\chapter{Anillos de polinomios}


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\noindent{\sffamily\bfseries Objetivos del cap\'{\i}tulo} $\,$
\begin{itemize}\footnotesize
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\end{itemize}
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\section{Anillos de polinomios sobre anillos arbitrarios}

Aunque ya se han visto los anillos de polinomios sobre un anillo arbitrario $R$, ver \fullref{Proposici\'{o}n}{deanillopol}{}. En este tema vamos a estudiar m\'{a}s en profundidad alguna de sus propiedades.

\begin{prop}[Recordatorio]  Sea $R$ un anillo. Se define el anillo de series formales sobre $R$ y se representa por $R[[X]]$ como:\index{Anillo! de series formales}
$$R[X]:=\{f:\mathbb{N}\to R\}\quad \hbox{supondremos en este caso que } 0\in \mathbb{N}$$
con suma y producto dado por:
\begin{enumerate}
\item Suma: $(f+g)(k):=f(k)+g(k)$.
\item Producto: $(f.g)(k):=\sum_{i=0}^k f(i)g(k-i)$
\end{enumerate}
\end{prop}


\begin{prop}[Recordatorio]
  Sea $R$ un anillo. Se define el anillo de polinomios con coeficientes en $R$, y se denota por $R[X]$ como el subanillo de $R[[X]]$,\index{Anillo! de polinomios}
  $$R[X]:=\{f:\mathbb{N}\to R\ \vert\ f(i)=0\hbox{ casi para todo } i\}$$
\end{prop}

Aunque \'{e}sta es la definici\'{o}n formal de anillo de polinomios, normalmente se representan como:

$$R[X]:=\{a_0+a_1 X+\cdots a_n X^n\ \vert\ n\in \mathbb{N},\ a_i\in R\}$$

En donde $p(X)=a_0+a_1 X+\cdots a_n X^n$ nos representa la funci\'{o}n $f:\mathbb{N}\to R$ definida por

$$f(k):=\left\{
  \begin{array}{ll}
    a_k, & k\le n \\
    0, & k>n
  \end{array}
\right.$$


\begin{defi}
  Sea $R$ un anillo y $R[X]$ el anillo de polinomios con coeficientes en $R$. Dado $p(X)=a_0+a_1 X+\cdots a_n X^n\in R[X]$ se dice que los $a_i$ son los coeficientes del polinomio siendo,  $a_k$, el coeficiente que acompa\~{n}a a $X^k$ el coeficiente $k$-\'{e}simo de $p(X)$. Se define el grado de un polinomio no nulo $p(X)\in R[X]$ y se representa por $\dg(P(X))$ como el mayor $k\in \mathbb{N}$ tal que $a_k\ne 0$. Se dice que un polinomio es constante si tiene grado cero. Se dice que un polinomio es m\'{o}nico si su coeficiente de mayor grado es $1$.
\end{defi}

\textbf{Nota:} Observar que, por construcci\'{o}n, dos polinomios son iguales si y s\'{o}lo si coinciden coeficiente a coeficiente.

\begin{prop}
  Sea $R$ un anillo. Entonces:
  \begin{enumerate}
    \item Si $R$ es unitario, $R[X]$ es unitario.
    \item Si $R$ es conmutativo, $R[X]$ es conmutativo.
    \item  Si $p(X),q(X)\in R[X]$ y el coeficiente de mayor grado de $p(X)$ no es un divisor de cero, entonces $$\dg(p(X))\cdot q(X))=\dg(p(X))+\dg(q(X)).$$
    \item Si $R$ es un dominio de integridad:
    \begin{enumerate}
      \item Si $p(X),q(X)\in R[X]$, entonces $\dg(p(X))\cdot q(X))=\dg(p(X))+\dg(q(X)).$
      \item  $R[X]$ es un dominio de integridad.
      \item Los elementos inversibles de $R[X]$ son los polinomios constantes $p(X)=a$ con $a\in \inv(R)$
    \end{enumerate}

  \end{enumerate}
\end{prop}


\textbf{Nota:} Que el grado del producto sea la suma de los grados no tiene que darse. As\'{\i}, si consideramos $\mathbb{Z}_6[X]$, el anillo de los polinomios con coeficientes en $\mathbb{Z}_6$ y consideramos $p(X)=1+2X^2$, $q(X)=1+3X^4$ tenemos que $p(X)\cdot q(X)=1+2X^2+3X^4$ por lo que $$\dg( p(X)\cdot q(X))=4\ne 6=\dg(p(X))+\dg(q(X))$$


Al igual que en el caso de los enteros nos encontramos aqu\'{\i} con un algoritmo de la divisi\'{o}n para polinomios sobre anillos arbitrarios:

\begin{theo}[Algoritmo de la divisi\'{o}n]
  Sea $R$ un anillo y sea $p(X), q(X)\in R[X]$ supongamos que el coeficiente de mayor grado de $q(X)$ es inversible en $R$. Entonces existen dos \'{u}nicos polinomios $c(X)$ y $r(X)\in R[X]$ tales que $$p(X)=c(X)q(X)+r(X)\ \text{ con } r(X)=0\ \text{o}\ \dg(r(X))<\dg(q(X))$$
\end{theo}


\section{Anillos de polinomios sobre anillos conmutativos.}

En toda esta secci\'{o}n vamos a trabajar con anillos conmutativos, lo que nos va a permitir hablar de homomorfismo evaluaci\'{o}n y factorizaci\'{o}n de polinomios.


\begin{defi}
  Sea $R$ un anillo conmutativo y sea $R[X]$ el anillo de polinomios con coeficientes en $R$. Sea $a\in R$ y $p(X)=a_0+a_1 X+\cdots a_n X^n\in R[X]$. Se define la evaluaci\'{o}n de $p(X)$ en $a$ y se representa por $p(a)$ como:
  $$p(a):=a_0+a_1 a+\cdots a_n a^n\in R$$
\end{defi}

\begin{theo}
  Sea $R$ un anillo y sea $a\in R$. Entonces la aplicaci\'{o}n $$\Phi_a:R[X]\to R\ \text{ definida por } \Phi_a(p(X)):=p(a)$$
  en un epimorfismo de anillos, llamado el homomorfismo de evaluaci\'{o}n asociado al $a$.
\end{theo}


\begin{theo}[Teorema del Resto]
  Sea $R$ un anillo conmutativo y unitario y sea $a\in R$. Sea $p(X)\in R[X]$. Entonces el resto de dividir $p(X)$ por $X-a$
es $p(a)$.
\end{theo}

\begin{coro}
Sea $R$ un anillo conmutativo y unitario y sea $a\in R$. Entonces el n\'{u}cleo del homomorfismo evaluaci\'{o}n $\Phi_a$ es el ideal de $R[X]$ generado por $X-a$.
\end{coro}


\begin{defi}
  Sea $R$ un anillo conmutativo y unitario y sea $p(X)\in R[X]$. Se dice que un elemento $a\in R$ es una ra\'{\i}z de $p(x)$ si $p(a)=0$.
\end{defi}

\begin{theo}
  Sea $R$ un dominio de integridad. Entonces  un polinomio $p(X)\in R[X]$ de grado $n$ tiene a lo sumo $n$ ra\'{\i}ces distintas.
\end{theo}

\section{Anillos de polinomios sobre cuerpos.}

\subsection{Cuerpos en general}
Nos vamos a centrar en estudiar en esta secci\'{o}n los anillos de polinomios sobre un cuerpo $\mathbb F$. Por el momento sabemos que:
 \begin{itemize}
  \item[$\bullet$] $\mathbb{F}[X]$ es un dominio de integridad.
 \item[$\bullet$] Tenemos un algoritmo de la divisi\'{o}n para elementos de $\FF[X]$.
\item[$\bullet$] un polinomio $p(X)\in \FF[X]$ es inversible si y s\'{o}lo si es constante y no nulo.
 \item[$\bullet$] Para cada $a\in \mathbb F$ tenemos asociado un epimorfismo de anillos, el homomorfismo de evaluaci\'{o}n, $\Phi_a:\mathbb{F}[X]\to \mathbb{F}$ con $\Phi_a(p(X))=p(a)$.
\item[$\bullet$] Un polinomio $p(X)$ de grado $n$ tiene a lo sumo $n$ ra\'{\i}ces en $\FF$.
\end{itemize}

Veamos que en este contexto tambi\'{e}n podemos dar un teorema de factorizaci\'{o}n (al igual que en el caso de $\ZZ$).

\begin{defi}
  Sea $\FF$ un cuerpo y $\FF[X]$ el anillo de polinomios con coeficientes en $\FF$. Diremos que un polinomio $p(X)\in \FF[X]$ es irreducible si:
\begin{enumerate}
  \item[(i)] $\dg(p(X))\ne 0$.
\item[(ii)] Si $p(X)=r(X)\cdot s(X)$ entonces $\dg(s(X))=0$ o $\dg(R(X))=0$.
\end{enumerate}
\end{defi}

\textbf{Nota:} Los polinomios irreducibles irreducibles en $\FF[X]$ van a jugar el papel de los n\'{u}meros primos en $\ZZ$. En este caso la condici\'{o}n (i) nos dice que un irreducible no es cero o una unidad (recordar que los n\'{u}meros primos son $\vert p\vert\ge 2$. La condici\'{o}n (ii) nos dice que si un polinomio es irreducible y es producto de dos polinomios, uno de ellos es inversible (y por tanto un elemento no nulo de $\FF$).

Nos vamos a preocupar de dar distintos criterios a lo largo de la secci\'{o}n que nos asegure cuando un polinomio $p(X)$ es irreducible (problema que puede ser muy complicado para ciertos polinomios sobre ciertos cuerpos).

\begin{theo}[Primer criterio de irreducibilidad]
  Sea $\FF$ un cuerpo y $p(X)\in \FF[X]$. Entonces:
\begin{enumerate}
  \item[(i)] Si $\dg(p(X))=1$, $p(X)$ es irreducible.
  \item[(ii)]  Si $p(X)$ es irreducible con $\dg(p(X))>1$, $p(X)$ no tiene ra\'{\i}ces sobre $\FF$.
\item[(iii)] Si $\dg(p(X))=2$ o $3$, $p(X)$ es irreducible si y s\'{o}lo si no posee ra\'{\i}ces en $\FF$.
\end{enumerate}
\end{theo}

\subsection{Sobre el cuerpo de los complejos y de los reales}

Por primera y \'{u}nica vez en esta asignatura vamos a enunciar y utilizar un resultado sin demostrarlo previamente. Dicho resultado se denomina, curiosamente, el Teorema Fundamental del \'{a}lgebra. Es un resultado, f\'{a}cil de entender, dif\'{\i}cil de demostrar (curiosamente las demostraciones de este teorema suelen hacer uso de teor\'{\i}as procedentes del an\'{a}lisis matem\'{a}tico). En cualquier caso este resultado nos va a ser muy \'{u}til ya que va a permitir caracterizar  los polinomios irreducibles sobre $\CC$ y tener un amplio conocimiento sobres los polinomios irreducibles sobre $\RR$.

\begin{defi}
  Se dice que un cuerpo $\FF$ es algebraicamente cerrado si dado $p(x)\in \FF[X]$ con $\dg(p(X)\ge1$ se tiene que $p(X)$ tiene una ra\'{\i}z en $\FF$.
\end{defi}

\begin{theo}[Teorema fundamental del \'{a}lgebra]
  El cuerpo de los complejos es algebraicamente cerrado.
\end{theo}

\begin{coro}
  Sea $\CC$ el cuerpo de los complejos. Entonces
\begin{enumerate}
  \item[(i)] Todo polinomio $p(X)\in \CC[X]$ se factoriza como producto de polinomios de grado 1. Es decir, existen $a, \alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_n\in \CC$ tales que $$p(X)=a(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)\cdot (X-\alpha_n)$$ en donde $a$ es el coeficiente de mayor grado de $p(X)$ y $\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_n$ son las ra\'{\i}ces de $p(X)$ en $\CC$.
  \item[(ii)] Un polinomio $p(X)\in \CC[X]$ es irreducible sobre $\CC$ si y s\'{o}lo si $\dg(p(X))=1$.
\end{enumerate}
\end{coro}

Esto nos da la posibilidad de describir los polinomios irreducibles sobre $\RR$.

\begin{coro}
  Sea $\RR$ el cuerpo de los reales. Entonces
\begin{enumerate}
  \item[(i)] Todo polinomio $p(X)\in \RR[X]$ se factoriza como producto de polinomios de grado 1 o 2. Es decir, $$p(X)=a(X-\alpha_1)\cdots (X-\alpha_s)(X^2+\beta_1 X+\gamma_1)\cdots (X^2+\beta_r X+\gamma_r)$$ en donde $a$ es el coeficiente de mayor grado de $p(X)$ y $\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_k$ son las ra\'{\i}ces de $p(X)$ en $\RR$.
  \item[(ii)] Un polinomio $p(X)\in \RR[X]$ es irreducible si y s\'{o}lo si
\begin{itemize}
  \item $\dg(p(X))=1$ o,
  \item $\dg(p(X))=2$, $p(X)=\alpha X^2+\beta X+\gamma$ con $\beta^2-4\alpha \gamma<0$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{coro}

\subsection{Sobre el cuerpo de los racionales}

La situaci\'{o}n sobre el cuerpo de los racionales es extremadamente m\'{a}s compleja. Como veremos, vamos a poder encontrar polinomios irreducibles sobre $\QQ$ de cualquier grado. No obstante, veamos que unas cuantas cosas si que se pueden decir.

\textbf{Nota:} Observar que dado un polinomio $p(X)\in \QQ[X]$ siempre podemos encontrar unos enteros $a, b_0, b_1,\dots,b_n$ tales que
$$p(X)=a^{-1}(b_0+b_1X+\cdots+b_n X^n).$$
Simplemente podemos tomar $a$ como el denominador com\'{u}n para todos los coeficientes racionales de $p(X)$. Es m\'{a}s, como las nociones que estamos tratando ( ra\'{\i}ces, irreducibilidad, etc) no dependen de trabajar con un polinomio $p(x)$ o con un m\'{u}ltiplo escalar suyo, $ap(X)$, en la mayor\'{\i}a de los enunciados podremos suponer que el polinomio en cuesti\'{o}n tiene coeficientes enteros.

\begin{prop}
 Sea $p(X)=a_0+a_1X+\cdots a_n X^n\in \ZZ[X]$ y sean $a,b\in \ZZ$  tales que  $\mcd(a,b)=1$. Supongamos que  $a/b\in \QQ$ es una ra\'{\i}z de $p(X)$. Entonces  $a_0$ es divisible por $a$ y $a_n$ es divisible por $b$.
\end{prop}



\begin{prop}
  Sea $\ZZ$ el anillo de los enteros y sea $k\in \ZZ$. Entonces la aplicaci\'{o}n
$\Psi_k:\ZZ[X]\to \ZZ_k[X]$ con $\Psi(a_0+a_1X+\cdots+a_n X^n)=\overline{a_0}+\overline{a_1}X+\cdots+\overline{a_n} X^n$ es un epimorfismo de anillos.

\textbf{Nota:} Normalmente denotaremos por $\overline{p(X)}$ a la imagen de $p(X)\in \ZZ[X]$ por $\Psi_k$. Es decir, $\Psi_k(p(X)):=\overline{p(X)}$
\end{prop}

\begin{theo}[Lema de Gauss]
  Sea $\ZZ$ el anillo de los enteros y sea $p\in \ZZ$ un n\'{u}mero primo. Sean $g(X),h(X)\in\ZZ[X]$ y $f(X)=g(X)\cdot h(X)$. Supongamos que $p$ divide a todos los coeficientes de $f(X)$. Entonces $p$ divide a todos los coeficientes de $g(X)$ o $p$ divide a todos los coeficientes de $h(X)$.
\end{theo}


\begin{defi}
  Sea $p(X)\in \ZZ(X)$ un polinomio. Se dice que $p(X)=g(X)\cdot h(X)$ es una factorizaci\'{o}n propia de $p(X)$ si  $\dg(g(X))\ge 1$ y $\dg(h(X))\ge 1$.
\end{defi}

\begin{theo}
 Sea $p(X)\in \ZZ[X]$. Entonces $p(X)$ es un polinomio irreducible en $\QQ[X]$ si y s\'{o}lo si no admite factorizaciones propias en $\ZZ[X]$.
\end{theo}

\begin{theo}[criterio de irreducibilidad modular]
Sea $\ZZ$ el anillo de los enteros y sea $0\ne f(X)\in \ZZ[X]$. Supongamos que existe un n\'{u}mero primo $p\in \ZZ$ tal que:
\begin{enumerate}
  \item[$\bullet$] $p$ no divide al coeficiente de mayor grado de $f(X)$
  \item[$\bullet$] $\overline{f(X)}$ es un polinomio irreducible en $\ZZ_p[X]$.
\end{enumerate}
Entonces $f(X)$ es un polinomio irreducible sobre $\QQ[X]$.
\end{theo}

\begin{theo}[criterio de irreducibilidad de Eisenstein]
Sea $\ZZ$ el anillo de los enteros y sea $f(X)=a_0+a_1 X+\cdots+a_n X^n\in \ZZ[X]$ un polinomio de grado $n\ge 1$. Supongamos que existe un n\'{u}mero primo $p\in \ZZ$ tal que:
\begin{enumerate}
  \item[$\bullet$] $p$ no divide a $a_n$
  \item[$\bullet$] $p$ divide a $a_0,a_1,\dots, a_{n-1}$.
  \item[$\bullet$] $p^2$  no divide a $a_0$.
\end{enumerate}
Entonces $f(X)$ es un polinomio irreducible sobre $\QQ[X]$.
\end{theo}


\subsection{Factorizaci\'{o}n de polinomios}

En esta sub-secci\'{o}n vamos a ver que el anillo de polinomios sobre un cuerpo $\FF$ se comporta, con respecto a la factorizaci\'{o}n, de forma bastante parecida que el anillo de los enteros $\ZZ$.

Vamos a empezar demostrando la existencia de un m\'{a}ximo com\'{u}n divisor en el anillo de polinomios $\FF[X]$ con $\FF$ un cuerpo.

\begin{defi}
Sea $\FF$ un cuerpo y $\FF[X]$ el anillo de polinomios con coeficientes en $F$. Sean $p(X)$, $q(X)$ dos polinomios de $\FF[X]$ con $p(X)\ne 0$. Se define el m\'{a}ximo com\'{u}n divisor de $p(X)$ y $q(X)$ en $\FF[X]$ como un polinomio $d(X)\in \FF[X]$ tal que:
\begin{enumerate}
  \item[$\bullet$] $d(X)$ es un polinomio m\'{o}nico.
  \item[$\bullet$] $d(X)$ divide a $p(X)$ y a $q(X)$.
  \item[$\bullet$] Si $h(X)\in \FF[X]$ divide a $p(X)$ y a $q(X)$, entonces $d(X)$ divide a $h(X)$.
 \end{enumerate}
\end{defi}


\begin{prop}
  Sea $\FF$ un cuerpo y $\FF[X]$ el anillo de polinomios con coeficientes en $F$. Sean $p(X)$, $q(X)$ dos polinomios de $\FF[X]$ con $p(X)\ne 0$. Entonces:
\begin{enumerate}
  \item[(i)] existe y el \'{u}nico el m\'{a}ximo com\'{u}n divisor de $p(X)$ y $q(X)$ que denotaremos por $\mcd(p(X),q(X))$.
  \item[(ii)] Existen $r(X),s(X)\in \FF(X)$ tales que $$\mcd(p(X),q(X))=r(X)\cdot p(X)+s(X)\cdot q(X)$$
 \end{enumerate}
\end{prop}

\begin{prop}
  Sea $\FF$ un cuerpo y $\FF[X]$ el anillo de polinomios con coeficientes en $F$. Sean $p(X), f_1(X),f_2(X),\dots,f_n(X)$ tales que $p(X)$ es  irreducible sobre $\FF$ y divide al producto $f_1(X)\cdot f_2(X)\cdots  f_n(X)$. Entonces $p(X)$ divide a alguno de los $f_i(X)$.
\end{prop}

\begin{theo}[Teorema de factorizaci\'{o}n \'{u}nica]
 Sea $\FF$ un cuerpo y $\FF[X]$ el anillo de polinomios con coeficientes en $F$. Entonces, dado un polinomio no constante $f(X)\in \FF[X]$ existen unos \'{u}nicos polinomios irreducibles y m\'{o}nicos $p_1(X),p_2(X),\dots,p_k(X)$, salvo el orden, tales que
$$f(X)=a_n(p_1(X)\cdot p_2(X)\cdots p_k(X))$$ en donde $a_n$ es el coeficiente de mayor grado de $f(X)$.
\end{theo}

\section{Ideales y cocientes en $\FF[X]$}

\subsection{Ideales en $\FF[X]$}
En esta \'{u}ltima secci\'{o}n del tema vamos a estudiar como son y que propiedades tienen los ideales del anillo de polinomios sobre un cuerpo $\FF$. Como postre vamos a estudiar los anillos cocientes en $\FF[X]$.

Recordamos que dado un elemento $p(X)\in \FF[X]$, el ideal generado por $p(X)$ es,
 $$<p(X)>=\{f(X)\cdot p(X)\ \vert f(X)\in \FF[X]\}=\FF[X]\cdot p(X)$$
es decir, el conjunto de todos los polinomios que son divisibles por $p(X)$. Llamado el ideal principal generado por $p(X)$.

\begin{theo}
  Sea $\FF$ un cuerpo y $\FF[X]$ el anillo de polinomios con coeficientes en $F$. Sea $I$ un ideal de $\FF[X]$. Entonces existe un \'{u}nico polinomio $p(X)\in \FF[X]$ m\'{o}nico tal que $I=<p(X)>$. Es decir, todo ideal de $\FF[X]$ es principal.
\end{theo}


\begin{theo}
  Sea $\FF$ un cuerpo y $\FF[X]$ el anillo de polinomios con coeficientes en $F$. Sea $I=<p(X)>$ un ideal de $\FF[X]$. Las siguientes condiciones son equivalentes:
\begin{enumerate}
  \item[(i)] $p(X)$ es un polinomio irreducible de $\FF[X]$.
  \item[(ii)] $\FF[X]/I$ es un cuerpo.
  \item[(ii)] $I$ es un ideal maximal de $\FF[X]$.
  \item[(ii)] $I$ es un ideal primo de $\FF[X]$.
 \item[(ii)] $\FF[X]/I$ es un dominio de integridad.
\end{enumerate}
\end{theo}


\subsection{Cocientes en $\FF[X]$}

Vamos a estudiar ahora como son los cocientes en $\FF[X]$. Sea $I$ un ideal de $\FF[X]$ ?`Quien es $\FF[X]/I$?. Sabemos que existe un \'{u}nico polinomio m\'{o}nico $f(X)\in\FF[X]$ tal que $I=<f(X)>$. Supongamos que $f(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1X+a_0$.

$\bigstar$ Veamos que todo polinomio de $\FF[X]$ es congruente a un polinomio de grado menor que $n$ modulo $I$. Es decir, que dado $p(X)\in \FF[X]$ existe $q(X)\in \FF[X]$  con $\dg(q(X)<n$ tal que $\overline{f(X)}\equiv \overline{q(X)}$ en $\FF[X]/I$:

Demostremos, por inducci\'{o}n, que toda potencia de $X$ mayor que $n$ es congruente a un polinomio de grado menos que $n$ modulo $I$.
Tenemos que en el anillo cociente $\overline 0\equiv \overline{f(X)}=\overline{X^n}+\overline{a_{n-1}X^{n-1}}+\cdots+\overline{a_1X}+\overline{a_0}$, por lo que $$\overline{X^n}=-(\overline{a_{n-1}X^{n-1}}+\cdots+\overline{a_1X}+\overline{a_0})\in \FF[X]/I$$

Supongamos ahora que $X^{k-1}\equiv \overline{b_{n-1}X^{n-1}}+\cdots+\overline{b_1X}+\overline{b_0}$ modulo $I$. Entonces,
\begin{align*}
X^k&\equiv  X\cdot X^{k-1}\equiv X\cdot (\overline{b_{n-1}X^{n-1}}+\cdots+\overline{b_1X}+\overline{b_0})=\overline{b_{n-1}X^{n}}+\cdots+\overline{b_1X^2}+\overline{b_0X}\cr
&\equiv -b_{n-1}(\overline{a_{n-1}X^{n-1}}+\cdots+\overline{a_1X}+\overline{a_0})+b_{n-2}X^{n-1}+\cdots+\overline{b_1X^2}+\overline{b_0X}
\end{align*}

Por tanto tenemos que $\FF[X]/I=\{\overline{q(X)}\ \vert \deg(q(X))<n\}$. Es m\'{a}s, ning\'{u}n polinomio de grado menor que $n$ puede ser congruente a cero modulo $I$, por lo que en este conjunto todos los representantes son distintos. Por ultimo, la suma es componente a componente y el producto sigue las reglas anteriores (si en un producto alguna potencia es mayor que $n$, se sustituye por su congruente de grado menor).

\begin{ejem}
  Sea $\RR$ es cuerpo de los reales y sea $p(X)=X^2+1\in \RR[X]$. Calculemos quien es $\RR[X]/<p(X)>$. En primer lugar, como $p(X)$ es un polinomio irreducible de $\RR[X]$, El anillo cociente $\RR[X]/<p(X)>$ es un cuerpo.

Los elementos de $\RR[X]/<p(X)>$ son de la forma $\{\overline{ax}+\overline b\ \vert \ \text{con} a,b\in \RR\}$. La suma es componente a competente y el producto es  $$(ax+\overline b)\cdot (cx+ d)=ac X^2+(ad+bc)X+bd\equiv (ad+bc)X+bd-ac$$
Ya que $\overline{X}\equiv -1$ modulo $I$. Por tanto este cociente no es mas que el cuerpo de los complejos.
\end{ejem}


\vfill\eject
\section{Ejercicios del Tema}





































