
\chapter{Anillos}
\hrule \vskip0.5cm
%-----------------------------------------------------------------
\noindent{\sffamily\bfseries Objetivos del capítulo} $\,$
\begin{itemize} \footnotesize
 \item Se recuerda el concepto abstracto de relación binaria. Se estudian las propie\-da\-des asociadas a una relación binaria. Se pretende que propie\-da\-des que han sido estudiadas en diferentes momentos se asimilen como un mismo concepto (unicidad del inverso en aplicaciones biyectivas o en $\ZZ_n$).
 \item Se introduce la noción abstracta de Anillo y sus propiedades. Se estudian los elementos inversibles de un anillo introduciendo la noción de anillos de división y cuerpo.
 \item Se empiezan a estudiar métodos para encontrar Anillos nuevos a partir de anillos dados: se estudian subanillos, la suma y el producto directo de anillos, los anillos de matrices, de polinomios y de series formales. Se estudian el anillos de endomorfismos de un grupo abeliano.
 \item Se estudian las aplicaciones naturales entre anillos, los homomorfismos de anillos y sus propiedades.
 \item Se estudia la unitización y la característica de un anillo.
\end{itemize}
\vskip0.25cm
%-----------------------------------------------------------------
\hrule
\vskip0.3cm
\[\,\]



\section{Operación binaria, semigrupo, monoide.}\label{sect:Obin}

\hypertarget{Dbin}{}
\begin{defi} \label{defi:Dbin}\rm
Sea $X$ un conjunto no vacío. Se define una \textbf{operación binaria}\index{Operación Binaria} en $X$ como una
aplicación $*:X\times X\to X$. Normalmente, un conjunto con una operación binaria se denotará por $(X,*)$. \nomenclature{$(X,*)$}{Conjunto con operación binaria}
\end{defi}


\noindent \textbf{Nota:} Genéricamente dados $a,b\in X$ denotaremos al producto de $a$ con $b$ como  $a*b$ y se leerá $a$ operado con $b$.  En casos concretos nos van a aparecer dos notaciones distinta de producto (de hecho, ya estamos acostumbrados a ellas): \nomenclature{$a*b$}{Operación binaria}

\begin{itemize}
  \item[$\bullet$] La notación multiplicativa, $a*b$, $a\cdot b$ o simplemente $ab$ (la operación  simplemente
se denota por yuxtaposición)
\item[$\bullet$] La notación aditiva, $a+b$ (la operación se denota por ``$+$").
\end{itemize}


\begin{ejem}\rm
\item{$\star$} La suma o el producto en $\NN$, $\ZZ$, $\ZZ_n$, $\QQ$ o $\RR$.
\item{$\star$} La resta en $\ZZ$, $\QQ$ o $\RR$ (la resta no es operación en $\NN$).
\item{$\star$} La división no es operación binaria en ninguno de estos conjuntos.
\item{$\star$} La división es una operación binaria en  $\QQ-\{0\}$ o $\RR-\{0\}$.
\item{$\star$} El máximo común divisor y el mínimo común múltiplo son operaciones binarias en $\ZZ$.
\item{$\star$} La unión, la intersección, la diferencia o la diferencia simétrica son operaciones binarias.
\item{$\star$} La composición de aplicaciones es una operación binaria en $\Delta:=\{f \ \vert\ f:X\to X\}$.
\item{$\star$} Dado un conjunto no vacío $X$, las siguientes son operaciones binarias en $X$: dado $c\in X$, para todo $a,b\in X$ definimos,
\begin{eqnarray*}
a*b=&a\\
a*b=&b\\
a*b=&c
\end{eqnarray*}
\end{ejem}


\hypertarget{Pbin}{}
\begin{defi} \label{defi:Pbin}\rm
Sea $X$ un conjunto no vacio y $*$ una operación en $X$. Se dice que $*$
\item{$\bullet$} es \textbf{asociativa} si  $\forall \ a,b,c\in X$,\quad  $a*(b*c)=(a*b)*c$.\index{Propiedad!Asociativa}
\item{$\bullet$} es \textbf{conmutativa} si $\forall \ a,b\in X$, \quad $a*b=b*a$.\index{Propiedad!Conmutativa}
\item{$\bullet$} Posee elemento \textbf{neutro por la derecha}  si existe $e\in X$ tal que $\forall \ a\in X$, $a*e=a$.\index{Propiedad!Elemento Neutro!Por la izquierda}
    \index{Propiedad!Elemento Neutro!Por la derecha}
\item{$\bullet$} Posee elemento \textbf{neutro por la izquierda}  si existe $e\in X$ tal que $\forall \ a\in X$,  $e*a=a$.\index{Propiedad!Elemento Neutro}
\item{$\bullet$} Posee elemento neutro si existe elemento \textbf{neutro} por la izquierda y por la derecha.
\end{defi}




\noindent \begin{tabularx}{13cm}{ll}
\begin{minipage}[t][-0.9cm][b] {9.75cm} \begin{lema}\rm \label{lema:iguneu} Si $e$ es neutro por la izquierda y $e'$ es neutro por la derecha, entonces $e=e'$.  Por lo que el
elemento neutro, caso de existir es único.\end{lema}
\vfill\end{minipage}&
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) rectangle (5.5,2.8);
\draw (2.9,2.3) node{ \LARGE $e'=e*e'=e.$};
\draw[<-,thick] (1.65,1.55)--(1.65,2.1);
\draw[<-,thick] (4.15,.8)--(4.15,2.1);
\draw (2.15,1.55) node[below,text width=3.5cm,text justified]{\tiny $e$ es  neutro por la izquierda};
\draw (3.9,.8) node[below,text width=3.5cm,text justified]{\tiny $e'$ es neutro por la derecha};
\end{tikzpicture}
\end{tabularx}
\vskip .5truecm

\begin{coro}
\rm Sea $X$ un conjunto no vacío y $*$ una operación en $X$. Entonces, si $*$ posee un elemento neutro éste es único.
\end{coro}

\noindent \pdfcomment[icon=Check,hspace=0.5 truecm,author={Puntos clave},markup=Underline,color=azul]{Por reducción al absurdo, supón que hay dos neutros y aplica la demostración anterior} \textbf{Demo:} Corolario trivial de lo anterior. \EndProof

\noindent \textbf{Nota:} Sea $X$ un conjunto con una operación que posee elemento neutro. Dependiendo de que notación estemos usando para denotar dicha operación así denotaremos al elemento neutro:
\begin{itemize}
  \item[$\bullet$] En notación multiplicativa (la operación se denota por $*$, $\cdot$ o por yuxtaposición): al elemento neutro se le suele denotar por $e$ o a veces por $1$.
\item[$\bullet$] En notación aditiva (la operación se denota por $+$): al elemento neutro se le suele denotar por $0$.
\end{itemize}


\begin{defi}\rm
Sea $X$ un conjunto no vacío y $*$ una operación en $X$.
\item{$\bullet$} Diremos que $(X,*)$ es un \textbf{semigrupo}\index{Semigrupo}
si $*$ es asociativa.
\item{$\bullet$} Diremos que $(X,*)$ es un \textbf{monoide}\index{Monoide} si $*$ es asociativa con elemento
unidad (normalmente denotado por $e$, si la notación es multiplicativa, a veces, por $1$ y si es aditiva, por $0$).
\item{$\bullet$} Un monoide $(X,*)$ con operación $*$ conmutativa se dirá
\textbf{monoide conmutativo}\index{Monoide!Conmutativo}.
\end{defi}

\noindent \textbf{Nota:} Tal como su nombre indica, en una operación binaria podemos operar elementos de dos en dos. Por tanto, en principio, no tiene sentido expresiones tales como $a*b*c$. No obstante, si $*$ es asociativa tenemos que $(a*b)*c=a*(b*c)$. El siguiente teorema demuestra que es innecesario el uso de paréntesis en una operación asociativa.

\timeclase{Fin de clase 15; 10-11-2011, grupo A y B}

\begin{theo}\rm
Sea $(X,*)$ un semigrupo. Entonces el producto arbitrario de $n$ elementos de $X$ es independiente de la disposición de los paréntesis.
\end{theo}

\noindent \pdfcomment[icon=Check,hspace=0.5 truecm,author={Puntos clave},markup=Underline,color=azul]{Hay que aplicar el principio de inducción generalizado al numeró de elementos que hay en el producto. Para $n=3$ es la hipótesis, el caso de $n$ elementos sale a partir de los anteriores} \textbf{Demo:} Por hipótesis
$$(a*b)*c=a*(b*c)$$ por lo que lo podremos denotar  por  $a*b*c$.
$$(((a*b)*c)*d)=(a*b)*(c*d)=(a*(b*(c*d)))$$ se denotará por $a*b*c*d$.
Supongamos que en un producto de $n-1$ elementos no afecta la posición de los paréntesis y consideremos un producto de
$n$ términos. Entonces:

$\blacklozenge$ Los paréntesis del último producto serán $(a_1*\cdots*a_k)*(a_{k+1}*\cdots*a_n)$ para algún $k\in
\{1,\dots, n-1\}$. Por la hipótesis de inducción los paréntesis interiores a éstos pueden ordenarse como mejor nos
convenga. Por último, al ser la operación asociativa:
\[\begin{split}
(a_1*\cdots*a_k)*(a_{k+1}*(a_{k+1}*\cdots*a_n))&=(a_1*\cdots*a_{k+1})*(a_{k+2}*\cdots*a_n)\\
((a_1*\cdots*a_{k-1})*a_k)*(a_{k+1}*\cdots*a_n)&=(a_1*\cdots*a_{k-1})*(a_{k}*\cdots*a_n)
\end{split}\]
Por lo que el último producto, y por tanto todos, pueden ser cambiados a nuestro antojo. Lo que demuestra el teorema.\EndProof

\textbf{Nota:} Observar que aquí teníamos que demostrar que una  propiedad era cierta para todo natural mayor que $3$ y hemos adaptado el principio de inducción generalizado a este caso.

\hypertarget{Ubin}{}
\begin{defi} \label{defi:Ubin}\rm
Sea $(M,*)$ un monoide con elemento unidad $e$. Diremos que un elemento $a\in X$ posee  \index{Inverso} \index{Elemento opuesto}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] \textbf{Inverso por la izquierda} si existe $b\in X$ tal que $b*a=e$.
\index{Inverso!por la izquierda}
\item[$\bullet$] \textbf{Inverso por la derecha} si existe $b\in X$ tal que $a*b=e$.\index{Inverso!por la derecha}
\item[$\bullet$] \textbf{Inverso} si existe $b\in X$ tal que $a*b=e=b*a$.\nomenclature{$a^{-1}$}{Inverso de $a$, (caso de que exista)}
\end{itemize}
\end{defi}

\begin{ejem}
  Sea $X$ un conjunto no vacio y sea $M=\{f:X\to X\}$, el conjunto de todas las aplicaciones de $X$ en $X$. Tenemos entonces que $(M,\circ)$ es un monoide unitario ($\circ$ es la composición de aplicaciones, por lo que esta operación es asociativa y el elemento neutro es la aplicación identidad). Entonces, el apartado (i) de \fullref{la proposición}{cachoinysobr}{} nos dice que un elemento $f\in M$ posee inversa por la derecha si y sólo si $f$ es  una aplicación sobreyectiva y el apartado (ii) de \fullref{la proposición}{cachoinysobr}{} nos dice que un elemento $f\in M$ posee inversa por la izquierda si y sólo si $f$ es  una aplicación inyectiva.
\end{ejem}

\begin{lema}\rm \label{lema:inv}
Sea $(M,*)$ un monoide con elemento neutro $e$ y sea $a\in M$. Entonces:
\begin{enumerate}
  \item[(i)] Si $a$ tiene un inverso por la izquierda y un inverso por la derecha, ambos coinciden y $a$ es inversible.
  \item[(ii)] Si $a$ posee inverso éste es único. Por tanto lo denotaremos de forma especial. Así,  el inverso de un elemento $a\in M$ se denotará por:
        \begin{itemize}
            \item[$\bullet$] $a^{-1}$ si estamos en notación multiplicativa.
            \item[$\bullet$] $-a$ si estamos en notación aditiva.
        \end{itemize}
\end{enumerate}
\end{lema}

\noindent \pdfcomment[icon=Check,hspace=0.5 truecm,author={Puntos clave},markup=Underline,color=azul]{Es la misma demostración que la unicidad del neutro} \textbf{Demo:} Sea $b$ inverso por la izquierda de $a$ y $b'$ inversos por la derecha de $a$. Tenemos entonces que
$$b'=e*b'=(b*a)*b'=b*(a*b')=b*e=b.\eqno{\blacksquare}$$



\setulcolor{rojo}
\noindent \textbf{Nota:} \ul{El inverso de un elemento no tiene porqué existir}: por ejemplo en $(\ZZ_6,\cdot)$ ($\ZZ_6$ con el producto) $\overline 3$ no tiene inverso [no hay ningún elemento de $\ZZ_6$ que cuando lo multiplico por $\overline 3$ me de $\overline 1$]. En $\ZZ$ con el producto no suele haber inversos (solo el 1 y el $-1$ tienen inversos). \suba{Por tanto, aunque sea muy grande la tentación (por ejemplo para resolver un ejercicio) si $a\in G$ ($G$ un conjunto con una operación) no puede aparecer de improviso el elemento $a^{-1}$ a no ser que demostremos que $a$ posee inverso, en particular $G$ tiene que ser un monoide}.

\noindent \textbf{Nota:} Ya hemos estudiado muchos elementos inversible en este curso: Los opuestos para la suma en $\ZZ,\QQ,\RR $ ó $\ZZ_n$ verifican esta propiedad. Los inversos en $\RR,\QQ,\ZZ_n$ o las aplicaciones inversibles verifican esta propiedad.


\begin{defi}\rm
Sea $(M,*)$ un monoide. Se dice que un elemento $a\in M$ es una \textbf{unidad de $M$}, si es un elemento inversible de $M$.  El conjunto de las unidades de un monoide $M$ se denota por ${\cal U}(M)$. \nomenclature{${\cal U}(M)$}{Elementos inversibles de un monoide $M$} \index{Unidades en un monoide}
\end{defi}


\begin{prop}\label{prop:monoide}\rm
Sea $(M,*)$ un monoide y sean  $a,b\in M$. Entonces:
\item{(i)} El elemento neutro de $M$ es una unidad.
\item{(ii)} Si $a$ es una unidad, $a^{-1}$ es una unidad y $(a^{-1})^{-1}=a$.
\item{(iii)} Si $a$ y $b$ son unidades de $M$, $a*b$ es una unidad de $M$ y  $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$.
\item{(iv)} En general el producto arbitrario de unidades es una unidad.
$$(a_1*\cdots*a_{n-1}*a_n)^{-1}=a_n^{-1}*a_{n-1}^{-1}*\cdots*a_1^{-1}$$
\end{prop}

\noindent \pdfcomment[icon=Check,hspace=0.5 truecm,author={Puntos clave},markup=Underline,color=azul]{Son solo comprobaciones rutinarias, debes de saberte las definiciones. (iv) se demuestra por inducción} \textbf{Demo:} (i) y (ii) son triviales.

(iii) Veamos que $b^{-1}*a^{-1}$ es el inverso de $a*b$:
\begin{eqnarray*}
(a*b)*(b^{-1}*a^{-1})&=a*(b*b^{-1})*a^{-1}=a*e*a^{-1}=e\\
(b^{-1}*a^{-1})*(a*b)&=b^{-1}*(a^{-1}*a)*b=b^{-1}*e*b=e
\end{eqnarray*}

(iv) Vamos a dar una demostración por inducción: el caso $n=2$ es el apartado anterior. Supongamos que el resultado es cierto para $n-1$, entonces:

\[\begin{split}
(a_1*\cdots*a_{n-1}*a_n)^{-1}&=((a_1*\cdots*a_{n-1})*a_n)^{-1}=a_n^{-1}*(a_1*\cdots*a_{n-1})^{-1}\\&=
a_n^{-1}*a_{n-1}^{-1}\cdots*a_1^{-1}
\end{split}\]
Lo que demuestra la proposición.\hfill$\blacksquare$


\begin{ejem}\rm
Veamos cuales son las unidades en algunas operaciones binarias estudiadas:
\item{$\star$} En $(\NN,\cdot)$ sólo $1$ es unidad. En $(\ZZ,\cdot)$ las unidades son $\{1,-1\}$.
\item{$\star$} En $(\QQ,\cdot)$ o $(\RR,\cdot)$ las unidades son, respectivamente $\QQ-\{0\}$ y $\RR-\{0\}$.
\item{$\star$} Para $(\Delta,\circ)$ con $\Delta=\{f\ \vert\ f:X\to X\}$ y $\circ$ la composición, las unidades son las aplicaciones biyectivas.
\item{$\star$} En $(\ZZ_n,\cdot)$ las unidades son los elementos $\overline a\in \ZZ_n$ tales que $\mcd(n,a)=1$.
\item{$\star$} En $({\cal M}_n(\RR),+)$, suma de matrices, todo elemento es unidad, mientras que en $({\cal M}_n(\RR),\cdot)$ las matrices de determinante no nulo (las inversibles) son las unidades.
\item{$\star$} Sea $X$ un conjunto no vacio. En $({\cal P}(X),\cup)$ sólo  $\emptyset$, que  es el elemento neutro, es unidad.   En $({\cal P}(X),\cap)$ sólo  $X$, que  es el elemento neutro, es unidad.  En $({\cal P}(X),\triangle)$, todo elemento es unidad. ¿Quien es el elemento neutro?
\end{ejem}





\section{Nociones básicas sobre Anillos}
\subsection{Definiciones y ejemplos}

\hypertarget{Dgru}{}
\begin{defi}\rm \label{defi:Dgru}\rm
Sea $G$ un conjunto no vacío y $*$ una operación en $G$. Diremos que $(G,*)$ es un \textbf{grupo}\index{Grupo} si:
\begin{itemize}\itemsep=-.2truecm
\item $*$ es asociativa.
\item $*$ tiene elemento unidad, normalmente denotado  por $e$.
\item Todo elemento de $G$ tiene inverso.
\end{itemize}
Si además $*$ es conmutativa se dirá que $G$ es un \textbf{grupo abeliano}.\index{Grupo!Abeliano}
\end{defi}

\begin{ejem}\rm $\ZZ,\QQ,\RR,\ZZ_n$ son grupos abelianos respecto de la suma. $\QQ-\{0\}$ y $\RR-\{0\}$ son grupos abelianos respecto del producto.
$({\cal P}(X),\triangle)$ es un grupo abeliano para cualquier conjunto no vacío  $X$. El conjunto de las matrices inversibles en ${\cal M}_2(\RR)$ con el producto es un grupo no abeliano.
\end{ejem}

\timeclase{Fin de clase 16; 11-11-2011, grupo A y B}


\begin{defi}\label{defi:deanillo}\rm
Un \textbf{anillo} es una terna $(R,+,\cdot)$ en donde $R$ es un conjunto y ``$+$", ``$\cdot$" son dos operaciones en $R$ tales
que:\index{Anillo}
\begin{itemize}
\item[(1)] $(R,+)$ es un grupo abeliano:
\begin{itemize}
\item Propiedad asociativa: $(a+b)+c=a+(b+c)$ para todo $a,b,c\in R$.
\item Elemento neutro: existe $0\in R$ tal que $a+0=0+a$ para todo $a\in R$
\item Elemento opuesto: para todo $a\in R$ existe $-a\in R$ tal que $$a+(-a)=(-a)+a=0.$$
\item Propiedad conmutativa: $a+b=b+a$ para todo $a,b\in R$.
\end{itemize}
\item[(2)] $(R,\cdot )$ verifica la propiedad asociativa: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ para todo $a,b,c\in R$.
\item[(3)] Se verifican las propiedades distributivas: para todos $a,b,c\in R$,
$$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c\qquad c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b$$
\end{itemize}

\noindent $\star$ Diremos que un \textbf{anillo} $(R,+,\cdot )$ es \textbf{conmutativo} si ``$\cdot$"\  es conmutativa.\index{Anillo!Conmutativo}

\noindent $\star$ Diremos que un \textbf{anillo} $(R,+,\cdot )$ es \textbf{unitario} si ``$\cdot$"\  es una operación unitaria y $R$ tiene más de un
elemento ($0$ y $1$ son dos elementos distintos de $R$).\index{Anillo!Unitario}
\vskip .5truecm
\textbf{Nota:} La primera operación se llamará \textbf{suma}. El neutro de la suma lo denotaremos por $0$. Al inverso de la suma lo llamaremos
\textbf{Opuesto}. La segunda operación se llamará \textbf{producto} y la denotaremos por yuxtaposición.  Al neutro del producto lo denotaremos,
si existe, por $1$. El inverso del producto, si existe, se llamará \textbf{inverso}.
\end{defi}


\begin{ejem}\label{ejemanillo}\rm
\begin{itemize}
\item Si consideramos $(G, +)$ un grupo abeliano y definimos un producto en $G$ por: $a\cdot b:=0$ para todo $a,b\in
G$, $(G,+,\cdot )$ tiene estructura de anillo conmutativo.


\item  $\mathbb{Z, Q, R, C}$  con las operaciones usuales (todos son anillos conmutativos y unitarios). ${\cal M}_n(\mathbb{R})$, el anillo de
matrices sobre los Reales, con las operaciones usuales (anillo unitario, no conmutativo para $n\ge 2$). $2\mathbb{Z}$ con las operaciones
usuales de $\mathbb{Z}$ (anillo conmutativo no unitario).

\item  Los anillos realmente no tienen que ser de ``números": sea $X$ un conjunto no vacío y denotemos por ${\cal P}(X)$ el conjunto de
partes de $X$. Entonces $({\cal P}(X), \triangle, \cap)$ tiene estructura de anillo conmutativo y unitario.

\textbf{Nota:}  $\triangle$ denota la diferencia simétrica:  dados $A,B\subset X$, $$A\triangle B:=(A-B)\cup (B-A)=(A\cap B^c)\cup (B\cap
A^c)$$

\item  Los anillos módulo n: Sea $n$ un número natural y consideremos $$\mathbb{Z}_n:=\{0,1,2,\dots, n-1\}.$$ Observar que $\mathbb{Z}_n$ tiene $n$
elementos. Dados $a,b\in \mathbb{Z}_n$ definimos:
\begin{itemize}
\item  La suma de $a$ y $b$ como el resto de dividir $a+b$ por $n$.

\noindent $\star$ $(\mathbb{Z}_n,+)$ es el grupo abeliano ya estudiado anteriormente.

\item  El producto de  $a$ y $b$ como el resto de dividir $a\cdot b$ por $n$.

\noindent Entonces $(\mathbb{Z}_n, +, \cdot  )$ tiene estructura de anillo conmutativo y unitario, $n\ge 2$.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{ejem}


\begin{prop}\rm
\label{propanillo}Sea $(R,+,\cdot )$ un anillo. Entonces:
\begin{itemize}
\item[(i)] $0\cdot a=a\cdot 0=0$ para todo $a\in R$.
\item[(ii)] $a\cdot (-b)=-(a\cdot b)=(-a)\cdot b$ para todo $a,b\in R$.

Si además $R$ es unitario,
\item[(iii)]  la unidad es única.
\item[(iv)] Si  $a\in R$ es un elemento inversible, el inverso de $a$ es único (lo denotamos por $a^{-1}$).
\end{itemize}
\end{prop}

\noindent \pdfcomment[icon=Check,hspace=0.5 truecm,author={Puntos clave},markup=Underline,color=azul]{No te lies, un anillo es un conjunto con dos operaciones que verifica unas propiedades. Aquí se demuestra que si multiplicas (segunda operación) el neutro de la suma (primera operación) con cualquier elemento del anillo da el neutro de la suma} \textbf{Demo:} (i). Sabemos que al ser $0$ el neutro de la suma, $0+0=0$. Por tanto,
$$ 0a=(0+0)a=0a+0a$$
Simplemente hemos aplicado la distributiva de la suma. Ahora, Si sumamos en ambos lados de la igualdad el opuesto de $0a$ tenemos,
$$0=(-0a)+0a=(-0a)+(0a+0a)=((-0a)+0a)+0a=0+0a=0a$$
El caso $a0=0$ se demuestra de forma análoga.

(ii). Queremos ver que $a(-b)=-(ab)$, es decir, que $a$ por el opuesto de $b$ es el opuesto de $ab$. Pero
$$ab+a(-b)=a(-b)+ab=a((-b)+b)=a0=0$$ por lo que cuando a $ab$ le sumo $a(-b)$ me da cero. Esto nos dice exactamente que el opuesto de $a$ es $a(-b)$ (ya que el opuesto es único), es decir, $-(ab)=a(-b)$. de forma análoga se demuestra que $-(ab)=(-a)b$.

(iii) y (iv). Sabemos que en cualquier operación, en particular para el producto de un anillo $R$ la unidad caso de existir es única y el inverso de un elemento, caso de existir, es único. \hfill$\blacksquare$

\begin{coro}[Ejercicio]\rm  Sea $(R,+,\cdot)$ un anillo unitario. Entonces $0\ne 1$.
\end{coro}

\begin{ejem}
A los elementos inversibles de un anillo $R$ se les denomina unidades. El conjunto de las unidades de un anillo $R$ se
denota por $\mathcal{U}(R)$. \index{$\mathcal{U}(R)$ unidades}
\end{ejem}


\begin{coro}[Ejercicio]\rm  Sea $(R,+,\cdot)$ un anillo unitario. Entonces $(\mathcal{U}(R), \cdot )$ tiene estructura de grupo. Es más, si $R$ es conmutativo, $\mathcal{U}(R)$ es un grupo abeliano.
\end{coro}

\begin{defi}\rm
Se dice que un anillo $(R,+,\cdot)$ es un \textbf{anillo de división} si es unitario  y todo elemento no nulo de $R$ tiene
inverso. Si además  es conmutativo, se dice que $(R,+,\cdot)$ es un \textbf{cuerpo}. \index{Anillo! de división} \index{Cuerpo}
\end{defi}

\textbf{Nota:} $\mathbb{ Q,R,C}$ son cuerpos. Si $p$ es un número primo, $\ZZ_p$, el anillo de congruencias módulo $p$,  es un cuerpo (se ha demostrado en \fullref{el corolario}{Zncuerpo}{}).


\begin{propi}\rm
  Vamos a pensar ahora en una propiedad que  normalmente hemos usa\-do en los anillos ``de números" ($\mathbb{Z,Q,R}$ o $\mathbb{ C}$): si  $a\cdot b=0$, entonces $a=0$ o $b=0$. Curiosamente esta propiedad no es cierta en todo anillo: Veamos varios  contraejemplos:
\begin{enumerate}
  \item[(1)] Si consideramos las matrices de tamaño $n$ (con $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$) tenemos que $(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}),+,\cdot)$, las matrices con su suma y producto usual tienen estructura de anillo (anillo unitario, no conmutativo si $n>1$). Y ya sabemos que podemos tener dos matrices no nulas de producto cero:
      $$\left(
      \begin{array}{cc}
               0 & 1 \\
               0 & 0 \\
      \end{array}
      \right) \cdot
       \left(
      \begin{array}{cc}
               5 & 2 \\
               0 & 0 \\
      \end{array}   \right)= \left(
      \begin{array}{cc}
               0 & 0 \\
               0 & 0 \\
      \end{array}
      \right)$$
       \item[(2)] Podemos considerar algunos  anillos de congruencias modulo $n$, que son conmutativos y unitarios, $(\mathbb{Z}_n,+,\cdot)$: Por ejemplo,  en $\mathbb{Z}_{12}$, $$\bar 6\cdot \bar 4=\bar 0\text{ pero }\bar 6\ne \bar 0 \text{ y }\bar 4\ne \bar 0$$
\end{enumerate}
 \end{propi}

\begin{defi}\rm
  Sea $R$ un anillo. Se dice que un elemento no nulo $a\in R$ es: \index{divisor de cero}
 \begin{enumerate}
   \item[$\bullet$] Un \textbf{divisor de cero por la izquierda} si existe  $0\ne b\in R$ tal que $a\cdot b=0$.
   \index{divisor de cero! por la derecha}
\item[$\bullet$] Un \textbf{divisor de cero por la derecha} si existe $0\ne b\in R$ tal que $b\cdot a=0$.
\index{divisor de cero! por la izquierda}
 \end{enumerate}
 Un anillo conmutativo y
unitario sin divisores de cero por la izquierda y por la derecha se denomina un \textbf{dominio de integridad} (normalmente denotaremos los dominios de integridad por D.I.)
  \index{Dominio de integridad}
\end{defi}

\begin{coro}[ejercicio]\rm Sea $(R,+,\cdot)$ un anillo y sea $a$ un elemento inversible de $R$. Entonces $a$ no es divisor de cero (ni por la izquierda ni por la derecha) en $R$.\end{coro}

\begin{coro}[ejercicio]\rm  Todo cuerpo es un dominio de integridad. $\mathbb{Z}$ es un D.I. que no es cuerpo.\end{coro}


\begin{defi}\rm
  Se dice que un anillo $R$ verifica la \textbf{ley de cancelación por la izquierda} si para todo elemento no nulo $a\in R$ y para todos $x,y\in R$ se verifica que $$ax=ay\quad \implies\quad x=y.$$ \index{Ley de cancelación!por la izquierda}
  Se dice que un anillo $R$ verifica la \textbf{ley de cancelación por la derecha} si para todo elemento no nulo $a\in R$ y para todos $x,y\in R$ se verifica que $$xa=ya\quad \implies\quad x=y.$$\index{Ley de cancelación!por la derecha}
\end{defi}

\begin{prop}[ejercicio]\rm
  Sea $(R,+,\cdot)$ un anillo. Las siguientes condiciones son equivalentes:
  \begin{enumerate}
    \item[(i)] $R$ no posee divisores de cero por la izquierda (Resp. derecha).
    \item[(ii)] Se verifican las leyes de cancelación por la izquierda (Resp. derecha).
  \end{enumerate}
\end{prop}




\begin{coro}[ejercicio]\rm
  Para  un anillo conmutativo y unitario $(R,+,\cdot)$ las siguientes condiciones son equivalentes:
  \begin{enumerate}
    \item[(i)] $R$ es un dominio de integridad.
    \item[(ii)] Se verifican las leyes de cancelación en $R$. Es decir,
    $$\text{Si}\ ax=ay \text{ con $a\ne 0$, entonces } x=y$$
  \end{enumerate}
  \textbf{Nota:} Sólo hemos escrito una de las leyes de cancelación ya que el anillo es conmutativo, con lo que la otra es inmediata.
\end{coro}

$\bigstar$ Los ejercicios del 1 al 15 te pueden servir para saber si has asimilado los conceptos de esta sección.

\subsection{Subanillos}

\begin{defi}
Sea $(R,+,\cdot )$ un anillo. Se dice que $A\subset R$ es un subanillo de $R$, y se representa $A\le R$, si: \index{Subanillo}
\begin{enumerate}\itemsep=-.1truecm
\item[$\bullet$] La suma de $R$ es una operación interna en $A$: $a+b\in A$ para todos $a,b\in A$.
\item[$\bullet$] El producto de $R$ es una operación interna en $A$: $a\cdot b\in A$ para todos $a,b\in A$.
\item[$\bullet$] $(A,+,\cdot)$ tiene estructura de anillo.
\end{enumerate}
\end{defi}

 \textbf{Nota:} Observar que los dos primeros puntos significan  que la suma y el producto de $R$ definen operaciones en $A$.

  \textbf{Nota:} Por tanto, para demostrar que un subconjunto $A$ de un
anillo $R$ es un subanillo tenemos que demostrar $9$ propiedades. No obstante algunas son triviales:

\timeclase{Fin de clase 17; 14-11-2011, grupo A y B. Primera clase recuperada}

\begin{theo}\label{subaniloprop}\rm
  Sea $(R,+,\cdot )$ un anillo y sea $A\subset R$. Entonces $A$ es un subanillo de $R$ si y sólo si:
  \begin{itemize}\itemsep=-.2truecm
    \item[(i)]  La suma de $R$ es una operación interna en $A$: $a+b\in A$ para todos $a,b\in A$.
    \item[(ii)]  $0\in A$.
    \item[(iii)] Para todo $a\in A$, $-a\in A$.
    \item[(iv)]  El producto de $R$ es una operación interna en $A$: $a\cdot b\in A$ para todos $a,b\in A$
  \end{itemize}
\end{theo}

\noindent \pdfcomment[icon=Check,hspace=0.5 truecm,author={Puntos clave},markup=Underline,color=azul]{Un subconjunto $A$ que verifique estas cuatro propiedades es fácil ver que es un subanillo. Para ver que un subanillo verifica estas cuatro propiedades hay que demostrar que en neutro de la suma para $A$ es el neutro de la suma para $R$ y que los opuestos también coinciden} \textbf{Demo:} Supongamos en primer lugar que $A$ es un subconjunto de $R$ que verifica las propiedades (i), (ii) y (iii). Entonces,

 \noindent $\bigstar$ $(A,+)$ es un grupo abeliano:

 $\bullet$ (i) nos dice que la suma define una operación en $A$.

  $\bullet$ Como se verifica (ii), $0\in A$ y por tanto $0$ es el elemento neutro de $A$ (si para todo elemento $x$ de $R$ se tiene que $x+0=0+x=x$,  para todo elemento $a$ de $A$, que en particular es un elemento de $R$, se tiene que $a+0=0+a=a$).

  $\bullet$ Si $a\in A$, por (ii), $-a\in A$ por tanto $a$ tiene opuesto en $A$, el elemento $-a$.

  $\bullet$ por ultimo, como $x+y=y+x$ para todo elemento $x,y\in R$ se tiene que esta misma propiedad se verifica para los elementos de $A$.

 \noindent $\bigstar$  $(A,\cdot)$ verifica la propiedad asociativa:

  $\bullet$ (iii) nos dice que el producto define una operación en $A$.

  $\bullet$ Como $(xy)z=x(yz)$ para todo elemento $x,y,z\in R$ se tiene que esta misma propiedad se verifica para los elementos de $A$.

  \noindent $\bigstar$  $(A,\cdot)$ verifica la propiedad distributiva:

   $\bullet$ Como $(x+y)z=xz+yz$ y $z(x+y)=zx+zy$ para todo elemento $x,y,z\in R$ se tiene que estas mismas propiedades se verifican para los elementos de $A$.

   Por tanto, si se verifica (i), (ii) y (iii) $(A,+,\cdot)$ tiene estructura de anillo, lo que implica que  es subanillo de $R$. Veamos el recíproco.


   Supongamos ahora que la suma y el producto de $R$ dotan a $A$ de estructura de anillo. En primer lugar, la suma es una operación en $A$, por lo que para todo $a,b\in A$ $a+b\in A$. De forma similar, el producto es una operación en $A$ por lo que para todo $a,b\in A$ $a\cdot b\in A$. Es decir, se satisfacen (i) y (iii) del enunciado.

   Veamos que también se satisface (ii). En primer lugar demostremos que $0\in A$: Por hipótesis $(A,+)$ tiene estructura de grupo abeliano, por lo que posee un elemento neutro. Denotémoslo  por  $0'\in A$ (en principio nadie nos dice que tenga que ser el elemento neutro de la suma de $R$, que denotamos por $0$). Ahora, $0'=0'+0'$ ya que $0'$ es el neutro de $(A,+)$ pero $0'+0=0'$ ya que $0$ es el neutro de $R$. Por tanto,
   $$0'+0=0'+0'.$$
   Si sumamos en esta expresión por el opuesto de $0'$ en $R$ tenemos $0=-0'+0'+0=-0'+0'+0'=0'\in A$.

   Demostremos ahora que para cada $a\in A$, $-a\in A$: dado $a\in A$, como $(A,+)$ es un grupo abeliano, $a$ tiene su opuesto en $A$, denotémoslo por $a'$, así, $$a+a'=a'+a=0\eqno{\clubsuit}$$ (ya que hemos visto que el neutro de $(A,+)$ era el $0$). Pero $\clubsuit$ nos dice que $a'$ es el opuesto de $a$ en $R$, es decir, que $a'=-a$.  \hfill$\blacksquare$

\begin{ejem}\quad
 $2\mathbb{Z}\le \mathbb{Z}\le \mathbb{Q}\le \mathbb{R}\le \mathbb{C}$.
\end{ejem}

\begin{lema}[ejercicio]\rm Un subanillo de un anillo unitario no tiene que ser
unitario. Es más, aunque sea unitario la unidad del anillo y del subanillo no tiene que coincidir.\end{lema}

\textbf{Nota:} Aunque la unidad de $R$, si existe, (el elemento neutro del producto de $R$) no tiene que pertenecer al subanillo, el neutro de la suma si pertenece a cualquier subanillo, por lo que $R$ y cualquier subanillo suyo tienen el mismo neutro para la suma.

\begin{lema}[ejercicio]\rm Todo subanillo unitario de un dominio de integridad es un dominio de integridad. En particular, todo subanillo unitario de un cuerpo es un dominio de integridad.\end{lema}

$\bigstar$ Los ejercicios del 16 al 19 te pueden servir para saber si has asimilado los conceptos de esta sección.

\section{Homomorfismos de anillos}

\begin{defi}\rm
\label{dehom}Sean $(R,+,.)$ y
$(R',+',.')$ dos anillos. Se define un \textbf{homomorfismo} de $R$ en $R'$ como una aplicación $f:R\to R'$ tal que: \index{Homomorfismo de anillos}
\begin{align*}
 f(a+b)&=f(a)+'f(b)\quad \hbox{para todo $a,b\in R$},\cr f(a\cdot b)&=f(a)\cdot'f(b)\quad \hbox{para todo $a,b\in R$}.
\end{align*}
\begin{itemize}
\itemsep=-.2truecm
 \item[$\bullet$] Si $f$ es  inyectiva, se dice que $f$ es un \textbf{monomorfismo}.\index{Monomorfismo de anillos}
\item[$\bullet$] Si $f$ es  sobreyectiva, se dice que $f$ es un \textbf{epimorfismo}.\index{Epimorfismo de anillos}
\item[$\bullet$] Si $f$ es biyectiva, se dice que $f$ es un \textbf{isomorfismo}. En este caso se dice que los anillos $R$ y $R'$ son \textbf{isomorfos}.\index{Isomorfismo de anillos} \index{Anillos Isomorfos}
\item[$\bullet$] Si $R=R'$, se dice que $f$ es un \textbf{endomorfismo}.\index{Endomorfismo}
\item[$\bullet$] Un endomorfismo biyectivo se le denomina un \textbf{automorfismo}.\index{Automorfismo}

\item[$\bullet$] Si $R$ y $R'$ son dos anillos unitarios, diremos que $f:R\to R'$ es un \textbf{homomorfismos de anillos unitarios} si $f(1_R)=1_{R'}$. \index{Homomorfismo de anillos unitarios}
\end{itemize}
\end{defi}


\begin{prop} \rm \label{ejemanilloII} Sean $R$ y $R'$ dos anillos y sea $a$ un elemento invertible de $R$ (con inverso $a^{-1}$). Entonces:
\begin{enumerate}
\itemsep=-.2truecm
  \item[$\bullet$] La aplicación nula, $f:R\to R'$ definida por $f(x)=0'$ para todo $x\in R$ es un homomorfismo de anillos.
  \item[$\bullet$] La aplicación identidad, $\Id:R\to R$ definida por $\Id(x)=x$ para todo $x\in R$ es un automorfismo de anillos.
  \item[$\bullet$] La aplicación $f_a:R\to R$ definido por $f_a(x)=a^{-1}xa$ es un automorfismo de $R$. Llamado el \textbf{automorfismo interno} asociado al elemento inversible $a$. \index{Automorfismo!Interno}
\end{enumerate}
\end{prop}

\noindent \pdfcomment[icon=Check,hspace=0.5 truecm,author={Puntos clave},markup=Underline,color=azul]{Es una mera comprobación} \textbf{Demo:} (1). Veamos que la aplicación $f:R\to R'$ definida por $f(x)=0'$ para todo $x\in R$ es un homomorfismo de anillos:
$$f(x+y)=0=0+0=f(x)+f(y)\quad\text{y}\quad f(xy)=0=0\cdot 0=f(x)\cdot f(y)$$

(2). Veamos que la aplicación identidad es un homomorfismo de anillos:

$$\Id(x+y)=x+y=\Id(x)+\Id(y)\quad\text{y}\quad \Id(x\cdot y)=x\cdot y=\Id(x)\cdot \Id(y)$$

(3). Por último demostremos que $f_a$ verifica las propiedades que tienen que verificar los automorfismos de anillos:
\begin{align*}f_a(x+y)&=a^{-1}(x+y)a=a^{-1}xa+a^{-1}ya=f_a(x)+f_a(y)\\ f_a(x\cdot y)&=a^{-1}xya=a^{-1}x(a a^{-1})ya=a^{-1}xa a^{-1}ya=f_a(x)\cdot f_a(y)
\end{align*}

Es más la aplicación inversa de $f_a$ es $f_{a^{-1}}$ en donde $f_{a^{-1}}(x)=(a^{-1})^{-1}xa^{-1}=axa^{-1}$ ya que
\begin{align*}f_a\circ f_{a^{-1}}(x)&=f_a(axa^{-1})=a^{-1}(axa^{-1})a=x\\
 f_{a^{-1}}\circ f_a(x)&=f_{a^{-1}}(a^{-1}xa)=a(a^{-1}xa)a^{-1}=x
 \end{align*}
Lo que demuestra el ejemplo. \hfill$\blacksquare$


\begin{lema}\rm
  Sean $R$ y $R'$ son dos anillos y $f:R\to R'$ un homomorfismo de anillos. Entonces:
  \begin{itemize}\itemsep=-.2truecm
    \item[(i)] $f(0)=0$.
    \item[(ii)] $f(-a)=-f(a)$
  \end{itemize}
\end{lema}

\noindent \pdfcomment[icon=Check,hspace=0.5 truecm,author={Puntos clave},markup=Underline,color=azul]{En (i) hay que jugar con $0+0=0$. En dos comprobar que $f(-x)$ es el opuesto de $f(x)$} \textbf{Demo:} (i). Ya hemos hecho alguna demostración con la misma idea.
$$f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$$
Si ahora sumamos en ambos lados el opuesto de $f(0)$ en $R'$ tenemos, $$0'=f(0)-f(0)=f(0)+f(0)-f(0)=f(0)$$

(ii). Sea $a\in R$. Entonces $$f(a)+f(-a)=f(a+(-a))=f(0)=0\quad \text{y}\quad f(-a)+f(a)=f((-a)+a)=f(0)=0$$
Por tanto el opuesto de $f(a)$ en $R'$ es $f(-a)$.\hfill$\blacksquare$

\begin{lema}[Ejercicio]\rm  No tiene que suceder que si $R$ y $R'$ son anillos unitarios, $f(1)=1'$.
\end{lema}

\begin{prop}\rm  Sean $R$ y $R'$ dos anillos, $S$ un subanillo de $R$, $S'$ un subanillo de $R'$ y $f:R \to R'$ un homomorfismo
 de anillos. Entonces
 \begin{enumerate}\itemsep=-.2truecm
 \item[(i)] $f(S)$ es un subanillo de $R'$.
 \item[(ii)]  $f^{-1}(S'):=\{r\in R\vert \ f(r)\in S'\}$ es un subanillo de $R$.
 \end{enumerate}
\end{prop}

\noindent \pdfcomment[icon=Check,hspace=0.5 truecm,author={Puntos clave},markup=Underline,color=azul]{Es una mera comprobación de subanillo.} \textbf{Demo:} (i). $\bigstar$ Tenemos que ver que la suma es una operación interna en $f(S)$:

\noindent Sean $x,y\in f(S)$. Entonces existen $a,b\in S$ tales que $x=f(a)$ e $y=f(b)$. Por tanto $$x+y=f(a)+f(b)=f(a+b)\in f(S),$$ ya que como $S$ es un subanillo de $R$, $a+b\in S$.

 $\bigstar$ Tenemos que ver que el producto es una operación interna en $f(S)$:

 \noindent Sean $x,y\in f(S)$. Entonces existen $a,b\in S$ tales que $x=f(a)$ e $y=f(b)$. Por tanto $$x\cdot y=f(a)\cdot f(b)=f(a\cdot b)\in f(S),$$ ya que como $S$ es un subanillo de $R$, $a\cdot b\in S$.

 $\bigstar$ Por último, como $0\in S$ (ya que $S$ es un subanillo de $R$) $0'=f(0)\in f(S)$ y dado $x\in f(S)$ existe $a\in S$ tal que $x=f(a)$, por tanto $-x=-f(a)=f(-a)\in f(S)$, ya que $-a\in S$.

 (ii). $\bigstar$ Tenemos que ver que la suma es una operación interna en $f^{-1}(S')$:

\noindent Sean $a,b\in f^{-1}(S')$ (por definición $f(a),f(b)\in S'$). Entonces $f(a+b)=f(a)+f(b)\in S'$ ya que $S'$ es un subanillo de $R'$.

 $\bigstar$ Tenemos que ver que el producto es una operación interna en $f^{-1}(S')$:

 \noindent Sean $a,b\in f^{-1}(S')$ (por definición $f(a),f(b)\in S'$). Entonces $f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)\in S'$ ya que $S'$ es un subanillo de $R'$.

 $\bigstar$ Por último, $f(0)=0'\in S'$ (ya que $S'$ es subanillo de $R'$) y por tanto $0\in f^{-1}(S')$. Por último, si $a\in f^{-1}(S')$ (es decir, $f(a)\in S'$), $f(-a)=-f(a)\in S'$ y por tanto $-a\in f^{-1}(S')$.   \hfill$\blacksquare$

\begin{coro}\label{deimker}\rm
  Sean $R$ y $R'$ dos anillos, $S$ un subanillo de $R$, $S'$ un subanillo de $R'$ y $f:R \to R'$ un homomorfismo
 de anillos. Entonces:
  \begin{enumerate}
 \item[(i)] $\Ker(f):=f^{-1}(0)$, llamado el \textbf{ núcleo o Ker} de $f$,  es un subanillo de $R$. \index{Homomorfismo de anillos!Nucleo}
 \item[(ii)] $\im(f):=f(R)$, llamada la \textbf{imagen} de $f$, es un subanillo de $R'$.\index{Homomorfismo de anillos!Imagen}
 \end{enumerate}
\end{coro}
\textbf{Nota:} Cuando lleguemos a la estructura cociente en anillo veremos que $\Ker(f)$ tiene propiedades mucho más
interesantes que la de ser simplemente un subanillo.

\timeclase{Fin de clase 18; 15-11-2011, grupo A y B.}

\begin{prop} \rm Sean $R$ y $R'$ dos anillos, $S$ un subanillo de $R$, $S'$ un subanillo de $R'$ y $f:R \to R'$ un homomorfismo
 de anillos. Entonces
 \begin{enumerate}\itemsep=-.2truecm
 \item[(i)] $f$ es un monomorfismo si y sólo si $\Ker(f)=0$.
 \item[(ii)] $f$ es un epimorfismo si y sólo si $\im(f)=R'$.
 \end{enumerate}
\end{prop}

\noindent \pdfcomment[icon=Check,hspace=0.5 truecm,author={Puntos clave},markup=Underline,color=azul]{(i) es una mera comprobación, aunque es un resultado práctico muy útil. (ii) se sigue del tema de conjuntos. } \textbf{Demo:} (i). Recordamos que $\Ker(f)=\{a\in R\ \vert\ f(a)=0'\}$. Por tanto, si $f$ es inyectiva sólo el cero puede ir al cero y por tanto $\Ker(f)=\{0\}$. Recíprocamente, supongamos que $\Ker(f)=\{0\}$ y sean $a,b\in R$ tales que $f(a)=f(b)$. Entonces
$$0'=f(a)+(-f(b))=f(a-b)$$ por lo que $a-b\in \Ker(f)=\{0\}$ y por tanto $a-b=0$, es decir, $a=b$.

(ii). es una consecuencia de ser $f$ aplicación (no intervienen las nociones de anillo para demostrar esto). \hfill$\blacksquare$

\begin{prop} \label{prohom} Sean $(R,+,.)$ y $(R',+',.')$ dos anillos y $f:R\to R'$ un isomorfismo de anillos. Entonces $f^{-1}:R'\to R$
también es un isomorfismo de anillos.
\end{prop}


 Cada estructura que demos en algebra tendrá su homomorfismo asociado. Por ejemplo, la noción de subanillo está ligada con la noción de monomorfismo:

 \begin{prop}\rm
 Sea $R$ un subanillo de $R'$. Entonces   la
inclusión de $R$ en $R'$, $i:R\hookrightarrow R'$ definida por $i(r)=r$ es un monomorfismo de anillos. Es más: si $f: R\to R'$ es un monomorfismo de anillos, entonces $R$ es isomorfo a $\im(f)\le R'$ (por lo que se puede considerar que $R$ es un subanillo de $R'$).
 \end{prop}


 En la proxima sección vemos más homomorfismos asociados a distintas construcciones de anillos.

 $\bigstar$ Los ejercicios del 20 al 28 te pueden servir para saber si has asimilado los conceptos de esta sección.

\section{Construcción de nuevos anillos}



\subsection{El producto directo de anillos.}

\begin{prop}\rm \label{deprodirect}
Sea $I$ un conjunto de indices y $R_i$, $i\in I$ una familia de anillos. Entonces $\Pi_{i\in I} R_i$ Tiene estructura de anillo con la suma y el producto definidos por componentes:

$$\Pi_{i\in I} R_i:=\{(r_i)_{i\in I}\quad \hbox{con}\quad r_i\in R_i,\ \ i\in I\}$$
$\star$ Con suma: $(r_i)_{i\in I}+(r'_i)_{i\in I}=(r_i+r'_i)_{i\in I}$

\noindent$\star$ y producto, $(r_i)_{i\in I}\cdot (r'_i)_{i\in I}=(r_i\cdot r'_i)_{i\in I}$
\end{prop}

\begin{ejem}
  Veamos un ejemplo antes de demostrar la proposición. Sean los anillos $\ZZ_2$ y $\ZZ_3$. Entonces la proposición anterior nos dice que $$\ZZ_2\times \ZZ_3=\{(\overline a,\overline b)\ \vert\ \overline a\in \ZZ_2 \text{ y } \overline b\in \ZZ_3\}=\{(\overline 0,\overline 0),(\overline 0,\overline 1 ),(\overline 0,\overline 2),(\overline 1,\overline 0),(\overline 1,\overline 1),(\overline 1,\overline 2)\}$$
  Con suma y producto por componentes, por ejemplo,
  \begin{align*}
   (\overline 0,\overline 2)+(\overline 1,\overline 0)&=(\overline 0+\overline 1,\overline 2+\overline 0)=(\overline 1,\overline 2)\\
   (\overline 0,\overline 2)\cdot(\overline 1,\overline 0)&=(\overline 0\cdot\overline 1,\overline 2\cdot\overline 0)=(\overline 0,\overline 0)
  \end{align*}
\end{ejem}


 \noindent \textbf{Demo:} (\fullref{Proposición}{deprodirect}{}) Es claro que la suma y el producto en $\Pi_{i\in I} R_i$ están bien definidos ya que si $(r_i)_{i\in I},(r'_i)_{i\in I}\in \Pi_{i\in I} R_i$, para cada $i\in I$, $r_i$ e $r'_i\in R_i$ y por tanto $r_i+r'_i\in R_i$ y $r_i\cdot r'_i\in R_i$, por lo que $(r_i+r'_i)_{i\in I},(r_i\cdot r'_i)_{i\in I}\in \Pi_{i\in I} R_i$. Veamos ahora que se verifica que $(\Pi_{i\in I} R_i,+,\cdot)$ tiene estructura de anillo:

\noindent  $\bigstar$ $(\Pi_{i\in I} R_i,+)$ tiene estructura de grupo abeliano:

 $\star$ Asociativa: sean $(x_i)_{i\in I}, (y_i)_{i\in I}$ y $(z_i)_{i\in I}\in \Pi_{i\in I} R_i$. Entonces,
 \begin{align*}
 [(x_i)_{i\in I}+(y_i)_{i\in I}]+(z_i)_{i\in I}&=(x_i+y_i)_{i\in I}+(z_i)_{i\in I}=([x_i+y_i]+z_i)_{i\in I}\\&=(x_i+[y_i+z_i])_{i\in I}=(x_i)_{i\in I}+(y_i+z_i)_{i\in I}\\&=(x_i)_{i\in I}+[(y_i)_{i\in I}+(z_i)_{i\in I}].
 \end{align*}

 $\star$ Conmutativa: sean $(x_i)_{i\in I}$ e $(y_i)_{i\in I}\in \Pi_{i\in I} R_i$. Entonces,
 \begin{align*}
 (x_i)_{i\in I}+(y_i)_{i\in I}=(x_i+y_i)_{i\in I}=(y_i+x_i)_{i\in I}=(y_i)_{i\in I}+(x_i)_{i\in I}
 \end{align*}

 $\star$ Neutro: sea $(x_i)_{i\in I}\in \Pi_{i\in I} R_i$ y consideremos $0_i\in R_i$ el neutro del anillo $R_i$. Entonces,
 \begin{align*}
 (x_i)_{i\in I}+(0_i)_{i\in I}&=(x_i+0_i)_{i\in I}=(x_i)_{i\in I}\\
 (0_i)_{i\in I}+(x_i)_{i\in I}&=(0_i+x_i)_{i\in I}=(x_i)_{i\in I}
 \end{align*}
  Por tanto el neutro para la suma en $\Pi_{i\in I} R_i$ es $(0_i)_{i\in I}$.

 $\star$ Opuesto: sea $(x_i)_{i\in I}\in \Pi_{i\in I} R_i$. Para cada $k\in I$ sea $x_k$ (el elemento de $R_k$ que está en la coordenada $k$). Sea $-x_k$ su opuesto en $R_k$ y consideremos $(-x_i)_{i\in I}\in \Pi_{i\in I} R_i$. Entonces,
 \begin{align*}
 (x_i)_{i\in I}+(-x_i)_{i\in I}&=(x_i-x_i)_{i\in I}=(0_i)_{i\in I}\\
 (-x_i)_{i\in I}+(x_i)_{i\in I}&=(-x_i+x_i)_{i\in I}=(0_i)_{i\in I}
 \end{align*}
  Por tanto el opuesto de $(x_i)_{i\in I}$ en $\Pi_{i\in I} R_i$  es $(-x_i)_{i\in I}\in \Pi_{i\in I} R_i$.

  \noindent  $\bigstar$ $(\Pi_{i\in I} R_i,\cdot)$ es asociativa:  sean $(x_i)_{i\in I}, (y_i)_{i\in I}$ y $(z_i)_{i\in I}\in \Pi_{i\in I} R_i$. Entonces,
 \begin{align*}
 [(x_i)_{i\in I}\cdot (y_i)_{i\in I}]\cdot (z_i)_{i\in I}&=(x_i\cdot y_i)_{i\in I}\cdot (z_i)_{i\in I}=([x_i\cdot y_i]\cdot z_i)_{i\in I}\\&=(x_i\cdot [y_i\cdot z_i])_{i\in I}=(x_i)_{i\in I}\cdot (y_i\cdot z_i)_{i\in I}\\&=(x_i)_{i\in I}\cdot [(y_i)_{i\in I}\cdot (z_i)_{i\in I}].
 \end{align*}

   \noindent  $\bigstar$ $(\Pi_{i\in I} R_i,+,\cdot)$ verifica la distributiva: sean $(x_i)_{i\in I}, (y_i)_{i\in I}$ y $(z_i)_{i\in I}\in \Pi_{i\in I} R_i$. Entonces,
 \begin{align*}
 [(x_i)_{i\in I}+ (y_i)_{i\in I}]\cdot (z_i)_{i\in I}&=(x_i+ y_i)_{i\in I}\cdot (z_i)_{i\in I}=([x_i+ y_i]\cdot z_i)_{i\in I}\\&=(x_i\cdot z_i+ y_i\cdot z_i)_{i\in I}=(x_i\cdot z_i)_{i\in I}+ (y_i\cdot z_i)_{i\in I}\\&=(x_i)_{i\in I}\cdot (z_i)_{i\in I}+ (y_i)_{i\in I}\cdot (z_i)_{i\in I}.\\
  (z_i)_{i\in I}\cdot [(x_i)_{i\in I}+ (y_i)_{i\in I}] &=(z_i)_{i\in I}\cdot (x_i+ y_i)_{i\in I}=(z_i\cdot [x_i+ y_i])_{i\in I}\\&=(z_i\cdot x_i+z_i\cdot  y_i)_{i\in I}=(z_i\cdot x_i)_{i\in I}+ (z_i\cdot y_i)_{i\in I}\\&=(z_i)_{i\in I}\cdot (x_i)_{i\in I}+ (z_i)_{i\in I}\cdot (y_i)_{i\in I}.
 \end{align*}

\noindent  Por tanto $(\Pi_{i\in I} R_i,+,\cdot)$ tiene estructura de anillo.  \hfill$\blacksquare$




 El producto directo de anillos está ligado a la noción de proyección canónica y a cierta propiedad estructural:

\begin{defi}\rm
Sean $R_i,\ {i\in I}$ una familia de anillos y sea $R=\Pi_{i\in I} R_i$ el producto directo de los $R_i$. Se define la
\textbf{proyección ``canónica"} de $R$ en $R_k$, con $k\in I$, como: \index{Proyección canónica}
$$\begin{matrix}
  \pi_k: &R&\longrightarrow &R_k\cr &(r_i)_{i\in I}&\longmapsto &r_k.
\end{matrix}$$
\end{defi}

\begin{prop}[ejercicio]\rm
Sea $\{R_i\}_{i\in I}$ una familia de anillos y sea $R=\Pi_{i\in I} R_i$ el producto directo de los $R_i$. Entonces, para cada $k\in I$, la proyección canónica $\pi_k:\Pi_{i\in I} R_i\to R_k$ es un epimorfismo de anillos.
\end{prop}

\begin{prop}[ejercicio]\rm
Sea $\{R_i\}_{i\in I}$ una familia de anillos y sea $R=\Pi_{i\in I} R_i$ el producto directo de los $R_i$. Entonces,
\begin{enumerate}\itemsep=-.2truecm
  \item[$\bullet$] $R$ es unitario si y sólo si $R_k$ es unitario para todo $k\in I$.
  \item[$\bullet$] $R$ es conmutativo si y sólo si $R_k$ es conmutativo para todo $k\in I$.
  \item[$\bullet$] Si $\#I\ge2$ y ningún anillo es el anillo nulo, $(\{0\},+,\cdot)$, $R$ tiene divisores de cero. Por tanto, en este caso, $R$ no puede ser dominio de integridad, ni anillo de división ni cuerpo.
\end{enumerate}
\end{prop}

\timeclase{Fin de clase 19; 16-11-2011, grupo A. Segunda clase recuperada}



\subsection{La suma directa de anillos.}

\begin{prop}\rm
\label{desumdirect}
 Sea $I$ un conjunto de indices y $\{R_i\}_{i\in I}$ una familia de anillos. Entonces \index{Anillo! suma directa}
$$\bigoplus_{i\in I} R_i=\{(r_i)_{i\in I}\in \Pi_{i\in I} R_i\ \vert \ r_i=0 \quad \hbox{para casi todo $i$}\}$$
es un subanillo de $\Pi_{i\in I} R_i$,  llamado la \textbf{suma directa externa} de los $R_i$

\noindent \textbf{Nota:} Al ser un subanillo la suma y el producto se definen por componentes:

 $\star$ Suma por componentes: $(r_i)_{i\in I}+(r'_i)_{i\in I}=(r_i+r'_i)_{i\in I}$

 $\star$ Producto por componentes: $(r_i)_{i\in I}\cdot (r'_i)_{i\in I}=(r_i\cdot r'_i)_{i\in I}$
\end{prop}


\textbf{Demo:}
  Es claro que si sumo o multiplico dos elementos del producto con un número finito de coordenadas no nulas, obtengo un elemento
con un número finito de coordenadas no nulas, ver la \fullref{proposición}{deprodirect}{} para la definición de producto directo de anillos.  Es más,

$\star$ $(0_i)\in \bigoplus_{i\in I} R_i$ (el elemento neutro de la suma de $\Pi_{i\in I} R_i$) y

$\star$ si $(r_i)_{i\in I}\in \bigoplus_{i\in I} R_i$, su opuesto (respecto de la suma en $\Pi_{i\in I} R_i$) es $(-r_i)_{i\in I}$ que  pertenece a $\bigoplus_{i\in I} R_i$.

Por tanto, por  \fullref{el teorema}{subaniloprop}{}, $\bigoplus_{i\in I} R_i\le \Pi_{i\in I} R_i$. \EndProof


\textbf{Nota:} Si $\# I<\infty$ se tiene que la suma directa   y el producto directo coinciden.

\begin{defi}\rm
Sean $\{R_i\}_{i\in I}$ una familia de anillos y sea  $\bigoplus _{i\in I} R_i$ la suma directa de éstos. Entonces \index{inclusión canónica}
para cada $k\in I$ se define la \textbf{inclusión canónica} de $R_k$ en $\bigoplus _{i\in I} R_i$ y se representa por
$$\rho_k: R_k\to \bigoplus _{i\in I} R_i$$ como $\rho_k(r_k)=(x_i)_{i\in I}$ en donde $x_i=0$ si $i\ne k$ y $x_k=r_k$. Es decir, la upla de $\Pi _{i\in
I} R_i$ que tiene todas las coordenadas cero, salvo la $k$ que vale $r_k$.
\end{defi}

\begin{prop}[ejercicio]\rm
Sea $\{R_i\}_ {i\in I}$ una familia de anillos y sea $R=\bigoplus_{i\in I} R_i$ la suma  directa de los $R_i$. Entonces, para cada $k\in I$, la inclusión canónica $\rho_k:R_k\to \bigoplus_{i\in I} R_i$ es un monomorfismo de anillos.
\end{prop}


\subsection{El anillo de matrices}

\begin{prop} \label{dematrices}\rm  Sea $R$ un anillo y $n\in \mathbb{N}$. Entonces El conjunto ${\cal M}_n(R)$ definido como:
$${\cal M}_n(R):=\left\{ \left(\begin{array}{cccc}
      a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
      a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
    \end{array}   \right)\quad \text{con $a_{ij}\in R$ para $i,j=1,2,\dots,n$}\right\}$$
con su suma definida por componentes
y producto habitual de matrices tiene
estructura de anillo.\index{Anillo! de matrices} Es decir, dadas
$$A=\left(
    \begin{array}{cccc}
      a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
      a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
    \end{array}   \right)\qquad
    B=\left(
    \begin{array}{cccc}
      b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
      b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \\
    \end{array}
  \right)$$

  \noindent \textbf{Nota:} En notación reducida, $A=(a_{ij})$ y $B=(b_{ij})$.
\begin{enumerate}
  \item[$\bullet$] $A+B=(a_{ij}+b_{ij})=\left(
    \begin{array}{cccc}
      a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\
      a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      a_{n1}+b_{n1} & a_{n2}+b_{n2} & \cdots & a_{nn}+b_{nn} \\
    \end{array}   \right)$
     \item[$\bullet$] $A\cdot B=(\sum_{k=1}^n a_{ik}\cdot b_{kj})=
     \left(
    \begin{array}{cccc}
      \sum_{k=1}^n a_{1k}\cdot b_{k1} & \sum_{k=1}^n a_{1k}\cdot b_{k2} & \cdots & \sum_{k=1}^n a_{1k}\cdot b_{kn} \\
      \sum_{k=1}^n a_{2k}\cdot b_{k1} & \sum_{k=1}^n a_{2k}\cdot b_{k2} & \cdots & \sum_{k=1}^n a_{2k}\cdot b_{kn} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      \sum_{k=1}^n a_{nk}\cdot b_{k1} & \sum_{k=1}^n a_{nk}\cdot b_{k2} & \cdots & \sum_{k=1}^n a_{nk}\cdot b_{kn} \\
    \end{array}   \right)$
\end{enumerate}
\end{prop}

\noindent \textbf{Demo:} $\bigstar$ Es claro que la suma es una operación bien definida en ${\cal M}_n(R)$. Es más, la suma se define componente a componente, por lo que (siguiendo la demostración del producto cartesiano de anillos), $({\cal M}_n(R),+)$ es un grupo abeliano. Observar que el elemento neutro para la suma es $$0=\left(
    \begin{array}{cccc}
      0 & 0 & \cdots & 0 \\
      0 & 0 & \cdots & 0 \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      0 & 0 & \cdots & 0 \\
    \end{array}
  \right)$$
  y el opuesto para un elemento $A=(a_{ij})\in {\cal M}_n(R)$ es $-A=(-a_{ij})$.

  $\bigstar$ Es claro que el producto  es una operación bien definida en ${\cal M}_n(R)$. Algo más complicado será demostrar la propiedad asociativa. Usemos la notación reducida:
 \begin{align*}
  (A\cdot B)\cdot C&=(\sum_{r=1}^n a_{ir}\cdot b_{rj})\cdot (c_{ij})=(\sum_{r,s=1}^n (a_{ir}\cdot b_{rs})\cdot c_{sj})\\
  A\cdot (B\cdot C)&=(a_{ij})\cdot (\sum_{s=1}^n b_{is}\cdot c_{sj})=(\sum_{r,s=1}^n a_{ir}\cdot (b_{rs}\cdot c_{sj}))
 \end{align*}
\noindent \textbf{Nota:} Una demostración con notación matricial la puedes encontrar al final del tema.

 $\bigstar$ Demostremos  las propiedades distributivas. Usemos la notación reducida:
  \begin{align*}
  (A+B)\cdot C&=(a_{ij}+b_{ij})\cdot (c_{ij})=(\sum_{r=1}^n (a_{ir}+ b_{ir})\cdot c_{rj})=(\sum_{r=1}^n a_{ir}\cdot c_{rj})+(\sum_{r=1}^n b_{ir}\cdot c_{rj})\\&=A\cdot C+B\cdot C\\
  A\cdot (B+ C)&=(a_{ij})\cdot (b_{ij}+c_{ij})=(\sum_{r=1}^n a_{ir}\cdot (b_{rj}+ c_{rj}))=(\sum_{r=1}^n a_{ir}\cdot b_{rj})+(\sum_{r=1}^n a_{ir}\cdot  c_{rj})\\&=A\cdot B+A\cdot C
 \end{align*}

\begin{prop}[ejercicio]\rm
   Sea $R$ un anillo y $n\in \mathbb{N}$. Entonces
\begin{enumerate}\itemsep=-.1truecm
\item[(i)] ${\cal M}_n(R)$ es unitario si y sólo si $R$ es unitario.
\item[(i)] ${\cal M}_n(R)$ tiene divisores de cero si $n\ge 2$. Por tanto, en este caso, ${\cal M}_n(R)$ no puede ser ni dominio de integridad, ni anillo de división ni cuerpo.
\item[(ii)] ${\cal M}_n(R)$ es conmutativo si y sólo si $R$ es conmutativo y $n=1$.
\item[(iii)] ${\cal M}_n(R)$ es un anillo de división si y sólo si $R$ es un anillo de división  y $n=1$.
\item[(iv)] ${\cal M}_n(R)$ es un cuerpo si y sólo si $R$ es un cuerpo  y $n=1$.
\end{enumerate}
\end{prop}

$\bigstar$ Los ejercicios del 29 al 33 te pueden servir para saber si has asimilado los conceptos de esta sección.

\timeclase{Fin de clase 20; 17-11-2011, grupo A. (Grupo B no da clases por fiesta de San Alberto). Viernes 18 no hay clases}
\timeclase{Fin de clase 19; Lunes 21-11-2011, grupo B (recuperan el jueves)}

\subsection{El anillo de polinomios y el anillo de series formales}

\subsubsection{El anillo de series formales}
\begin{prop} \label{deserie}\rm Sea $R$ un anillo. Se define el anillo de series formales sobre $R$ y se representa por $R[[X]]$ como el conjunto:\index{Anillo! de series formales}
$$R[[X]]:=\{\sum_{n=0}^\infty a_nX^n  \vert\quad  \text{con $a_n\in R$}\}$$
con suma y producto dado por:
\begin{enumerate}
\item[(i)] Suma por componentes: $\sum_{n=0}^\infty a_nX^n+\sum_{n=0}^\infty b_nX^n=\sum_{n=0}^\infty (a_n+b_n)X^n$.
\item[(ii)] Producto: $\sum_{n=0}^\infty a_nX^n\cdot \sum_{n=0}^\infty b_nX^n=\sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n a_k\cdot b_{n-k}\right)X^n$.
\end{enumerate}
\end{prop}

\noindent \textbf{Demo:} La suma en $R[[X]]$ coincide con la suma por componentes, por lo que la demostración de que $(R[[X]],+)$ es un grupo abeliano es la misma a la dada para demostrar que la suma en el producto cartesiano de anillos dota a éste de estructura  un grupo abeliano.

 $\bigstar$ Veamos que el producto es asociativo. Primero dos  identidades:
$$(\star_1)\  \sum_{k=0}^n\sum_{s=0}^{n-k} a_{ks}=\sum_{k=0}^n\sum_{s=0}^{n-k} a_{sk}.\qquad \qquad
(\star_2)\  \sum_{r=0}^n a_r=\sum_{r=0}^n a_{n-r}.$$


 En ($\star_1$)  simplemente estamos reordenando los sumandos. En ambos sumatorios se suman los elementos\vskip.2truecm

\hskip-.9truecm \begin{tabularx}{15cm}{ll}
\small\fbox{$\begin{array}{cccccc}
     a_{00} &  a_{01}&\hdots  &  a_{0\,n-1}   &  a_{0n}  \\
     a_{10} &  a_{11}& \hdots  & a_{1\,n-1} &  \\
     \vdots & \vdots & \iddots &   \\
       a_{n-1\,0} & a_{n-1\,1} &   &      \\
     a_{n0} &   &  &   \\
   \end{array}$}\normalsize
& %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% El otro trozo de la minipagina
\begin{minipage}[t][0.88cm][b] {9.7cm} En el primer termino de $(\star_1)$ los estamos sumando por filas mientras que en el segundo término de $(\star_1)$ los estamos sumando por columnas. En ($\star_2$) sumamos los elementos $a_1+a_2+\cdots+a_n$ en el primer término de la identidad y sumamos  $a_n+\cdots+a_2+a_1$ en el segundo.
\vfill\end{minipage}
\end{tabularx}




 \begin{align*}
   \star &\left(\sum_{n=0}^\infty a_nX^n\cdot \sum_{n=0}^\infty b_nX^n\right)\cdot \sum_{n=0}^\infty c_nX^n=\sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{s=0}^n a_s\cdot b_{n-s}\right)X^n\cdot \sum_{n=0}^\infty c_nX^n\\
   =&\sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n \left(\sum_{s=0}^k a_s\cdot b_{k-s}\right)\cdot c_{n-k}\right)X^n=\sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n \sum_{s=0}^k a_s\cdot b_{k-s}\cdot c_{n-k}\right)X^n
 \end{align*}

 \begin{align*}
     \star  &\sum_{n=0}^\infty a_nX^n\cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_nX^n\cdot \sum_{n=0}^\infty c_nX^n\right)=\sum_{n=0}^\infty a_nX^n\cdot \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n b_k\cdot c_{n-k}\right)X^n\\
    =&\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \left(a_{k} \cdot \left(\sum_{s=0}^{n-k} b_s\cdot c_{n-s-k}\right)\right)X^n
     =\sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n  \sum_{s=0}^{n-k} a_{k} \cdot b_s\cdot c_{n-s-k}\right)X^n\\
      =^{(\star_2^s)}& \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n  \sum_{s=0}^{n-k} a_{k} \cdot b_{n-k-s}\cdot c_{s}\right)X^n
      =^{(\star_1)} \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n  \sum_{s=0}^{n-k} a_{s} \cdot b_{n-k-s}\cdot c_{k}\right)X^n\\
      =^{(\star_2^*)}& \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n  \sum_{s=0}^{k} a_{s} \cdot b_{k-s}\cdot c_{n-k}\right)X^n
 \end{align*}

En donde, en ($\star_2^s$) sumamos $s$ desde $n-k$ a $0$ ($s$ hace el papel de $r$ en ($\star_2$)) y en ($\star_2^k$) sumamos $k$ desde $n$ a $0$ ($k$ hace el papel de $r$ en ($\star_2$)).


 $\bigstar$ Veamos que el producto es distributivo.

  \begin{align*}
   \star &\left(\sum_{n=0}^\infty a_nX^n+ \sum_{n=0}^\infty b_nX^n\right)\cdot \sum_{n=0}^\infty c_nX^n=\sum_{n=0}^\infty (a_n+b_n)X^n\cdot \sum_{n=0}^\infty c_nX^n=\\=&\sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n (a_k+b_k)\cdot c_{n-k}\right)X^n=
   \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n a_k\cdot c_{n-k}+b_k\cdot c_{n-k}\right)X^n\\=&\sum_{n=0}^\infty a_nX^n\cdot  \sum_{n=0}^\infty c_nX^n+ \sum_{n=0}^\infty b_nX^n\cdot \sum_{n=0}^\infty c_nX^n
  \end{align*}
  \begin{align*}
     \star &\sum_{n=0}^\infty c_nX^n \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty a_nX^n+ \sum_{n=0}^\infty b_nX^n\right)=\sum_{n=0}^\infty c_nX^n \cdot \sum_{n=0}^\infty (a_n+b_n)X^n=\\=&\sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n c_k\cdot (a_{n-k}+b_{n-k})\right)X^n=
   \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n c_k\cdot a_{n-k}+c_k\cdot b_{n-k}\right)X^n\\=&\sum_{n=0}^\infty c_nX^n\cdot  \sum_{n=0}^\infty a_nX^n+ \sum_{n=0}^\infty c_nX^n\cdot \sum_{n=0}^\infty b_nX^n
 \end{align*}
 Por lo que $R[[X]]$ tiene estructura de anillo.\hfill$\blacksquare$

\begin{theo} \label{incluser} \rm Sea $R$ un anillo. Entonces la aplicación $i:R\to R[[X]]$ definida por $i(a)=a+\sum_{n=1}^\infty 0X^n$ es un monomorfismo de anillos. Por tanto podemos considerar $R$ como subanillo del anillo de series formales, $R\approx i(R)\le R[[X]]$.
 \end{theo}

\begin{prop}[ejercicio]\rm
  Sea $R$ un anillo y sea $R[[X]]$ el anillo de series formales con coeficientes en $R$. Entonces:
  \begin{enumerate}\itemsep=-.1truecm
    \item[(i)] $R$ es unitario si y sólo si $R[[X]]$ es unitario.
    \item[(ii)] $R$ es conmutativo si y sólo si $R[[X]]$ es conmutativo.
        \item[(ii)] $R$ es D.I si y sólo si $R[[X]]$ es D.I.
  \end{enumerate}
\end{prop}

En el anillo de series formales suceden algunos hechos curiosos. Por ejemplo, si $R$ es un anillo unitario $1+X$ es un elemento inversible de $R[[X]]$ con inverso $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n X^n$. Es más:

 \begin{prop}[ejercicio]\rm
  Sea $R$ un anillo unitario y sea $R[[X]]$ el anillo de series formales con coeficientes en $R$. Entonces un elemento $\sum_{n=0}^\infty a_nX^n\in R[[X]]$ es inversible si y sólo si $a_0$ es un elemento inversible de $R$.
\end{prop}


  \begin{coro}\rm
  Sea $\FF$ es un cuerpo. Entonces
  \begin{center}
    $\sum_{n=0}^\infty a_nX^n\in \FF[[X]]$ es inversible si y sólo si $a_0\ne 0$.
  \end{center}
\end{coro}


\subsubsection{El anillo de polinomios}

\begin{prop}\label{deanillopol}\rm
  Sea $R$ un anillo. Se define el anillo de polinomios con coeficientes en $R$, y se denota por $R[X]$ como el subanillo de $R[[X]]$ consistente en las series con sólo un número finito de coeficientes no nulos, es decir:\index{Anillo! de polinomios}
  $$R[X]:=\{\sum_{k=0}^n a_kX^k  \vert\quad  \text{con $n\in \NN$ y  $a_k\in R$, $k=1,2,\dots, n$}\}$$
\end{prop}

\noindent \textbf{Demo:} Claramente la suma y el producto son operaciones internas en $R[X]$. Por otro lado $0\in R[X]$ y el opuesto de un polinomio $p(X)$ es $-p(X)$ que también pertenece a $R[X]$. \hfill$\blacksquare$




\begin{defi}\rm
  Sea $R$ un anillo y sea $R[X]$ el anillo de polinomios con coeficientes en $R$. Se define el grado de un polinomio $p(X)= \sum_{k=0}^n a_kX^k$ y se denota por $\deg(p(X))$, como el mayor $k\in \NN$ tal que $a_k\ne 0$.
\end{defi}

Como corolario del \fullref{Teorema}{incluser}{} tenemos:
\begin{coro}\rm
  $R$ puede verse como subanillo de $R[X]$ consistente en todos los polinomios de grado cero.
\end{coro}

\begin{prop}[ejercicio]\rm
 Sea $R$ un anillo y sea $R[X]$ el anillo de polinomios con coeficientes en $R$ y sean $p(X),q(X)\in R[X]$. Entonces
   \begin{enumerate}\itemsep=-.1truecm
       \item[(i)] $R$ es conmutativo si y sólo si $R[X]$ es conmutativo.
    \item[(ii)] $R$ es unitario si y sólo si $R[X]$ es unitario.
    \item[(iii)] $R$ es dominio de integridad  si y sólo si $R[X]$ es dominio de integridad.
    \item[(iv)] $\deg(p(X)+q(X))\le \Max(\deg(p(X)),\deg(q(X)))$.
    \item[(v)] $\deg(p(X)\cdot q(X))\le \deg(p(X))+\deg(q(X))$.
    \item[(vi)] Es más, $R$ no posee divisores de cero si para todo $p(X),q(X)\in R[X]$ se tiene que
                    $$\deg(p(X)\cdot q(X))= \deg(p(X))+\deg(q(X)).$$
  \end{enumerate}
\end{prop}

\textbf{Nota:} Observar que podemos considerar $R$ como un subanillo de $R[X]$: dado $a\in R$, podemos suponer que $a$ es un polinomio de grado cero en $R[X]$. Más formalmente, la aplicación $i:R\to R[X]$ definida por $i(a)=a$ es un monomorfismo de anillos.

Cuando $R$ es conmutativo nos encontramos con algunas propiedades extra en el anillo de polinomios:

\begin{prop}\rm\label{evalpol}
  Sean $R$ y $S$ dos anillos conmutativos y sea $a\in S$. Entonces para todo homomorfismos de anillos $f:R\longrightarrow S$ existe un único homomorfismo $\bar f_s:R[X]\longrightarrow S$ tal que $\bar f_s(X)=s$ y hace conmutativo al siguiente diagrama:
\vskip-.7truecm
  \begin{center}
\begin{tikzpicture} [scale=.7]
\node at (0,3) (a) {$R$};
\node at (5,3) (b) {$S$};
\node at (0,0) (c) {$R[X]$};
\draw[->] (a) to node[left] {$i$} (c);
\draw[->] (a) to node[above] {$f$}(b);
\draw[dotted,->] (c) to node[below left] {$\bar f_s$}(b);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{prop}

\noindent \pdfcomment[icon=Check,hspace=0.5 truecm,author={Puntos clave},markup=Underline,color=verde]{Como el enunciado dice que existe un único homomorfismo, tienes que intentar averiguar cual es y una vez que sabes cual es tienes que demostrar el teorema: Al ser el diagrama conmutativo sabes cuanto vale $\bar f_s$ en $R$ y por la hipótesis sabes cuanto vale en $X$, por lo que por las propiedades de homomorfismo sabes cuanto vale en todo polinomio. Lo demás es una mera comprobación} \textbf{Demo:} Estas demostraciones tienen su estrategia de demostración. Supongamos por un momento que existe este homomorfismo de anillos $\bar f_s$ que hace conmutativo el diagrama (y veamos quien tiene que ser). Dado un elemento  $a\in R$ tenemos que $$f(a)=\bar f_s\circ i(a)=\bar f_s(a+0X+0X^2+\cdots)$$ y por hipótesis $f(X)=s$. Por tanto, dado un polinomio $p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_n X^n$ tenemos que
\begin{align*}
\bar f_s(p(x))&=\bar f_s(a_0+a_1x+\cdots+a_n X^n)=\bar f_s(a_0)+\bar f_s(a_1x)+\cdots+\bar f_s(a_n X^n)\\&
=\bar f_s(a_0)+\bar f_s(a_1)\bar f_s(x)+\cdots+\bar f_s(a_n) \bar f_s(X)^n=f(a_0)+f(a_1)s+\cdots+f(a_n) s^n
\end{align*}
Esta igualdad nos esta diciendo cual es la única posibilidad que tenemos para definir $\bar f_s$. Por tanto ya hemos demostrado la unicidad. Demostremos ahora que esta definición de $\bar f_s$ verifica lo que dice el teorema: Por construcción $\bar f_s$ hace conmutativo el diagrama y $\bar f_s(x)=s$ por tanto sólo tenemos que demostrar que es un homomorfismo de anillos.

Sean $p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_n X^n$ y $q(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_n X^n$ (puedo representarlos \textquotedblleft con el mismo grado\textquotedblright\   completando el de grado menor con ceros) dos polinomios de $R[X]$. Entonces

\begin{align*}
  \bar f_s(p(x)+q(x))&=\bar f_s(a_0+a_1x+\cdots+a_n X^n+b_0+b_1x+\cdots+b_n X^n)\\&=
  \bar f_s(a_0+b_0+(a_1+b_1)x+\cdots+(a_n+b_n) X^n)\\&=f(a_0+b_0)+f(a_1+b_1)s+\cdots+f(a_n+b_n) s^n)\\&=
  f(a_0)+f(a_1)s+\cdots+f(a_n) s^n+f(b_0)+f(b_1)s+\cdots+f(b_n)s^n\\&=\bar f_s(p(x))+\bar f_s(q(x))\\
  \bar f_s(p(x)\cdot q(x))&=\bar f_s(a_0+a_1x+\cdots+a_n X^n)\cdot (b_0+b_1x+\cdots+b_n X^n))\\&=
  \bar f_s(\sum_{i=0}^{2n} \left(\sum_{j=0}^i a_j\cdot b_{i-j}\right)X^i)=\sum_{i=0}^{2n} \left(\sum_{j=0}^i f(a_j\cdot b_{i-j})\right)s^i\\&=\sum_{i=0}^{2n} \left(\sum_{j=0}^i f(a_j)\cdot f(b_{i-j})\right)s^i\\&=^\star
  (f(a_0)+f(a_1)s+\cdots+f(a_n)s^n)\cdot(f(b_0)+f(b_1)s+\cdots+f(b_n) s^n)\\&=\bar f_s(p(x))\cdot \bar f_s(xq(x))
\end{align*}

Observar que el paso que está marcado con $\star$ es cierto al ser  $R$ un anillo conmutativo.  Por tanto, $\bar f_s$ es un homomorfismo de anillo, lo que demuestra el teorema. \EndProof


\begin{defi}\rm
  Sea $R$ un anillo conmutativo y sea $R[X]$ el anillo de polinomios con coeficientes en $R$. Dado $s\in R$ y $p(X)\in R[X]$ se define al evaluación de $p(X)$ en $s$ y se representa por $p(s)$ como $\bar i_s(p(X))$.
\end{defi}

\textbf{Nota:} Observar que tal como se demostró en la proposición anterior, si consideramos el polinomio $p(X)=a_0+a_1 X+\cdots +a_n X^n\in R[X]$, y el elemento $s\in R$
$$p(s):=\bar i_s(p(X))=a_0+a_1 s+\cdots +a_n s^n$$


$\bigstar$ Los ejercicios del 34 al 37 te pueden servir para saber si has asimilado los conceptos de esta sección.

\timeclase{Fin de clase 21; 22-11-2011, grupo A. Fin de clase 20; 22-11-2011, grupo B.}

\subsection{La unitización de un anillo}

 En la siguiente proposición vamos a demostrar que
todo anillo se puede ver como subanillo de  un anillo unitario:

Sea $R$ un anillo y sea $\ZZ$ el anillo de los enteros. Entonces podemos definir una aplicación $\Phi:\ZZ\times R\to R$ definida por:
$$\Phi(n,z)=\left\{
            \begin{array}{ll}
              z+z+\cdots^{n)}+z, & \hbox{ $n>0$} \\
              0, & \hbox{ $n=0$} \\
              -z-z-\cdots^{-n)}-z, & \hbox{ $n<0$.}
            \end{array}
          \right.$$
Normalmente esta aplicación se denota simplemente por yuxtaposición, $\Phi(n,x)=nx$ y satisface las siguientes propiedades:
$$
  \begin{array}{cc}
    (n+m)x=nx+mx \qquad \ & n(x+y)=nx+ny \\
    (nm)x=n(mx) & n(xy)=(nx)y=x(ny) \\
  \end{array}
$$



\begin{prop}
 \label{unit}Sea $R$ un anillo. Entonces $\mathbb{Z}\times R$ con suma  y producto:
 \begin{align*}
  (\lambda,r)+(\mu,r'):&=(\lambda+\mu, r+r')\cr (\lambda,r).(\mu,r'):&=(\lambda\mu, \lambda r'+\mu r+ r.r')
 \end{align*}
 Tiene estructura de anillo unitario. Es más, la aplicación $\psi:R\to \mathbb{Z}\times R$ dada por $\psi(r)=(0,r)$ es un monomorfismo de anillos.
\end{prop}

\begin{defi} \label{deunit}\rm Sea $R$ un anillo. Se define la unitización de $R$, y se representa por $R^1$ como $R$, si éste ya es un anillo unitario
o $\mathbb{Z}\times R$ caso de que $R$ no sea unitario. \index{Unitización de un anillo}
\end{defi}



\section{La característica de un anillo}

\begin{defi}\rm
\label{decarac} Sea $R$ un anillo. Si existe  el menor natural $n\in \mathbb{N}$ tal que $a+{\buildrel n)\over \cdots}+a=0$ para todo $a\in R$ se dice que
la característica de $R$ es $n$. En caso contrario  se dice que la característica de $R$ es cero. \index{Característica de un anillo}
 \end{defi}

\begin{ejem}
\label{ejemcarac} Dado $n\in \mathbb{N}$, la característica de $\mathbb{Z}_n$ es $n$. La característica de $\mathbb{Z}$ es cero.
 \end{ejem}

\begin{prop}\rm
\label{procaracI}Sea $R$ un anillo unitario. Entonces la característica de $R$ o es cero o el  menor natural tal que
$1+{\buildrel n)\over \cdots}+1=0$ (o excluyente).
\end{prop}

\noindent \textbf{Demo:} Si no existe ningún $k\in \NN$ tal que $1+{\buildrel k)\over \cdots}+1=0$, entonces, por definición, la característica de $R$ es cero. Supongamos que existe un $k\in \NN$ tal que $1+{\buildrel k)\over \cdots}+1=0$ y sea $n$ el menos natural que cumple esta propiedad. entonces, para todo $a\in R$,
$$a+{\buildrel k)\over \cdots}+a=a1+{\buildrel k)\over \cdots}+a1=a(1+{\buildrel k)\over \cdots}+1)=a0=0$$
Por lo que $n$ es la característica de $R$.\hfill $\blacksquare$

\begin{prop}[ejercicio]\rm
 La característica de un anillo y de su unitización no tienen que coincidir. Es más, si $R$ no es unitario la característica de
$R^1$ es cero.
 \end{prop}

\begin{prop}[ejercicio]\rm
¿Se te ocurre una nueva construcción para ``sumergir"\  un anillo no unitario en un anillo unitario manteniendo la característica?
 \end{prop}


\begin{prop}\rm
\label{procarac} La característica de un dominio de integridad $D$ es cero o un número primo.
\end{prop}
\noindent \textbf{Demo:} Si la característica de $D$ es cero no hay nada que demostrar. Supongamos por tanto que $D$ tiene característica $n\in \NN$. Por reducción al absurdo, si $n$ no fuera primo, existiría $r,s\in \NN$, con $1<r,s<n$ tales que $n=rs$. En este caso,
$$0=1+{\buildrel n)\over \cdots}+1=(1+{\buildrel r)\over \cdots}+1)(1+{\buildrel s)\over \cdots}+1).$$ Lo que implicaría, al ser $n$ el menor natural con $1+{\buildrel n)\over \cdots}+1=0$ que $1+{\buildrel r)\over \cdots}+1$ y $1+{\buildrel s)\over \cdots}+1$ son dos elementos no nulos de $D$ de producto cero, una contradicción ya que en $D$ no hay divisores de cero. \hfill $\blacksquare$

$\bigstar$ Los ejercicios del 38 al 42 te pueden servir para saber si has asimilado los conceptos de esta sección.

\timeclase{Fin de clase 22; 24-11-2011, grupo A. Fin de clase 21; 24-11-2011, grupo B.}

\section{Los Cuaterniones de Hamilton}
Hasta ahora no hemos visto un anillo de división que no sea conmutativo, es decir, un anillo de división que no sea cuerpo. Veamos aquí el primero.

La construcción del anillo de los cuaterniones de Hamilton es muy parecida a como se construye $\mathbb{C}$, los números complejos, a partir de $\mathbb{R}$, el cuerpo de los reales:

Vamos a considerar como conjunto base $\mathbb{H}:=\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}$. Denotamos los siguientes elementos como:
\begin{align*}
1:=(1,0,0,0)\qquad\qquad \ &i:=(0,1,0,0)\\
j:=(0,0,1,0)\qquad\qquad \ &k:=(0,0,0,1)
\end{align*}
 Con esta notación tenemos que los elementos de $\mathbb{H}$ son de la forma $$\mathbb{H}:=\{\alpha_1+\alpha_2 i+\alpha_3 j+\alpha_4 k\ \vert \alpha_i\in \mathbb{R},i=1,\dots,4\}.$$

 En este conjunto definimos la suma por componentes, con lo que $(\HH,*)$ tiene estructura de grupo abeliano (es una mera comprobación). Definimos el producto en $\HH$ siguiendo las siguientes reglas:
 $$i^2=-1\quad j^2=-1\quad k^2=-1\quad 1\cdot h=h\cdot 1\ \forall h\in \HH\quad \text{y}$$


 \hskip -0.9truecm
\begin{tabularx}{15cm}{ll}
\begin{minipage}[t][-0.3cm][b] {13.7cm}  Si multiplicas dos de estos siguiendo la dirección de las flechas te da el siguiente, $i\cdot j=k\quad j\cdot k=i\quad k\cdot i=j$. Si multiplicas dos de estos en sentido contrario a las flechas te da el siguiente cambiado de signo, $j\cdot i=-k\quad k\cdot j=-i\quad i\cdot k=-j$.
\vfill\end{minipage}
& %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% El otro trozo de la minipagina
\begin{tikzpicture}[auto,bend right]
\node (a) at (0:1) {$i$};
\node (b) at (120:1) {$k$};
\node (c) at (240:1) {$j$};
\draw[<-] (a) to  (b);
\draw[<-] (b) to (c);
\draw[<-] (c) to (a);
\end{tikzpicture}
\end{tabularx}



 Todos los demás productos aparecen aplicado la propiedad distributiva:

 \begin{align*}
  (\alpha_1+\alpha_2 i+\alpha_3 j+\alpha_4 k)\cdot (\beta_1+\beta_2 i+\beta_3 j+\beta_4 k):&= \alpha_1\beta_1-\alpha_2\beta_2-\alpha_3\beta_3-\alpha_4\beta_4\cr
  &+(\alpha_1\beta_2+\alpha_2\beta_1+\alpha_3\beta_4-\alpha_4\beta_3)i\cr
  &+(\alpha_1\beta_3-\alpha_2\beta_4+\alpha_3\beta_1+\alpha_4\beta_2)j\cr
  &+(\alpha_1\beta_4+\alpha_2\beta_3-\alpha_3\beta_2+\alpha_4\beta_1)k
 \end{align*}

 \begin{theo}\rm
  Con las notaciones anteriores,  $(\HH,+,\cdot)$ es un anillo de división no conmutativo (por tanto no es un cuerpo).
 \end{theo}

 \begin{Proof}
  El principio de la demostración de \fullref{la proposición}{deprodirect}{} nos demuestra que $(\HH,+)$ es un grupo abeliano, por lo que sólo nos tenemos que preocupar de demostrar las demás propiedades:

  $\star$ La asociatividad del producto: Denotemos por $p_1=1,p_2=i,p_3=j,p_4=k$. Tenemos entonces

   \begin{align*}
  &\left((\sum_{r=1}^4 \alpha_i p_i)(\sum_{s=1}^4 \beta_i p_i)\right)(\sum_{t=1}^4 \gamma_i p_i)=\sum_{r,s,t=1}^4 \alpha_r\beta_s\gamma_t \, (p_rp_s)p_t\\
  &(\sum_{r=1}^4 \alpha_i p_i)\left((\sum_{s=1}^4 \beta_i p_i)(\sum_{t=1}^4 \gamma_i p_i)\right)=\sum_{r,s,t=1}^4 \alpha_r\beta_s\gamma_t \, p_r(p_sp_t)
 \end{align*}

 Luego, si para todo $r,s,t\in \{1,2,3,4\}$, $(p_rp_s)p_t=p_r(p_sp_t)$, entonces los dos sumatorios anteriores serán iguales y habremos demostrado la propiedad asociativa.

 (a). Si $r=1$ o $s=1$ o $t=1$, entonces  $(p_1p_s)p_t=p_sp_t=p_1(p_sp_t)$.

 (b). Si $r=s=k$, $(p_rp_r)p_r=-p^r=p_r(p_rp_r)$. Veamos las siguientes 24 igualdades restantes:
$$\begin{array}{llll}
  (ii)j=-j=ik=i(ij) & (ij)i=ki=j=-ik=i(ji) & (ji)i=-ki=-j=j(ii) \\
  (ii)k=-k=-ij=i(ik) & (ik)i=-ji=k=ij=i(ki) & (ki)i=ji=-k=k(ii) \\
   (jj)k=-k=ji=j(jk) & (jk)j=ij=k=-ji=j(kj) & (kj)j=-ij=-k=k(jj) \\
  (jj)i=-i=-jk=j(ji) & (ji)j=-kj=i=jk=j(ij) & (ij)j=kj=-i=i(jj) \\
   (kk)i=-i=kj=k(ki) & (ki)k=jk=i=-kj=k(ik) & (ik)k=-jk=-i=i(kk) \\
  (kk)j=-j=-ki=k(kj) & (kj)k=-ik=j=ki=k(jk) & (jk)k=ik=-j=j(kk) \\
  (ij)k=k^2=i^2=i(jk) & (ji)k=-k^2=-j^2=j(ik) & (ik)j=-j^2=-i^2=i(kj)  \\
  (ki)j=j^2=k^2=k(ij) & (jk)i=i^2=j^2=j(ki) & (kj)i=-i^2=-k^2=k(ji)  \\
\end{array}$$

  $\star$ Es claro que $(\HH,+,\cdot)$ es unitario, con unidad $1$.

  $\star$ Es claro que $(\HH,+,\cdot)$ no es conmutativo, ya que $ij=k$, y $ji=-k$.

  $\star$ Tenemos que demostrar ahora que todo elemento no nulo de  $(\HH,+,\cdot)$  posee un inverso. Pero,
  $$(\alpha_1+\alpha_2 i+\alpha_3 j+\alpha_4 k)\cdot (\alpha_1-\alpha_2 i-\alpha_3 j-\alpha_4 k)=\alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2+\alpha_4^2$$ por tanto, si $h=\alpha_1+\alpha_2 i+\alpha_3 j+\alpha_4 k\ne 0$, $0\ne \alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2+\alpha_4^2\in \RR$ y
  $$h^{-1}={\alpha_1\over \alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2+\alpha_4^2}-{\alpha_2\over \alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2+\alpha_4^2} i-
  {\alpha_3 \over \alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2+\alpha_4^2}j-{\alpha_4\over \alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2+\alpha_4^2} k$$
  Lo que demuestra que todo elemento no nulo de $\HH$ posee inverso.

  $\star$ Por último la distributiva es evidente, por la propia definición del producto. \EndProof
 \end{Proof}

 \begin{defi}
   Sea $(\HH,+,\cdot)$ el anillo de división de los Cuaterniones de Hamilton. Se define:
   \begin{itemize}
     \item El conjugado de un elemento $h=\alpha_1+\alpha_2 i+\alpha_3 j+\alpha_4 k\in \HH$ y se denota por $\overline h$ como $\overline{h}:=\alpha_1-\alpha_2 i-\alpha_3 j-\alpha_4 k$.
     \item Se define la norma de un elemento $h=\alpha_1+\alpha_2 i+\alpha_3 j+\alpha_4 k\in \HH$ y se denota por $\vert h\vert $ como
     $\vert h\vert:=\alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2+\alpha_4^2$.
      \end{itemize}
 \end{defi}

\textbf{Nota:} Observar  que el inverso de un elemento no nulo $h\in \HH$ es $h^{-1}={\overline{h}\over \vert h\vert}$.



\section{Ampliación de contenidos}

\subsection{Anillos de endomorfismos de un grupo abeliano}

\textbf{Nota:} El conjunto de los homomorfismos entre dos anillos $R$ y $R'$ no tiene muy buenas propiedades, ya que ni la suma natural de
aplicaciones es un homomorfismo: si consideramos la identidad en $\mathbb{Z}$, el anillo de los enteros, se tiene que $Id+Id$ no es un
homomorfismo. ¿Cuales son los endomorfismos de $\mathbb{Z}$?

\begin{defi}
\label{dehomgru} Sean $G$ y
$G'$ dos grupos. Se define un \textbf{homomorfismo de grupos} de $G$ en $G'$ como una aplicación $f:G\to G'$ tal que:
$$
 f(a+b)=f(a)+'f(b)\quad \hbox{para todo $a,b\in G$}
$$

Se define  $\Hom(G,G')$ como el conjunto de todos los homomorfismos de $G$ en $G'$. Por $\End(G)$ denotaremos al conjunto de todos los homomorfismos de $G$ en $G$. \index{Anillo! de endomorfismos}
\end{defi}


\begin{prop}
  Sean $G$ y
$G'$ dos grupos. Entonces
\begin{enumerate}
  \item[(1)] $\Hom(G,G')$ es un grupo con la suma usual: dados $f,g\in \Hom(G,G')$, $$f+g:G\to G'\quad\hbox{definida por}\quad  f+g(a)=f(a)+g(a).$$ Es mas, si $G'$ es conmutativo, $\Hom(G,G')$  es un grupo abeliano
  \item[(2)] $\End(G)$ con la  suma usual  y la composición de aplicaciones, $(\End(G), +,\circ)$ es un anillo unitario.
\end{enumerate}
\end{prop}



\begin{theo}\label{proimp}
 Todo anillo es isomorfo a un subanillo de un anillo de endomorfismos de un cierto grupo abeliano.
\end{theo}

\begin{Proof}
  Consideremos $R^1$ con su estructura de grupo abeliano. Veamos que la aplicación $\Phi: R\to \End(R^1)$ definida por $\Phi_r(r')=rr'$ es un monomorfismos de anillos: dados $r_1$ y $r_2$ elementos de $R$,

-- $\Phi_{r_1+r_2}(r')=(r_1+r_2)r'=r_1r'+r_2r'=\Phi_{r_1}(r')+\Phi_{r_2}(r')$

-- $\Phi_{r_1}\Phi_{r_2}(r')=r_1(r_2 r')=(r_1r_2)r'=\Phi_{r_1r_2}(r')$

Lo que demuestra que es un homomorfismo de anillos.  Por último, si $\Phi_r=0$, $0=\Phi_r(1)=r$, lo que demuestra que es
inyectiva.\EndProof

 \end{Proof}

\textbf{Nota:} Este teorema nos dice como son todos los anillos (resultado  poco útil).



\textbf{Nota:} La aplicación inversa de un automorfismo $f:R\to R$ es precisamente el inverso de $f$ en $\End(R)$ (considerado $R$ únicamente
como grupo abeliano).

\subsection{Propiedad fundamental del producto directo de anillos}
\begin{prop} \label{propfund}
 Sean $R_i,\ {i\in I}$ una familia de anillos y sea $R=\Pi_{i\in I}
R_i$ el producto directo de los  $R_i$. Entonces para cada anillo $R'$ y cada familia de homomorfismos de anillos $f_i:R'\to R_i$ existe un
único homomorfismo de anillos  $f:R'\to R$ tal que para cada $k\in I$ el siguiente diagrama es conmutativo:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[thick, scale=.7]
\node at (0,3) (a) {$\Pi_{i\in I}R_i$};
\node at (5,3) (b) {$R_k$};
\node at (0,0) (c) {$R'$};
\draw[->] (a) to node[above] {$\pi_k$} (b);
\draw[->] (c) to node[below] {$f_k$}(b);
\draw[dotted,->] (c) to node[left] {$f$}(a);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Es más, Si $\hat R$ es un anillo y $\rho_i:\hat R\to R_i$ son una familia de epimorfismos de anillos tales que para cada anillo $R'$ y cada
familia de homomorfismos de anillos $f_i:R'\to R_i$ existe un único homomorfismo de anillos $f:R'\to \hat R$ tal que para cada $k\in I$ el
diagrama anterior es conmutativo, entonces $\hat R$ es isomorfo a $\Pi_{i\in I} R_i$.
\end{prop}



\begin{Proof} Tenemos que demostrar la existencia y unicidad del homomorfismo $f:R'\to R$ que hace conmutativo el diagrama. La estrategia que vamos a usar para demostrarlo va a consistir en demostrar que hay una única aplicación que hace conmutativo el diagrama y para luego demostrar que esta única posibilidad es el homomorfismo de anillos que buscamos:



1-. Supongamos que existe $f: R'\to \Pi_{i\in I} R_i$ tales que $\pi_k \circ f=f_k$ tenemos entonces que dado $r'\in R'$,
$f_k(r')=\pi_k(f(r'))$, por lo que la coordenada k-esima de $f(r')$ es $f_k(r')$. Así, $f(r')$ tiene que ser forzosamente $(f_i(r'))_{i\in I}$.

2-. Comprobemos entonces que la aplicación $f:R'\to \Pi_{i\in I} R_i$ definido por $f(r')=(f_i(r'))_{i\in I}$ es un homomorfismo de anillos
que verifica el enunciado:

$\star$ ¿Es homomorfismo de grupos?
\begin{align*}
f( r'_1+r'_2)&=(f_i( r'_1+r'_2))_{i\in I}=( f_i(r'_1)+f_i(r'_2))_{i\in I}=(
f_i(r'_1))_{i\in I}+( f_i(r'_2))_{i\in I}\cr &=f( r'_1)+f( r'_2)
\end{align*}

$\star$ ¿Es homomorfismo de anillos?
\begin{align*}
 f( r'_1.r'_2)&=(f_i( r'_1.r'_2))_{i\in I}=( f_i(r'_1).f_i(r'_2))_{i\in I}=(
f_i(r'_1))_{i\in I}.( f_i(r'_2))_{i\in I}\cr &=f( r'_1)f(r'_2)
\end{align*}

$\star$ ¿Hace conmutativo los diagramas?  Pues claro $$\pi_k\circ f(r')=\pi_k((f_i(r'))_{i\in I}))=f_k(r').$$

Veamos ahora que todo anillo con estas propiedades es isomorfo al producto cartesiano de los $\{R_i\}_{i\in I}$. Sea $\hat R$  un anillo y
$g_i:\hat R\to R_i$  una familia de epimorfismos de anillos tales que para cada anillo $R'$ y cada familia de homomorfismos de anillos
$f_i:R'\to R_i$ existe un único homomorfismo de anillos $f:R'\to \hat R$ tal que para cada $k\in I$ el diagrama

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[thick, scale=.7]
\node at (0,3) (a) {$\hat R$};
\node at (5,3) (b) {$R_k$};
\node at (0,0) (c) {$R'$};
\draw[->] (a) to node[above] {$g_k$} (b);
\draw[->] (c) to node[below] {$f_k$}(b);
\draw[dotted,->] (c) to node[left] {$f$}(a);
\end{tikzpicture}
\end{center}
 es conmutativo.

Si consideramos ahora $R'=\Pi_{i\in I} R_i$ y $f_i=\pi_i$ las proyecciones canónicas tenemos:

\begin{center}
  \begin{tikzpicture}[scale=2.5,thick]
%\draw[step=.1cm,gray] (-3,-3) grid (3,3);
%\draw (-3,-3) grid (3,3);
\draw (0,0)  node[left]{$R_k$};
\draw (1.5,0) node[right]{$\Pi_{i\in I} R_i$};
\draw (1.75, 0.92) node[above]{$\hat R$};
\draw (1.75, -.92) node[below]{$\hat R$};
\draw[dotted,->] (1.75, 0.92)--(1.75,.12);
\draw[dotted,<-] (1.75, -0.92)--(1.75,-.12);
\draw[<-] (.05,0)--(1.5,0);
\draw[<-] (.05,-.1)--(1.6,-.92);
\draw[<-] (.05,.1)--(1.6,0.92);
\draw (0.9,0.55) node[above]{$g_k$};
\draw (0.9,-0.55) node[below]{$g_k$};
\draw (0.9,0) node[above]{$\pi_k$};
\draw (1.75,0.5) node[left]{$f$};
\draw (1.75,-0.5) node[left]{$g$};
\draw[dotted,->,blue] (1.85,1)--(2.1,1)--(2.1,-1)--(1.85,-1);
\draw[blue] (2.1,-.4) node[right]{$\Id=g\circ f$};
\draw[<-] (.5,.2)--(0,0.8) node[above]{\small Triángulo B\normalsize};
\draw[<-] (.5,-.2)--(0,-0.8) node[below]{\small Triángulo A\normalsize};


\draw (2.7,0)  node[left]{$R_k$};
\draw (4.33,0) node[right]{$\hat R$};
\draw (4.45, 0.92) node[above]{$\Pi_{i\in I} R_i$};
\draw (4.45, -.92) node[below]{$\Pi_{i\in I} R_i$};
\draw[dotted,->] (4.45, 0.92)--(4.45,.12);
\draw[dotted,<-] (4.45, -0.92)--(4.45,-.12);
\draw[<-] (2.75,0)--(4.33,0);
\draw[<-] (2.75,-.1)--(4.33,-.92);
\draw[<-] (2.75,.1)--(4.33,0.92);
\draw (3.6,0.55) node[above]{$\pi_k$};
\draw (3.6,-0.55) node[below]{$\pi_k$};
\draw (3.6,0) node[above]{$g_k$};
\draw (4.45,0.5) node[left]{$g$};
\draw (4.45,-0.5) node[left]{$f$};
\draw[dotted,->,blue] (4.75,1.05)--(5,1.05)--(5,-1.05)--(4.75,-1.05);
\draw[blue] (5,-.4) node[right]{$\Id=f\circ g$};
\draw[<-] (3.2,.2)--(2.7,0.8) node[above]{\small Triángulo A\normalsize};
\draw[<-] (3.2,-.2)--(2.7,-0.8) node[below]{\small Triángulo B\normalsize};
\end{tikzpicture}
\end{center}
En donde $f$ es la única aplicación que hace conmutativo el triángulo B (aquí estamos aplicando que $\Pi_{i\in I} R_i$ verifica la propiedad del producto cartesiano, apartado 1-.) y en donde $g$ es la única aplicación que hace conmutativo el triángulo A (aquí estamos aplicando que, por hipótesis, $\hat R$ satisface la propiedad). Ahora,

$$g_k\circ \Id=g_k=\pi_k\circ g=(g_k\circ f)\circ g=g_k\circ (f\circ g)$$

 Luego como $\hat R$ verifica la propiedad, $\Id _{\hat R}=f\circ g$ (estamos haciendo uso de la unicidad de la solución). Pero igualmente, si nos fijamos en el exterior del segundo diagrama,

 $$\pi_k\circ \Id=\pi_k=g_k\circ f=(\pi_k\circ g)\circ f=\pi_k\circ (g\circ f)$$

Luego como $\Pi_{i\in I} R_i$ verifica la propiedad, $\Id _{\Pi_{i\in I} R_i}=g\circ f$ (estamos haciendo uso de la unicidad de la solución).
 Por tanto $f $ y $g$ son isomorfismo  de anillos lo que demuestra que $\Pi_{i\in I} R_i$ y $\hat R$ son isomorfos.\EndProof
\end{Proof}

\subsection{Asociatividad en el producto de matrices}

 \begin{align*} &\left[\left(
    \begin{array}{cccc}
      a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
      a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
    \end{array}   \right)\cdot \left(
    \begin{array}{cccc}
      b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
      b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \\
    \end{array}   \right)\right]\cdot \left(
    \begin{array}{cccc}
      c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\
      c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \\
    \end{array}   \right)=\\
    & \left(
    \begin{array}{cccc}
      \sum_{r=1}^n a_{1r}\cdot b_{r1} & \sum_{r=1}^n a_{1r}\cdot b_{r2} & \cdots & \sum_{r=1}^n a_{1r}\cdot b_{rn} \\
      \sum_{r=1}^n a_{2r}\cdot b_{r1} & \sum_{r=1}^n a_{2r}\cdot b_{r2} & \cdots & \sum_{r=1}^n a_{2r}\cdot b_{rn} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      \sum_{r=1}^n a_{nr}\cdot b_{r1} & \sum_{r=1}^n a_{nr}\cdot b_{r2} & \cdots & \sum_{r=1}^n a_{nr}\cdot b_{rn} \\
    \end{array}   \right)\cdot \left(
    \begin{array}{cccc}
      c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\
      c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \\
    \end{array}   \right)=\\
    &\left(
    \begin{array}{cccc}
      \sum_{r,s=1}^n (a_{1r}\cdot b_{rs})\cdot c_{s1} & \sum_{r,s=1}^n (a_{1r}\cdot b_{rs})\cdot c_{s2} & \cdots & \sum_{r,s=1}^n a_{1r}\cdot b_{rs})\cdot c_{sn} \\
      \sum_{r,s=1}^n (a_{2r}\cdot b_{rs})\cdot c_{s1} & \sum_{r,s=1}^n (a_{2r}\cdot b_{rs})\cdot c_{s2} & \cdots & \sum_{r,s=1}^n (a_{2r}\cdot b_{rs})\cdot c_{sn} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      \sum_{r,s=1}^n (a_{nr}\cdot b_{rs})\cdot c_{s1} & \sum_{r,s=1}^n (a_{nr}\cdot b_{rs})\cdot c_{s2} & \cdots & \sum_{r,s=1}^n (a_{nr}\cdot b_{rs})\cdot c_{sn} \\
    \end{array}   \right)
    \end{align*}


 \begin{align*} &\left(
    \begin{array}{cccc}
      a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
      a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
    \end{array}   \right)\cdot \left[\left(
    \begin{array}{cccc}
      b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
      b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \\
    \end{array}   \right)\cdot
   \left(
    \begin{array}{cccc}
      c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\
      c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \\
    \end{array}   \right)\right]=\\
    &  \left(\begin{array}{cccc}
      a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
      a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
    \end{array}   \right)   \cdot \left(
    \begin{array}{cccc}
      \sum_{s=1}^n b_{1s}\cdot c_{s1} & \sum_{s=1}^n b_{1s}\cdot c_{s2} & \cdots & \sum_{s=1}^n b_{1s}\cdot c_{sn} \\
      \sum_{s=1}^n b_{2s}\cdot c_{s1} & \sum_{s=1}^n b_{2s}\cdot c_{s2} & \cdots & \sum_{s=1}^n b_{2s}\cdot c_{sn} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      \sum_{s=1}^n b_{ns}\cdot c_{s1} & \sum_{s=1}^n b_{ns}\cdot c_{s2} & \cdots & \sum_{s=1}^n b_{ns}\cdot c_{sn} \\
    \end{array}   \right)=\\
    &\left(
    \begin{array}{cccc}
      \sum_{r,s=1}^n a_{1r}\cdot (b_{rs}\cdot c_{s1}) & \sum_{r,s=1}^n a_{1r}\cdot (b_{rs}\cdot c_{s2}) & \cdots & \sum_{r,s=1}^n a_{1r}\cdot (b_{rs}\cdot c_{sn}) \\
      \sum_{r,s=1}^n a_{2r}\cdot (b_{rs}\cdot c_{s1}) & \sum_{r,s=1}^n a_{2r}\cdot (b_{rs}\cdot c_{s2}) & \cdots & \sum_{r,s=1}^n a_{2r}\cdot (b_{rs}\cdot c_{sn}) \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      \sum_{r,s=1}^n a_{nr}\cdot (b_{rs}\cdot c_{s1}) & \sum_{r,s=1}^n a_{nr}\cdot (b_{rs}\cdot c_{s2}) & \cdots & \sum_{r,s=1}^n a_{nr}\cdot (b_{rs}\cdot c_{sn}) \\
    \end{array}   \right)
    \end{align*}


\vfill\eject
\setcounter{ejj}{0}
\section{Ejercicios del Tema}

\begin{ejj}\rm  Decir si los siguientes conjuntos, con las operaciones indicadas, tienen estructura de anillo. En caso afirmativo: ¿son conmutativos?,
¿unitarios?, ¿de división?... ¿cuáles son  sus elementos inversibles?

\item{(i)} $\mathbb{ Z}^+$ con la suma y producto usual.
\item{(ii)} $\{a+b\sqrt{2}\ \vert \ a,b\in \mathbb{ Q}\}$ con la suma y producto usual.
\item{(iii)} $\mathbb{N}$ con primera operación: el producto y  segunda operación la potencia, es decir:

\centerline{``$a$ + $b$ igual a $ab$" y ``$a$ por $b$ igual a $a^b$".}
\item{(iv)} $\{x\in \mathbb{ Q} \ \vert\ 3x\in \mathbb{ Z}\}$ con las operaciones usuales.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm  Sea $X$ un conjunto no vacío, $\cal P$ el conjunto de partes de $X$ y $\triangle$ la operación diferencia simétrica. Demuestra que $({\cal P}(X), \triangle, \cap)$ es un anillo conmutativo y unitario. Da una condición necesaria y suficiente para que sea dominio de integridad.
\end{ejj}


\begin{ejj}\rm Sea $(R,+,\cdot)$ un anillo y sea $a\in R$. Demuestra que $R$ con su misma suma y un nuevo producto dado por $x\cdot_a y=xay$ tiene estructura de anillo, es decir, que $(R,+,\cdot_a)$ tiene estructura de anillo. ¿Se te ocurre alguna condición para que este nuevo anillo sea unitario? \end{ejj}


\begin{ejj}\rm Sea $R$ un anillo unitario y sea ${\cal U}(R)$ el conjunto de los elementos inversibles de $R$. Demuestra que el producto de $R$ define una operación en ${\cal U}(R)$ que dota a éste de estructura de grupo. Demuestra que si $R$ es un anillo conmutativo, $({\cal U}(R),\cdot)$ es un grupo abeliano.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm  Sea $R$ un anillo. Demuestra que si $a\in R$ es un  divisor de cero, entonces $a$ no es inversible.
\end{ejj}


\begin{ejj}\rm
 ¿Puedes encontrar un anillo $R$ con divisores de cero por la izquierda pero sin  divisores de cero por la derecha?
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
  Sea $(R,+,\cdot)$ un anillo. Demuestra que las siguientes condiciones son equivalentes:
  \begin{enumerate}
    \item[(i)] $R$ no posee divisores de cero por la izquierda (Resp. derecha).
    \item[(ii)] Se verifican las leyes de cancelación por la izquierda (Resp. derecha).
  \end{enumerate}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
 Demuestra que para un anillo conmutativo y unitario $(R,+,\cdot)$ las siguientes condiciones son equivalentes:
  \begin{enumerate}
    \item[(i)] $R$ es un dominio de integridad.
    \item[(ii)] Se verifican las leyes de cancelación en $R$. Es decir,
     \begin{align*}
      \text{Si}\ ax=ay& \text{ con $a\ne 0$, entonces } x=y\\
      \text{Si}\ xa=ya& \text{ con $a\ne 0$, entonces } x=y
     \end{align*}
  \end{enumerate}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
  Sea $(R,+,\cdot)$ un anillo. Demuestra que $R$ verifica la ley de cancelación por la izquierda si y sólo si verifica la ley de cancelación por la derecha.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
   Demuestra que en un anillo unitario $(R,+,\cdot)$ el cero (neutro para la suma) y el 1 (neutro para el producto) son elementos distintos.
\end{ejj}

 \begin{ejj}\rm  ¿Es posible dar una estructura de anillo en el conjunto $\mathbb{Z}$ en donde la primera operación sea el producto? ¿Y en la que la segunda
operación sea la suma? Demuestra que no es posible o construye dicha operación. \hfill\fbox{*}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm  Sea $R$ un anillo unitario y $a\in R$ tal que existe $b\in R$ con $ab=1$.  Demuestra que son equivalentes: \hfill\fbox{*}
\begin{itemize}\itemsep=-.2truecm
\item $a$ no es inversible.
\item existe $b'\in R$ con $b'\ne b$ y $ab'=1$.
\item $a$ es divisor de cero.
\end{itemize}
Demuestra que en las condiciones anteriores, $R$ contiene un idempotente no trivial (distinto de $0$ y $1$).  \hfill\fbox{*}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
 Sea $R$ un anillo. Demuestra que si para todo $a,b\in R$ la ecuación $aX=b$ tiene a lo sumo una solución, entonces en $R$ no hay divisores de cero. ¿Es cierto del recíproco?  \hfill\fbox{*}
\end{ejj}


\begin{ejj}\rm  Demuestra que en $\mathbb{ Z}_{12}$ la ecuación $X^2-1=0$ tiene más de dos soluciones. Demuestra que en un dominio de integridad la ecuación
anterior sólo posee, a lo sumo, dos soluciones. ¿Sabrías encontrar un anillo en donde sólo posea una?
\end{ejj}


 \begin{ejj}\rm  Sea $R$ un anillo. Un elemento $x\in R$ se dice idempotente si $x=x^2$. Demuestra que un anillo en donde todo elemento es idempotente es conmutativo. \hfill\fbox{*}
\end{ejj}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% SUBANILLOS


\begin{ejj}\rm  Sea $R$ un anillo y $e\in R$ un idempotente. Demuestra que $$eRe:=\{exe \ \vert\  x\in R\}=\{x\in R\ \vert \ xe=ex=x\}$$ es un subanillo
unitario de $R$ (que no se te olvide comprobar la igualdad de los conjuntos anteriores). Demuestra que si $eRe=R$, entonces $e=1$.
\end{ejj}

\begin{ejj}\label{cuerdominio}\rm Demuestra que todo  subanillo unitario de un dominio de integridad es un dominio de integridad. En particular, todo subanillo unitario  de un cuerpo es un dominio de integridad.\end{ejj}

\begin{ejj}\rm  Demuestra que si $R$ es un anillo unitario y $S$ es un subanillo suyo, $S$ no tiene por qué ser unitario. Es más, si $S$ es unitario las
unidades de $R$ y $S$ pueden no coincidir.   \hfill\fbox{*}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm  Sea $R$ un anillo sin divisores de cero y $S$ un subanillo de $R$. Demuestra que si  $S$ es unitario, entonces $R$ es unitario con la misma unidad.
\end{ejj}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Homomorfismos

\begin{ejj}\rm  Sea $R$ un anillo y $f:R\to {\cal M}_2(R)$ definido por $f(r)=\left(
                                                                                \begin{array}{cc}
                                                                                  r & 0 \\
                                                                                  0 & 0 \\
                                                                                \end{array}
                                                                              \right)$. Demuestra que $f$ es un monomorfismo de anillos.
 \end{ejj}

   \begin{ejj}\rm
   Sean $n,m\in \NN$ primos entre si. Demuestra que la aplicación $f:\ZZ_{nm}\to \ZZ_n\times \ZZ_m$ definida por $f(\overline r)=(\overline r,\overline r)$ es un isomorfismo de anillos. (Acuérdate de demostrar que $f$ está  bien definida)
 \end{ejj}


\begin{ejj}\rm  Sea $R$ un anillo y $f:R\to R$ un homomorfismo de anillos. Demuestra que la aplicación $\hat f:{\cal M}_2(R)\to {\cal M}_2(R)$ definido por $\hat f(a_{ij})=(f(a_{ij}))$ es un homomorfismo de anillos. Demuestra que si $f$ es un monomorfismo $\hat f$  también lo es. ¿Si $f$ es un epimorfismo, $\hat f$ tiene que serlo?
 \end{ejj}

\begin{ejj}\rm Encuentra un homomorfismo $f:R\to R'$ con $R$ y $R'$  anillos unitarios y $f(1_R)\ne 1_{R'}$. \end{ejj}


 \begin{ejj}\rm  ¿Cuales son los endomorfismos de $\mathbb{ Z}$?\end{ejj}

\begin{ejj}\rm  Sea $R$ un anillo. Encuentra dos monomorfismo de anillos $f:R\to{\cal M}_2(R)$.
 \end{ejj}


\begin{ejj}\rm Se dice que una propiedad (que pueda poseer un anillo) es estructural si siempre que la verifique un anillo $R$ la verifica cualquier anillo isomorfo a él ($R$ y $R'$ son isomorfos si existe un isomorfismo $f:R\to R'$). Demuestra que ser conmutativo, ser unitario, no poseer divisores de cero, poseer $n$ elementos inversibles son propiedades estructurales. ¿Se te ocurre alguna más?
\end{ejj}

  \begin{ejj}\rm
  Demuestra que no hay ningún isomorfismo entre $\ZZ_4$ y $\ZZ_2\times \ZZ_2$.
 \end{ejj}

\begin{ejj}\rm \label{prohom} Sean $R$ y
$R'$ dos anillos y $f:R\to R'$ un homomorfismo de anillos. Entonces:
\begin{itemize}\itemsep=-.2truecm
\item[(i)] Si $R$ es un anillo unitario, $\im(f)$ es un anillo unitario con unidad $f(1)$.

\item[(ii)] Si $a$ es un elemento inversible de $R$, $f(a)$ es un elemento inversible de $\im(f)$.

\item[(iii)] Si $f$ es sobreyectiva, entonces  $f(1)=1'$ y $f(a)$ es inversible para todo elemento inversible $a\in R$.

\item[(iv)] Si $R$ y $R'$ son unitarios y $f(1)=1'$, $f(a)$ es inversible para todo elemento inversible $a\in R$.
\end{itemize}
\end{ejj}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Nuevos anillos
\begin{ejj}
Sea $\{R_i\}_ {i\in I}$ una familia de anillos y sea $R=\Pi_{i\in I} R_i$ el producto directo de los $R_i$. Demuestra que para cada $k\in I$, la proyección canónica $\pi_k:\Pi_{i\in I} R_i\to R_k$ es un epimorfismo de anillos.
\end{ejj}

\begin{ejj}
Sean $\{R_i\}_ {i\in I}$, $\{S_i\}_ {i\in I}$ dos  familia de anillos indizadas en el mismo conjunto $I$. Supongamos que para cada $i\in I$ existe un homomorfismo de anillos  $f_i:R_i\to S_i$. Demuestra que existe un único homomorfismo de anillos $f:\{R_i\}_ {i\in I}\to \{S_i\}_ {i\in I}$ tal que $f_i\circ \pi^r_i=\pi^s_i \circ f$.
\end{ejj}

\begin{ejj}
Sea $\{R_i\}_ {i\in I}$ una familia de anillos y sea $R=\Pi_{i\in I} R_i$ el producto directo de los $R_i$. Demuestra que,
\begin{enumerate}\itemsep=-.2truecm
  \item[$\bullet$] $R$ es unitario si y sólo si $R_k$ es unitario para todo $k\in I$.
  \item[$\bullet$] $R$ es conmutativo si y sólo si $R_k$ es conmutativo para todo $k\in I$.
  \item[$\bullet$] Si $\#I\ge2$, $R$ tiene divisores de cero. Por tanto, en este caso, $R$ no puede ser dominio de integridad,  anillo de división o cuerpo.
\end{enumerate}
\end{ejj}

\begin{ejj}
Sea $\{R_i\}_ {i\in I}$ una familia de anillos y sea $R=\bigoplus_{i\in I} R_i$ la suma  directa de los $R_i$. Demuestra que para cada $k\in I$, la inclusión canónica $\rho_k:R_k\to \bigoplus_{i\in I} R_i$ es un monomorfismo de anillos.
\end{ejj}

\begin{ejj}
   Sea $R$ un anillo y $n\in \mathbb{N}$. Demuestra los siguientes enunciados:
\begin{enumerate}\itemsep=-.1truecm
\item[(i)] ${\cal M}_n(R)$ es unitario si y sólo si $R$ es unitario.
\item[(i)] ${\cal M}_n(R)$ tiene divisores de cero si $n\le 2$. Por tanto, en este caso, ${\cal M}_n(R)$ no puede ser  dominio de integridad,  anillo de división o cuerpo.
\item[(ii)] ${\cal M}_n(R)$ es conmutativo si y sólo si $R$ es conmutativo y $n=1$.
\item[(iii)] ${\cal M}_n(R)$ es un anillo de división si y sólo si $R$ es un anillo de división  y $n=1$.
\item[(iv)] ${\cal M}_n(R)$ es un cuerpo si y sólo si $R$ es un cuerpo  y $n=1$.
\end{enumerate}
\end{ejj}

\begin{ejj}
  Sea $R$ un anillo y sea $R[[X]]$ el anillo de series formales con coeficientes en $R$. Entonces:
  \begin{enumerate}\itemsep=-.1truecm
    \item[(i)] $R$ es unitario si y sólo si $R[[X]]$ es unitario.
    \item[(ii)] $R$ es conmutativo si y sólo si $R[[X]]$ es conmutativo.
        \item[(ii)] $R$ es D.I si y sólo si $R[[X]]$ es D.I.
  \end{enumerate}
\end{ejj}


 \begin{ejj}
  Sea $R$ un anillo unitario y sea $R[[X]]$ el anillo de series formales con coeficientes en $R$. Entonces un elemento $\sum_{n=0}^\infty a_nX^n\in R[[X]]$ es inversible si y sólo si $a_0$ es un elemento inversible de $R$.
\end{ejj}

 \begin{ejj}
  Sea $R$ un anillo unitario y sea $R[[X]]$ el anillo de series formales con coeficientes en $R$.Calcula el inverso de la serie $p(x)=1-x$.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
 Sea $R$ un anillo y sea $R[X]$ el anillo de polinomios con coeficientes en $R$ y sean $p(X),q(X)\in R[X]$. Entonces
   \begin{enumerate}\itemsep=-.1truecm
       \item[(i)] $R$ es conmutativo si y sólo si $R[X]$ es conmutativo.
    \item[(ii)] $R$ es unitario si y sólo si $R[X]$ es unitario.
    \item[(iii)] $R$ es dominio de integridad  si y sólo si $R[X]$ es dominio de integridad.
    \item[(iv)] $\deg(p(X)+q(X))\le \Max(\deg(p(X)),\deg(q(X)))$.
    \item[(v)] $\deg(p(X)\cdot q(X))\le \deg(p(X))+\deg(q(X))$.
    \item[(vi)] Es más, $R$ no posee divisores de cero si para todo $p(X),q(X)\in R[X]$ se tiene que
                    $$\deg(p(X)\cdot q(X))= \deg(p(X))+\deg(q(X)).$$
  \end{enumerate}
\end{ejj}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ejj}\rm
  Sea $R$ un anillo sin divisores de cero y sea $R^1$ su unitización. ¿Puede suceder que $R^1$ tenga divisores de cero?
\end{ejj}
%en el anillo 2\ZZ, (2,-2) es un divisor de cero.
\begin{ejj}\rm
 Demuestra que la característica de un anillo y de su unitización no tienen que coincidir. Es más, si $R$ no es unitario la característica de $R^1$ es cero.
 \end{ejj}

\begin{ejj}\rm
¿Se te ocurre una nueva construcción para ``sumergir"\  un anillo no unitario en un anillo unitario manteniendo la característica? \hfill\fbox{*}
 \end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $R$ un anillo (no necesariamente unitario) de característica 6. Demuestra que en $R$ hay divisores de cero.
 \end{ejj}

 \begin{ejj}\rm
Sea $R$ un anillo de característica $n$ y $S$ un anillo de característica $m$. Determina la característica de los siguientes anillos:
\begin{enumerate}\itemsep=-.1truecm
\item[(i)]  El anillo producto cartesiano, $R^n$
\item[(ii)]  El anillo producto cartesiano, $R\times S$.
\item[(iii)]  El anillo de polinomios, $R[X]$.
\item[(iv)]  El anillo de matrices, $\mathcal{M}_k(R)$.
\end{enumerate}
 \end{ejj}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejj}\rm
  Sea $(M,*)$ un monoide. Demuestra que si existe $a\in M$, $a$ distinto del neutro, con $a^2=a$, entonces $(M,*)$ no es un grupo.  \hfill\fbox{*}
\end{ejj}

\begin{ejj}
  Sea $\mathbb{H}$ el anillo de los cuaterniones de Hamilton. Calcula la norma y el inverso de los siguientes elementos:
  $$1+i+j+k,\quad 1-i+j-k\quad 1+i$$
\end{ejj}

\begin{ejj}\label{solpoliH}
  Sea $\mathbb{H}$ el anillo de los cuaterniones de Hamilton. Calcula todos los elementos $x$ de $\mathbb{H}$ que verifiquen que $x^2+1=0$.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm  Se dice que un elemento $x$ en un anillo $R$ es nilpotente si existe $n\in \mathbb{ N}$, con $n>1$,  tal que $x^n=0$. Encuentra una condición
necesaria y suficiente para que  $\mathbb{ Z}_n$ no tenga elementos nilpotentes. Calcula los  nilpotentes de $\mathbb{ Z}_{120}$.  \hfill\fbox{*}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm  Demuestra que un anillo $R$ no posee elementos nilpotentes si y sólo si el único elemento $x\in R$ tal que  $x^2=0$ es $x=0$.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm  Demuestra que en un anillo sin divisores de cero los únicos (posibles) idempotentes son $0$ y $1$ (llamados idempotentes triviales). Encuentra
algún idempotente no trivial en ${\cal M}_n(\mathbb{ R})$.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm  Demuestra que en un anillo sin idempotentes no triviales, si $ab=1$ entonces $ba=1$.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm  Sea $R$ un anillo con al menos dos elementos. Supongamos que para cada $0\ne x\in R$ existe un \textbf{único} $y\in R$ con $x=xyx$. Demuestra que:
$R$ no tiene divisores de cero. Si $xyx=x$, entonces $yxy=y$.  $R$ es unitario.  $R$ es un anillo de división. \hfill\fbox{**}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm  Encuentra un anillo $R$ que no sea de división y  tal que para cada $x\in R$ exista $y\in R$ con $x=xyx$. \hfill\fbox{*}
 \end{ejj}

 \begin{ejj}\rm
 ¿Puedes encontrar un anillo $R$ y un elemento $a$ tal que $a$ sea divisor de cero por la derecha pero no sea divisor de cero por la izquierda? \hfill\fbox{**}
\end{ejj}

 \begin{ejj}\rm  Da un ejemplo de un anillo $R$ no conmutativo tal que el conjunto de sus elementos inversibles, ${\cal U}(R)$ sea un grupo abeliano y otro en el que sea un grupo no abeliano (con el producto de $R$).  \hfill\fbox{**}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
  Sea $(M,*)$ un monoide. Demuestra que $M$ es un grupo si para todo $a,b\in M$ la ecuación $a\cdot X=b$ tiene solución (es decir, existe $s\in M$ tal que $a\cdot s=b$.  \hfill\fbox{*}
\end{ejj}

\vfill\textbf{ El símbolo [$*$] significa dificultad moderada y [$**$]  dificultad media. } 