\chapter{Algunos dominios de integridad}


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\noindent{\sffamily\bfseries Objetivos del cap\'{\i}tulo} $\,$
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\section{Definiciones del tema}


Hemos estudiado a lo largo del curso dos anillos de integridad: $\ZZ$, el anillo de los enteros,  y $\FF[X]$ con
$\FF$ un cuerpo, el anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo, que adem\'{a}s de ser dominios de integridad
tienen una propiedad muy curiosa: todo elemento se escribe ``de forma \'{u}nica" como producto de ``primos". En este tema
vamos a estudiar dominios de integridad con esta propiedad, los dominios de factorizaci\'{o}n \'{u}nica.


\begin{defi} Sea $D$ un dominio de integridad. Se dice que $u\in D$ es una unidad si $u$ es un elemento inversible de
$D$. Dados $a,b\in D$. Se dice que $a$ divide a $b$ y se representa $a\vert b$ si existe $c\in D$ tal que $b=ac$.
\end{defi}

\begin{propi} Sea $D$ un dominio de integridad y sean $a,b,c\in D$. Entonces:
\begin{enumerate}
\item[(i)] $a \vert a$.
\item[(ii)] Si $a\vert b$ y $b\vert c$, entonces $a\vert c$.
\item[(iii)] Si $a\vert b$ y $a\vert c$, entonces $a\vert xb+yc$ para todo $x,y\in \ZZ$.
\end{enumerate}
\end{propi}

\begin{propi} Sea $D$ un dominio de integridad y sean $a,b\in D$. Las siguientes condiciones son
equivalentes:
\begin{enumerate}
\item[(i)] $a\vert b$ y $b\vert a$.
\item[(ii)] Existe $u\in D$ una unidad tal que $a=ub$.
\item[(iii)] $Da=Db$ (El ideal generado por $a$ coincide con el ideal generado por $b$).
\end{enumerate}
\end{propi}

\begin{defi}
 Si $a,b$ verifican las condiciones anteriores, se dice que $a$ y $b$ son asociados y se representa por $a\sim b$.
\end{defi}

\begin{coro}  Sea $D$ un dominio de integridad. Entonces la relaci\'{o}n $\sim$ es de equivalencia.\end{coro}

\begin{defi} Sea $D$ un dominio de integridad. Se dice que un elemento $p\in D$ es irreducible si:
\begin{enumerate}
\item[(i)] $p$ no es una unidad ni es cero.
 \item[(ii)] Si $p=ab$ con $a,b\in D$, entonces  $a$ o $b$ es una unidad de $D$.
\end{enumerate}
\end{defi}

\begin{ejem}
 Los n\'{u}meros primos de $\ZZ$ o los polinomios irreducibles de $\FF[X]$, con $\FF$ un
cuerpo, son irreducibles.
\end{ejem}

\begin{theo} Sea $D$ un dominio de integridad y sea $0\ne p\in D$ que no es unidad. las siguientes condiciones
son equivalentes:
\begin{enumerate}
\item[(i)] $p$ es irreducible.
\item[(ii)] Si $d\vert p$, entonces $d$ es inversible  o $d\sim p$.
\item[(iii)] Si $p=ab$ entonces $p\sim a$ o  $p\sim b$.
\end{enumerate}
\end{theo}

\begin{coro}\label{coroII} Sea $D$ un dominio de integridad y sean $a,b\in D$ con $a$ irreducible. Entonces si $b\sim a$,
$b$ es irreducible. \end{coro}

\begin{defi} \label{decca} Se dice que un dominio de integridad verifica la condici\'{o}n de cadena ascendente (C.C.A.) para sus
ideales principales si toda cadena de ideales principales,
$$Da_1\subset Da_2\subset\cdots\subset Da_n\subset \cdots$$ es estacionaria. Es decir, existe $k\in {\NN}$ tal que $Da_k=Da_{k+s}$
para todo $s\in {\NN}$.
\end{defi}

\begin{theo}
Sea $D$ un dominio de integridad que satisface C.C.A. para sus ideales principales. Entonces todo
elemento de $D$ se puede escribir como producto de elementos irreducibles.
\end{theo}

\section{Dominios de factorizaci\'{o}n \'{u}nica (DFU)}

\begin{defi} \label{dedfu} Se dice que un dominio de integridad $D$ es un dominio de facto\-ri\-zaci\'{o}n \'{u}nica si para todo
elemento no nulo $a\in D$, con $a$ no inversible se tiene:
\begin{enumerate}
\item[(i)]  $a$  se factoriza como producto de irreducibles.
\item[(ii)] Si $a=p_1\cdots p_r=q_1,\cdots q_s$ con $p_i,q_i$ irreducibles, entonces $r=s$ y existe $\sigma\in S_r$ (el
grupo de permutaciones con $r$ elementos) tal que $p_i$ es asociado a $q_{\sigma(i)}$ para $i=1,2,\dots,r$.
\end{enumerate}
\end{defi}

\textbf{ Nota:} Sabemos que ${\ZZ}$ y $\FF[X]$ son DFU.

\begin{defi}  \label{deprimo} Sea $D$ un dominio de integridad. Se dice que un elemento $p\in D$ es primo si para todo par de
elementos $a,b\in D$, si $p\vert ab$ entonces $p\vert a$ o $p\vert b$.
\end{defi}


\begin{lema} Sea $D$ un dominio de integridad y sean $p,a_1,\dots, a_n\in D$. Supongamos que $p$ es primo y divide a
$a_1a_2\cdots a_n$. Entonces existe $k\in \{1,2,\dots, n\}$ tal que $p\vert a_k$.\end{lema}

\begin{theo} \label{theoIII} En un dominio
de integridad $D$ los elementos primos son irreducibles. Es m\'{a}s, si $D$ es un DFU, se tiene el rec\'{\i}proco.
\end{theo}


\begin{theo} \label{theoIV}Sea $D$ un dominio de integridad. Las siguientes condiciones son equivalentes:
\begin{enumerate}
\item[(i)] $D$ verifica CCA y  todo elemento  irreducible de $D$ es primo.
\item[(ii)] $D$ es un DFU.
\end{enumerate}
\end{theo}


\begin{prop} \label{proI} Sea $D$ un dominio de factorizaci\'{o}n \'{u}nica. Sea $a\in D$ que factoriza como producto de primos
$a=p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}$, con $n_i\in {\NN}$. Entonces los divisores de $a$, salvo asociados, son de la forma
$p_1^{m_1}\cdots p_k^{m_k}$, con $m_i\le n_i$.
\end{prop}

\begin{defi} \label{demcd} Sea $D$ un DFU. y sean $a_1,a_2,\dots, a_n\in D$.

$\star$ Se define el m\'{a}ximo com\'{u}n divisor de $a_1,\dots, a_n$ y se representa por $$m.c.d(a_1,a_2,\dots, a_n)$$  a
cualquier $d\in D$ con las siguientes propiedades:
\item[(i)] $d\vert a_i$ para $i=1,2,\dots, n$.
\item[(ii)] Si $r\vert  a_i$ para $i=1,2,\dots, n$, entonces $r\vert d$.

$\star$ Se define el  m\'{\i}nimo com\'{u}n m\'{u}ltiplo de $a_1,\dots, a_n$ y se representa por $$\MCM(a_1,a_2,\dots, a_n)$$  a
cualquier $ d' \in D$ con las siguientes propiedades:
\item[(i)] $a_i\vert d$ para $i=1,2,\dots, n$.
\item[(ii)] Si $a_i\vert  r$ para $i=1,2,\dots, n$, entonces $d\vert r$.
\end{defi}

\begin{prop}
El m\'{a}ximo com\'{u}n divisor y el m\'{\i}nimo com\'{u}n m\'{u}ltiplo, si existen, son \'{u}nicos salvo asociados.
\end{prop}

\begin{theo} \label{themcd} Sea $D$ un dominio de factorizaci\'{o}n \'{u}nica y sean $a_1,\dots, a_n\in D$ no nulos ni unidades. Sean
$p_1,\dots, p_k$ elementos primos de $D$ tales que para cada $i\in \{1,\dots, n\}$, $a_i=p_1^{n_1^i}\cdots
p_k^{n_k^i}$. Entonces:
\begin{enumerate}
\item[(i)] $m.c.d(a_1,a_2,\dots, a_n)$ consiste en el producto de los primos comunes con el menor exponente.
\item[(ii)] $\MCM(a_1,a_2,\dots, a_n)$ consiste en el producto de los primos comunes y no comunes con el mayor
exponente.
\end{enumerate}
Por tanto, dados $a,b\in D$ no nulos ni unidades, $$a\ b=m.c.d(a,b)\ \MCM(a,b).$$
\end{theo}


\textbf{ Nota:} El teorema de Bezout no se tiene que verificar para DFU.

\begin{theo}\label{thefinal} Si $D$ es un DFU, entonces $D[X]$ es un DFU.\end{theo}


\section{Dominios de ideales principales (DIP)}



Sea $D$ un dominio de integridad, o m\'{a}s generalmente, sea $D$ un anillo conmutativo y unitario.   Sabemos entonces que
dado $a\in D$ el ideal generado por $a$   es $Da$. (en un anillo arbitrario $R$ es $<a>=RaR+Ra+aR+\ZZ a$).

\textbf{ Nota:} Durante esta secci\'{o}n denotaremos indistintamente al ideal generado por $a$ como $Da$ o $<a>$.

\begin{defi}\label{deprin} Se dice que un dominio de integridad $D$ es un dominio de ideales principales (DIP) si todo ideal de
 $D$ es principal, es decir, si $I$ es un ideal de $D$, existe $a\in I$ tal que $I=Da$.
\end{defi}

\textbf{ Nota:} Sabemos que $\ZZ$ y ${\FF}[X]$ con ${\FF}$ un cuerpo son dominios de ideales principales: Los
ideales de $\ZZ$ son de la forma $n{\ZZ}$ para $n\in {\NN}$ y si $I$ es un ideal de ${\FF}[X]$ y $p(x)$ es
un polinomio de $I$ con grado m\'{\i}nimo, entonces $I=<p(x)>$.

\begin{prop} \label{propI} Todo DIP verifica CCA para sus ideales.\end{prop}

\begin{prop} \label{propII} En un DIP los elementos irreducibles son primos.\end{prop}

\begin{theo} \label{tehoIJ} Todo DIP es un DFU.\end{theo}

\begin{prop} \label{prio} Sea $D$ un DIP y sean $a_1,\dots, a_n\in D$ no nulos ni inversibles. Entonces:

\begin{enumerate}
\item[(i)] $d=m.c.d (a_1,\dots,a_n)$ si y s\'{o}lo si $Da_1+Da_2+\cdots+Da_n=Dd$.
\item[(ii)] $d=\MCM(a_1,\dots,a_n)$ si y s\'{o}lo si $Da_1\cap Da_2\cap \cdots\cap Da_n=Dd$.
\end{enumerate}
\end{prop}

\textbf{ Nota:} Como corolario de (i) se obtiene el teorema de Bezout para DIP (recordamos que no era cierto para DFU).


\begin{theo} \label{theoH} Sea $D$ un DIP y sea $0\ne p\in D$. Las siguientes condiciones son equivalentes:
\begin{enumerate}
\item[(i)] $p$ es primo (que es lo mismo que irreducible).
\item[(ii)] $Dp$ es un ideal  maximal de $D$.
\item[(iii)] $D/Dp$ es un cuerpo.
\item[(iv)] $D/Dp$ es un dominio de integridad.
\item[(v)] $Dp$ es un ideal primo de $D$.
\end{enumerate}
\end{theo}

\begin{coro} \label{coro} Si $D$ es un DIP y $I$ es un ideal no nulo de $D$, $I$ es un ideal primo si y s\'{o}lo si es maximal.\end{coro}

\textbf{ Nota:} En un dominio de integridad $D$, el ideal nulo es siempre primo y no tiene que ser maximal (s\'{o}lo es maximal
si $D$ es un cuerpo).

\section{Dominios eucl\'{\i}deos (DE)}

Cuando trabajamos con $\ZZ$ o con ${\FF}[X]$, el anillo de polinomios sobre un cuerpo $\FF$, demostramos que
verificaban el ``algoritmo de la division". En esta secci\'{o}n vamos a estudiar dominios de integridad en los que existe,
en cierta forma, un algoritmo de la divisi\'{o}n.

\begin{defi} \label{deDE} Sea $D$ un dominio de integridad. Se dice que $D$ es un dominio eucl\'{\i}deo (DE) si existe una funci\'{o}n
$\delta:D^*\to {\NN}^*$ tal que:
\begin{enumerate}
\item[(i)] dados $a,b\in D$ con $b\ne 0$ existe $c,r\in D$ tales que $a=cb+r$ en donde $r=0$ o $\delta (r)<\delta (b)$.
\item[(ii)] para todo par de elementos no nulos $a,b\in D$, $ \delta (a)\le \delta(ab)$.
\end{enumerate}
\end{defi}
\textbf{ Nota:} $\ZZ$ es un dominio eucl\'{\i}deo en donde $\delta$ es el valor absoluto y ${\FF}[X]$, el anillo de
polinomios sobre un cuerpo ${\FF}$ es dominio eucl\'{\i}deo en donde $\delta$ es la funci\'{o}n grado.

\begin{theo}\label{tfhe} Todo DE es un DIP.\end{theo}

\begin{theo}[Algoritmo de Euclides] \label{thealg} En DE se verifica el algoritmo eucl\'{\i}deo. Es decir,

$\star$ dados $a,b\in D$ no nulos, si $a=cb+r$, entonces $m.c.d(a,b)=m.c.d (b,r)$

Por tanto, la funci\'{o}n Eucl\'{\i}dea permite un m\'{e}todo recursivo para calcular el m\'{a}ximo com\'{u}n divisor de dos elementos no
nulos:
\end{theo}

Sean $a,b$ dos elementos no nulos de un dominio Eucl\'{\i}deo $D$. Aplicamos el algoritmo de la divisi\'{o}n a los elementos $a,b$,

\begin{align*}
a=c_1b+r_1\quad&\quad \hbox{Si}\quad r_1\ne 0,\quad \delta(r_1)<\delta(b)\cr
b=c_2r_1+r_2\quad&\quad \hbox{Si}\quad r_2\ne 0,\quad \delta(r_2)<\delta(r_1)\cr r_1=c_3r_2+r_3\quad&\quad
\hbox{Si}\quad r_3\ne 0,\quad \delta(r_3)<\delta(r_2)\cr &\quad \ \vdots\cr
  r_n=c_3r_{n+1}+r_{n+2}\quad&\quad
\hbox{Si}\quad r_{n+2}\ne 0,\quad \delta(r_{n+2})<\delta(r_{n+1})
\end{align*}
 Como
$\delta(b)>\delta(r_1)>\cdots>\delta(r_n)>\cdots$, existe un $k$ tal que $r_k=0$. Para este $k$ se tiene que
$r_{k-2}=c_{k}r_{k-1}$ y por la propiedad $\star$
$$m.c.d(a,b)=m.c.d (b,r_1)=\cdots=m.c.d(r_{k-2},r_{k_1})=m.c.d(c_{k}r_{k-1},r_{k_1})=r_{k-1}.$$

\section{El anillo de los enteros de Gauss}


En esta \'{u}ltima secci\'{o}n vamos a estudiar una familia de anillos que aparecen al adjuntar a $\ZZ$ un elemento
$\omega\in {\CC}$ tal que $\omega^2\in {\ZZ}$ (es decir, $\omega$ es soluci\'{o}n del polinomio $X^2-\omega^2\in
{\ZZ}[X]$).

\begin{defi}\label{anill} Sea $\omega\in {\CC}$ tal que $\omega^2\in {\ZZ}$ y $\omega\notin \ZZ$. Consideremos el
subanillo de $\CC$ generado por $\ZZ$ y $\omega$, denotado por $\ZZ[\omega]$. Es claro que tienes que contener a $\ZZ$,
y a $\ZZ \omega$ y a sumas de estos elementos. Es f\'{a}cil ver que no contiene elementos nuevos:
$$\ZZ[\omega]=\{n+m\omega\quad \vert \quad n,m\in \ZZ\}$$
\end{defi}

\textbf{ Nota:} Dado $\xi\in \CC$ consideremos el homomorfismo evaluaci\'{o}n $\Phi_\xi:\ZZ[X]\to \CC$ que a cada $p(x)\in
\ZZ[X]$ le hace corresponder $p(\xi)$. Entonces $\Im\Phi_\xi\cong \ZZ[\xi]\cong \ZZ[X]/(\Ker(\Phi_\xi))$.

\begin{lema}\label{lem} Sea $\omega\in {\CC}$ tal que $\omega^2\in {\ZZ}$ y $\omega\notin \ZZ$. Entonces:
\begin{enumerate}
\item[(i)] $w\notin \QQ$.
\item[(ii)] Si $n+m\omega=n'+m'\omega\in \ZZ[\omega]$, entonces $n=n'$ y $m=m'$.
\end{enumerate}
\end{lema}

\textbf{ Nota:} Recordamos el anillo de los enteros de Gauss que corresponde a $\ZZ[i]$ con $i$ la ra\'{\i}z imaginaria
($i^2=-1$).

\begin{defi} \label{enew} Sea $\omega\in {\CC}$ tal que $\omega^2\in {\ZZ}$ y $\omega\notin \ZZ$. Consideremos
$\ZZ[\omega]$:

$\star$ Se define el conjugado de un elemento $n+m\omega\in \ZZ[\omega]$ y se representa por $(n+m\omega)^*$ como
$$(n+m\omega)^*:=n-m\omega.$$

$\star$ Se define la norma de un elemento $n+m\omega\in \ZZ[\omega]$ y se representa por $N(n+m\omega)$ como
 $$N(n+m\omega):=n^2-\omega^2 m^2.$$
\end{defi}


\begin{prop}\label{de} Sea $\omega\in {\CC}$ tal que $\omega^2\in {\ZZ}$ y $\omega\notin \ZZ$. Sean $a,b\in
\ZZ[\omega]$, entonces:
\begin{enumerate} \item[(i)] $aa^*=a^*a=N(a)=N(a^*)$.
\item[(ii)]$(ab)^*=a^*b^*$ y $a^{**}=a$.
\item[(iii)] $N(ab)=N(a)N(b)$.
\item[(iv)]  $a$ es una unidad de $\ZZ[\omega]$ si y s\'{o}lo si  $N(a)=\pm 1$. Adem\'{a}s,  $a^{-1}=N(a)\ a^*$.
\item[(v)] $N(a)=0$ si y s\'{o}lo si $a=0$.
\item[(vi)] Si $N(a)$ es un primo de $\ZZ$, entonces $a$ es irreducible en $\ZZ[\omega]$.
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{theo} \label{fgfh} Sea $\omega\in {\CC}$ tal que $\omega^2\in {\ZZ}$ y $\omega\notin \ZZ$. Entonces
$\ZZ[\omega]$ verifica la C.C.A para sus ideales principales. En particular todo elemento de $\ZZ[\omega]$ factoriza
como producto de irreducibles.
\end{theo}

\begin{theo} \label{fgfh}Sea $\omega\in {\CC}$ tal que $\omega^2\in {\ZZ}$ y $\omega\notin \ZZ$. Supongamos que para
cada $r,s\in \QQ$ existen $n,m\in \ZZ$ tales que $$\vert (r-m)-\omega^2(s-n)\vert<1$$ Entonces $\ZZ[\omega]$ es un
dominio eucl\'{\i}deo, con funci\'{o}n Eucl\'{\i}dea $\delta(a)=\vert N(a)\vert$.
\end{theo}

\begin{coro}\label{coro} EL anillo de los enteros de Gauss es un dominio eucl\'{\i}deo.\end{coro}


\textbf{ Nota:} Las unidades de $\ZZ[i]$ son $\pm 1,\pm i$.

 Estudiemos ahora cuales son los elementos irreducibles de
$\ZZ[i]$. Ya sabemos que dado $a=n+mi\in \ZZ[i]$, si $N(a)$ es un n\'{u}mero primo, $a$ es irreducible.

En primer lugar podr\'{\i}amos pensar que todo primo de $\ZZ$ es primo en $\ZZ[i]$, pero es falso: $5=(2+i)(2-i)$ (esta es
la factorizaci\'{o}n de $5$ como producto de primos).

\begin{prop}\label{lde} Un n\'{u}mero primo  $p\in \ZZ$ es primo en $\ZZ[i]$ si y s\'{o}lo si no se puede escribir como suma de
dos cuadrados.\end{prop}

\begin{Proof} Supongamos que $p$ se puede escribir como suma de dos cuadrados, $p=n^2+m^2$. Entonces $$p=(n+mi)(n-mi)$$
en donde $n+mi, n-mi$ si son primos de $\ZZ[i]$ (ya que su norma es un n\'{u}mero primo).

Supongamos que $p=(n+mi)(n'+m'i)$, en donde $n+mi$, $n'+m'i$ no son unidades. Podemos suponer $n,m$ son primos entre
si, entonces:
\begin{align}
 nn'-mm'&=p\qquad \ (*)\cr nm'+mn'&=0
\end{align}

veamos varios casos:

$\star$ Si $n=0$, entonces $p=mi\ (n'+m'i)=-mm'+mn'i$, por tanto $n'=0$ y $p=-mm'$ implica que  $m$ o $m'$ es $\pm 1$
(al ser $p$ primo) y $n+mi=\pm i$ o $n'+m'i=\pm i$ es   inversible.

$\star$ Si $m=0$ llegamos al mismo resultado.

$\star$  So $n,m$ son no nulos, entonces $nm'=-mn'$, como $m.c.d(n,m)=1$, $n$ divide a $n'$, por lo que $n'=\alpha n$,
As\'{\i}, por $(*)$, $nm'=-n'm=-\alpha nm$, por lo que $m'=-\alpha m$. Ahora por $(**)$,  $p=nn'-mm'=\alpha n^2+\alpha
m^2=\alpha(n^2+m^2)$ y as\'{\i}, como $p$ es un primo de $\ZZ$, o $n^2+m^2=1$ con lo que $n+mi$ ser\'{\i}a inversible, o
$\alpha=\pm 1$ y $p=(n+mi)( n-mi)=n^2+m^2$, una suma de cuadrados.\hfill \EndProof
\end{Proof}

\begin{lema} Sea $p\in \ZZ$ un n\'{u}mero primo tal que $p\equiv 1\ (\hbox{Mod } 4)$. Entonces la ecuaci\'{o}n $x^2+1=0$
tiene soluci\'{o}n en $\ZZ_p$.\end{lema}

\begin{Proof} En caso contrario, no habr\'{\i}a elementos en $\ZZ_p$ tales que $x^2=-1$ y como $\ZZ_p$ es un cuerpo para cada
$r\in \ZZ_p$ existir\'{\i}a $s\in \ZZ_p$ con $rs=-1$ (los podr\'{e} reordenar a pares), luego si multiplico todos los elementos
de $\ZZ_p^*$, $$(p-1)!\equiv (-1)^{(p-1)/2} \ (\hbox{Mod }p)$$ y como $p\equiv 1\ (\hbox{Mod } 4)$, $(p-1)/2$ es par
por lo que  $$(p-1)!\equiv 1 \ (\hbox{Mod }p)$$ que contradice el teorema de Wilson $(p-1)!\equiv -1 \ (\hbox{Mod
}p)$.\EndProof
\end{Proof}

\begin{theo}\label{be} Sea $p\in \ZZ$ un n\'{u}mero primo. Entonces $p$ es irreducible en $\ZZ[i]$ si y s\'{o}lo si $p\equiv 3\
(\hbox{Mod } 4)$.
\end{theo}

\begin{Proof} Supongamos que $p$ es reducible. Entonces por el teorema anterior $p=n^2+m^2$ con $n,m\in \NN$. Si $p=2$,
$p\equiv 2\ (\hbox{Mod } 4)$ y si $p$ es impar, $n$ es par y $m$ es impar o viceversa, podemos suponer $n$ par, por lo
que
\begin{align*} p&\equiv n^2+m^2\equiv 0+1^1\equiv 1 \ (\hbox{Mod }4)\qquad \hbox{\'{o},}\cr p&\equiv n^2+m^2\equiv 0+3^3\equiv 1 \ (\hbox{Mod }4)\ \end{align*}

Supongamos ahora que $p$ es irreducible y no es congruente con 3 m\'{o}dulo 4. Entonces,

$\star$ $p$ no puede ser congruente con cero m\'{o}dulo 4 (ya que es primo).

$\star$ Si $p\equiv 2\ (\hbox{Mod } 4)$, $p=2$ que es reducible, contradicci\'{o}n.

$\star$ Luego $p\equiv 1\ (\hbox{Mod } 4)$. Tenemos entonces que la ecuaci\'{o}n $x^2+1\equiv 0\ (\hbox{Mod }p)$ tiene
soluci\'{o}n por lo que existe $u\in \ZZ$ tal que $u^2+1$ es divisible por $p$, pero en $\ZZ[i]$, $u^2+1=(u+i)(u-i)$ y como
es primo, $p$ dividir\'{\i}a a $u-i$ o a $u+i$, una contradicci\'{o}n.\EndProof
\end{Proof}


\begin{theo} Sea $z=n+mi\in \ZZ [i]$, el anillo de los enteros de Gauss. Entonces $z$ es irreducible (y por
tanto primo)  si y s\'{o}lo si se verifica una de las siguientes condiciones:
\begin{enumerate}
\item[(i)] $N(z)$ es un n\'{u}mero primo.
\item[(ii)] $z\in \ZZ$ es un n\'{u}mero primo con $z\equiv 3 \ (\hbox{Mod } 4)$ o asociado a \'{e}ste.
\end{enumerate}
\end{theo}

\begin{Proof} Por los teoremas anteriores, los elementos que verifican (i) y (ii) son irreducibles. Supongamos ahora que
 $z\in \ZZ[i]$ es irreducible y consideremos $N(z)$. Factorizamos $N(z)$ como producto de primos de $\ZZ$ y si $p$ es
 uno de estos primos y es reducible sobre $\ZZ[i]$ lo escribimos como $p=(n+mi)(n-mi)$ producto de primos por (i),(con $n^2+m^2=p$)
 luego como $z$ divide a $N(z)$, y es primo tiene que dividir  a alguno de estos y por tanto es (salvo equivalencia) uno de
 estos.\EndProof
\end{Proof}


\begin{ejem} Veamos un proceso para factorizar un n\'{u}mero de Gauss: Consideremos $n+mi\in \ZZ[i]$.

\item{$\star$} Paso primero: calculamos la norma de $z$.
$$N(z)=n^2+m^2$$

\item{$\star$} Paso segundo: factorizamos en $\ZZ$ el n\'{u}mero entero $N(z)$.
$$N(z)=p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}$$

\item{$\star$} Paso tercero: Factorizamos cada uno de los primos que aparecen.

\item{$\star$} Paso final: Como $N(z)=zz^*$,  y $\ZZ[i]$ es un dominio de factorizaci\'{o}n \'{u}nica, al ser un dominio
eucl\'{\i}deo, de la factorizaci\'{o}n en primos de $N(z)$ s\'{o}lo nos tenemos que quedar con los que corresponden a $z$ (que son
justamente la mitad).
\end{ejem}

\textbf{ Nota:} Si $p_i$ est\'{a} en la factorizaci\'{o}n de $N(z)$ y es primo de $\ZZ[i]$, por tanto $p_i\equiv 3\ (\hbox{Mod }4)$, entonces debe de aparecer elevado a un n\'{u}mero par.


\vfill\eject
\section{Ejercicios del Tema}
