
\chapter{Anillo cociente}
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\hrule \vskip0.5cm
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\noindent{\sffamily\bfseries Objetivos del capítulo} $\,$
\begin{itemize}\footnotesize
 \item En este capítulo vamos a estudiar cuando una relación de equivalencia-partición en un anillo dota al conjunto cociente de estructura de anillo, con lo que mezclaremos los conceptos de partición de equivalencia-relación con la estructura de anillo. Caracterizaremos las relaciones de equivalencia que dan lugar a conjuntos cocientes con estructura de anillo, lo que nos llevará a la definición de ideal.
 \item Estudiaremos los ideales de un anillo y sus propiedades.
 \item Introduciremos la noción de anillo cociente y estudiaremos sus propiedades.
\end{itemize}
\vskip0.25cm
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\hrule

\[\,\]
\section{Introducción}

Dado un anillo $R$ y una relación de equivalencia, $\approx$, en $R$ vamos a estudiar cuando podemos definir  una estructura de anillo en el conjunto cociente
$R/\approx$, en donde la suma y el producto se hereden de $R$. Es decir, en donde la suma y el producto queden definidos por: \vskip-1truecm
\begin{align*}
\overline x+\overline y:&=\overline{x+y}\cr \overline x \overline y:&=\overline{x y}
\end{align*}

\vskip-.3truecm
\textbf{Nota 1:} No siempre es posible.

\textbf{Nota 2:} Recordamos que lo elementos del  conjunto cociente $R/\approx$  son subconjunto de $R$. Así, dado un $x\in R$, la clase del $x$, que se denota por $\overline x$, representa al subconjunto
$\overline x=\{y\in R\vert x\approx y\}.$
Es más, por \fullref{el Teorema}{caracrelclas}{} tenemos que
$$
x\approx y\quad \iff\quad x\in \overline y\quad \iff\quad y\in \overline x\quad \iff\quad \overline x=\overline y.
$$
 Nos encontramos con que no siempre la suma o el producto anterior están bien definidos. Es decir, podemos tener una relación de equivalencia en $R$ tal que $\overline {x_1}=\overline{x_2}$, $\overline{ y_1}=\overline{y_2}$ pero
\begin{enumerate}
\item[$\bullet$] $\overline{x_1+y_1}\ne \overline{x_2+y_2}$, lo que implicaría que la operación suma en el conjunto cociente $R/\approx$ está mal definida o
\item[$\bullet$] $\overline{x_1\cdot y_1}\ne \overline{x_2\cdot y_2}$, lo que implicaría que la operación producto en el conjunto cociente  $R/\approx$ está mal definida.
\end{enumerate}
Realmente ya nos hemos encontrado con este problema anteriormente:

\begin{ejem}
  Sea $\mathbb Z$ el anillo de los enteros. Consideremos en $\mathbb Z$ la relación de congruencias modulo $n$. Tenemos que el conjunto cociente en está relación es $$\mathbb{Z}_n=\{\overline{0}, \overline{1},\overline{2},\dots,\overline{n-1}\}.$$
  En este conjunto definimos una suma y un producto demostrando que ambos estaban bien definidos (tanto la suma como  el producto no  dependía de los representantes), ver \fullref{el teorema}{Acong}{}.
\end{ejem}

\begin{ejem}
  Sea $\mathbb Z$ el anillo de los enteros. Consideremos en $\mathbb Z$ la relación de equivalencia

  $$x\sim y\ \text{si y sólo si}\ x=y=0 \text{ o } x\cdot y>0
  $$
Tenemos que el conjunto cociente tiene tres clases de equivalencia: $$\overline{ 0}=\{0\},\quad \overline{ 1}=\{x\in \mathbb{Z}\vert x>0\}\quad\text{y}\quad \overline{ -1}=\{x\in \mathbb{Z}\vert x<0\}.$$ No obstante en este conjunto cociente la suma no está bien definida: $\overline 1=\overline 3$ y $\overline {-1}=\overline{-4}$, pero
$$\overline {0}=\overline{ 1}+\overline{ -1}=\overline{3}+\overline{-4}=\overline{-1}$$
En cambio, el producto si que está bien definido!!!
\end{ejem}

\section{Ideales de un anillo. El anillo cociente. }

\begin{theo}\label{carrelcoc}\rm
  Sea $R$ un anillo y $\approx$ una relación de equivalencia en $R$ tal que en el conjunto cociente, $R/\approx$, las siguientes operaciones están bien definidas.
  \begin{align*}
\overline x+\overline y:&=\overline{x+y}\cr \overline x \overline y:&=\overline{x y}
\end{align*}
\vskip-.3truecm Entonces:
\begin{enumerate}
\item[(i)] $(R/\approx,+,\cdot)$ tiene estructura de anillo. \textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{(Ejercicio)}
\item[(ii)] $\overline 0$ es un subanillo de $R$ tal que para todo $a\in R$ e $x\in \overline 0$, $a\cdot x\in \overline 0$ y $ x\cdot a\in \overline 0$.
\item[(iii)] Dos elementos $a,b\in R$ están relacionados, $a\approx b$,  si y sólo si $a-b\in \overline{0}$.
\end{enumerate}
\end{theo}

\textbf{Demo:} (i) Ejercicio.

(ii). Veamos que $\overline 0=\{x\in R\vert 0\approx x\}$ es un subanillo de $R$:

$\bullet$ La suma es una operación interna en $\overline 0$: dados $x,y\in \overline 0$, por hipótesis tenemos que $\overline x=\overline 0=\overline y$,  por tanto, como la suma está bien definida, $$\overline{x+y}=\overline x+\overline y=\overline 0+\overline 0=\overline{0+0}=\overline 0$$ con lo que $x+y\in \overline 0$.

$\bullet$ El producto es una operación interna en $\overline 0$: dados $x,y\in \overline 0$, por hipótesis tenemos que $\overline x=\overline 0=\overline y$,  por tanto, como el producto está bien definido, $$\overline{x\cdot y}=\overline x\cdot \overline y=\overline 0\cdot \overline 0=\overline{0\cdot 0}=\overline 0$$ con lo que $x\cdot y\in \overline 0$.

$\bullet$ Como $0\approx 0$, tenemos que $0\in \overline 0$.

$\bullet$ Sea $x\in \overline 0$ y sea $-x\in R$, el opuesto de $x$ en $R$. Tenemos,
$$\overline 0=\overline{x+(-x)}=\overline x+\overline{-x}=\overline 0+\overline{-x}=\overline{-x}.$$
 Por tanto $-x\in \overline 0$.

Por último, dado $x\in \overline 0$ y $a\in R$,
\begin{align*}
  \overline{a\cdot x}&=\overline a\cdot \overline x=\overline a\cdot \overline 0=\overline{a\cdot 0}=\overline 0\\
  \overline{x\cdot a}&=\overline x\cdot \overline a=\overline 0\cdot \overline a=\overline{0\cdot a}=\overline 0
\end{align*}
Lo que demuestra que $a\cdot x$ y $x\cdot a$ pertenecen a $\overline 0$.

(iii). Sean $a,b\in R$.

$\bullet$ Supongamos que $a\approx b$. Entonces $\overline a=\overline b$ y por tanto $$\overline 0=\overline{b+(-b)}=\overline b+\overline{-b}=\overline a+\overline{-b}=\overline{a-b}$$
Por lo que $a-b\in \overline 0$.

$\bullet$ Supongamos ahora que $a-b\in\overline 0$. Tenemos entonces que $$\overline b=\overline b+\overline 0=\overline b+\overline{a-b}=\overline{b+a-b}=\overline a,$$ por lo que $a\approx b$.
\hfill$\blacksquare$

\timeclase{Fin de clase 25; 01-12-2011, grupos A y B.}

\begin{defi}\rm  \label{deideal} Sea $R$ un anillo. Se dice que $I\subset R$ es un {\bf ideal} de $R$ si $I$ es un subanillo de $R$ tal que para todo
$a\in R$, $y\in I$, $ay,ya\in I$.
\end{defi}


\begin{ejem} \label{ejemideal} Sea $R$ un anillo, entonces $R$ y $\{0\}$ son siempre ideales de $R$ (llamados triviales).
 Sea $\mathbb Z$ el anillo de los enteros. Entonces para cada $n\in \mathbb{ N}$ el conjunto $n\mathbb{Z}$ es un ideal de $\mathbb Z$.
\end{ejem}

\textbf{Nota:} Para demostrar que un subconjunto es un ideal habría que demostrar 5 pro\-pie\-da\-des (las cuatro de subanillo y la propia de ideal). No obstante, el siguiente lema reduce el proceso:

\begin{lema}\rm
  Sea $R$ un anillo y sea $I\subset R$. Entonces $I$ es un ideal de $R$ si y sólo si $I\ne \emptyset$ y
  \begin{itemize}\itemsep=-.1truecm
    \item[(i)] La suma es una operación interna en $I$.
    \item[(ii)] Para todo $a\in I$, $-a\in I$.
    \item[(iii)] Para todo $a\in R$, $y\in I$, $ay,ya\in I$.
  \end{itemize}
\end{lema}

\textbf{Demo:} Es claro que si $I$ es un ideal verifica estas tres condiciones. Supongamos que un subconjunto $I$ de un anillo $R$ verifica estas tres condiciones. $(iii)$ implica que el producto es una operación cerrada en $I$. Es más, dado $y\in I$ y $0\in R$, $0=0\cdot y\in I$, lo que demuestra que $I$ es un subanillo, y por tanto un ideal de $R$. \hfill$\blacksquare$

\textbf{Nota:} En el siguiente Teorema vamos a ver una especie de recíproco del \fullref{Teorema}{carrelcoc}{}: en este último vemos que si las operaciones están bien definidas, $\overline 0$ es un ideal de $R$ y la relación de equivalencia está asociada a este ideal. En el siguiente teorema demostramos que todo ideal define una relación de equivalencia en $R$ en donde la suma y el producto procedentes de $R$ están bien definidos en conjunto cociente:

\begin{theo}\label{prococi}\rm Sea $R$ un anillo e $I$ un ideal de $R$. Entonces:
\begin{enumerate}
\item[(i)] La relación $x\sim y$ si y solo si $x-y\in I$ es una relación de equivalencia en $R$.
\item[(ii)] $(R/\sim,+,\cdot )$ en donde \vskip-1truecm
\begin{align*}
\bar x+\bar y:&=\overline{x+y}\cr \bar x\cdot  \bar y:&=\overline{x\cdot  y}
\end{align*}\vskip-.5truecm
tiene estructura de anillo.
\end{enumerate}
El anillo anterior se denota por $R/I$ y se llama el \textbf{anillo cociente de $R$ sobre $I$}.
\end{theo}

\textbf{Demo:} (i). Reflexiva: $x-x=0\in I$, por lo que $x\sim  x$. Transitiva: supongamos que $x\sim  y $ y que $y\sim  z$. Tenemos entonces que $x-y\in I$ y que $y-z\in I$. Por tanto $x-z=x-y+y-z\in I$ lo que implica que $x\sim  z$. Simétrica: Si $x\sim  y$, $x-y\in I$. Por tanto $y-x=-(x-y)\in I$, lo que implica que $y\sim  x$.

(ii). Empecemos demostrando que suma y producto están bien definidas: Sean $x,x',y,y'\in R$ tales que $x\sim  x'$ e $y\sim  y'$. tenemos entonces que $x-x'\in I$ e $y-y'\in I$. Por tanto:
$$(x+y)-(x'+y')=x-x'+y-y'\in I$$ Lo que demuestra que $\overline x+\overline y=\overline{x'}+\overline{y'}$.
$$x\cdot y-x'\cdot y'=x\cdot y-x\cdot y'+x\cdot y'-x'\cdot y'=x\cdot (y-y')+(x-x')\cdot y'\in I$$ Lo que demuestra que $\overline x\cdot \overline y=\overline{x'}\cdot \overline{y'}$.

Veamos ahora que estas operaciones dotan de estructura de anillo al conjunto cociente:

$\bullet$ $(R/\sim ,+)$ es un grupo abeliano: para todo $\overline a,\overline b,\overline c\in R/\sim $.

\noindent $\star$ Propiedad asociativa:
$$
(\overline a+\overline b)+\overline c=\overline{a+b}+\overline c=\overline {a+b+c}=\overline a+\overline {b+c}=\overline a+(\overline b+\overline c)
$$

\noindent $\star$ Elemento neutro:  $\overline a+\overline 0=\overline 0+\overline a=\overline a$.

\noindent $\star$ Elemento opuesto: dado $\overline a\in R/\sim $ su opuesto es  $\overline{-a}\in R/\sim $.

\noindent $\star$ Propiedad conmutativa: $\overline a+\overline b=\overline {a+b}=\overline {b+a}=\overline b+\overline a$.

$\bullet$  $(R,\cdot )$ verifica la propiedad asociativa: para todo $\overline a,\overline b,\overline c\in R/\sim $.
$$(\overline a\cdot \overline b)\cdot \overline c=\overline{a\cdot b}\cdot \overline c=\overline {a\cdot b\cdot c}=\overline a\cdot \overline {b\cdot c}= \overline a\cdot (\overline b\cdot \overline c)$$

$\bullet$  Se verifican las propiedades distributivas: para todo $\overline a,\overline b,\overline c\in R/\sim $,
\begin{align*}
 (\overline a+\overline b)\cdot \overline c&=\overline{a+b}\cdot \overline c=\overline {(a+b)\cdot c}=\overline {a\cdot c+b\cdot c}=\overline{a\cdot c}+\overline {b\cdot c}=\overline a\cdot \overline c+\overline b\cdot \overline c\\
 \overline c\cdot  (\overline a+\overline b)&=\overline c \cdot \overline{a+b}=\overline {c\cdot(a+b)}=\overline {c\cdot a+c\cdot b}=\overline{c\cdot a}+\overline {c\cdot b}=\overline c\cdot \overline a+\overline c\cdot \overline b
\end{align*}
Lo que demuestra el teorema. \hfill$\blacksquare$

\textbf{Nota:} Trabajar en un anillo cociente es fácil: sea $R$ un anillo y sea $I$ un ideal de $R$. Consideremos el anillo cociente $R/I$. Entonces:
\begin{itemize}\itemsep=-.2truecm
\item[$\bullet$] La suma: $\overline x+\overline y=\overline{x+y}$
\item[$\bullet$] El producto: $\overline x\cdot \overline y=\overline{x\cdot y}$
\item[$\bullet$] Dos elementos $\overline x,\overline y\in R/I$ son iguales ($\overline x=\overline y$) si y sólo si  $x-y\in I$.
\item[$\bullet$] $\overline x$ es el elemento neutro ($\overline x=\overline 0$) si y sólo si $x\in I$.
\end{itemize}

Si miramos la construcción del anillo de congruencias módulo $n$, ver \fullref{el Teorema}{Acong}{}, tenemos que es  la construcción del anillo cociente $\mathbb Z$ sobre $n \mathbb{ Z}$, es decir:
\begin{ejem} \label{ejencociente} Sea $\mathbb Z$ el anillo de los enteros y $n\in \mathbb {N}$. Entonces $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\mathbb{ Z}_n$.
\end{ejem}

Asociado a cada estructura hay asociado un homomorfismo:

\begin{defi}\rm\label{defproy} Sea $R$ un anillo y $I$ un ideal de $R$. Entonces la aplicación $\pi: R\to R/I$ definida por $\pi(r)=\overline r$ es un
epimorfismo de anillos (llamado el epimorfismo de {\bf proyección} de $R$ en $R/I$).
\end{defi}

\textbf{Nota:} Recordamos que dado un homomorfismo de anillos $f:R\to R'$ el núcleo o Ker de $f$ consistía en el conjunto $\Ker f:=\{x\in R\ \vert\ f(x)=0\}$. Observar dado un anillo $R$ y un ideal $I$ de $R$, el núcleo de la proyección canónica $\pi: R\to R/I$ es precisamente $I$.

\begin{theo}[Propiedad fundamental del cociente]\rm \label{primerriso} Sean $R$ y $R'$ dos anillos y sea $f:R\to R'$ un homomorfismo de anillos. Sea
$I$ un ideal de $R$ tal que $I\subset \Ker(f)$. Entonces la aplicación $\bar f:R/I\to R'$ definida por $\bar f(\bar x):=f(x)$ es un
homomorfismo de anillos.
\end{theo}

\textbf{Demo:} Ejercicio. \hfill$\blacksquare$

\begin{center}
\shadowbox{\parbox{\columnwidth+0\fboxsep+10\fboxrule-\shadowsize}{
\centering\begin{theo}[Primer teorema de Isomorfía]\rm \label{primeriso} Sean $R$ y $R'$ dos anillos y $f:R\to R'$ un homomorfismo de anillos. Entonces:
\begin{enumerate}
\item[(i)] $\Ker(f)\triangleleft R$.
\item[(ii)] $R/\Ker(f)\approx Im(f)$. Es más, la aplicación $\bar f:R/\Ker(f)\to Im(f)$ definida por $\bar f([x]):=f(x)$ es un isomorfismo de
anillos.
\end{enumerate}
\end{theo}}}
\end{center}

\textbf{Demo:} (i). Demostremos las propiedades de ideal: Ya sabemos que $\Ker(f)$ es un subanillo de $R$, ver \fullref{el corolario}{deimker}{(i)}. Por otro lado, dados $z\in \Ker(f)$ y $a\in R$,
\begin{align*}
  f(a\cdot z)&=f(a)\cdot f(z)=f(a)\cdot 0=0\\
  f(z\cdot a)&=f(z)\cdot f(a)=0\cdot f(a)=0
\end{align*}
Lo que demuestra que $z\cdot a$ y $a\cdot z\in \Ker(f)$.

(ii). Veamos que la aplicación $\bar f:R/\Ker(f)\to Im(f)$ definida por $\bar f(\overline x):=f(x)$ es un isomorfismo de anillos, lo que nos demostrara que $R/\Ker(f)$ y $\im(f)$ son anillos isomorfos:

$\bullet$ Veamos que $\bar f$ está bien definida: Sean $x,y\in R$ tales que $x\approx y$, es decir, $\overline x=\overline y$. Tenemos entonces que $x-y\in \Ker(f)$ por lo que $$0=f(x-y)=f(x)-f(y).$$ Lo que implica que $\bar f(\overline x)=f(x)=f(y)=\bar f(\overline y)$ o lo que es lo mismo, que $\bar f$ está bien definida.

$\bullet$ Veamos que $\bar f$ es un homomorfismo de anillos:
\begin{align*}
  \bar f(\overline x+\overline y)&=\bar f(\overline{x+y})=f(x+y)=f(x)+f(y)=\bar f(\overline x)+\bar f(\overline y)\\
  \bar f(\overline x\cdot \overline y)&=\bar f(\overline{x\cdot y})=f(x+y)=f(x)\cdot f(y)=\bar f(\overline x)\cdot \bar f(\overline y)
\end{align*}

$\bullet$ Veamos que $\bar f$ es biyectiva: Dado $z\in \im(f)$ tenemos que existe $x\in R$ tal que $f(x)=z$. Por lo que $\bar f(\overline x)=f(x)=z$, lo que demuestra que $\bar f$ es sobreyectiva. Supongamos ahora $\overline x$, $\overline y$ dos elementos de $R/\Ker(f)$ tales que $\bar f(\overline x)=\bar f(\overline y)$. Por definición de $\bar f$ tenemos que $f(x)=f(y)$ y por tanto $f(x-y)=0$ lo que implica que $x-y\in \Ker(f)$, o lo que es lo mismo, que $\overline x=\overline y$, lo que demuestra que $\bar f$ es inyectiva.
\hfill$\blacksquare$


\section{El retículo de los ideales de un anillo}

En esta sección vamos a estudiar los ideales (ideales por la izquierda, ideales por la derecha) de un anillo $R$. Como resultados importantes demostraremos que el conjunto de los ideales de un anillo $R$ con la relación de orden ``contenido" es un retículo (conjunto ordenado en el que cualquier par de elementos posee supremo).

\begin{defi}\rm \label{deflado} Sea $R$ un anillo. Se dice que $I$ es un \textbf{ideal por la izquierda} de $R$ y se representa por $I\triangleleft_l R$ si $I$
es un subanillo de $R$ tal que para todo $a\in R$, $y\in I$, $ay\in I$. Se dice que $I$ es un \textbf{ideal por la derecha} de $R$ y se representa
por $I\triangleleft_r R$ si $I$ es un subanillo de $R$ tal que para todo $a\in R$, $y\in I$, $ya\in I$.
\end{defi}

\textbf{Nota:} Para demostrar que un subconjunto es un ideal por la izquierda (por la derecha) habría que demostrar 5 pro\-pie\-da\-des [las cuatro de subanillo y la propia de ideal por la izquierda (por la derecha)]. No obstante, el siguiente lema reduce el proceso:

\begin{lema}\label{caracideallado}\rm
  Sea $R$ un anillo y sea $I\subset R$. Entonces $I$ es un ideal por la izquierda (resp. por la derecha) de $R$ si y sólo si $I\ne \emptyset$ y
  \begin{itemize}\itemsep=-.1truecm
    \item[(i)] La suma es una operación interna en $I$.
    \item[(ii)] Para todo $a\in I$, $-a\in I$.
    \item[(iii)] Para todo $a\in R$, $y\in I$, $ay\in I$ (resp. $ya\in I$).
  \end{itemize}
\end{lema}

\textbf{Demo:} Es claro que si $I$ es un ideal por la izquierda o por la derecha de $R$ se verifican las tres condiciones. Veamos el recíproco: $(iii)$ implica que el producto es una operación interna en $I$. Por otro lado, dado $y\in I$ y $0\in R$, $0y\in I$ si $I$ es un ideal por la izquierda ($0=y0\in I$ si $I$ es un ideal por la derecha). Lo que demuestra que, en ambos casos, $I$ es un subanillo de $R$. \hfill$\blacksquare$



Nos va a interesar construir ideales (por la izquierda, por la derecha) a partir de elementos. El siguiente teorema nos dice como.

\begin{prop}\rm \label{conside} Sea $R$ un anillo y $x\in R$. Entonces:
\begin{enumerate}
\item[(i)] $Rx=\{ax\ \vert\ a\in R\}$ es un ideal por la izquierda de $R$ (si $R$ es unitario $x\in Rx$).
\item[(ii)] $Rx+\mathbb{Z}x$ es un ideal por la izquierda de $R$ que contiene a $x$. Es más, éste es el ideal por la izquierda más pequeño de $R$
que contiene a $x$.
\item[(i')] $xR=\{xa\ \vert\ a\in R\}$ es un ideal por la derecha de $R$ (si $R$ es unitario $x\in xR$).
\item[(ii')] $xR+\mathbb{Z}x$ es un ideal por la derecha de $R$ que contiene a $x$. Es más, éste es el ideal por la derecha  más pequeño de $R$
que contiene a $x$.
\item[(iii)] $RxR=\{\sum_{i=1}^n a_ixb_i\ \vert\ n\in \mathbb{N}, a_i,b_i\in R\}$ es un ideal de $R$ (si $R$ es unitario, $x\in RxR$).
\item[(iv)] $RxR+Rx+xR+\mathbb{Z}x$ es un ideal de $R$ que contiene a $x$. Es más, éste es el ideal más pequeño de $R$ que contiene a $x$.
\end{enumerate}
\end{prop}

\textbf{Demo:} Demostremos las tres propiedades necesarias dadas en \fullref{el lema}{caracideallado}{}.

(i). $0=0x\in Rx$, por lo que es un conjunto no vacío. Veamos que la suma es interna: dados $ax,bx\in Rx$ tenemos que $ax+bx=(a+b)x\in Rx$. Veamos que los opuestos de elementos de $Rx$ están en $Rx$: dado $ax\in Rx$, su opuesto es $(-a)x\in Rx$. Por último, dado $ax\in Rx$ y $b\in R$ tenemos que $b(ax)=(ba)x\in Rx$. Por lo que es un ideal por la izquierda de $R$.

(ii).  $0=0x\in Rx+\mathbb{Z}x$, por lo que es un conjunto no vacío. Veamos que la suma es interna: dados $ax+\lambda x,bx+\mu x\in Rx+\mathbb{Z}x$ tenemos que $$(ax+\lambda x)+(bx+\mu x)=(a+b)x+(\lambda+\mu)x\in Rx+\mathbb{Z}x.$$ Veamos que los opuestos de elementos de $Rx+\mathbb{Z}x$ están en $Rx+\mathbb{Z}x$: dado $ax+\lambda x\in Rx+\mathbb{Z}x$, su opuesto es $(-a)x+(-\lambda)x\in Rx+\mathbb{Z}x$. Por último, dado $ax+\lambda x\in Rx+\mathbb{Z}x$ y $b\in R$ tenemos que $b(ax+\lambda x)=(ba)x+(\lambda b)x\in Rx\subset Rx+\mathbb{Z}x$. Por lo que es un ideal por la izquierda de $R$.

(i') y (ii') se demuestran de forma análoga (ejercicio).

(iii). Es claro que $\emptyset\ne  RxR$, ya que $0=0x0\in RxR$. Por construcción la suma en $RxR$ es interna. Es más, dado $\sum_{i=1}^n a_ixb_i\in RxR$ tenemos que su opuesto es $\sum_{i=1}^n (-a_i)xb_i$. Por último, dado $c\in R$ y $\sum_{i=1}^n a_ixb_i\in RxR$ tenemos que
\begin{align*}
  c\cdot \sum_{i=1}^n a_ixb_i&=\sum_{i=1}^n (c\cdot a_i)xb_i\in RxR\\
  \sum_{i=1}^n a_ixb_i\cdot c&=\sum_{i=1}^n a_ix(b_i\cdot c)\in RxR
\end{align*}
Lo que demuestra que $RxR$ es un ideal de $R$.

(iv). Denotemos por $I=RxR+Rx+xR+\mathbb{Z}x$. Es claro que $x\in I$, por lo que es no vacío. Por otro lado, dados $z=\sum_{i=1}^n a_ixb_i+ cx+xd+\lambda x$ y $z'=\sum_{i=1}^m a'_ixb'_i+ c'x+xd'+\lambda' x$ dos elementos de $I$ tenemos que
 \begin{align*}
  z+z'&=(\sum_{i=1}^n a_ixb_i+ cx+xd+\lambda x)+(\sum_{i=1}^m a'_ixb'_i+ c'x+xd'+\lambda' x)\\
  =&(\sum_{i=1}^n a_ixb_i+\sum_{i=1}^m a'_ixb'_i)+(c+c')x+x(d+d')+(\lambda+\lambda')x\in I
 \end{align*} Por lo que la suma es una operación interna en $I$. Por otro lado el opuesto de un elemento $z=\sum_{i=1}^n a_ixb_i+ cx+xd+\lambda x\in I$ es $-z=\sum_{i=1}^n (-a_i)xb_i+ (-c)x+x(-d)+(-\lambda) x\in I$. Por último, veamos la propiedad de ideal: sea $z=\sum_{i=1}^n a_ixb_i+ cx+xd+\lambda x\in I$ y $t\in R$,
 \small
 \begin{align*}
   t\cdot z&=t\cdot (\sum_{i=1}^n a_ixb_i+ cx+xd+\lambda x)=\sum_{i=1}^n (t\cdot a_i)xb_i+ (t\cdot c)x+txd+(\lambda t)x\in RxR+Rx\subset I\\
   z\cdot t&=(\sum_{i=1}^n a_ixb_i+ cx+xd+\lambda x)\cdot t=\sum_{i=1}^n a_ix(b_i\cdot t)+cxt+x(d\cdot t)+x(\lambda t)\in RxR+xR\subset I
 \end{align*}   \normalsize
 Lo que demuestra que $I$ es un ideal de $R$.
\hfill$\blacksquare$

\begin{prop}\rm  \label{proidII}Sea $R$ un anillo e $I_1,I_2$ dos ideales (ideales por la izquierda, por la derecha) de $R$. Entonces:
\begin{enumerate}
\item[(i)] $I_1\cap I_2$ es un ideal (ideal por la izquierda, por la derecha) de $R$.
\item[(ii)] $I_1+ I_2$ es un ideal (ideal por la izquierda, por la derecha) de $R$.
\item[(iii)] $I_1\cdot I_2:=\{\sum_{i=1}^n y_iy_i'\ \vert\ n\in \mathbb{N}, y_i\in I_1, y_i'\in I_2\}$ es un ideal (ideal por la izquierda, por la derecha) de $R$.
\end{enumerate}
Es más, si $I_1,I_2$ son ideales de $R$,  para $k=1,2$
 $$I_1I_2\subset I_1\cap I_2\subset I_k\subset I_1+I_2.$$
\end{prop}

\textbf{Demo:} Vamos a dar las demostraciones suponiendo que $I_1$ e $I_2$ son dos ideales por la izquierda. Las demostraciones para ideales por la derecha o ideales son análogas (ejercicios). Vamos a demostrar que cada uno de estos subconjuntos verifican las tres condiciones del \fullref{lema}{caracideallado}{}.

(i). $\star$ Demostremos que la suma es una operación interna en $I_1\cap I_2$: dados $z,t\in I_1\cap I_2$ tenemos que \vskip-1truecm
\begin{align*}
  z,t\in I_1&\quad \text{por tanto como $I_1$ es un subanillo, $z+t\in I_1$.}\\
  z,t\in I_2&\quad \text{por tanto como $I_2$ es un subanillo, $z+t\in I_2$.}
\end{align*}
Luego $z+t\in I_1\cap I_2$.

$\star$ Dado $a\in R$, $y\in I_1\cap I_2$ tenemos que \vskip-.7truecm
\begin{align*}
  a\cdot y\in I_1&\quad \text{al ser  $I_1$ ideal por la izquierda de $R$.}\\
  a\cdot y\in I_2&\quad \text{al ser  $I_2$ ideal por la izquierda de $R$.}
\end{align*} Luego $a\cdot y\in I_1\cap I_2$.

$\star$ Dado $y\in I_1\cap I_2$, $y\in I_1$ por lo que $-y\in I_1$ (al ser ideal por la izquierda) de igual modo, $-y\in I_2$ y por tanto $-y\in I_1\cap I_2$.

(ii). $\star$ Demostremos que la suma es una operación interna en $I_1+ I_2$: sean $z,z'\in I_1+ I_2$, entonces existen $y_1,y_1'\in I_1$ e $y_2,y_2'\in I_2$ tales que $z=y_1+y_2$ y $z'=y_1'+y_2'$. Por tanto $$z+z'=y_1+y_2+y_1'+y_2'=(y_1+y_1')+(y_2+y_2')\in I_1+I_2$$

$\star$ Dados $a\in R$, y $z\in I_1+I_2$, existen $y_1\in I_1$ y $y_2\in I_2$ tales que $z=y_1+y_2$ y por tanto
$$a\cdot z=a\cdot (y_1+y_2)=a\cdot y_1+a\cdot y_2\in I_1+I_2$$
Ya que $a\cdot y_1\in I_1$, al ser $I_1$ un ideal por la izquierda de $R$ y $a\cdot y_2\in I_2$, al ser $I_2$ ideal por la izquierda de $R$.

$\star$ Dado $z\in I_1+I_2$, existen $y_1\in I_1$ y $y_2\in I_2$ tales que $z=y_1+y_2$, por tanto $$-z=-y_1+(-y_2)\in I_1+I_2$$ Ya que $-y_1\in I_1$, al ser $I_1$ un ideal por la izquierda de $R$ y $-y_2\in I_2$, al ser $I_2$ ideal por la izquierda de $R$.

(iii). $\star$ Por la propia construcción de $I_1\cdot I_2$ tenemos que la suma es interna aquí. Veamos las demás condiciones:

$\star$ Dado $a\in R$, $z\in I_1\cdot I_2$, existen $y_i^1\in I_1$, $y_i^2\in I_2$, $i=1,2,\dots, n$ tales que $z=\sum_{i=1}^n y_i^1\cdot y_i^2$. Ahora,
$$a\cdot z=a\cdot \sum_{i=1}^n y_i^1\cdot y_i^2=\sum_{i=1}^n (a\cdot y_i^1)\cdot y_i^2\in I_1\cdot I_2$$ Ya que para todo $i=1,2,\dots, n$,  $a\cdot y_i^1\in I_1$ y $y_i^2\in I_2$.

$\star$ Dado  $z\in I_1\cdot I_2$, existen $y_i^1\in I_1$, $y_i^2\in I_2$, $i=1,2,\dots, n$ tales que $z=\sum_{i=1}^n y_i^1\cdot y_i^2$. Por tanto $-z=\sum_{i=1}^n (-y_i^1)\cdot y_i^2\in I_1\cdot I_2$.
\hfill$\blacksquare$

\textbf{Nota:} Observar que para que $I_1\cdot I_2$ sea ideal por la izquierda sólo hace falta que $I_1$ sea ideal por la izquierda.

\begin{lema}\label{ejjideal}\rm [Ejercicio]
  Sea $R$ un anillo e $I$ un ideal (ideal por la izquierda, por la derecha) de $R$. Sea $S$ un subanillo de $R$ que contiene a $I$. Entonces $I$ es un ideal (ideal por la izquierda, por la derecha)de $S$.
\end{lema}

\begin{center}
\shadowbox{\parbox{\columnwidth+0\fboxsep+10\fboxrule-\shadowsize}{
\centering
\begin{theo}[Segundo teorema de Isomorfía]\rm \label{segiso} Sea $R$ un anillo e $I_1,I_2$ dos ideales de $R$. Entonces:
\begin{enumerate}
\item[(i)] $I_1,I_2$ son ideales de $I_1+I_2$ y $I_1\cap I_2$ es ideal tanto de $I_1$ como de $I_2$.
\item[(ii)] $I_1+I_2/I_1\approx I_2/ (I_1\cap I_2)$.
\end{enumerate}
\end{theo}}}
\end{center}

\textbf{Demo:} El apartado (i) se deduce del lema anterior. El apartado (ii) se demostrará haciendo uso del primer teorema de Isomorfía:

Por el apartado $(i)$, $I_1$ es un ideal de $I_1+I_2$, por lo que tiene sentido el anillo cociente $I_1+I_2/I_1$. Por el apartado $(i)$, $I_1\cap I_2$ es ideal de $I_2$, por lo que tiene sentido el anillo cociente $I_2/ (I_1\cap I_2)$. Una vez que hemos demostrado que todos los anillos tienen sentido, demostremos el isomorfismo.

Consideremos la aplicación $$f: I_2\to I_1+I_2/I_1\quad\text{definida por}\quad  f(y_2)=\overline{0+y_2}\in I_1+I_2/I_1.$$
Vamos a demostrar que $f$ es un epimorfismo de anillos con $\Ker(f)=I_1\cap I_2$. Tendremos entonces, aplicando el primer teorema de Isomorfía, que $R/\Ker(f)\cong \im(f)$, es decir, $I_2/(I_1\cap I_2)\cong I_1+I_2/I_1$.

$\bullet$ Es claro que $f$ está bien definida, dado $y_2\in I_2$, $f(y_2)=\overline{0+y_2}$ es un elemento de $I_1+I_2/I_1$. Veamos que $f$ es un homomorfismo de anillos. Sean $y_2,y_2'\in I_2$, tenemos entonces que
\begin{align*}
  f(y_2+y_2')&=\overline{0+(y_2+y_2')}=\overline{0+y_2'}+\overline{0+y_2}=f(y_2)+f(y_2')\\
  f(y_2\cdot y_2')&=\overline{0+(y_2\cdot y_2')}=\overline{0+y_2'}\cdot \overline{0+y_2}=f(y_2)\cdot f(y_2')
\end{align*} Luego es un homomorfismo de anillos.

 Antes de demostrar el carácter sobreyectivo veamos una propiedad en el anillo cociente $I_1+I_2/I_1$:
 para todo $y_1\in I_1$ e $y_2\in I_2$ se tiene que $$\overline{y_1+y_2}=\overline{0+y_2}\quad \text{en}\quad I_1+I_2/I_1\eqno{(P)}$$ Ya que $y_1+y_2-y_2=y_1\in I_1$.

$\bullet$ Veamos que es sobreyectivo: Dado $\overline{y_1+y_2}\in I_1+I_2/I_1$, tenemos que $\overline{y_1+y_2}=\overline{0+y_2}$ en $I_1+I_2/I_1$. Por tanto,
$$f(y_2)=\overline{0+y_2}=\overline{y_1+y_2}$$

$\bullet$ Demostremos que $\Ker(f)=I_1\cap I_2$. Vamos a demostrarlo por contenidos:

 Sea $y\in I_1\cap I_2$, tenemos entonces que $$f(y)=\overline{0+y}=\overline{y+0}=\overline{0+0}=\overline 0\quad\text{(propiedad (P))}$$ por lo que $I_1\cap I_2\subset \Ker(f)$.

Sea $y\in \Ker(f)\subset I_2$. Tenemos entonces que $\overline 0=f(y)=\overline{0+y}$, por tanto $0+y-0\in  I_1$ y por tanto $y\in I_1\cap I_2$.
\hfill$\blacksquare$



\begin{defi}\rm
Recordamos que dado un anillo $R$, tanto $\{0\}$ como  $R$ son ideales de $R$, llamados los ideales triviales. Se dice que un ideal $I$ de  un anillo $R$ es no trivial si es distinto de éstos.  Se dice que un anillo $R$ es \textbf{simple} si los únicos ideales que posee son los triviales.
\end{defi}


\begin{prop}\rm Sea $R$ un anillo e $I$ un ideal (izquierda o derecha) de $R$. Entonces
\begin{enumerate}
  \item[(i)] Si $I$ contiene un elemento inversible  de $R$, $I=R$.
  \item[(ii)] Los únicos ideales de un anillo de división son los triviales, es decir, los anillo de división (en particular, los cuerpos) son simples.
\end{enumerate}
\end{prop}

\textbf{Demo:} Supongamos que $I$ es un ideal por la izquierda, para ideales por la derecha o ideales la demostración es análoga.

(i). Sea $x\in I$ un elemento inversible de $R$. Tenemos entonces que $x^{-1}\in R$, por lo que al ser $I$ un ideal por la izquierda, $1=x^{-1}x\in I$. Repitiendo que $I$ es ideal por la izquierda, dado $a\in R$ (arbitrario) $a=a\cdot 1\in I$, por lo que $R\subset I$ (trivialmente $I\subset R$), por lo que $I=R$.

(ii). Si $I$ es un ideal en un anillo de división, o $I=\{0\}$ o contiene un elemento no nulo de $R$, por lo tanto un elemento inversible de $R$ y por el apartado $(i)$, $I=R$.
\hfill$\blacksquare$

\begin{prop}\rm
  Sea $R$ un anillo unitario. Las siguientes condiciones son equivalentes:
  \begin{enumerate}
    \item[$\bullet$] $R$ es un anillo de división.
    \item[$\bullet$] para todo $0\ne a\in R$, $Ra=R$.
    \item[$\bullet$] para todo $0\ne a\in R$, $aR=R$.
  \end{enumerate}
\end{prop}

\textbf{Demo:} Demostremos $(i)\iff (ii)$. En caso $(i)\iff (iii)$ es análogo. Supongamos que $R$ es un anillo de división, entonces dado $0\ne x\in R$, $Rx$ es un ideal por la izquierda de $R$ que contiene a $x$, luego por la proposición anterior $Rx=R$.

Sea $R$ un anillo unitario tal que para todo $0\ne x\in R$, $Rx=R$. Entonces, dado $0\ne a\in R$, $Ra=R$, por lo $Ra$ contiene al elemento unidad de $R$, así, existe $b\in R$ tal que $ab=1$. Como $b\ne 0$ podemos repetir este argumento para $b$ y existe $c\in R$ con $bc=1$. Por último,
$$c=1\cdot c=(ab)c=a(bc)=a\cdot 1=a$$ por lo que $b$ es inversible con inverso $a$ y por tanto $a$ es inversible.
 \hfill$\blacksquare$

\begin{coro}[Ejercicio]\rm
Un anillo conmutativo y unitario $R$ es un cuerpo si y sólo si es simple (sólo posee los ideales triviales).
\end{coro}

Hay ejemplos de anillos simples que no son de división:

\begin{theo}\rm \label{teomatrix} Sea $R$ un anillo y $n\in \mathbb{N}$. Entonces $\cal I$ es
un ideal de ${\cal M}_n(R)$ si y solo si ${\cal I}={\cal M}_n(I)$ para $I$ un ideal de $R$.
\end{theo}

\begin{Proof}  Sea $I$ un ideal de $R$. Entonces ${\cal M}_n(I)$ es un ideal de ${\cal M}_n(R)$:

\noindent $\star$ $({\cal M}_n(I),+)$ es un grupo abeliano: dados $(y_{ij})_{ij=1}^n, (y'_{ij})_{ij=1}^n\in {\cal M}_n(I)$,

\begin{enumerate}
\item[--] $(y_{ij})_{ij=1}^n+ (y'_{ij})_{ij=1}^n=(y_{ij}+y'_{ij})_{ij=1}^n\in {\cal M}_n(I)$.

\item[--] $(0_{ij})_{ij=1}^n\in {\cal M}_n(I)$

\item[--] El opuesto de $(y_{ij})_{ij=1}^n$ es $(-y_{ij})_{ij=1}^n\in {\cal M}_n(I)$
\end{enumerate}

\noindent $\star$ Veamos que es un ideal: dados $(y_{ij})_{ij=1}^n\in {\cal M}_n(I)$ y $(x_{ij})_{ij=1}^n\in {\cal M}_n(R)$,

\begin{enumerate}
\item[--] $(x_{ij})_{ij=1}^n (y_{ij})_{ij=1}^n=(\sum_{k=1}^n x_{ik}y_{kj})_{ij=1}^n\in {\cal M}_n(I)$, ya que $x_{ik}y_{kj}\in I$ para
cualesquiera  $i,j,k\in \{1,2,\cdots,n\}$.

\item[--] $(y_{ij})_{ij=1}^n (x_{ij})_{ij=1}^n=(\sum_{k=1}^n y_{ik}x_{kj})_{ij=1}^n\in {\cal M}_n(I)$, ya que $y_{ik}yx_{kj}\in I$ para
cualesquiera  $i,j,k\in \{1,2,\cdots,n\}$.
\end{enumerate}

Sea ahora $\cal I$ un ideal de ${\cal M}_n(R)$. Veamos que existe un ideal $I$ de $R$ tal que ${\cal I}={\cal M}_n(I)$:  denotemos por
$e_{ij}$ la matriz de ${\cal M}_n(R)$ que tiene un uno en el lugar $ij$ y ceros en el resto.

\noindent $\star$ Dada una matriz $A=(a_{ij})_{ij=1}^n\in {\cal M}_n(R)$, $A=\sum_{ij=1}^n e_{ii}Ae_{jj}$: sólo hay que darse cuenta que
$e_{ii}Ae_{jj}$ es la matriz que tiene a $a_{ij}$ en el lugar $ij$ y ceros en el resto.

\noindent $\star$  Si $Y=(x_{ij})_{ij=1}^n\in {\cal I}$,  y considero $x_{rs}\in R$ la  coordenadas $rs$ de esta matriz, entonces la matriz $A$ que
tiene a $x_{rs}$ en el lugar $r's'$ y ceros en el resto pertenece a $\cal I$: solo hay que darse cuenta que $A=e_{r'r} (x_{rs})_{ij=1}^n
e_{ss'}$.

 Consideremos la
aplicación
$$\pi_{11}: {\cal M}_n(R)\to R\quad \hbox{definida por}\quad \pi((x_{ij})_{ij=1}^n)=x_{11}.$$
 y sea $I=\pi_{11}({\cal I})$ (el conjunto de las coordenadas 11 de cada matriz de ${\cal I}$).

 Veamos que ${\cal I}\subset {\cal M}_n(I)$: dado $Y\in {\cal I}$, por la propiedad segunda, cada coordenada de $Y$ pertenece a $I$.

 Veamos que ${\cal M}_n(I)\subset {\cal I}$: dada una matriz   $A\in{\cal M}_n(I)$, por la propiedad primera, $A=\sum_{ij=1}^n
  e_{ii}Ae_{jj}$ y por la propiedad segunda cada matriz $e_{ii}Ae_{jj}\in {\cal I}$.\EndProof
  \end{Proof}

\begin{coro}\rm
 Sea $R$ un anillo simple y unitario. Entonces para cada $n\in \mathbb{N}$, ${\cal M}_n(R)$ es un anillo simple y unitario. En particular ${\cal M}_n(\mathbb  F)$ es simple (y no es un cuerpo o un anillo de división) para cada cuerpo $\mathbb  F$.
\end{coro}


\section{Subcuerpo primo}

En esta sección vamos a ver que todo cuerpo $\FF$ contiene como subanillo a $\mathbb{Z}_p$ o a $\mathbb  Q$. Más precisamente:

\begin{theo} \label{teosubcuer} Sea $\mathbb  F$ un cuerpo. Entonces:
\begin{enumerate}
\item[$\bullet$] Si $\mathbb  F$ tiene característica cero, $\mathbb{Q}\subset \mathbb{F}$.
\item[$\bullet$] Si $\mathbb  F$ tiene característica $p$, $\mathbb{Z}_p\subset \mathbb{F}$.
\end{enumerate}
A $\mathbb  Q$ o $\mathbb{Z}_p$, con $p$ un número primo,  se les denomina los subcuerpos primos.
\end{theo}


\begin{Proof} Sea la aplicación $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{F}$ definida por $f(n)=1+{\buildrel n \over \cdots}+1=n 1$. Claramente, $f$ es un
homomorfismo de anillos, es más:

$\star$  Si la característica de $\Delta$ es $0$, $f$ es un monomorfismo de anillos, por  lo que aplicado la propiedad fundamental del
cuerpo de fracciones de un dominio de integridad, tenemos que existe $\bar f:\mathbb{Q}\to \mathbb{F}$ un monomorfismo de anillos, por lo que se puede
considerar $\mathbb{Q}$ contenido en $\mathbb{F}$.

$\star$ Si la característica de $\mathbb  F$ es un número $p$, (que sabemos que es un número primo), $\Ker(f)=p\mathbb{Z}$ y por el primer
teorema de Isomorfía $$\mathbb{Z}_p\approx \mathbb{Z}/\Ker(f)\approx \im(f)\subset \mathbb{F}.$$ lo que nos demuestra el teorema.
\EndProof
\end{Proof}

\section{Ideales primos, ideales maximales}

Empecemos este tema estudiando la relación entre los ideales de un anillo $R$ y los ideales de cualquier cociente suyo $R/I$.

\begin{theo}\rm
  Sea $R$ un anillo y sea $I$ un ideal de $R$. Entonces:
  \begin{enumerate}
    \item[$\bullet$] Si $J$ es un ideal de $R$ con $I\subset J\subset R$, entonces $$\overline J=\{\overline x\in R/I\ \vert\ x\in J\}\ \text{es un ideal de}\ R/I$$
    \item[$\bullet$] Si $\cal K$ es un ideal de $R/I$, existe $K$ un ideal de $R$ con $I\subset K\subset R$ tal que $\mathcal{K}=\overline K$.
  \end{enumerate}
  Es más, los item anteriores definen una aplicación biyectiva entre el retículo de los ideales de $R/I$ y el retículo de los ideales de $R$ que contienen a $I$.
  $$\begin{array}{cccc}
    \Phi: & \{J\triangleleft R\ \vert\  I\subset J\subset R\} & \longrightarrow & \{\mathcal{K}\ \vert\  \mathcal{K}\triangleleft R/I\}\\
      & J & \longmapsto & \overline J
  \end{array}$$
\end{theo}

\textbf{Demo:}  $\bullet$ Sea $J$ un ideal de $R$ con $I\subset J$ (realmente esta propiedad solo se usara para demostrar la inyectividad de la aplicación $\Phi$). Demostremos que $\overline J=\{\overline x\in R/I\ \vert\ x\in J\}$ es un ideal de $R/I$.

$\star$ Sean $x,y\in J$ y consideremos  $\overline x,\overline y\in \overline J$. Tenemos entonces que $\overline x+\overline y=\overline{x+y}\in \overline J$.

$\star$ $\overline 0\in \overline J$ y dado $x\in J$, $\overline x\in \overline J$ tiene por opuesto $\overline{-x}\in \overline J$ (ya que $-x\in J$).

$\star$ Sea $a\in R$ y $x\in J$ y consideremos $\overline a\in R/I$ y $\overline x\in J$. tenemos entonces que $\overline{ax}$ y $\overline{xa}\in \overline J$ ya que $ax,xa\in J$.

$\bullet$ Dado $\mathcal{K}$ un ideal de $R/I$ consideremos  $K=\{x\in R\ \vert\  \overline x\in \mathcal{K}\}$. Veamos que $K$ es un ideal de $R$ que contiene a $I$ tal que $\overline K=\mathcal{K}$.

$\star$ Veamos que la suma es interna en $K$: dados $x,y\in K$ tenemos que $\overline x,\overline y\in \mathcal{K}$, por tanto $\overline{x+y}=\overline x+\overline y\in \mathcal{K}$, lo que implica que $x+y\in K$.

$\star$ Es claro que $0\in K$ (ya que $\overline 0\in \mathcal{K}$) y si $a\in K$, $\overline{-a}=-\overline a\in \mathcal{K}$, lo que implica que $-a\in K$.

$\star$ Sea $a\in R$ y $x\in K$. Tenemos entonces que $\overline{a\cdot x}=\overline a\cdot \overline x\in \mathcal{K}$ y $\overline{x\cdot a}=\overline x\cdot \overline a\in \mathcal{K}$, lo que implica que $a\cdot x,x\cdot a\in K$.

$\star$ Por último, si $x\in I$, $\overline x=\overline 0\in R/I$ y por tanto $I\subset K$.

$\star$ Veamos que $\overline K=\mathcal{K}$. Si $\overline x\in \mathcal{K}$, por construcción de $K$ tenemos que $x\in K$, por lo que $\overline x\in \overline K$. Por último, si $\overline x\in \overline K$, existe $y\in K$ tal que $\overline x=\overline y\in \mathcal{K}$.

Por último, veamos que la aplicación $\Phi$ es una aplicación biyectiva que conserva las inclusiones: El apartado primero nos dice que $\Phi$ está bien definida. El apartado segundo nos dice que $\Phi$ es sobreyectiva. Supongamos ahora que $\Phi(K)=\Phi(K')$, veamos que $K=K'$. Sea $x\in K$. Como $\overline x\in \Phi(K)=\Phi(K')$ existe $x'\in K'$ tal que $\overline x=\overline{x'}$, por lo que $x-x'\in I$ y por tanto $x=x'+y\in K'$. De forma similar se demuestra que un elemento de $K'$ está contenido en $K$. \EndProof


\textbf{Nota:} Normalmente, cuando tenemos $R$ un anillo y tenemos $I\subset J$ dos ideales de $R$ al ideal $\overline J$ de $R/I$ se le suele representar por $J/I$ (realmente son anillos isomorfos).

\begin{theo}[Tercer teorema de Isomorfía]\rm \label{teriso} Sea $R$ un anillo e $I\subset J$ dos ideales de $R$. Entonces:
\begin{enumerate}
\item[(i)] $J/I$ es un ideal de $R/I$.
\item[(ii)] $(R/I)/(J/I)\approx R/J$.
\end{enumerate}
\end{theo}

\textbf{Demo:} Por \fullref{el lema}{ejjideal}{} sabemos que $I$ es un ideal de $J$ y por la proposición anterior, como $I$ es un ideal de $R$, $\overline{J}=J/I$ es un ideal de $R/I$, es decir, que todos los cocientes de $(ii)$ tienen sentido. Al igual que el segundo teorema de Isomorfía, vamos a demostrarlo a partir del primer teorema de Isomorfía:

Consideremos las siguientes proyecciones canónicas: $\pi_1:R\to R/I$ y $\pi_2:R/I\to (R/I)/(J/I)$ y sea $f=\pi_2\circ \pi_1$. Por tanto, $f: R\to (R/I)/(J/I)$ con $f(x)=\overline{\bar x}$. Por construcción, $f$ es composición de dos homomorfismos sobreyectivos, por lo que es un homomorfismo sobreyectivo.

Veamos que $\Ker(f)=J$. Sea $x\in J$. Tenemos entonces que $f(x)=\overline{\bar x}$, pero $\overline{\bar x}=\overline{\bar 0}$ ya que $\bar x-\bar 0\in \overline J=J/I$. Por tanto, $x\in \Ker(f)$. Sea ahora $x\in \Ker(f)$. Tenemos entonces que $f(x)=\overline{\bar x}=\overline{\bar 0}$, por tanto $\bar x-\bar 0=\bar x\in J/I$, lo que implica que existe $y\in J$ con $\bar x=\bar y$ y por tanto $x-y=y'\in I$, por lo que $x=y+y'\in J$ (ya que $I\subset J$). Por tanto $\Ker(f)=J$.

En este momento sólo tenemos que aplicar el primer teorema de Isomorfía para demostrar que $R/\Ker(f)\cong\im(f)$, es decir, $R/J\cong (R/I)/(J/I)$. \EndProof

 Los dos últimos resultados importantes de este tema se van a centrar en teoría de anillos unitarios. No obstante las definiciones se harán de forma general.

\begin{defi}\rm \label{defmax} Sea $R$ un anillo. Se dice que un ideal  $I$ de $R$ es maximal si $I\ne R$ y dado cualquier ideal $J$ de $R$ tal que
$I\subset J\subset R$ se tiene que $J=I$ o $J=R$.
\end{defi}

\begin{theo}\rm \label{procomax} Un ideal $I$ de un anillo conmutativo y unitario $R$ es maximal si y solo si el anillo cociente $R/I$ es un cuerpo.
\end{theo}

\begin{Proof} Supongamos que $R/I$ es un cuerpo y sea $J$ un ideal de $R$ distinto de $I$ con $I\subset J$. Entonces, dado $x\in J-I$, $\bar 0\ne
\bar x\in R/I$ y como $R/I$ es un cuerpo, existe $\bar z\in R/I$ tal que $\overline{xz}=\overline 1$. Por tanto, $xz-1=y\in I$ y así,
$1=xz-y\in J$, ya que $xz\in J$ y $y\in I\subset J$. Luego $J=R$ al contener a $1$.

Supongamos que $I$ es un ideal maximal de $R$ y sea $\bar 0\ne \bar x\in R/I$. Tenemos entonces que $x\notin I$. Por otro lado, $Rx$ es un
ideal de $R$ que contiene a $x$ (ya que $R$ es conmutativo y unitario) y por tanto $I+Rx$ es un ideal de $R$ que contiene a $I$ y a $x$,
por lo que, por la maximalidad de $I$, $I+Rx=R$. Así, existe $y\in I$ y $z\in R$ con $y+zx=1$ o lo que es lo mismo, $\bar x\bar z=\bar 1$
en $R/I$. Luego $R/I$ es un anillo conmutativo y unitario en donde todo elemento no nulo tiene inverso, $R/I$ es un cuerpo.\EndProof
\end{Proof}
\begin{defi}\rm \label{defprimo}  Sea $R$ un anillo. Se dice que un ideal  $I$ de $R$ es primo si $I\ne R$ y para todos $x,y\in R$ tales que  $xy\in I$ se tiene que $x\in I$ o $y\in I$.
\end{defi}


\begin{theo}\rm\label{procoprimo}  Un ideal $I$ de un anillo conmutativo y unitario $R$ es primo si y solo si el anillo cociente $R/I$ es un dominio
de integridad.
\end{theo}

\begin{Proof} Supongamos que el anillo cociente $R/I$ es un dominio de integridad y sean $x,y\in R$ con $xy\in I$. Tenemos entonces que $\overline
{xy}=\overline 0$ en el dominio de integridad $R/I$ por lo que o $\bar x=\bar 0$, y así $x\in I$ o $\bar y=\bar 0$, y así $y\in I$.

Supongamos que $I$ es un ideal primo de $R$. Veamos que el anillo cociente $R/I$ es un dominio de integridad. Sean $\bar x,\bar y\in R/I$,
con $\bar x\bar y=\bar 0$. Entonces $\overline{xy}=\bar 0$ y por tanto $xy\in I$. Luego $x\in I$, y así $\bar x=\bar 0$  o $y\in I$, y así
$\bar y=\bar 0$. Así, $R/I$ es un anillo conmutativo y unitario sin divisores de cero.\EndProof
\end{Proof}

\begin{coro}\rm\label{corprimo} Sea $R$ un anillo conmutativo y unitario. Entonces todo ideal maximal de $R$ es primo.
\end{coro}

\begin{Proof} Si $I$ es un ideal maximal de $R$, $R/I$ es un cuerpo y por tanto un dominio de integridad, lo que implica que $I$ es un ideal
primo.\EndProof
\end{Proof}


\vfill\eject
\section{Ejercicios del Tema}
\setcounter{ejj}{0}


\begin{ejj}\rm
  Sea $R$ un anillo y $\approx$ una relación de equivalencia en $R$ tal que en el conjunto cociente $R/\approx$ las siguientes operaciones están bien definidas.
$$
\overline x+\overline y:=\overline{x+y}\qquad \overline x \overline y:=\overline{x y}.
$$
Entonces, $(R/\approx,+,\cdot)$ tiene estructura de anillo.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm  Sean $R$ y $R'$ dos anillos, $I$ un ideal de $R$ y $f:R\to R'$ un homomorfismo de anillos. Demuestra que las siguientes condiciones
son equivalentes:
\item{(i)} $I\subset \Ker(f)$.
\item{(ii)} Existe un único homomorfismo de anillos $\bar f:R/I\to R'$ que hace conmutativo el siguiente diagrama:
\begin{center}
   \begin{tikzpicture}[thick, scale=.7]
\node at (0,3) (a) {$R$};
\node at (5,3) (b) {$R'$};
\node at (0,0) (c) {$R/I$};
\draw[->] (a) to node[above] {$f$} (b);
\draw[->] (a) to node[left] {$\pi$}(c);
\draw[dotted,->] (c) to  node[below right] {$\bar f$}(b);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm  Demuestra que todo anillo unitario $R$ posee ideales maximales:
\begin{enumerate}
  \item[(i)] Demuestra, aplicando el lema de Zorn, que hay elementos maximales
en la familia de los ideales de $R$ que no contienen al $1$.
 \item[(i)] Demuestra que un ideal de esta familia es maximal en $R$
\end{enumerate}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
  Sea $R$ in anillo e $I$ un ideal (ideal por la izquierda, por la derecha) de $R$. Sea $S$ un subanillo de $R$ que contiene a $I$. Entonces $I$ es un ideal (ideal por la izquierda, por la derecha) de $S$.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Un anillo conmutativo y unitario $R$ es un cuerpo si y sólo si es simple (sólo posee los ideales triviales).
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Demuestra que para todo $k\in \mathbb{N}$, $k\mathbb{Z}$ es un ideal de $\mathbb{Z}$. Es más, demuestra que si $I$ es un ideal de $\mathbb{Z}$ existe $n\in \mathbb{N}$ tal que $I=n\mathbb{Z}$.
\end{ejj}


\begin{ejj}\rm
Sea $R$ un anillo  y sea $I$ un ideal de $R$. Demuestra que el núcleo de la proyección canónica $\pi: R\to R/I$ es precisamente $I$.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm Sea $R$ un anillo y $x\in R$. Demuestra que
\begin{enumerate}
\item[(i')] $xR=\{xa\ \vert\ a\in R\}$ es un ideal por la derecha de $R$ (si $R$ es unitario $x\in xR$).
\item[(ii')] $xR+\mathbb{Z}x$ es un ideal por la derecha de $R$ que contiene a $x$. Es más, éste es el ideal por la derecha  más pequeño de $R$ que contiene a $x$.
\end{enumerate}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm Sea $R$ un anillo e $I_1,I_2$ dos ideales por la derecha de $R$. Demuestra que:
\begin{enumerate}
\item[(i)] $I_1\cap I_2$ es un ideal por la derecha de $R$.
\item[(ii)] $I_1+ I_2$ es un ideal por la derecha de $R$.
\item[(iii)] $I_1\cdot I_2:=\{\sum_{i=1}^n y_iy_i'\ \vert\ n\in \mathbb{N}, y_i\in I_1, y_i'\in I_2\}$ es un ideal  por la derecha de $R$.
\end{enumerate}
\end{ejj}


\begin{ejj}\rm Sea $R$ un anillo e $I_1,I_2$ dos ideales  de $R$. Demuestra que:
\begin{enumerate}
\item[(i)] $I_1\cap I_2$ es un ideal de $R$.
\item[(ii)] $I_1+ I_2$ es un ideal de $R$.
\item[(iii)] $I_1\cdot I_2:=\{\sum_{i=1}^n y_iy_i'\ \vert\ n\in \mathbb{N}, y_i\in I_1, y_i'\in I_2\}$ es un ideal de $R$.
\end{enumerate}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm Sea $R$ un anillo e $I$ un ideal por la izquierda (resp. por la derecha) de $R$. Entonces
\begin{enumerate}
  \item[(i)] Si $I$ contiene un elemento inversible  de $R$, $I=R$.
  \item[(ii)] Los únicos ideales por la izquierda (resp. por la derecha) de un anillo de división son los triviales.
\end{enumerate}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
 Sea $R$ un anillo y sea $I$ un ideal de $R$. Demuestra que $I$ es un ideal maximal de $R$ si y sólo si el anillo cociente $R/I$ es simple.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
  ¿Existe algún ideal $\mathcal{I}$ de $\mathcal{R}:=\mathcal{M}_2(\ZZ)$ tal que el cociente $\mathcal{R}/\mathcal{I}$ sea un cuerpo? (demuestra que la matriz $\left(
                                                                       \begin{array}{cc}
                                                                         0 & 1 \\
                                                                         0 & 0 \\
                                                                       \end{array}
                                                                     \right)$ es siempre un elemento no nulo del cociente)


\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
 Demuestra que en $\ZZ$ un ideal $I\ne\{0\}$, es primo si y sólo si es maximal. Encuentra un ideal primo de $\ZZ$ que no sea maximal.
\end{ejj} 