{29},\overline {99}\}$$
Ya que $1\equiv 10\  (\Mod 3)$  y por tanto $\overline 1=\overline{10}$, $2\equiv 29 (\Mod 3)$ y por tanto $\overline 2=\overline{29}$ y $3\equiv 99\  (\Mod 3)$ y por tanto $\overline 3=\overline{99}$.  Como veremos m\'{a}s adelante esta posibilidad de representar los elementos del conjunto cociente de distintas maneras nos obligara a ser muy precavidos cuando trabajemos con estos conjuntos.

\begin{defi}\rm
Sea $X$ un conjunto no vac\'{\i}o y $\cal R$ una relaci\'{o}n de equivalencia  en $X$. Recordamos que el conjunto cociente de $X$ respecto de $\cal R$ es el conjunto de todas las clases de equivalencia de $X$ (que acabamos de demostrar forman una partici\'{o}n de $X$. Este conjunto cociente lo denotamos por $X/\mathrel{{\cal R}}$ o $X/_{\approx }$
\end{defi}


\begin{defi}\rm
Sea $X$ un conjunto no vac\'{\i}o y $\cal R$ una relaci\'{o}n de equivalencia  en $X$. Se define la \textbf{aplicaci\'{o}n can\'{o}nica}
de $X$ en $X/_{\approx }$ como la aplicaci\'{o}n $\pi:X\to X/_{\approx }$ definida por $\pi(x)=\overline x$.
\end{defi}

\begin{center}
\shadowbox{\parbox{\columnwidth+0\fboxsep+10\fboxrule-\shadowsize}{
\centering
\begin{coro}\rm  Sea $X$ un conjunto no vac\'{\i}o y sea  $\cal R$ una relaci\'{o}n de equivalencia en $X$. Sea $X/\mathrel{{\cal R}}$ el conjunto cociente y $\pi:X\to X/\mathrel{{\cal R}}$ la proyecci\'{o}n can\'{o}nica al cociente. Entonces para todo $x,y\in X$ se tiene que
$$x{\cal R}y\quad \iff\quad \pi(x)=\pi(y)$$
Por lo que $\cal R$ tambi\'{e}n puede verse como la relaci\'{o}n asociada a la aplicaci\'{o}n can\'{o}nica.
\end{coro}
}}
\end{center}

\noindent \pdfcomment[icon=Check,hspace=0.5 truecm,author={Puntos
clave},markup=Underline,color=verde]{Es trivial a partir del teorema anterior}
\textbf{Demo:} Es el apartado (iii) del teorema anterior.\EndProof

\retodo{Hemos demostrado que cualquier relaci\'{o}n de equivalencia se puede ver como una partici\'{o}n y se puede ver como la relaci\'{o}n de equivalencia asociada a una aplicaci\'{o}n.}

\subsection{Relaci\'{o}n de orden.}

\begin{defi}\rm \index{Relaci\'{o}n De Orden}
Sea $X$ un conjunto no vac\'{\i}o y $\cal R$ una relaci\'{o}n  en $X$. Diremos que $\cal R$ es una \textbf{relaci\'{o}n de orden} si
verifica las propiedades reflexiva, transitiva y antisim\'{e}trica. Normalmente denotaremos las relaciones de orden por el
signo $\le$ y diremos que el par $(X,\le)$ es un \textbf{conjunto ordenado}. \nomenclature{$(X,\le)$}{conjunto ordenado}
\end{defi}

\begin{ejem}\rm \label{ejemploG}
\item{$\star$} Considerar la relaci\'{o}n de \textquotedblleft mayor o igual\textquotedblright\   o \textquotedblleft menor o igual\textquotedblright\ en $\mathbb N$, $\mathbb Q$ \'{o} $\mathbb R$.

\item{$\star$} Sea $X$ un conjunto. Entonces $({\cal P}(X),\subseteq)$ es un conjunto ordenado.

\item{$\star$} Sea $A=\{1,2,a,x,y,z\}$ entonces  la relaci\'{o}n siguiente es una relaci\'{o}n de orden en $A$, $$\mathrel{{\cal R}}=\{(1,1), (2,2), (a,a), (x,x), (y,y), (z,z),
(1,2), (1,x),(1,z), (2,z),  (1,y), (x,z)\}.$$
\end{ejem}

\hskip -0.9truecm
\begin{tabularx}{14.5cm}{ll}
\begin{minipage}[t][0cm][b] {11.8cm}\textbf{Observaci\'{o}n:} Podemos representar las relaciones de orden usan\-do \textbf{grafos}, en donde \index{Grafos}
una linea entre dos elementos de distinta altura significa que est\'{a}n relacionados y el elemento de m\'{a}s altura es el
mayor. As\'{\i}, la relaci\'{o}n de orden anterior queda representada por el grafo: \\
Observar:  $a$ no est\'{a} relacionado con ning\'{u}n  otro  ele\-mento de $A$. \vfill\end{minipage}&
\begin{tikzpicture}[thick]
\draw (0,0) rectangle (3.7,3);
\filldraw[black] (0.6,1.6) circle (3pt) node[left] {$x$}--(1.9,0.6) circle (3pt) node[below] {$1$};
\filldraw[black] (3.2,1.6) circle (3pt) node[right] {$y$}--(1.9,0.6) node[below] {$1$};
\draw (1.9,1.6) node[left] {$2$}--(1.9,0.6) node[below] {$1$};
\filldraw[black] (0.6,1.6) node[left] {$x$}--(1.9,2.6) circle (3pt) node[above]{$z$};
\filldraw[black] (1.9,1.6) circle (3pt) node[left] {$2$}--(1.9,2.6) node[above]{$z$};
\filldraw[black] (3.2,0.6) circle (3pt) node[right] {$a$};
\end{tikzpicture}
\end{tabularx}
\vskip .2truecm



\begin{defi}\rm
Sea $(X,\le)$ un conjunto ordenado. Diremos que dos elementos $x,y\in X$  son \textbf{comparables} si $a\le b$ o $b\le a$. En caso contrario diremos que son \textbf{no  comparables}.
\end{defi} \index{Relaci\'{o}n De Orden!Elementos comparables}




Por ejemplo en la relaci\'{o}n de orden dada en \fullref{el ejemplo}{ejemploG}{ ($\star_3$)} se tiene que $2$ y $x$ no son comparable. Es m\'{a}s, el elemento $b$ s\'{o}lo es comparable consigo mismo.

\begin{defi}\rm
Sea $(X,\le)$ un conjunto ordenado. Diremos que $\le$ es un \textbf{orden total} si dos elementos cualesquiera de $X$
son comparables.
\end{defi}\index{Relaci\'{o}n De Orden! Orden Total}




\begin{defi} \rm (Elementos Notables en un conjunto ordenado). Sea $(X,\le)$ un conjunto ordenado y sea $Y\subset X$.

\item{$\bullet$} Se define una \textbf{cota superior} o \textbf{mayorante} para $Y$ como cualquier elemento  $x\in X$ tal que para todo
$y\in Y$, $y\le x$. \index{Relaci\'{o}n De Orden!Mayorante} \index{Relaci\'{o}n De Orden!cota superior}
$$x\in X \hbox{ es una cota superior } \iff \ \forall\ y\in Y,\ \ y\le x.$$


\item{$\bullet$} Se define una \textbf{cota inferior} o \textbf{minorante} para $Y$ como cualquier elemento  $x\in X$ tal que para todo
$y\in Y$, $x\le y$.\index{Relaci\'{o}n De Orden!Minorante} \index{Relaci\'{o}n De Orden!cota inferior}
$$x\in X \hbox{ es una cota inferior } \iff \ \forall\ y\in Y,\ \ x\le y.$$


\item{$\bullet$} Se define el \textbf{supremo} para $Y$, y se denota por $\Sup(Y)$,  como la menor de las cotas superiores.
$$x=\Sup(Y) \iff \ \hbox{ $x$ es cota superior y }\forall z \hbox{ cota superior }\  x\le z.$$
Cuando el supremo pertenece a $Y$ se le denomina \textbf{m\'{a}ximo} y se le denota por $\Max(Y)$\index{Relaci\'{o}n De Orden!Supremo} \index{Relaci\'{o}n De Orden!M\'{a}ximo} \nomenclature{$\Sup(Y)$}{Supremo}  \nomenclature{$\Max(Y)$}{M\'{a}ximo}


\item{$\bullet$} Se define el \textbf{\'{\i}nfimo} para $Y$, y se denota por $\inf(Y)$,  como la mayor de las cotas inferiores.
$$x=\Inf(Y) \iff \ \hbox{ $x$ es cota inferior y }\forall z \hbox{ cota inferior }\  z\le x.$$\index{Relaci\'{o}n De Orden!Infimo}
Cuando  el \'{\i}nfimo  de $Y$ pertenece a  $Y$ se le denomina \textbf{m\'{\i}nimo} y se le denota por $\Min(Y)$.\index{Relaci\'{o}n De Orden!M\'{\i}nimo} \nomenclature{$\Inf(Y)$}{\'{I}nfimo}  \nomenclature{$\Min(Y)$}{M\'{\i}nimo}

\item{$\bullet$}  Se dice que un elemento $y\in Y$ es un \textbf{elemento maximal} de $Y$ si no existe otro elemento en $Y$
mayor que \'{e}l. Es decir,\index{Relaci\'{o}n De Orden!Elemento Maximal}
$$y\in Y \hbox{ es un elemento maximal } \iff \ \forall \ z\in Y \ \vert\  y\le z \Rightarrow  z=y $$

\item{$\bullet$} Se dice que un elemento $y\in Y$ es un \textbf{elemento minimal} si no existe otro elemento en $Y$ menor que
\'{e}l. Es decir,\index{Relaci\'{o}n De Orden!Elemento Minimal}
$$y\in Y \hbox{ es un elemento minimal } \iff \ \forall \ z\in Y \ \vert\  z\le y \Rightarrow  z=y $$
\end{defi}

\begin{ejem}
  Consideremos los siguientes conjuntos ordenados, $A,B,C,D$ (con los ordenes dados por los grafos respectivos) y los subconjuntos $A',B',C',D'$.
\vskip-1truecm
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[thick]
\draw (0,0) rectangle (3.7,3);
\filldraw[black] (0.6,1.6) circle (3pt) node[left] {$x$}--(1.9,0.6) circle (3pt) node[below] {$1$};
\filldraw[black] (3.2,1.6) circle (3pt) node[right] {$y$}--(1.9,0.6) node[below] {$1$};
\draw (1.9,1.6) node[left] {$2$}--(1.9,0.6) node[below] {$1$};
\filldraw[black] (0.6,1.6) node[left] {$x$}--(1.9,2.6) circle (3pt) node[above]{$z$};
\filldraw[black] (1.9,1.6) circle (3pt) node[left] {$2$}--(1.9,2.6) node[above]{$z$};
\filldraw[black] (3.2,0.6) circle (3pt) node[right] {$b$};
\draw (0,3) node[above right]{$A$};
\draw[blue] (1.4,1.2) rectangle (3.65,2) node[above left]{$A'$};

\draw (4,0) rectangle (7.7,3);
\filldraw[black] (4.6,1.6) circle (3pt) node[left] {$\beta$}--(7.2,0.6) circle (3pt);
\draw (7.2,1.6) --(7.2,0.6) node[right] {$\gamma$};
\filldraw[black] (4.6,1.6) --(5.9,2.4) circle (3pt) node[above]{$\psi$};
\filldraw[black] (7.2,1.6) circle (3pt) node[right] {$\alpha$}--(5.9,2.4);
\filldraw[black] (4.6,0.6) circle (3pt) node[left] {$\mu$};
\filldraw[black] (4.6,0.6) --(7.2,1.6);
\filldraw[black] (4.6,0.6) --(4.6,1.6);
\draw (4,3) node[above right]{$B$};
\draw[blue] (4.1,1.2) rectangle (7.65,2) node[above left]{$B'$};


\draw (8,0) rectangle (11.7,3);
\filldraw[black] (8.6,.6) circle (3pt) node[above] {$a$};
\filldraw[black] (9.9,2.4) circle (3pt) node[above] {$b$};
\filldraw[black] (11.25,.6) circle (3pt) node[above] {$c$};
\filldraw[black] (10.57,1.6) circle (3pt) node[right] {$d$};
\filldraw[black] (9.25,1.6) circle (3pt) node[left] {$e$};
\filldraw[black] (9.9,0.6) circle (3pt) node[below] {$f$};
\draw (9.25,1.6)--(8.6,.6);
\draw (9.25,1.6)--(9.9,2.4);
\draw (10.57,1.6)--(11.25,.64);
\draw (10.57,1.6)--(9.9,2.4);
\draw (9.9,0.6)--(9.25,1.6);
\draw (9.9,0.6)--(10.57,1.6);
\draw (8,3) node[above right]{$C$};
\draw[blue] (8.7,2) -- (11.2,2)--(10.3,.1)--(9.5,.1)--cycle;
\draw (11,2) node[below right]{$C'$};

\draw (12,0) rectangle (15.7,3);
\filldraw[black] (13.85,.6)  circle (3pt) node[left] {$1$};
\filldraw[black] (13.85,1.6)  circle (3pt) node[left] {$2$};
\filldraw[black] (13.85,2.6)  circle (3pt) node[left] {$3$};
\draw (13.85,.6)--(13.85,2.6);
\draw (12,3) node[above right]{$D$};
\draw[blue] (13.35,1.2) rectangle (14.15,2.9) node[below right]{$D'$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Entonces los elementos notables en $A',B',C',D'$ son:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
  \hline
    & Cot. Sup. & Sup.& M\'{a}x. & E. Max.& Cot. Inf. & \'{I}nf & M\'{\i}n. &E. Min \\
     \hline
  $A'$ & $\emptyset$ & $\emptyset$ &$\emptyset$ & $\{2,y\}$& $1$ &$1$ &$\emptyset$ & $\{2,y\}$ \\
   \hline
  $B'$ & $\psi$ & $\psi$ & $\emptyset$ & $\{\beta,\alpha\}$ & $\{\mu,\gamma\}$ &$\emptyset$ &$\emptyset$& $\{\beta,\alpha\}$ \\
   \hline
  $C'$ & $b$ & $b$ & $\emptyset$ & $\{e,d\}$ & $\{f\}$ &$\emptyset$ &$f$& $\{f\}$  \\
   \hline
  $D'$ &$3$ & $\emptyset$ & $3$ & $\{3\}$ & $\{1,2\}$ &$\emptyset$ &$2$& $\{2\}$ \\
  \hline
\end{tabular}
\end{center}

\timeclase{Fin de clase 6 (d\'{\i}a 11 problemas) y 7; 13-10-2011, grupo A y B. D\'{\i}a 7 inauguraci\'{o}n del curso}

\end{ejem}
\begin{defi}\rm
Se dice que un conjunto ordenado $(X,\le)$ es un \textbf{ret\'{\i}culo} si para todo par de elementos $a,b\in X$ existe $\Sup(\{a,b\})$. \index{Ret\'{\i}culo}
\end{defi}

\begin{ejem}
 \item[$\star$] de los conjuntos ordenados $A,B,C,D$ s\'{o}lo $C$ y $D$ son ret\'{\i}culos. Ya que en $A$ no existe el supremo de $\{2,y\}$ y en  $B$ no existe el supremo de $\{\mu,\gamma\}$.
 \item[$\star$] Si $X$ es un conjunto y sea $({\cal P}(X),\subseteq)$ el conjunto ordenado \textquotedblleft partes de $X$\textquotedblright\ con la relaci\'{o}n de orden \textquotedblleft contenido\textquotedblright, ver \fullref{el ejemplo}{ejemploG}{ ($\star_2$)}. Entonces el supremo de dos elementos $A,B\subset X$ es $A\cup B$ (por tanto $({\cal P}(X),\subseteq)$ es un ret\'{\i}culo).  Mientras que el \'{\i}nfimo de dos elementos $A,B\subset X$ es $A\cap B$.
 \end{ejem}

\begin{defi}\rm
Se dice que un conjunto ordenado $(X,\le)$ posee un \textbf{buen orden} si todo subconjunto no vac\'{\i}o de $X$ posee un
elemento m\'{\i}nimo.\index{Relaci\'{o}n De Orden!Buen Orden}

$\bullet$ Los Naturales con su orden usual, $(\mathbb{N}\le)$, es un conjunto ordenado que posee un buen orden.
\end{defi}

\begin{defi}\rm
Sea $(X,\le)$ un conjunto ordenado. Un subconjunto $Y$ de $X$ es una \textbf{cadena} si est\'{a} totalmente ordenado, es
decir, cualquier par de elementos de $Y$ son comparables.\index{Relaci\'{o}n De Orden!Cadena}
\end{defi}
\begin{ejem}\rm  Consideremos $X=\{a,b,c,d\}$ y sea $({\cal P}(X),\subseteq)$ el conjunto ordenado \textquotedblleft partes de $X$\textquotedblright\ con la relaci\'{o}n de orden \textquotedblleft contenido\textquotedblright.
Sean
$$Y:=\{\{a\},\{a,c\},\{a,d\}\},\  Z:=\{\{d\},\{b,d\}.\{b,c,d\}\},\  T:=\{\{c\},\{b,c\},\{a,b,d\}\}.$$
\begin{center}
\fbox{
\begin{tikzpicture}[scale=.8]
\foreach \x in {2.2}
{
%\draw[step=1cm] (-8,-7) grid (8,7);
%\draw[thick] (-8,0)--(8,0);
%\draw[thick] (0,-7)--(0,7);
\draw (0,5)  node[above] {$\{a,b,c,d\}$};
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\draw (-3,3)   node[below] {$\{a,b,c\}$};
\draw (-6,3)   node[below] {$\{a,c,d\}$};
\draw (3,3)   node[below] {$\{a,b,d\}$};
\draw (6,3)   node[below] {$\{b,c,d\}$};
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\draw (-2.5,0)   node[below] {$\{a,b\}$};
\draw (-5,0)   node[below] {$\{a,c\}$};
\draw (-7.5,0)   node[below] {$\{a,d\}$};
\draw (2.5,0)   node[below] {$\{b,c\}$};
\draw (5,0)   node[below] {$\{b,d\}$};
\draw (7.5,0)   node[below] {$\{c,d\}$};
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\draw (-6,-3)   node[above] {$\{a\}$};
\draw (-3,-3)   node[above] {$\{b\}$};
\draw (3,-3)   node[above] {$\{c\}$};
\draw (6,-3)   node[above] {$\{d\}$};
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\draw (0,-5)  node[below] {$\emptyset$};
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\draw[blue] (0,5)--(-3,3);
\draw[red] (0,5)--(-6,3);
\draw[green] (0,5)--(3,3);
\draw[orange] (0,5)--(6,3);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\draw[red] (-6,\x)--(-5,0);
\draw[red] (-6,\x)--(-7.5,0);
\draw[red] (-6,\x)--(7.5,0);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\draw[blue] (-3,\x)--(-2.5,0);
\draw[blue] (-3,\x)--(-5,0);
\draw[blue] (-3,\x)--(2.5,0);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\draw[green] (3,\x)--(-7.5,0);
\draw[green] (3,\x)--(-2.5,0);
\draw[green] (3,\x)--(5,0);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\draw[orange] (6,\x)--(2.5,0);
\draw[orange] (6,\x)--(5,0);
\draw[orange] (6,\x)--(7.5,0);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\draw[red] (-7.5,-.7)--(-6,-\x);
\draw[orange] (-7.5,-.7)--(6,-\x);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\draw[red] (-5,-.7)--(-6,-\x);
\draw[green] (-5,-.7)--(3,-\x);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\draw[red] (-2.5,-.7)--(-6,-\x);
\draw[blue] (-2.5,-.7)--(-3,-\x);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\draw[blue] (2.5,-.7)--(-3,-\x);
\draw[green] (2.5,-.7)--(3,-\x);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\draw[blue] (5,-.7)--(-3,-\x);
\draw[orange] (5,-.7)--(6,-\x);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\draw[orange] (7.5,-.7)--(6,-\x);
\draw[green] (7.5,-.7)--(3,-\x);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\draw[red] (0,-5)--(-6,-3);
\draw[blue] (0,-5)--(-3,-3);
\draw[green] (0,-5)--(3,-3);
\draw[orange] (0,-5)--(6,-3);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\draw[smooth cycle,thick] plot[tension=0.8] coordinates{(-8.5,0) (-6,-3.5) (-4,0)} -- cycle;
\node[above left] at (-8.5,0){$Y$};
\draw[smooth cycle,thick] plot[tension=0.8] coordinates{(1.8,0) (2,3) (4,3) (3.1,-3.5)} -- cycle;
\node[above right] at (4,3.3){$T$};
\draw[smooth cycle,thick] plot[tension=0.8] coordinates{(5,3) (7,3) (6,0) (6.5,-2.5) (5,-2.5) (4.25,0)} -- cycle;
\node[above right] at (7,3){$Z$};
}
\end{tikzpicture}}
\end{center}

Tenemos
entonces:
\begin{enumerate}
\item[$\star$] $Z$ es una cadena en ${\cal P}(X)$, mientras que $Y$ y $T$ no lo son.

\item[$\star$] Las cotas superiores de $Z$ son $\{b,c,d\}$ y $X$. Tiene m\'{a}ximo, Max$(Z)=\{b,c,d\}$.
Las cotas inferiores de $Z$ son $\{d\}$ y $\emptyset$, El \'{\i}nfimo de $Z$ es su m\'{\i}nimo, Min$(Z)=\{d\}$. Es m\'{a}s, $\{d\}$
es el \'{u}nico elemento minimal de $Z$, mientras que $\{b,c,d\}$ es su \'{u}nico elemento maximal.

\item[$\star$] Las cotas superiores de $Y$ son $\{a,c,d\}$ y $X$. Tiene supremo, Sup$(Y)=\{a,c,d\}$, que no es m\'{a}ximo.
Las cotas inferiores de $Y$ son $\{a\}$ y $\emptyset$, El \'{\i}nfimo de $Y$ es su m\'{\i}nimo, Min$(Y)=\{a\}$. Es m\'{a}s, $\{a\}$
es el \'{u}nico elemento minimal de $Y$, mientras que $\{a,c\}$ y $\{a,d\}$ son elementos maximales.

\item[$\star$] La cota superior de $T$ es $X$. Tiene supremo, Sup$(T)=X$, que no es m\'{a}ximo.
La cota inferior de $T$ es  $\emptyset$, El \'{\i}nfimo de $T$ es Inf$(T)=\emptyset$. Es m\'{a}s, $\{c\}$ y $\{a,b,d\}$ son
elementos minimales, mientras que $\{b,c\}$ y $\{a,b,d\}$ son maximales.
\end{enumerate}
\end{ejem}



\begin{defi}\rm
Se dice que un conjunto ordenado  $(X,\le)$ es \textbf{inductivo} si toda cadena de $X$ admite una
mayorante.\index{Conjunto!Inductivo}
\end{defi}


\begin{lema}[Lema de Zorn]\rm\index{Lema de Zorn}
Todo conjunto inductivo posee elementos ma\-xi\-males.
\end{lema}

El Lema de Zorn  es un axioma, por lo que no es demostrable. No hay conformidad total, en el mundo matem\'{a}tico, a la hora de aceptar este axioma: hay matem\'{a}ticos que lo aceptan (y lo usan) y otros que no. El no aceptarlo conlleva  ciertas consecuencias: no es posible demostrar, sin el axioma de Zorn,  que todo espacio vectorial posea una base (no obstante, nadie ha encontrado hasta el momento una base para el espacio vectorial de las sucesiones reales, o una base de $\RR$ como $\QQ$ espacio vectorial).  Si est\'{a} demostrado que el Lema de Zorn es equivalente a los siguientes resultados:

\begin{lema}[Principio de elecci\'{o}n]\rm \index{Principio de elecci\'{o}n}
Dada una familia no vac\'{\i}a de conjuntos no vac\'{\i}os $\{X_i\}$ con $i\in I$, es posible elegir un elemento de cada conjunto. O lo que es equivalente, el producto cartesiano de una familia no vac\'{\i}a de conjuntos no vac\'{\i}os es no vac\'{\i}o (aunque en este momento no sep\'{a}is que es un producto cartesiano de un producto infinito de conjuntos).
\end{lema}

\begin{lema}[Lema de Zermelo]\rm \index{Lema de Zermelo}
Todo conjunto no vaci\'{o} admite un buen orden.
\end{lema}

Hago notar que nadie ha sabido dar una estructura de buen orden en el conjunto de los N\'{u}meros Reales. No obstante, este resultado permite usar el llamado \textbf{principio de inducci\'{o}n transfinito}, por tanto, quien no acepte el lema de Zorn, no puede usar dicho principio.

$\bigstar$ Los ejercicios del 19 al 26 de este tema pueden servirte para comprobar si has asimilado las nociones de esta secci\'{o}n.


\section{Cardinales}

Cuando contamos los elementos de un conjunto $X$ con $n$ elementos, lo que hacemos (por si no nos hemos dado cuenta) es ponerlo en correspondencia biyectiva con el conjunto $\{1,2,\dots, n\}$. En este caso diremos que $X$ es un conjunto con $n$ elementos o que tiene cardinal $n$. Cuando el conjunto es infinito la noci\'{o}n \textquotedblleft tener el mismo n\'{u}mero de elementos\textquotedblright\  se complica un poco:

Podr\'{\i}amos pensar que  el conjunto de los n\'{u}meros naturales, $\mathbb{N}$, tiene \textquotedblleft m\'{a}s\textquotedblright\  elementos que el conjunto de los n\'{u}mero naturales que son pares, vamos a denotar este conjunto por $\mathbb{P}$. No obstante, la aplicaci\'{o}n $f:\mathbb{N}\to \mathbb{P}$ definida por $f(n)=2n$ es biyectiva (lo que nos hace suponer que tienen el mismo n\'{u}mero de elementos.

\begin{defi}\rm
Se dice que dos conjuntos $X$ e $Y$ son \textbf{equipotentes}\index{Equipotentes} si existe una aplicaci\'{o}n biyectiva $f:X\to Y$.
\end{defi}

\begin{lema}\rm
La relaci\'{o}n \textquotedblleft ser equipotente a\textquotedblright\  verifica las propiedades reflexiva, transitiva y sim\'{e}trica.
\end{lema}


\textbf{Nota:} Queremos definir el cardinal de un conjunto, con la idea de que dos conjuntos $X$ e $Y$ tienen el mismo cardinal si son equipotentes (existe una biyecci\'{o}n $f:X\to Y$). Es decir, si pertenecen a la misma clase de equivalencia de la relaci\'{o}n \textquotedblleft ser equipotente a\textquotedblright.

\retodo{No podemos dar un nombre a cada uno de los cardinales, aunque algunos tienen nombre propio.}
%%%%%%%%%%

 \begin{defi}\label{Carord}\rm  Se define el cardinal de un conjunto $X$ y se denota por $\vert X\vert$ o $\# X$ \nomenclature{$\vert X\vert$}{Cardinal de $X$}  como la clase de equivalencia de $X$ en la relaci\'{o}n \textquotedblleft ser equipotente a\textquotedblright\ (es decir, como la clase de todos los conjuntos que son equipotentes a $X$). \par
 \textbf{Nota:} Observar que con esta definici\'{o}n dos conjuntos tienen el mismo cardinal si y s\'{o}lo si son equipotentes.

 Alguna de estas clases de equivalencia tienen nombre propio:
   \begin{itemize}
\item[$\bullet$] El cardinal del conjunto vac\'{\i}o se denota por $0$.
\item[$\bullet$]  Diremos que un conjunto no vaci\'{o} $X$ es \textbf{finito} de cardinal $n$ si $X$ es equipotente al conjunto $\{1,2,\dots,n\}$, denotado por $\vert X\vert=n$. En caso contrario diremos que $X$ es de cardinal \textbf{infinito}, denotado por $\vert X\vert=\infty$.\index{Conjunto!finito} \index{Conjunto!infinito}
\item[$\bullet$] El cardinal de los n\'{u}meros Naturales se representa por $\aleph_0$, que se lee aleph sub cero.\nomenclature{$\aleph_0$}{aleph sub cero}
\item[$\bullet$] El cardinal de los n\'{u}meros Reales se denota por $\aleph_1$, que se lee aleph sub uno.\nomenclature{$\aleph_1$}{aleph sub uno}
   \end{itemize}
\end{defi}

\textbf{Nota:} Se vera en ejercicios que  el cardinal de los n\'{u}meros racionales, aunque en principio pueda sorprender,   es $\aleph_0$. No obstante, no hay un \'{u}nico cardinal infinito, $\mathbb{N}$ y $\mathbb{R}$  no son equipotentes.

\begin{prop}\rm
Sea $X$ un conjunto finito y $f:X\to X$ una aplicaci\'{o}n. Entonces:
\begin{enumerate}
\item[(i)] Si $f$ es inyectiva, entonces es sobreyectiva.
\item[(ii)] Si $f$ es sobreyectiva, entonces es inyectiva. (ejercicio)
\end{enumerate}
\end{prop}

\noindent \pdfcomment[icon=Check,hspace=0.5 truecm,author={Puntos clave},markup=Underline,color=verde]{(1). Acordarse del subconjunto $\{x,f(x),f(f(x)),f(f(f(x))),\dots\}$ en donde hay elementos repetidos.} \textbf{Demo:} (i) Supongamos que $f$ es inyectiva. Dado $x\in X$ consideramos el conjunto $$\{x,f(x),f^2(x),\dots,f^n(x),\dots\}\subset X$$
como todos estos elementos no pueden ser distintos, ya que $X$ es finito, existen $n,m\in \mathbb{N}$, podemos suponer $n<m$, tal que $f^n(x)=f^m(x)$. Pero  si $n\ge 1$, $$f^n(x)=f(f^{n-1}(x))=f(f^{m-1}(x))=f^m(x)$$
lo que implica, al ser $f$ inyectiva, que $f^{n-1}(x)=f^{m-1}(x)$. Reiterando este proceso vamos reduciendo la potencia de $f$ por lo que obtenemos $f(x)=f(m-n+1)(x)$ y por tanto, aplicando una vez m\'{a}s que $f$ es inyectiva,  $x=f^{m-n}(x)$. Por \'{u}ltimo como $m-n>0$, $f(f^{m-n-1}(x))=x$ lo que demuestra que $x$ es la imagen de $f^{m-n-1}(x)$ y por tanto $f$ es sobreyectiva.

(ii) queda como ejercicio.
\EndProof

$\bigstar$ Los ejercicios del 27 al 35 de este tema pueden servirte para comprobar si has asimilado las nociones de esta secci\'{o}n.

\vfill\eject

\section{Ejercicios del Tema}

\begin{ejj}\rm
Sea $X=\{1,2,3,a,b,c,\alpha,\beta,\gamma,\{1,a\},\{4\},\{a,b,c\}\}$. Di si las siguientes afirmaciones son ciertas o
falsas: $$\begin{array}{ccccc} a\in X&\{1,a\}\in X&\{1,a\}\subset X&4\in X&\{a,b,c\}\subset X\\ 3\subset
X&\{\alpha,\{4\}\}\subset X&\{4\}\subset X&X\subset X& \{a,b,c\}\in X
\end{array}$$
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm Di si los siguientes son conjuntos. Caso de ser conjuntos, da una descripci\'{o}n alternativa de ellos:\hfill  \fbox{$*$}
\begin{itemize}
\item $\{x\in \mathbb{R}\ \vert\  x^2=2\}$.
\item $\{x\in \mathbb{R}\ \vert\ x^2<0\}$.
\item $\{x\in \mathbb{Q}\ \vert\  x=\frac{n}{m} \hbox{ con $n,m\in \mathbb{N}, m>100$}\}$.
\item $\{x\in \mathbb{Q}\ \vert\  x \text{ se puede escribir de la forma }\frac{n}{m} \hbox{ con $n,m\in \mathbb{N}, m>100$}\}$.
\item $\{x\in \mathbb{Q}\ \vert\  x=\frac{n}{m} \hbox{ con $n,m\in \mathbb{N}, m=3$}\}$.
\end{itemize}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $X$ un conjunto y $A,B$ y $C$ tres subconjuntos de $X$. Demuestra que si $A\cap C=B\cap C$ y $A\cup C=B\cup C$ entonces $A=B$.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos. Da una condici\'{o}n necesaria y suficiente para que los conjuntos $X\times Y$ e $Y\times X$ sean disjuntos.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm Sean $A_n=\{k\in {\mathbb N}\ \vert\ k\ne n\}$. Calcula $\cap _n A_n$, $\cup_n A_n$, $\cap _n \overline A_n$ y
$\cup_n \overline A_n$ en donde $\overline A_n$ significa el complemento de $A_n$ en $\mathbb N$.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos no vac\'{\i}os y $f:X\to Y$ una aplicaci\'{o}n. Demuestra que para todo par de subconjuntos
$A,B\subset X$,
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]  Si $A\subset B$, entonces $f(A)\subset f(B)$.\qquad $\bullet$  $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$.
\item[$\bullet$]  $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$.
\end{itemize}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos no vac\'{\i}os y $f:X\to Y$ una aplicaci\'{o}n. Demuestra que $f$ es inyectiva si y s\'{o}lo si para todo
$A,B\subset X$ se verifica que $f(A\cap B)= f(A)\cap f(B)$ \hfill  \fbox{$*$}
\end{ejj}


\begin{ejj}\rm  Sean $X$, $Y$ y $Z$ tres conjuntos no vac\'{\i}os y $f:X\to Y$, $g:Y\to Z$ dos aplicaciones. Demuestra:
\begin{itemize}
\item Si $f$ y $g$ son sobreyectivas, entonces $g\circ f$ es sobreyectiva.
\item Si $g\circ f$ es inyectiva, entonces $f$ es inyectiva. ?`Ser\'{a} $g$ inyectiva?
\end{itemize}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm  Da un ejemplo de tres conjuntos no vac\'{\i}os $X$, $Y$ y $Z$ y dos aplicaciones  $f:X\to Y$, $g:Y\to Z$  tales que  $g \circ f$ sea inyectiva pero  $g$ no sea inyectiva.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm  Da un ejemplo de tres conjuntos no vac\'{\i}os $X$, $Y$ y $Z$ y dos aplicaciones  $f:X\to Y$, $g:Y\to Z$  tales que  $g \circ f$ sea sobreyectiva pero  $f$ no sea sobreyectiva.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm  Sea $X$ un conjunto no vac\'{\i}o y $f,g,h:X\to X$ tres aplicaciones. Supon\-ga\-mos que $f\circ g=\Id_X=h\circ f$. Demuestra que $h=g$.
\end{ejj}

\begin{ejj}\label{inyinvapli}\rm
Sean $X,Y$ dos conjuntos no vac\'{\i}os y $f: X\to Y$ una aplicaci\'{o}n. Demuestra:
\begin{itemize}
\item $f$ es inyectiva si y s\'{o}lo si para todo $y\in Y$ se tiene que $\# f^{-1}(\{y\})\le 1$.
\item $f$ es sobreyectiva si y s\'{o}lo si para todo $y\in Y$ se tiene que $\# f^{-1}(\{y\})\ge 1$.
\end{itemize}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos no vac\'{\i}os y $f:X\to Y$ una aplicaci\'{o}n sobreyectiva. Demuestra que existe una aplicaci\'{o}n inyectiva $g:Y\to X$.
\end{ejj}


\begin{ejj}\rm
  Sean $X,Y$ dos conjuntos no vac\'{\i}os y $f:X\to Y$ una aplicaci\'{o}n. Consideremos la aplicaci\'{o}n $\Psi:{\cal P}(X)\to {\cal P}(Y)$ definida por $\Psi(A)=f(A)$ (para cada $A\subset X$, ver \fullref{la definici\'{o}n}{fundireinmv}{}). Supongamos que existe un subconjunto $D\subset Y$ tal que para cada subconjunto no vaci\'{o} $A\subset X$ se tiene que $\Psi(A)=D$. Demuestra que $f$ es una aplicaci\'{o}n constante. Demuestra que el cardinal de $D$ es 1. \hfill  \fbox{$*$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
  Sean $X,Y$ dos conjuntos no vac\'{\i}os y $f:X\to Y$ una aplicaci\'{o}n. Consideremos la aplicaci\'{o}n $\Phi:{\cal P}(Y)\to {\cal P}(X)$ definida por $\Psi(B)=f^{-1}(B)$ (para cada $B\subset Y$, ver \fullref{la definici\'{o}n}{fundireinmv}{}). Supongamos que  para cada subconjunto $B\subset Y$ se tiene que $\Phi(B)=X$ o $\Phi(B)=\emptyset$. Demuestra que $f$ es una aplicaci\'{o}n constante.\hfill  \fbox{$*$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
  Sean $X,Y$ dos conjuntos no vac\'{\i}os. En \fullref{la definici\'{o}n}{fundireinmv}{} se ha construido una aplicaci\'{o}n $\Phi_f:{\cal P}(X)\to {\cal P}(Y)$ para cada aplicaci\'{o}n $f:X\to Y$. Encuentra una aplicaci\'{o}n $\Phi:{\cal P}(X)\to {\cal P}(Y)$ tal que no exista ninguna aplicaci\'{o}n $f:X\to Y$ con $\Phi=\Phi_f$.
\hfill  \fbox{$*$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
  Sean $X,Y$ dos conjuntos no vac\'{\i}os. En \fullref{la definici\'{o}n}{fundireinmv}{} se ha construido una aplicaci\'{o}n $\Psi_f:{\cal P}(Y)\to {\cal P}(X)$ para cada aplicaci\'{o}n $f:X\to Y$. Encuentra una aplicaci\'{o}n $\Psi:{\cal P}(Y)\to {\cal P}(X)$ tal que no exista ninguna aplicaci\'{o}n $f:X\to Y$ con $\Psi=\Psi_f$.
\hfill  \fbox{$*$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm  Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos no vac\'{\i}os y $f:X\to Y$ una aplicaci\'{o}n.

 \begin{itemize}
 \item Demuestra que la relaci\'{o}n $a\mathrel{{\cal R}} b$  si y s\'{o}lo si $f(a)=f(b)$ es de equivalencia en $X$.
 \item Calcula las clases de equivalencia para la aplicaci\'{o}n dada en  \fullref{el ejemplo}{ejemploaplic}{}.
 \item ?`Que propiedad debe de cumplir $\cal R$ para que $f$ sea inyectiva? ?`Se puede caracterizar la sobreyectividad de forma similar? \hfill  \fbox{$*$}
 \end{itemize}
\end{ejj}



\begin{ejj}\rm  Sea $\mathbb N$ el conjunto de los n\'{u}mero naturales. Demuestra que la relaci\'{o}n $n \mathrel{{\cal R}} m$ si y
s\'{o}lo si $n-m$ es m\'{u}ltiplo de 7 es de equivalencia. Calcula el conjunto cociente.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm  La propiedad reflexiva es redundante en una relaci\'{o}n de equivalencia: si $a \mathrel{{\cal R}} b$ por la propiedad
sim\'{e}trica $b\mathrel{{\cal R}} a$ y por la transitiva $a\mathrel{{\cal R}} a$. ?`Donde est\'{a} el error? \hfill  \fbox{$*$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm  Dados dos elementos $a,b\in \mathbb{N}$  diremos que $a$ divide a $b$ y lo representamos  por  $^a\vert _b$ si existe $c\in \mathbb{N}$
tal que $b=ca$. Demuestra que la relaci\'{o}n de divisibilidad es una relaci\'{o}n de orden en  $\mathbb{N}$. Calcula los
elementos notables para $Y=\{2,3,4,5,6,7,8\}$ y para $Z=\{14,21\}$.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm  Sea $X$ un conjunto no vac\'{\i}o y consideremos el conjunto ordenado $(\mathcal{P}(X),\subset)$. Sea $\{A_i\}_{i\in I}$ una familia de subconjuntos. ?`Quien es Sup$(\{A_i\}_{i\in I})$ e Inf$(\{A_i\}_{i\in I})$? ?`Son respectivamente m\'{a}ximo y m\'{\i}nimo?
\end{ejj}


\begin{ejj}\rm
Demuestra que en un ret\'{\i}culo existe el supremo de cualquier subconjunto finito. \textbf{Nota:} Demuestra que \hfill  \fbox{$*$}
$$Sup\{A_1,\dots,A_{n-1}, A_n\}=Sup\{Sup\{A_1,\dots,A_{n-1}\}, A_n\}$$
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $(X,\le)$ un conjunto ordenado tal que todo subconjunto de $X$ posee un \'{u}nico elemento minimal. Demuestra que $X$ posee un buen orden. \hfill  \fbox{$*$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sean $(X,\le )$ y $(X',\le')$ dos conjuntos ordenados y sea $f:X\to X'$ una aplicaci\'{o}n sobreyectiva tal que para todo $a,b\in X$, si $a\le b$, entonces $f(a)\le f(b)$. ?`Es cierto que si $X$ es un ret\'{\i}culo, $X'$ tambi\'{e}n es un ret\'{\i}culo?. \hfill  \fbox{$*$}
\end{ejj}

\retodo{No}
%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}[thick,scale=0.7]
%\draw (0,0) circle (2pt) node[below]{$a$};
%\draw (2,0) circle (2pt) node[below]{$b$};
%\draw (4,0) circle (2pt) node[below]{$c$};
%\draw (1,1) circle (2pt) node[below]{$d$};
%\draw (3,1) circle (2pt) node[below]{$e$};
%\draw (2,2) circle (2pt) node[below]{$k$};
%\draw (0,0)--(1,1)--(2,2);
%\draw (2,0)--(1,1);
%\draw (2,0)--(3,1);
%\draw (4,0)--(3,1)--(2,2);
%\end{tikzpicture}\quad
%\begin{tikzpicture}[thick,scale=0.7]
%\draw (0,0) circle (2pt) node[left]{$x$};
%\draw (2,0) circle (2pt) node[right]{$y$};
%\draw (0,1) circle (2pt) node[left]{$z$};
%\draw (2,1) circle (2pt) node[right]{$t$};
%\draw (1,2) circle (2pt) node[left]{$v$};
%\draw (0,0)--(2,1);
%\draw (0,0)--(0,1);
%\draw (2,0)--(2,1);
%\draw (2,0)--(0,1);
%\draw (2,1)--(1,2);
%\draw (0,1)--(1,2);
%\end{tikzpicture}
%\end{center}
%Sea $f(a)=x,f(b)=y,f(d)=z,f(e)=t,f(k)=v$ y $f(c)=x$
\begin{ejj}\rm
Encuentra un conjunto ordenado en donde todo subconjunto posea m\'{a}ximo. ?`Puedes encontrarlo con un subconjunto que no posea m\'{\i}nimo?
\end{ejj}


\begin{ejj}\rm
Sean $\{X_i\}$ con $i=1,2,\dots,n$ una familia de conjuntos no vac\'{\i}os. Demuestra que el conjunto $$\{f:\{1,2,\dots,n\}\to \bigcup_{i=1}^n X_i\ \vert\ f(i)\in X_i \hbox{ para todo i}\}$$ es un conjunto equipotente a $X_1\times X_2\times \cdots\times X_n$. \hfill  \fbox{$*$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sean $X$  e $Y$ dos conjuntos no vac\'{\i}os. Demuestra que $X\times Y$ e $Y\times X$ tienen el mismo cardinal.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Demuestra que $\mathbb{N}$ y $\QQ$ tienen el mismo cardinal. \hfill  \fbox{$*$}
\end{ejj}


\begin{ejj}\rm
Demuestra que $\mathbb{N}$ y $\RR$ no son equipotentes.\hfill  \fbox{$*$}
\end{ejj}



\begin{ejj}\rm
Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos equipotentes. Sea $x_0\in X$ y $y_0\in Y$. Demuestra que $X-\{x_0\}$ e $Y-\{y_0\}$ son tambi\'{e}n equipotentes.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Demuestra que $\RR$ es equipotente a $\RR-\{0\}$.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
 Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos no vac\'{\i}os.  Supongamos que hay una aplicaci\'{o}n inyectiva $f:X\to Y$ y una aplicaci\'{o}n inyectiva $g:Y\to X$. Entonces existe una aplicaci\'{o}n biyectiva $h:X\to Y$. (Ejercicio muy complicado, hace uso del lema de Zorn [puede ser encontrado en internet])\hfill  \fbox{$***$}

 $\bullet$ Es l\'{o}gico pensar que si tenemos una aplicaci\'{o}n inyectiva $f:X\to Y$ es porque en $X$ hay menos $(\le)$ elementos que en $Y$. Luego este ejercicio dice que si en $X$ hay menos $(\le)$ elementos que en $Y$ y en $Y$ hay menos $(\le)$ elementos que en $X$ es porque $X$ e $Y$ tienen el mismo n\'{u}mero de elementos
\end{ejj}


\begin{ejj}
  Puede existir un conjunto $X$ que verifique la siguiente propiedad: Para todo elemento $a\in X$ se verifica que $a\subset X$. \textbf{Observar} que esta propiedad, en particular, dice que todo los elementos de $X$ son conjuntos.\hfill  \fbox{$**$}
\end{ejj}

\begin{ejj}
  Puede existir un conjunto $X$ que verifique la siguiente propiedad: Para todo subconjunto $A\subset X$ se verifica que $a\in X$.
\end{ejj}

\begin{ejj}
  Sean $X,Y,Z,T$ cuatro conjuntos. Sea $f:X\to Y$ y $g:Z\to T$ dos aplicaciones. Sea $z_0\in Z$ y $ct_{z_0}:Y\to Z$ la aplicaci\'{o}n constante (para todo $y\in Y$, $ct_{z_0}(y)=z_0$). Demuestra que las aplicaciones
  $$ct_{z_0}\circ f:X\to Z\quad\text{y}\quad g\circ ct_{z_0}:Y\to T$$ son tambi\'{e}n aplicaciones constantes. ?`Son $ct_{z_0}:Y\to Z$ y $ct_{z_0}\circ f:X\to Z$ la misma aplicaci\'{o}n?
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
  Sean $X,Y$ dos conjuntos no vac\'{\i}os. En \fullref{la definici\'{o}n}{fundireinmv}{} se ha construido una aplicaci\'{o}n $\Phi_f:{\cal P}(X)\to {\cal P}(Y)$ para cada aplicaci\'{o}n $f:X\to Y$. ?`Si $f$ es una aplicaci\'{o}n inyectiva  (sobreyectiva), $\Phi_f$ es tambi\'{e}n inyectiva(sobreyectiva)?.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
  Sean $X,Y$ dos conjuntos no vac\'{\i}os. En \fullref{la definici\'{o}n}{fundireinmv}{} se ha construido una aplicaci\'{o}n $\Psi_f:{\cal P}(Y)\to {\cal P}(X)$ para cada aplicaci\'{o}n $f:X\to Y$.?`Si $f$ es una aplicaci\'{o}n inyectiva (sobreyectiva), $\Psi_f$ es tambi\'{e}n inyectiva (sobreyectiva)?.
\end{ejj}
