
\hypertarget{tema17}{ }
\chapter{Acciones de grupos sobre conjuntos. Teoremas de Sylow}
\label{chap:tema17}
\hrule
\vskip0.5cm

%-----------------------------------------------------------------
\noindent{\sffamily\bfseries Objetivos del cap\'{\i}tulo} $\,$
\begin{itemize}\footnotesize
 \item Comenzamos este cap\'{\i}tulo introduciendo la noci\'{o}n de acci\'{o}n de un grupo $G$ sobre un conjunto $X$. Estudiamos la noci\'{o}n de orbita de un elemento, los subgrupos de isotrop\'{\i}a as\'{\i} como los subconjuntos de $X$ que quedan fijos por subgrupos de $G$ dando las principales relaciones que existen entre ellos.
 \item Demostramos tanto el Teorema de Cauchy como los tres Teoremas de Sylow.
\end{itemize}
\vskip0.25cm
%-----------------------------------------------------------------
\hrule
\vskip0.3cm
\[\,\]




\hypertarget{Gcon}{ }
\section{Grupos actuando sobre conjuntos.}\label{sect:Gcon}

\begin{defi}
Sea $G$ un grupo y $X$ un conjunto. Se define una acci\'{o}n de $G$ en $X$ \index{Acci\'{o}n de $G$ sobre $X$} como una aplicaci\'{o}n $*:G\times X\to X$ tal que
\begin{enumerate}
\item[1).] $*(e,x)=x$ para todo $x\in X$, con $e\in G$ el elemento neutro de $G$.
\item[2).] $*(g_1g_2,x)=*(g_1,*(g_2,x))$ para todo $x\in X$, $g_1,g_2\in G$.
\end{enumerate}
En este caso se dir\'{a} que $X$ es un $G$-conjunto.\index{$G$-conjunto}
\end{defi}

\textbf{Nota:} Normalmente la acci\'{o}n de $G$ sobre $X$ se denotar\'{a} simplemente por yuxtaposici\'{o}n, es decir, dado $g\in G$ y $x\in X$, $*(g,x)$ lo denotaremos simplemente por $gx$. Con esta nueva notaci\'{o}n las propiedades anteriores se escriben:
\begin{enumerate}
\item[1).] $ex=x$ para todo $x\in X$, con $e\in G$ el elemento neutro de $G$.
\item[2).] $(g_1g_2)x=g_1(g_2x)$ para todo $x\in X$, $g_1,g_2\in G$.
\end{enumerate}


\begin{lema}\label{lema:subacc}
Sea $X$ un $G$-conjunto y sea $H$ un subgrupo de $G$. Entonces $X$ es un $H$ conjunto bajo la acci\'{o}n inducida por $G$.
\end{lema}

\begin{ejem}$\ $\par
\begin{itemize}\itemsep=-.1truecm
\item[(i)] Sea $X$ un conjunto y $S_X$ el grupo de permutaciones sobre $X$. Entonces, la aplicaci\'{o}n $S_X\times X\to X$ definida por $*(\sigma, x):=\sigma(x)$ es una acci\'{o}n de $S_X$ sobre $X$.
\item[(ii)] Sea $G$ el grupo de simetr\'{\i}as de un pol\'{\i}gono $P$. Entonces $G$ produce una acci\'{o}n tanto en el conjunto de los vertices como en el conjunto de las aristas de $P$
\item[(iii)] Dado un grupo $G$, su producto, $*:G\times G\to G$ definen una acci\'{o}n de $G$ sobre si mismo.
\item[(iv)] Dado un subgrupo $H$ de un grupo $G$, la aplicaci\'{o}n $H\times G\to G$ definida por $*(h,g)=hgh^{-1}$ (esta es una de las pocas acciones de grupos sobre conjuntos que no se denotar\'{a} por yuxtaposici\'{o}n).
\end{itemize}
\end{ejem}

\textbf{Nota:} Si $G$ es un subgrupo y $H$ es un subgrupo de $G$, entonces $G$ es un $H$-conjunto, ver  \fullref{Lema}{lema:subacc}{}.

\hypertarget{Cimp}{ }
\begin{defi}\label{defi:Cimp}
Sea $X$ un $G$-conjunto y sean $Y\subset X$ y $K\subset G$. Se define
\begin{itemize}
\item $X_K:=\{x\in X\vert\ gx=x \ \forall g\in K\}$, el conjunto de elementos de $X$ que quedan fijo por todo elemento de $K$.\index{$X_H$}
\item $G_Y:=\{g\in G\vert\ gy=y \ \forall y\in Y\}$, el conjunto de elementos de $G$ que fijan todos los elementos de $Y$.
\end{itemize}
\textbf{Nota:} Normalmente, a lo largo de est\'{a} teor\'{\i}a, los conjuntos $Y$ y $K$ tendr\'{a}n solamente un elemento, por lo que se denotaran simplemente por $X_g$ y $G_x$ (en vez de la notaci\'{o}n m\'{a}s engorrosa $X_{\{g\}}$ y $G_{\{x\}}$).
\end{defi}

\begin{prop}\rm
Sea $X$ un $G$-conjunto y sea $Y\subset X$. Entonces $G_Y$ es un subgrupo de $G$. Cuando $Y=\{x\}$ el subgrupo $G_x$ se denomina el subgrupo de isotrop\'{\i}a \index{Subgrupo! de isotrop\'{\i}a $G_x$}de $x$.
\end{prop}

\Proof
Dados $g,g'\in G_Y$, $(gg')y=g(g'y)=gy=y$ para todo $y\in Y$, luego $gg'\in G_Y$, es decir, la operaci\'{o}n es cerrada en $G_Y$. Es m\'{a}s, por hip\'{o}tesis $ey=y$ para todo $y\in Y$, luego  $e\in G_Y$. Por \'{u}ltimo, si $g\in G_Y$, $y=ey=(g^{-1}g)y=g^{-1}(gy)=g^{-1}y$ para todo $y\in Y$, por lo que $g^{-1}\in G_Y$.
\EndProof

\textbf{Nota:} Dado un subconjunto no vacio $Y\subset X$ se verifica que $G_Y=\bigcap_{y\in Y} G_y$. As\'{\i} $G_Y$ es intersecci\'{o}n de subgrupos de isotrop\'{\i}a de $G$.

\begin{theo}\rm
Sea $X$ un $G$-conjunto. Entonces la relaci\'{o}n $x_1\sim x_2$ si y s\'{o}lo si existe $g\in G$ tal que $gx_1=x_2$ es
una relaci\'{o}n de equivalencia en $X$. Es m\'{a}s, la clase de equivalencia de $x\in X$ es $Gx:=\{gx\vert\ g\in G\}$, llamada la \'{o}rbita \index{\'{O}rbita} de $x$.
\end{theo}

\Proof veamos que cumple las tres propiedades de relaci\'{o}n de equivalencia:

\textbf{Reflexiva:} dado $x\in X$, $ex=x$ por lo que $x\sim x$.

\textbf{Transitiva:} supongamos que $x\sim y$ e $y\sim z$, entonces existen $g,g'\in G$ tales que $gx=y$ y $g'y=z$. Por tanto $(g'g)x=g'(gx)=g'y=z$ y as\'{\i}, $x\sim z$.

\textbf{Sim\'{e}trica:} supongamos que $x\sim y$. Entonces existe $g\in G$ tal que $gx=y$. Por tanto $x=ex=(g^{-1}g)x=g^{-1}(gx)=g^{-1}y$, lo que demuestra que $y\sim x$.

Es claro ahora que $\overline x=\{gx\ \vert\ g\in G\}=Gx$.
\EndProof

\begin{ejem}
Sea $G$ el grupo de movimientos de un rect\'{a}ngulo \'{A}ureo.

\begin{center}
  \begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (1,0)--(1,1.618)--(0,1.618)--(0,0);
\filldraw (0,0) circle (2pt) node[left]{a};
\filldraw (1,0) circle (2pt) node[right]{b};
\filldraw (1,1.618) circle (2pt) node[right]{c};
\filldraw (0,1.618) circle (2pt) node[left]{d};
\draw[dotted] (0.5,-.2)--(0.5,1.818) node[above]{$\alpha$};
\draw[dotted] (-.2,.909)--(1.2,.909) node[right]{$\beta$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Para calcular todos los movimientos de este rect\'{a}ngulo nos fijaremos  donde va a parar el v\'{e}rtice $a$. Si $a$ no se mueve, el rect\'{a}ngulo no se mueve y tenemos el movimiento identidad $\Id$ (no hay mas posibilidades de movimiento). Si $a$ termina en $b$ la \'{u}nica posibilidad es que $b$ caiga en $a$ y $c$ y $d$ permuten (giro de 180º respecto del eje $\alpha$), tenemos el movimiento $(a,b)(c,d)$.  Si $a$ termina en $c$, $c$ cae en $a$ y $b$ y $d$ conmutan (giro de 180º grados respecto del eje $\beta$), con lo que tenemos la permutaci\'{o}n  $(a,c)(b,d)$. Por \'{u}ltimo, si $a$ termina en $d$ tenemos la permutaci\'{o}n $(a,d)(b,c)$ (giro de 180º en el sentido de las agujas del reloj). Por tanto el grupo de simetr\'{\i}as del tri\'{a}ngulo \'{A}ureo es $$G=\{
Id, (a,b)(c,d), (a,c)(b,d), (a,d)(b,c)
\}$$

Tenemos entonces que $G$ induce una acci\'{o}n sobre el conjunto de los vertices, las aristas, y los ejes del rect\'{a}ngulo \'{A}ureo, $X=\{a,b,c,d,\widetilde{ab},\widetilde{ad},\widetilde{cd},\widetilde{cb},\alpha,\beta\}$ definida por: si $\sigma\in G$ y $x\in X$, $\sigma(x)$ es donde va a parar $x$ al aplicarle $\sigma$. Por ejemplo, si $\sigma=(a,c)(b,d)$ y $x=\widetilde{cd}$, $\sigma(x)=\widetilde{ab}$.

Tenemos entonces que las \'{o}rbitas de los distintos elementos son:
$$\overline{a}=\{a,b,c,d\},\quad \overline{\alpha}=\{\alpha\}, \quad \overline{\beta}=\{\beta\},\quad \overline{\widetilde{ab}}=\{\widetilde{ab},\widetilde{cd}\}\quad \text{y}\quad \overline{\widetilde{ad}}=\{\widetilde{ad},\widetilde{cb}\}$$

Por lo tanto, las \'{o}rbitas de la acci\'{o}n nos ha separado, en las distintas clases de equivalencia, los vertices, los lados de igual tama\~{n}o y los ejes del tri\'{a}ngulo \'{A}ureo (luego propiedades puramente geom\'{e}tricas quedan reconocidas por la acci\'{o}n de $G$ sobre $X$).
\end{ejem}

\begin{ejem}
  Veamos un segundo ejemplo: Sea $G$ un grupo y sea $X$ el conjunto formado por todos los subgrupos de $G$. Entonces la aplicaci\'{o}n $*:G\times X\to X$ definida por $*(g,H):=gHg^{-1}$ es una acci\'{o}n de $G$ sobre $X$. Es mas,
  \begin{enumerate}
    \item[(i)] Dado $H\in X$, $G_{\{H\}}=\{g\in G\ \vert \ gHg^{-1}=H\}=N(H),\ \text{el normalizador de $H$ en $G$}$
    \item[(ii)] La orbita de $H\in X$ es el conjunto de todos los subgrupos de $H$ que son conjugados a $H$.
  \end{enumerate}
\end{ejem}



\begin{theo}\label{theo:Cuclass}
Sea $X$ un $G$-conjunto y $x\in X$. Entonces  el cardinal de la \'{o}rbita de $x$ coincide con el \'{\i}ndice de $G$ sobre $G_x$, es decir, $$\vert Gx\vert=(G:G_x).$$
\end{theo}
\Proof Recordamos que el \'{\i}ndice de $G_x$ en $G$ coincide con el numer\'{o} de clases de equi\-va\-lencia de cualquiera de estas dos clases de equi\-va\-lencia:

$\star_1$ La relaci\'{o}n de equivalencia por la izquierda de $G_x$ sobre $G$,
$$g\sim g'\quad \iff\quad gg'^{-1}\in G_x$$
en este caso la clase de equivalencia de un elemento $g\in G$ es $G_xg=\{hg\ \vert \ h\in G_x\}$


$\star_2$ La relaci\'{o}n de equivalencia por la derecha de $G_x$ sobre $G$,
$$g\sim g'\quad \iff\quad g^{-1}g'\in G_x$$
en este caso la clase de equivalencia de un elemento $g\in G$ es $gG_x=\{gh\ \vert \ h\in G_x\}$. Denotamos por $\Delta$ el conjunto de todas estas clases de equivalencia.

Consideremos el conjunto cociente ``clases de equivalencia por la derecha de $G_x$ sobre $G$'' y la aplicaci\'{o}n $$\Phi:Gx\to \Delta\quad \text{definido por}\quad  \Phi(gx)=\overline g$$

(i). Tenemos que ver que est\'{a} bien definido: si $gx=g'x$, entonces $g`^{-1}gx=x$. Por tanto $g'^{-1}g\in G_x$ y siguiendo la definici\'{o}n de $\star_2$, $\overline{g'}=\overline g$.

(ii). Veamos que es inyectiva. Supongamos $gx,g'x\in Gx$ tal que $\Phi(gx)=\Phi(g'x)$. tenemos entonces que $\overline g=\overline{g'}$ y por definici\'{o}n de $\star_2$, $g^{-1}g'\in G_x$, o lo que es lo mismo $x=g^{-1}g'x$ y por tanto, $gx=g(g^{-1}g'x)=gg^{-1}g'x=x=g'x$.

(iii). Veamos que es sobreyectiva. Dado $\overline g\in \Delta$, tenemos que $\Phi(gx)=\overline g$ por lo que $\Phi$ es sobreyectiva.
\EndProof

\textbf{Nota:} Si consideramos $\Delta'$ el conjunto cociente definido por la relaci\'{o}n de equivalencia $\star_1$ tenemos que la aplicaci\'{o}n $\Psi: Gx\to \Delta'$ definida por $\Psi(gx)=\overline{g^{-1}}$ es biyectiva.


\begin{theo}
Sea $G$  un grupo finito y $X$ un $G$-conjunto finito. Sea $r$ el n\'{u}mero de \'{o}rbitas de $X$ bajo la acci\'{o}n de $G$. Entonces $$r \vert G\vert=\sum_{g\in G}\vert X_g\vert.$$
\end{theo}
\Proof
Vamos a considerar el conjunto $$\Delta:=\{(g,x)\ \vert\ gx=x\}$$
Si fijamos un $g\in G$ el conjunto de pares $(g,x)\in \Delta$ es $$\{(g,x)\  \vert\ gx=x\}=\{(g,x)\ \vert \ x\in X_g\}$$
Por tanto, $\vert \Delta\vert =\sum_{g\in G} \vert X_g\vert$.

Por otro lado, dado $x\in X$, el conjunto de los pares $(g,x)\in \Delta$ es $$\{(g,x)\  \vert\ gx=x\}=\{(g,x)\ \vert \ g\in G_x\}$$
Por tanto, aplicando la proposici\'{o}n anterior,
\begin{align*}
\vert \Delta\vert &=\sum_{x\in X} \vert G_x\vert=\sum_{x\in X} {\vert G\vert\over(G:G_x)}=\sum_{x\in X} {\vert G\vert\over \vert Gx\vert}=\vert G\vert\sum_{x\in X} {1\over \vert Gx\vert}=\vert G\vert r,
\end{align*}
ya que si tomamos $\{x_1, x_2,\dots, x_r\}$ un representante para cada una de las \'{o}rbitas de la acci\'{o}n de $G$ sobre $X$ tenemos que :
\begin{align*}
\sum_{x\in X} {1\over \vert Gx\vert }=\sum_{j=1}^r\sum_{x\in Gx_j}{1\over \vert Gx_j\vert}=\sum_{j=1}^r (\overbrace{{1\over \vert Gx_j\vert}+\cdots+{1\over \vert Gx_j\vert}}^{\vert Gx_j\vert\text{ veces}})=\sum_{j=1}^r 1=r.
\end{align*}

\vskip-1.35truecm \EndProof

\section{Teoremas de Sylow.}

\begin{lema}\label{lema:cuent}
Sea  $X$ un $G$-conjunto finito. Sea $r$ el n\'{u}mero de \'{o}rbitas de $X$ bajo la acci\'{o}n de $G$. Sean $x_1,\dots,x_r\in X$ un representante de cada una de las \'{o}rbitas. Entonces
\begin{itemize}
\item $\vert X\vert=\sum_{i=1}^r \vert Gx_i\vert$.
\item $X_G$ consiste exactamente en los elemento de $X$ cuyas \'{o}rbitas solo poseen un elemento.
\item Si $X_G:=\{x_1,\dots, x_s\}$, entonces $$\vert X\vert=\vert X_G\vert +\sum_{i=s+1}^r \vert Gx_i\vert.$$
\end{itemize}
\end{lema}

\Proof El punto primero es trivial ya que la familia $\{Gx_i\}$ es una partici\'{o}n de $X$.

Por definici\'{o}n $X_G=\{x\in X\vert gx=x\ \forall g\in G\}$. Por tanto,  $x\in X_G$ si y s\'{o}lo si $Gx=\{x\}$, es decir, los elementos cuyas \'{o}rbitas s\'{o}lo poseen un elemento (ellos mismos).

El punto tres se deduce de los puntos uno y dos. \EndProof

\textbf{Nota:} Observar que en cualquier caso el n\'{u}mero de elementos que tiene una \'{o}rbita siempre divide al orden de $G$ ya que por  \fullref{el Teorema}{theo:Cuclass}{},
$\vert Gx_i\vert=(G:G_{x_i})$.


Sea $G$ un grupo abeliano con $n$ elementos. Se ha demostrado que $G$ contiene un subgrupo de orden $k$ para cada $k$ divisor de $n$. Es m\'{a}s,  $G$ contiene un \'{u}nico subgrupo de orden $k$ para cada $k$ divisor de $n$ si y s\'{o}lo si $G$ es c\'{\i}clico con $n$ elementos. La situaci\'{o}n para grupos no abelianos es mucho m\'{a}s complicada. Por ejemplo, existen grupos (no abelianos) de orden $12$ que no poseen subgrupos de orden $6$, por ejemplo el grupo alternado $A_4$. No obstante, los teoremas de Sylow  nos van a dar informaci\'{o}n importante relativa a subgrupos de ciertos ordenes.


\begin{defi}
Se dice que un grupo $G$ es un $p$-grupo \index{$p$-grupo}si es finito de cardinal potencia de $p$ para $p$ un n\'{u}mero primo. Se dice que un subgrupo $H$ de un grupo arbitrario $G$ es un $p$-subgrupo si $H$ como grupo es un $p$-grupo. Se dice que un subgrupo $H$ de $G$ es un \index{$p$-subgrupo de Sylow}$p$-grupo de Sylow para $G$ si $H$ es maximal entre los $p$-subgrupos de Sylow de $G$.
\end{defi}

$\blacksquare$ El siguiente resultado ser\'{a} utilizado repetidamente a lo largo de esta secci\'{o}n.

\begin{theo}\label{theo:cargrupoconj}
Sea $p$ un n\'{u}mero primo y sea $G$ un $p$-grupo de orden $p^n$. Sea $X$ un $G$-conjunto finito. Entonces $\vert X\vert\equiv \vert X_G\vert\  (\Mod p).$
\end{theo}
\Proof Sean $\{x_1,x_2,\dots, x_r\}$ representantes de cada una de la \'{o}rbitas de $X$ respecto de la acci\'{o}n de $G$. Supongamos que $X_G=\{x_1,\dots,x_s\}$. Por \fullref{el lema}{lema:cuent}{}, $$\vert X\vert=\vert X_G\vert +\sum_{i=s+1}^r \vert Gx_i\vert.$$ Por otro lado, para cada $i\in \{s+1,\dots,r\}$,  ver \fullref{Teorema}{theo:Cuclass}{},
$1\ne \vert Gx_i\vert=(G:G_{x_i})={\vert G\vert \over \vert G_{x_i}\vert}$ y como $\vert G\vert=p^n$,
$(G:G_{x_i})$ es potencia de $p$ (y no es uno). Por tanto
$$\vert X\vert-\vert X_G\vert=\sum_{i=s+1}^r \vert Gx_i\vert=\dot p$$ lo que demuestra que
$\vert X\vert\equiv \vert X_G\vert \  (\Mod p)$.
\EndProof



\begin{theo}[Cauchy]\label{theo:Tchi}\hypertarget{Tchi}{ }
Sea $G$ un grupo finito y sea $p$ un n\'{u}mero primo que divide al orden de $G$. Entonces $G$ contiene un  elemento de orden $p$. En particular, $G$ contiene un subgrupo de orden $p$.
\end{theo}
\Proof $\spadesuit$ Consideremos el conjunto $$X:=\{(g_1,g_2,\dots,g_p)\in G\times\stackrel{p}{\cdots}\times G\ \vert\ g_1g_2\cdots g_p=e\}.$$ Tene\-mos que el conjunto $X$ tiene $\vert G\vert^{p-1}$ elementos, ya que los p-1 primeros elementos de las p-uplas pueden ser arbitrarios, $(g_1,g_2,\dots,g_{p-1},?)$ mientras que el \'{u}ltimo debe de ser exactamente $(g_1g_2\cdots g_{p-1})^{-1}$.

$\spadesuit$ Consideremos el ciclo $\sigma=(1,2,\dots, p)\in S_p$, es decir, la permutaci\'{o}n en el conjunto $\{1,2,\dots,p\}$ que manda $k$ en $k+1$ para $k=1,2,\dots, p-1$ y manda $p$ al $1$. Y sea $<\sigma>$ el subgrupo de $S_p$ generado por $\sigma$ (grupo c\'{\i}clico con $p$ elementos).

$\spadesuit$ Dado $(g_1,g_2,\dots,g_p)\in X$ tenemos que $$\sigma(g_1,g_2,\dots,g_p):=(g_{\sigma1},g_{\sigma2},\dots,g_{\sigma p})=(g_2,\dots,g_p,g_1)\in X$$
Como $g_1g_2\cdots g_p=e$, multiplicando por $g_1^{-1}$ por la izquierda obtenemos $g_2\cdots g_p=g_1^{-1}$ si multiplicamos ahora $g_1$ por la derecha, $g_2\cdots g_pg_1=e$. Por tanto podemos definir una acci\'{o}n $$<\sigma>\times X\to X\quad \text{ como}\quad  \sigma^k(g_1,g_2,\dots,g_p):=(g_{\sigma^k1},g_{\sigma^k2},\dots,g_{\sigma^k p}).$$

$\spadesuit$ Veamos quien es el conjunto $X_{<\sigma>}$, el conjunto de elementos de $X$ que son invariantes por todo elemento de $<\sigma>$.   Si $(g_1,g_2,\dots,g_p)\in  X_{<\sigma>}$, entonces  $$(g_1,g_2,\dots,g_p)=\sigma(g_1,g_2,\dots,g_p)=(g_2,g_3,\dots, g_p,g_1)$$  por lo que  $g_1=g_2=\cdots=g_p$. Por otro lado, es claro que los elementos de la forma $(g,g,\dots,g)\in X$ con $g^p=e$ pertenecen a $X_{<\sigma>}$. Por tanto  $X_{<\sigma>}=\{(g,g,\dots,g)\ \vert \ g^p=e\}$.

 $\spadesuit$ Por el teorema anterior, ver \fullref{Teorema}{theo:cargrupoconj}{}, $\vert X\vert\equiv \vert X_{<\sigma>}\vert\  (\Mod p).$ Lo que implica que, como $\vert X\vert$ es m\'{u}ltiplo de $p$, $\vert X_{<\sigma>}\vert$ es m\'{u}ltiplo de $p$. Por \'{u}ltimo,
 $(e,e,\dots,e)\in X_{<\sigma>}$ y por tanto el numer\'{o} de elementos de $X_{<\sigma>}$ es m\'{u}ltiplo de $p$ por lo que al menos hay $p-1$ elementos distintos del neutro tal que $g^p=e$. Cualquiera de estos elementos tiene orden $p$.
\EndProof

\begin{coro}
Un grupo  finito $G$ es un $p$-grupo si y s\'{o}lo si todo elemento de $G$ tiene orden potencia de un primo.
\end{coro}



\noindent\textbf{Recordatorio}  Sea $G$ un grupo y sea $H$ un subgrupo de $G$. Entonces se define el normalizador de $H$ en $G$ y se representa por $N(H)$ como:
$$N(H):=\{g\in G\vert\ gHg^{-1}= H\}=\{g\in G\vert\ g^{-1}Hg= H\}$$
Sabemos que el normalizador de $H$ en $G$ es el subgrupo mas grande de $G$ en donde $H$ es normal (en particular, $H\triangleleft N(H)$). Por tanto, $H$ es un subgrupo normal de $G$ si y s\'{o}lo si $G=N(H)$.

\noindent\textbf{Nota:} Si $G$ es finito, el normalizador de un subgrupo $H$ es simplemente:
$$N(H):=\{g\in G\vert\ gHg^{-1}\subset  H\}=\{g\in G\vert\ g^{-1}Hg\subset H\}$$


\begin{prop}
Sea $G$ un grupo  y $H$ un subgrupo de $G$. Consideremos $X$ el conjunto de todas las clases por la derecha de $H$ en $G$, $X=\{xH\ \vert x\in G\}$. Entonces, la aplicaci\'{o}n  $$*:G\times X\to X\quad\text{definida por}\quad *(g,xH):=(gx)H$$ es una acci\'{o}n de $G$ en $X$.
\end{prop}

\Proof
$\blacklozenge$ Veamos en primer lugar que est\'{a} bien definida:  sean $x,y\in G$ tales que $xH=yH$ (es decir, $x^{-1}y\in H$) y sea $g\in G$. Entonces $(gx)^{-1}gy=x^{-1}g^{-1}gy=x^{-1}y\in H$ y por tanto $gxH=gyH$.

$\blacklozenge$ Claramente verifica las dos propiedades de acci\'{o}n: $e(xH)=xH$  y dados $g,g'\in G$, $g(g'(xH))=(gg')xH$ para todo $xH\in X$. \EndProof


Observar que \fullref{el Lema}{lema:subacc}{} nos demuestra este interesante resultado:
\begin{coro}\label{coro:accclass}
Sea $G$ un grupo  y sea $H,H'$ dos subgrupo de $G$. Consideremos $X$ el conjunto de todas las clases por la derecha de $H$ en $G$, $X=\{xH\ \vert x\in G\}$. Entonces, la aplicaci\'{o}n  $$*:H'\times X\to X\quad\text{definida por}\quad *(h',xH):=(h'x)H$$ es una acci\'{o}n de $H'$ en $X$.
\end{coro}

\begin{prop}\label{prop:LLtec}
Sea $G$ un grupo finito y $H$ un $p$-subgrupo de $G$. Entonces $$(N(H):H)\equiv (G:H)\ (\Mod p).$$
\end{prop}
\Proof Consideremos la acci\'{o}n anterior, es decir, $X$ el conjunto de todas las clases por la derecha de $H$ en $G$, $X=\{xH\ \vert x\in G\}$ y $*:H\times X\to X$ definida por $*(h,xH):=(hx)H$.

Vamos a aplicar  \fullref{el teorema}{theo:cargrupoconj}{} a esta acci\'{o}n, es decir, $\vert X\vert\equiv \vert X_G\vert\  (\Mod p).$ Lo que nos demostrara el resultado

$\blacklozenge$ El cardinal de $X$ es $(G:H)$, el numer\'{o} de clases laterales de $G$ sobre $H$.

$\blacklozenge$ Por otro lado $X_H$ consiste en el conjunto de clases por la derecha de $G$ en $H$ (los elementos de $X$) que quedan invariantes por todo elemento de $H$. Por tanto si $xH\in X_H$, para todo $h\in H$, $xH=hxH$ es decir, $x^{-1}hx\in H$ para todo $h\in H$. Es decir, $x\in G$ tales que $x^{-1}Hx\subset H$, o lo que es lo mismo, $x^{-1}\in N(H)$ y por tanto $x\in N(H)$. Por otro lado, si $x\in N(H)$, $x^{-1}\in N(H)$ y por tanto $x^{-1}hx\in H$ por lo que $xH=hxH$ para todo $h\in H$. Por lo que $X_H$ consiste en las clases por la derecha de $G$ sobre $H$  que tiene por representantes elementos de $N(H)$ y esto son precisamente las clases por la derecha de $N(H)$ sobre $H$ y su cardinal es $(N(H):H)$.

As\'{\i},   \fullref{el teorema}{theo:cargrupoconj}{} muestra que $(N(H):H)\equiv (G:H)\ (\Mod p).$
\EndProof

\begin{coro}
Sea $G$ un grupo finito y sea $H$ un $p$-subgrupo de $G$. Si $p$ divide a $(G:H)$ entonces $N(H)\ne H$.
\end{coro}

\Proof Por el teorema anterior $(N(H):H)\equiv (G:H)\ (\Mod p).$ Es mas, con las hip\'{o}tesis en las que nos encontramos $(N(H):H)\equiv 0\ (\Mod p).$
Por tanto $(N(H):H)\ne 1$, lo que implica que $N(H)\ne H$.\EndProof

Antes de demostrar el llamado primer teorema de Sylow vamos a recordar un resultado anterior que vamos a tener que utilizar:

\noindent \textbf{Recordatorio:}  Sea $G$ un grupo y sea $H$ un subgrupo normal de $G$. Entonces la aplicaci\'{o}n $\pi:G\to G/H$ es un epimorfismo de grupos. Es m\'{a}s,
\begin{itemize}
\item[(i)] Si $K$ es un subgrupo (normal) de $G$, $\pi(K)$ es subgrupo (normal) de $G/H$.
\item[(ii)] Si $\mathcal{K}$ es un subgrupo (normal) de $G/K$, $\pi^{-1}(\mathcal{K})$ es subgrupo (normal) de $G$.
\end{itemize}
Adem\'{a}s (ii)  define una biyecci\'{o}n entre los subgrupos de $G/H$ y los subgrupos de $G$ que contienen a $H$ (con inversa definida por (i)).


\begin{theo}[Primer Teorema de Sylow]\label{theo:Psylow}\hypertarget{Psylow}{ }\index{Teorema de Sylow! Primer}
Sea $G$ un grupo finito de orden $p^nm$, con $p$ un n\'{u}mero primo que no divide a $m$, $n\ge 1$. Entonces
\begin{enumerate}
\item[(i)] $G$ contiene un subgrupo de orden $p^i$ para cada $i\in \{1,2,\dots,n\}$.
\item[(ii)] Todo subgrupo de $G$ de orden $p^i$ es subgrupo normal de alg\'{u}n subgrupo de orden $p^{i+1}$ para $i\in \{1,2,\dots,n-1\}$
\end{enumerate}
\end{theo}
\Proof Por hip\'{o}tesis $\vert G\vert=p^nm$ con $n\ge 1$ y $\mcd(p,m)=1$. Demostremos por inducci\'{o}n que para cada $k\in \{1,2,\dots,n\}$ encontramos una cadena de subgrupo de $G$, $H_1\triangleleft H_2\triangleleft \cdots\triangleleft H_k$ con $\vert H_i\vert=p^i$.

Para $k=1$: por el Teorema de Cauchy, ver \fullref{el Teorema}{theo:Tchi}{}, sabemos  que $G$ contiene un elemento de orden $p$ y por tanto un subgrupo $H_1$ de orden $p$.
Supongamos que tenemos una cadena de subgrupos de $G$, $H_1\triangleleft H_2\triangleleft \cdots\triangleleft H_k$ con $\vert H_i\vert=p^i$, $k<n$ y construyamos el $H_{k+1}$ (esta construcci\'{o}n funciona igualmente para el apartado (ii)). Por  \fullref{la proposici\'{o}n}{prop:LLtec}{}, $(N(H_k):H_k)\equiv (G:H_k)\ (\Mod p).$ Es m\'{a}s, como $k<n$, $(G:H_k)$ es divisible por $p$ y por tanto $(N(H_k):H_k)$ que es mayor o igual que 1 es divisible por $p$. Por lo que el numer\'{o} de elementos del grupo cociente $N(H_k)/H_k$ es m\'{u}ltiplo de $p$. Aplicando ahora el Teorema de Cauchy a este grupo, existe un subgrupo $\mathcal{T}$ de $N(H_k)/H_k$ con $p$ elementos, lo que implica que si $\pi: N(H_k)\to N(H_k)/H_k$ es la proyecci\'{o}n can\'{o}nica, que $H_{k+1}:=\pi^{-1}(\mathcal(T))$ es un subgrupo de $N(H_k)$ que contiene a $H_k$ (por lo que $H_k$ es normal en \'{e}l) con $\vert \pi(H_{k+1})/H_k\vert =\vert T/K_k\vert=p$ por lo que $\vert H_{k+1}\vert =p^{k+1}$.
\EndProof

\textbf{Recordatorio:}
Sea $G$ un grupo. Un $p$-grupo de Sylow es un $p$-subgrupo de $G$ maximal entre los $p$-subgrupos de de $G$.

\begin{coro}
Sea $G$ un grupo finito de orden $p^nm$, con $p$ un n\'{u}mero primo que no divide a $m$. Entonces $G$ contiene un $p$-grupo de Sylow de orden $p^n$. Es m\'{a}s, los $p$-subgrupos de Sylow de $G$ tienen orden $p^n$.
\end{coro}

Por el corolario anterior, si $P$ es un $p$ grupo de Sylow y $P'$ es un subgrupo conjugado a $P$, entonces $P'$ tiene $p^n$ elementos y por el teorema de Lagrange, $P'$ es un $p$ grupo de Sylow. El teorema siguiente nos demuestra que realmente cualesquiera dos $p$ subgrupos de Sylow son conjugados.

\begin{theo}[Segundo Teorema de Sylow]\label{theo:Ssylow}\hypertarget{Ssylow}{ }\index{Teorema de Sylow! Segundo}
Cualesquiera dos $p$ grupos de Sylow de un grupo finito $G$ son conjugados.
\end{theo}
\Proof Sean $P$ y $P'$ dos $p$ grupos de Sylow. Consideremos  $X$ el conjunto de todas las clases laterales por la izquierda de $G$ sobre $P$,
$$X:=\{xP\ \vert\ x\in G\}$$
Consideremos como grupo $G=P'$ y sea la acci\'{o}n $$P'\times X\to X \quad\text{definida por}\quad *(p',xP)=p'xP$$
ver \fullref{el corolario}{coro:accclass}{}. Por tanto, si aplicamos  \fullref{el Teorema}{theo:cargrupoconj}{}, $\vert X\vert\equiv \vert X_G\vert\  (\Mod p)$ tenemos que como $\vert X\vert=p^nm/p^n=m$ que no es divisible por $p$, que $X_G$ posee al menos un elemento. Sea $xP\in X_G$, entonces para todo $a\in P'$, $axP=xP$ o lo que es lo mismo, $x^{-1}ax\in P$ para todo $a\in P'$ por tanto $x^{-1}Px\subset P'$ y como ambos conjuntos tienen el mismo numer\'{o} de elementos, $x^{-1}Px=P'$. Por tanto si consideramos el automorfismo interno $\Phi_{x^{-1}}: G\to G$ tenemos que $\Phi_{x^{-1}}(P)=P'$ es decir,  $P$ y $P'$ son conjugados.\EndProof

\noindent\textbf{Recordatorio} Sea $G$ un grupo y sea $X$ el conjunto formado por todos los subgrupos de $G$. Entonces $X$ se convierte en un $G$-conjunto si consideramos la siguiente acci\'{o}n:
$$*:G\times X\to X\quad\text{definida por}\quad *(g,H)=gHg^{-1}$$
Por tanto $X$ es un $H$ conjunto para cualquier subgrupo de $G$, ver \fullref{El lema}{lema:subacc}{}.

\begin{theo}[Tercer Teorema de Sylow]\label{theo:Tsylow}\hypertarget{Tsylow}{ }\index{Teorema de Sylow! Tercer}
Sea $G$ un grupo finito y sea $p$ un n\'{u}mero primo que divide al orden de $G$. Sea $r$ el n\'{u}mero de $p$-grupos de Sylow. Entonces
$$r\equiv 1\ (\Mod p)\quad \text{y}\quad r\vert_{\vert G\vert}$$
\end{theo}

\Proof Sea $X$ el conjunto de todos los $p$-subgrupos de Sylow de $G$ y sea $P\in X$. Definimos la acci\'{o}n por conjugaci\'{o}n de $P$ sobre $X$, es decir, $$*:P\times X\to X\quad\text{definida por}\quad *(x,T)=xTx^{-1}$$
Es claro que $*$ est\'{a} bien definida y es una acci\'{o}n de $P$ sobre $X$. Tenemos entonces que por  \fullref{el Teorema}{theo:cargrupoconj}{}, $$\vert X\vert \equiv \vert X_P\vert\  (\Mod p).\eqno{(1)}$$ Por construcci\'{o}n $\vert X\vert$ es el numer\'{o} de $p$-grupos de Sylow de $G$. Veamos quien es $ X_P$. Por un lado es claro que $P\in X_P$ ya que para todo $x\in P$, $xPx^{-1}=P$. Por otro lado, si $T\in X_P$ para cada $x\in P$, $xTx^{-1}=T$. Por tanto $P\subset N(T)$ y como $T\subset N(T)$, $T$ y $P$ son $p$-subgrupos de Sylow en $N(T)$. Por el segundo Teorema de Sylow, $T$ y $P$ son conjugados en $N(T)$, pero como $T$ es normal en $N(T)$, $P=T$. Luego $\vert X_P\vert=1$ y por tanto la formula $(1)$ nos demuestra que $\vert X\vert \equiv 1\ (\Mod p)$.

Si volvemos a consideramos ahora $X$ el conjunto de todos los $p$-subgrupos de Sylow de $G$  y definimos la acci\'{o}n por conjugaci\'{o}n de $G$ sobre $X$, es decir, $$*:G\times X\to X\quad\text{definida por}\quad *(x,T)=xTx^{-1}$$
Es claro que $*$ est\'{a} bien definida y es una acci\'{o}n de $G$ sobre $X$. Por el segundo Teorema de Sylow, todos los $p$-subgrupos de Sylow son conjugados, luego si $P\in X$, la orbita de $P$ respecto de la acci\'{o}n de $G$ es todo $X$. Pero el n\'{u}mero de elementos de la orbita de $P$ coincide con $(G:G_P)$ que es un n\'{u}mero que divide a $\vert G\vert$. Por lo que $\vert X\vert$ divide a $\vert G\vert$.
\EndProof

 \hypertarget{Ejjnueve}{ }
\section{Ejercicios del Tema}\label{ejj:Ejjnueve}
\setcounter{ejj}{0}

\begin{ejj}
  Sea $G$ un grupo, $X$ un conjunto y sea $S_X$ el grupo de permutaciones del conjunto $X$.
  \begin{enumerate}
    \item[(i)] Demuestra que si $*:G\times X\to X$ es una acci\'{o}n de $G$ en $X$, entonces la aplicaci\'{o}n $\Phi:G\to S_X$ definida por $\Phi(g):X\to X$ la aplicaci\'{o}n $\Phi(g)(x)=gx$ es un homomorfismo de grupos.
    \item[(ii)]  Demuestra que si  $\Psi:G\to S_X$ es un  homomorfismo de grupos, entonces la aplicaci\'{o}n $*:G\times X\to X$ definida por $*(g,x):=\Psi(g)(x)$ es una acci\'{o}n de $G$ sobre $X$.
  \end{enumerate}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
?`Cuantos dados distintos de pueden construir colocando en cada cara los n\'{u}meros del 1 al 6? \hfill\fbox{$*$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
?`Cuantos dados distintos de pueden hacer colocando en cada cara s\'{o}lo los n\'{u}meros 1 y 2 repetidos cada uno de ellos 3 veces?\hfill\fbox{$*$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
?`De cuantas formas posibles se pueden colocar 6 comensales en una mesa redonda? (se considera que es una posici\'{o}n distinta si al menos un comensal tiene sentado a su lado un compa\~{n}ero distinto)\hfill\fbox{$*$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $X$ un $G$-conjunto y sea $Y\subset X$. Definimos $$G_{\overline Y}:=\{g\in G\ \vert gy\in Y \ \forall \ y\in Y\}$$
\begin{enumerate}
\item[(i).] Demuestra que $G_{\overline Y}$ es un subgrupo de $G$.
\item[(ii).] ?`Que relaci\'{o}n existe entre $G_{\overline Y}$ y $G_Y$?\hfill\fbox{$*$}
\end{enumerate}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
En $S_7$ se considera el subgrupo $G$ generado por el ciclo $<(1,2,5,7)>$. Sea $X=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ y $$*:G\times X\to X\quad\text{definida por}\quad *(\sigma,x):=\sigma(x)$$
\begin{enumerate}
\item [(i).] Calcula las distintas \'{o}rbitas de $G$ sobre $X$.
\item[(ii).] Sea $Y=\{2,7\}$. Calcula $G_{\overline Y}$ y $G_Y$.
\item[(iii).] Sea $Y=\{3,4\}$. Calcula $G_{\overline Y}$ y $G_Y$.
\end{enumerate}
\end{ejj}

\begin{ejj}
Sea $G$ un grupo y sea $X=\{x_1,x_2,\dots, x_n\}$ una base de $G$. Demuestra, de forma elemental, que $G$ no posee elementos de orden finito.
\end{ejj}

\begin{ejj}
Sea $G$ un grupo abeliano y finito. Demuestra que para cada primo divisor del cardinal de $G$ existe un \'{u}nico p-subgrupo de Sylow.
\end{ejj}

\begin{ejj}
Sea $G$ un grupo finito y sea $p$ un primo divisor del cardinal de $G$. Demuestra que existe un \'{u}nico $p$-subgrupo de Sylow $H$ si y s\'{o}lo si $H$ es un subgrupo normal de $G$.
\end{ejj}

\begin{ejj}
Sea $G$ un grupo finito tal que todos sus $p$-subgrupos de Sylow son normales. Demuestra que $G$ es producto directo interno de sus $p$-subgrupos de Sylow.
\end{ejj}

\begin{ejj}
Sea $G$ un grupo y sean $H,K$ subgrupos de $G$ con $H$ normal entonces $\vert HK\vert={\vert H\vert \vert K\vert\over \vert H\cap K\vert}$.
\end{ejj}


\begin{ejj}
Demuestra que un grupo  de orden 45 tiene un subgrupo normal de orden 9.
\end{ejj}

\begin{ejj}
Sea $G$ un grupo y sea $H$ un p-subgrupo de Sylow the $G$ que es normal en $G$. Demuestra que todo p-subgrupo de $G$ est\'{a} contenido en $H$.
\end{ejj}

\begin{ejj}
Sea $G$ un grupo de orden $35^3$. Demuestra que $G$ posee un subgrupo normal de orden 125.
\end{ejj}

\begin{ejj}
Demuestra que un grupo de orden 255 no es simple (posee subgrupos normales no triviales).
\end{ejj}

\begin{ejj}
?`Puedes encontrar un grupo no abeliano tal que todos sus subgrupos de Sylow sean c\'{\i}clicos?
\end{ejj} 