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%%% resultado aparece
%%% al lado del mismo, si se le da otro valor numerico, commo 0, entonces
%%% el nombre
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\def\headimpar{\hskip 4truecm{\rm Curso de Introducci\'{o}n al \'{A}lgebra  (2005-2006)
\hfill \folio}}
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\Tema{\primero}{TEMA 1} \vskip 1truecm

\parrafo{Introducci\'{o}n}

En este cap\'{\i}tulo vamos a estudiar nociones b\'{a}sicas de teor\'{\i}a de anillos. Introduciremos las nociones de anillo, subanillo, anillo
conmutativo, anillo unitario, anillo de divisi\'{o}n y cuerpo. Estudiaremos las aplicaciones naturales entre anillos: los  homomorfismo de
anillos.  Veremos algunas propiedades fundamentales de la estructura de anillo e iremos introduciendo, tanto ejemplos: $\bbb Z, Q, R, C$ o
${\bbb Z}_n$ (el anillo de congruencias m\'{o}dulo $n$), como construcciones de nuevos anillos a partir de otros conocidos: el anillo suma
directa, el anillo producto cartesiano, el anillo de endomorfismos de un grupo abeliano o los anillos de matrices.


\parrafo{Definici\'{o}n b\'{a}sicas.}

\re{\deanillo}{Def}Un {\bf anillo} es una terna $(R,+,.)$ en donde $R$ es un conjunto y ``$+$", ``$.$" son dos operaciones en $R$ tales
que:
\item{(1).} $(R,+)$ es un grupo abeliano:
\itemitem{--} Propiedad asociativa: $(a+b)+c=a+(b+c)$ para todo $a,b,c\in R$.
\itemitem{--} Elemento neutro: existe $0\in R$ tal que $a+0=0+a$ para todo $a\in R$
\itemitem{--} Elemento opuesto: para todo $a\in R$ existe $-a\in R$ tal que $a+(-a)=(-a)+a=0$.
\itemitem{--} Propiedad conmutativa: $a+b=b+a$ para todo $a,b\in R$.
\item{(2).} $(R,.)$ verifica la propiedad asociativa: $(a.b).c=a.(b.c)$ para todo $a,b,c\in R$.
\item{(3).} Se verifican las propiedades distributivas: para todos $a,b,c\in R$,
$$(a+b).c=a.c+b.c\qquad c.(a+b)=c.a+c.b$$

\noindent $\star$ Diremos que un {\bf anillo} $(R,+,.)$ es {\bf conmutativo} si ``$.$" es conmutativa.

\noindent $\star$ Diremos que un {\bf anillo} $(R,+,.)$ es {\bf unitario} si ``$.$" es una operaci\'{o}n unitaria y $R$ tiene m\'{a}s de un
elemento.

{\bf Nota:} La primera operaci\'{o}n se llamar\'{a} {\bf suma}. El neutro de la suma lo denotaremos por $0$. Al inverso de la suma lo llamaremos
{\bf opuesto}. La segunda operaci\'{o}n se llamar\'{a} {\bf producto} y la denotaremos por yuxtaposici\'{o}n.  Al neutro del producto lo denotaremos,
si existe, por $1$. Al inverso del producto, si existe, se llamara {\bf inverso}.
\endre

\re{\ejemanillo}{Ejemplos} (1). Si consideramos $(G, +)$ un grupo abeliano y definimos un producto en $G$ por: $a.b:=0$ para todo $a,b\in
G$, $(G,+,.)$ tiene estructura de anillo conmutativo.


(2). $\bbb Z, Q, R, C$  con las operaciones usuales (todos son anillos conmutativos y unitarios). ${\cal M}_n({\bbb R})$, el anillo de
matrices sobre los Reales, con las operaciones usuales (anillo unitario, no conmutativo para $n\ge 2$). $2{\bbb Z}$ con las operaciones
usuales de $\bbb Z$ (anillo conmutativo no unitario).

(3). Los anillos realmente no tienen que ser de ``n\'{u}meros": sea $X$ un conjunto no vac\'{\i}o y denotemos por ${\cal P}(X)$ el conjunto de
partes de $X$. Entonces $({\cal P}(X), \triangle, \cap)$ tiene estructura de anillo conmutativo y unitario.

{\bf Nota:}  $\triangle$ denota la diferencia sim\'{e}trica:  dados $A,B\subset X$, $$A\triangle B:=(A-B)\cup (B-A)=(A\cap B^c)\cup (B\cap
A^c)$$

(4). Los anillos m\'{o}dulo n: Sea $n$ un n\'{u}mero natural y consideremos ${\bbb Z}_n:=\{0,1,2,\dots, n-1\}$. Observar que ${\bbb Z}_n$ tiene $n$
elementos. Dados $a,b\in {\bbb Z}_n$ definimos:

-- La suma de $a$ y $b$ como el resto de dividir $a+b$ por $n$.

\noindent $\star$ $({\bbb Z}_n,+)$ es el grupo abeliano ya estudiado en el primer cuatrimestre.

-- El producto de  $a$ y $b$ como el resto de dividir $a.b$ por $n$.

Entonces $({\bbb Z}_n, +, \ )$ tiene estructura de anillo conmutativo y unitario.\endre

\re{\propanillo}{Proposici\'{o}n} Sea $(R,+,.)$ un anillo. Entonces:
\item{(1)} $0.a=a.0=0$ para todo $a\in R$.
\item{(2)} $a.(-b)=(-a).b=-(a.b)$ para todo $a,b\in R$.

Si adem\'{a}s $R$ es unitario,
\item{(3)}  la unidad es \'{u}nica.
\item{(4)} Si  $a\in R$ es un elemento inversible, el inverso de $a$ es \'{u}nico (al que denotaremos por $a^{-1}$).
\endre


\re{\deunidad}{Def}A los elementos inversibles de un anillo $R$ se les denomina unidades. El conjunto de las unidades de un anillo $R$ se
denota por ${\cal U}(R)$.
\endre

{\bf Nota:} $({\cal U}(R), .)$ tiene estructura de grupo. Es m\'{a}s, si $R$ es conmutativo, ${\cal U}(R)$ es un grupo abeliano.


\re{\decuerpo}{Def} Se dice que un anillo $(R,+,.)$ es un {\bf anillo de divisi\'{o}n} si es unitario  y todo elemento no nulo de $R$ tiene
inverso. Si adem\'{a}s  es conmutativo, se dice que es un {\bf cuerpo}. \endre

{\bf Nota:} $\bbb Q,R,C$ son cuerpos.


 Podr\'{\i}amos  pensar que la propiedad que poseen $\bbb Z,Q,R,$ o $\bbb C$:  si  $a.b=0$, entonces
$a=0$ o $b=0$ es cierta para todo anillo. Veamos un contraejemplo: en ${\bbb Z}_{12}$, $\bar 6.\bar 4=\bar 0$ y ni $\bar 6$ ni $\bar 4$ son
nulos.

\re{\dedivcero}{Def} Sea $R$ un anillo. Se dice que un elemento no nulo $a\in R$ es un {\bf divisor de cero por la izquierda} si existe un
elemento no nulo $b\in R$ tal que $a.b=0$. de manera an\'{a}loga se define {\bf divisor de cero por la derecha}. Un anillo conmutativo y
unitario sin divisores de cero por la izquierda y por la derecha se denomina un {\bf dominio de integridad}.

{\bf Nota:} Todo cuerpo es un dominio de integridad. $\bbb Z$ es un dominio de integridad que no es cuerpo.

 \re{\desubanillo}{Def} Sea $(R,+,.)$ un anillo. Se dice que $A\subset R$ es un subanillo de $R$, y se representa $A\le R$, si:
\item{--} La suma de $R$ es una operaci\'{o}n interna en $A$: $a+b\in A$ para todos $a,b\in A$
\item{--} El producto de $R$ es una operaci\'{o}n interna en $A$: $ab\in A$ para todos $a,b\in A$
\item{--} $(A,+,.)$ tiene estructura de anillo.
\endre



 {\bf Nota:} Por tanto, para demostrar que un subconjunto $A$ de un
anillo $R$ es un subanillo tenemos que demostrar $9$ propiedades. No obstante algunas son triviales:

$\star$ Si demostramos que la suma y el producto son operaciones internas, el car\'{a}cter asociativo y conmutativo de la suma, el car\'{a}cter
asociativo del producto y las propiedades distributivas son validas para todo $R$, por tanto son validas para elementos de $A$.

$\star$ hay que comprobar que $0\in A$ y que $A$ contiene todos sus opuestos.

Luego para demostrar que $A$ es un subanillo de un anillo $R$ s\'{o}lo tenemos que demostrar que $(A,+)$ es subgrupo y que el producto es
cerrado en $A$.

 \re{\ejemsuba}{Ejemplo} $2{\bbb Z}\le {\bbb Z}\le \bbb Q\le \bbb R\le \bbb C$.\endre

 {\bf Nota:} Un subanillo de un anillo unitario no tiene que ser
unitario. Es m\'{a}s, aunque sea unitario la unidad del anillo y del subanillo no tiene que coincidir. (Por resultados del primer cuatrimestre,
el neutro de la suma si que coincide)

{\bf Nota:} Todo subanillo de un dominio de integridad es un dominio de integridad. En particular, todo subanillo de un cuerpo es un
dominio de integridad.

\parrafo{Homomorfismos de anillos}

 \re{\dehom}{Def} Sean $(R,+,.)$ y
$(R',+',.')$ dos anillos. Se define un {\bf homomorfismo} de $R$ en $R'$ como una aplicaci\'{o}n $f:R\to R'$ tal que:
$$\eqalign{f(a+b)&=f(a)+'f(b)\quad \hbox{para todo $a,b\in R$},\cr f(a.b)&=f(a).'f(b)\quad \hbox{para todo $a,b\in R$}.}$$


\item{--} Si $f$ es  inyectiva, se dice que $f$ es un {\bf monomorfismo}.
\item{--} Si $f$ es  sobreyectiva, se dice que $f$ es un {\bf epimorfismo}.
\item{--} Si $f$ es biyectiva, se dice que $f$ es un {\bf isomorfismo}. En este caso se dice que los anillos $R$ y $R'$ son {\bf isomorfos}.
\item{--} Si $R=R'$, se dice que $f$ es un {\bf endomorfismo}.
\item{--} Un endomorfismo biyectivo se le denomina un {\bf automorfismo}.

\item{--} Si $R$ y $R'$ son dos anillos unitarios, diremos que $f:R\to R'$ es un {\bf homomorfismos de anillos unitarios} si $f(1_R)=1_{R'}$.\endre



 \re{\deimker}{Proposici\'{o}n} Sean $R$ y $R'$ dos anillos, $S$ un subanillo de $R$, $S'$ un subanillo de $R'$ y $f:R \to R'$ un homomorfismo
 de anillos. Entonces
 \item{(i)} $f(S)$ es un subanillo de $R'$.
 \item{(ii)}  $f^{-1}(S'):=\{r\in R\vert \ f(r)=\in S'\}$ es un subanillo de $R$.

En particular:  $\Ker(f):=f^{-1}(0)$, llamado el {\bf  n\'{u}cleo o Ker} de $f$,  es un subanillo de $R$ e $\Im(f):=f(R)$, llamada la {\bf
imagen} de $f$, es un subanillo de $R'$ (cuando lleguemos a la estructura cociente en anillo veremos que $\Ker(f)$ tiene propiedades muy
interesantes).

Es m\'{a}s:

\item{--} $f$ es un monomorfismo si y s\'{o}lo si $\Ker(f)=0$.

\item{--} $f$ es un epimorfismo si y s\'{o}lo si $\Im(f)=R'$.\endre


{\bf Nota:} Si $R$ y $R'$ son dos anillos y $f:R\to R'$ un homomorfismo de anillos,  $f(0)=0$ y $f(-a)=-f(a)$. ?`Ser\'{a} cierto que $f(1)=1'$?
?`Que ocurre entonces con los elementos inversibles de $R$?

 \re{\prohom}{Proposici\'{o}n} Sean $R$ y
$R'$ dos anillos y $f:R\to R'$ un homomorfismo de anillos. Entonces:

\item{(i)} Si $R$ es un anillo unitario, $\Im(f)$ es un anillo unitario con unidad $f(1)$.

\item{(ii)} Si $a$ es un elemento inversible de $R$, $f(a)$ es un elemento inversible de $\Im(f)$.

\item{(iii)} Si $f$ es sobreyectiva, entonces  $f(1)=1'$ y $f(a)$ es inversible para todo elemento inversible $a\in R$.

\item{(iv)} Si $R$ y $R'$ son unitarios y $f(1)=1'$, $f(a)$ es inversible para todo elemento inversible $a\in R$.\endre






{\bf Nota:} Cada estructura que demos en algebra tendr\'{a} su homomorfismo asociado. Por ejemplo:  si $R$ es un subanillo de $R'$,  la
inclusi\'{o}n de $R$ en $R'$  es un monomorfismo de anillos. Es m\'{a}s: si $f: R\to R'$ es un monomorfismo de anillos, entonces $R$ es isomorfo a
$\Im(f)\le R'$, por lo que se puede considerar que $R$ es un subanillo de $R'$.


\re{\ejemanilloII}{Ejemplo}  La aplicaci\'{o}n nula y la identidad siempre son homomorfismos de anillos. Sea $R$ un anillo y $a\in R$ una
unidad. Entonces $f_a:R\to R$ definido por $f_a(x)=a^{-1}xa$ es un automorfismo de $R$.
\endre





 En la siguiente proposici\'{o}n vamos a demostrar que
todo anillo se puede ``sumergir" en un anillo unitario:

 \re{\unit}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo. Entonces ${\bbb Z}\times R$ con suma  y producto:
 $$\eqalign{(\lambda,r)+(\mu,r'):&=(\lambda+\mu, r+r')\cr (\lambda,r).(\mu,r'):&=(\lambda\mu, \lambda r'+\mu r+ r.r') }$$
 Tiene estructura de anillo unitario. Es m\'{a}s, la aplicaci\'{o}n $\psi:R\to {\bbb Z}\times R$ dada por $\psi(r)=(1,r)$ es un monomorfismo de anillos.\endre

\re{\deunit}{Def} Sea $R$ un anillo. Se define la unitizaci\'{o}n de $R$, y se representa por $R^1$ como $R$, si \'{e}ste ya es un anillo unitario
o ${\bbb Z}\times R$ caso de que $R$ no sea unitario.\endre

{\bf Nota:} El conjunto de los homomorfismos entre dos anillos $R$ y $R'$ no tiene muy buenas propiedades, ya que ni la suma natural de
aplicaciones es un homomorfismo: si consideramos la identidad en $\bbb Z$, el anillo de los enteros, se tiene que $Id+Id$ no es un
homomorfismo. ?`Cuales son los endomorfismos de $\bbb Z$?

 \re{\dehom}{} No obstante, dados dos grupos $G$ y $G'$ definimos $\Hom(G,G')$ como el conjunto de todos los homomorfismos de $G$ en $G'$. Se tiene entonces
 que $\Hom(G,G')$ es un grupo con la suma usual: dados $f,g\in \Hom(G,G')$, $$f+g:G\to G'\quad\hbox{definida por}\quad  f+g(a)=f(a)+g(a).$$ Es mas, si $G'$ es conmutativo, $\Hom(G,G')$
 es un grupo abeliano y, si denotamos por $\End(G)$ al conjunto de todos los endomorfismos de un grupo abeliano $G$, $\End(G)$ con la
 suma usual  y la composici\'{o}n de aplicaciones, $(\End(G), +,\circ)$ es un anillo unitario.


\re{\proimp}{Teorema} Todo anillo es isomorfo a un subanillo de un anillo de endomorfismos de un cierto grupo abeliano. \endre

\Proof Consideremos $R^1$ con su estructura de grupo abeliano. Veamos que la aplicaci\'{o}n $$\matrix{\Phi:& R&\to &\End(R^1)\cr  &r&\mapsto&
\Phi_r} \quad\hbox{ definido por}\quad  \Phi_r (r')=rr'$$ es un monomorfismos de anillos: dados $r_1$ y $r_2$ elementos de $R$,

-- $\Phi_{r_1+r_2}(r')=(r_1+r_2)r'=r_1r'+r_2r'=\Phi_{r_1}(r')+\Phi_{r_2}(r')$

-- $\Phi_{r_1}\Phi_{r_2}(r')=r_1(r_2 r')=(r_1r_2)r'=\Phi_{r_1r_2}(r')$

Lo que demuestra que es un homomorfismo de anillos.  Por \'{u}ltimo, si $\Phi_r=0$, $0=\Phi_r(1)=r$, lo que demuestra que es
inyectiva.\endproof

{\bf Nota:} Este teorema nos dice como son todos los anillos. Al igual que el teorema de Cayley este resultado es poco \'{u}til.

\re{\prohom}{Proposici\'{o}n} Sean $(R,+,.)$ y $(R',+',.')$ dos anillos y $f:R\to R'$ un isomorfismo de anillos. Entonces $f^{-1}:R'\to R$
tambi\'{e}n es un isomorfismo de anillos.\endre

{\bf Nota:} La aplicaci\'{o}n inversa de un automorfismo $f:R\to R$ es precisamente el inverso de $f$ en $\End(R)$ (considerado $R$ \'{u}nicamente
como grupo abeliano).

\parrafo{La caracter\'{\i}stica de un anillo}

\re{\decarac}{Def} Sea $R$ un anillo. Si existe  el menor natural $n\in {\bbb N}$ tal que $a+\cdots^n+a=0$ para todo $a\in R$ se dice que
la caracter\'{\i}stica de $R$ es $n$. En caso contrario  se dice que la caracter\'{\i}stica de $R$ es cero. \endre

\re{\ejemcarac} {Ejemplo} Para cada $n\in \bbb N$, la caracter\'{\i}stica de ${\bbb Z}_n$ es $n$. La caracter\'{\i}stica de $\bbb Z$ es cero.\endre

\re{\procaracI}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo unitario. Entonces la caracter\'{\i}stica de $R$ o es cero o el  menor natural tal que
$1+{\buildrel n\over \cdots}+1=0$ (o excluyente).\endre

{\bf Nota:} La caracter\'{\i}stica de un anillo y de su unitizaci\'{o}n no tienen que coincidir. Es m\'{a}s, si $R$ no es unitario la caracter\'{\i}stica de
$R^1$ es cero.
\endre

{\bf Nota:} ?`Se te ocurre una nueva construcci\'{o}n para ``sumergir" un anillo no unitario en un anillo unitario manteniendo la
caracter\'{\i}stica?


\re{\procarac}{Proposici\'{o}n} La caracter\'{\i}stica de un dominio de integridad es cero o un n\'{u}mero primo. \endre



\parrafo{El producto directo de anillos.}

\re{\deprodirect}{proposici\'{o}n} Sea $I$ un conjunto de indices y $R_i$, $i\in I$ una familia de anillos. Entonces $\Pi_{i\in I} R_i$ con su
estructura habitual de grupo abeliano:
$$\Pi_{i\in I} R_i:=\{(r_i)_{i\in I}\quad \hbox{con}\quad r_i\in R_i,\ \ i\in I\}$$
$\star$ Con suma: $(r_i)_{i\in I}+(r'_i)_{i\in I}=(r_i+r'_i)_{i\in I}$

\noindent$\star$ y producto dado  por componentes, $(r_i)_{i\in I}.(r'_i)_{i\in I}=(r_i.r'_i)_{i\in I}$

\noindent  tiene estructura de anillo, llamado el {\bf producto directo} de los $R_i$.\endre

\re{\defproy}{Def:} Sean $R_i,\ {i\in I}$ una familia de anillos y sea $R=\Pi_{i\in I} R_i$ el producto directo de los $R_i$. Se define la
{\bf proyecci\'{o}n ``can\'{o}nica"} de $R$ en $R_k$, con $k\in I$, como: $$\matrix{\pi_k: &R&\to &R_k\cr &(r_i)_{i\in I}&\mapsto &r_k.}$$ Es f\'{a}cil
ver que para cada $k\in I$, $\pi_k$ es un epimorfismo de anillos.

\re{\propfund}{Propiedad fundamental del producto directo de anillos.} Sean $R_i,\ {i\in I}$ una familia de anillos y sea $R=\Pi_{i\in I}
R_i$ el producto directo de los  $R_i$. Entonces para cada anillo $R'$ y cada familia de homomorfismos de anillos $f_i:R'\to R_i$ existe un
\'{u}nico homomorfismo de anillos  $f:R'\to R$ tal que para cada $k\in I$ el siguiente diagrama es conmutativo:

\centerline{\epsfxsize=4cm \epsfysize=3cm \epsfbox{ProdFundProd.png}}

Es m\'{a}s, Si $\hat R$ es un anillo y $\rho_i:\hat R\to R_i$ son una familia de epimorfismos de anillos tales que para cada anillo $R'$ y cada
familia de homomorfismos de anillos $f_i:R'\to R_i$ existe un \'{u}nico homomorfismo de anillos $f:R'\to \hat R$ tal que para cada $k\in I$ el
diagrama anterior es conmutativo, entonces $\hat R$ es isomorfo a $\Pi_{i\in I} R_i$.

{\bf Demo:} Vamos a suponer en principio que existe este homomorfismo de anillos y demostremos que entonces s\'{o}lo se puede definir de una
manera, por lo que demostraremos que, caso de existir, es \'{u}nico. Luego veremos que esta soluci\'{o}n verifica lo que queremos.

1-. Supongamos que existe $f: R'\to \Pi_{i\in I} R_i$ tales que $\pi_k \circ f=f_k$ tenemos entonces que dado $r'\in R'$,
$f_k(r')=\pi_k(f(r'))$, por lo que la coordenada k-esima de $f(r')$ es $f_k(r')$. As\'{\i}, $f(r')=(f_i(r'))_{i\in I}$.

2-. Comprobemos entonces que la aplicaci\'{o}n $f:R'\to \Pi_{i\in I} R_i$ definido por $f(r')=(f_i(r'))_{i\in I}$ es un homomorfismo de anillos
que verifica el enunciado:

$\star$ ?`Es homomorfismo de grupos? $$ \eqalign{f( r'_1+r'_2)&=(f_i( r'_1+r'_2))_{i\in I}=( f_i(r'_1)+f_i(r'_2))_{i\in I}=(
f_i(r'_1))_{i\in I}+( f_i(r'_2))_{i\in I}\cr &=f( r'_1)+f( r'_2)}$$

$\star$ ?`Es homomorfismo de anillos? $$\eqalign{ f( r'_1.r'_2)&=(f_i( r'_1.r'_2))_{i\in I}=( f_i(r'_1).f_i(r'_2))_{i\in I}=(
f_i(r'_1))_{i\in I}.( f_i(r'_2))_{i\in I}\cr &=f( r'_1)f(r'_2)}$$


$\star$ ?`Hace conmutativo los diagramas?  Pues claro $$\pi_k\circ f(r')=\pi_k((f_i(r'))_{i\in I}))=f_k(r').$$

Veamos ahora que todo anillo con estas propiedades es isomorfo al producto cartesiano de los $\{R_i\}_{i\in I}$. Sea $\hat R$  un anillo y
$g_i:\hat R\to R_i$  una familia de epimorfismos de anillos tales que para cada anillo $R'$ y cada familia de homomorfismos de anillos
$f_i:R'\to R_i$ existe un \'{u}nico homomorfismo de anillos $f:R'\to \hat R$ tal que para cada $k\in I$ el diagrama

\centerline{\epsfxsize=4cm \epsfysize=3cm \epsfbox{ProdFundProd1.png}}

 es conmutativo.

Si consideramos ahora $R'=\Pi_{i\in I} R_i$ y $f_i=\Pi_i$ las proyecciones can\'{o}nicas tenemos, aplicando varias veces esta propiedad
fundamental, que:

\centerline{\epsfxsize=8cm \epsfysize=3cm \epsfbox{ProdFundProd2.png}}

En donde $f\circ g=Id _{\hat R}$ y $g\circ f=Id_{\Pi R_i}$ lo que demuestra que tanto $f$ como $g$ son isomorfismos, y por tanto $\hat R$ y
$\Pi_{i\in I} R_{i}$ son anillos isomorfos.



\parrafo{La suma directa de anillos.}

\re{\desumdirect}{proposici\'{o}n} Sea $I$ un conjunto de indices y $R_i$, $i\in I$ una familia de anillos. Entonces $\bigoplus_{i\in I} R_i$,
con su estructura habitual de grupo abeliano:
$$\bigoplus_{i\in I} R_i=\{(r_i)_{i\in I}\in \Pi_{i\in I} R_i\ \vert \ r_i=0 \quad \hbox{para casi todo $i$}\}$$

\noindent $\star$ Con suma: $(r_i)_{i\in I}+(r'_i)_{i\in I}=(r_i+r'_i)_{i\in I}$

\noindent $\star$ y producto dado  por componentes, $(r_i)_{i\in I}.(r'_i)_{i\in I}=(r_i.r'_i)_{i\in I}$

\noindent  tiene estructura de anillo, llamado la {\bf suma directa externa} de los $R_i$.\endre


{\bf Demo:} Es claro que si sumo o multiplico dos elementos del producto con un n\'{u}mero finito de coordenadas no nulas, obtengo un elemento
con un n\'{u}mero finito de coordenadas no nulas, ver [\propanillo, (2)] para el producto. Es decir, $\bigoplus_{i\in I} R_i$ es un subanillo
del producto directo de anillos (ya que sabemos que es un subgrupo).

{\bf Nota:} Si $\# I<\infty$ se tiene que la suma directa   y el producto directo son isomorfos.


\re{\propfund}{Def:} Sean $\{R_i\}_{i\in I}$ una familia de anillos y sea  $\bigoplus _{i\in I} R_i$ la suma directa de \'{e}stos. Entonces
para cada $k\in I$ se define la {\bf inclusi\'{o}n can\'{o}nica} de $R_k$ en $\bigoplus _{i\in I} R_i$ y se representa por
$$\rho_k: R_k\to \bigoplus _{i\in I} R_i$$ como $\rho_k(r_k)=(x_i)_{i\in I}$ en donde $x_i=0$ si $i\ne k$ y $x_k=r_k$. Es decir, el vector de $\Pi _{i\in
I} R_i$ que tiene todas las coordenadas cero, salvo la $k$ que vale $r_k$. Es claro que $\rho_k$ es un monomorfismo de anillos.




\re{\propfund}{Propiedad fundamental de la suma directa  de anillos.} Sean $\{R_i\}_{i\in I}$ una familia de anillos y sea $\bigoplus
_{i\in I} R_i$ la suma directa de \'{e}stos. Entonces para cada anillo $R'$ y cada familia de homomorfismos de anillos $\{f_i\}_{i\in I}$ tales
que  $f_i: R_i\to R'$ verificando
 $f_s(x_s).f_r(x_r)=0$ para todos $ x_r\in R_r, x_s\in R_s$ con $r,s$ dos elementos distintos de $I$, existe un \'{u}nico homomorfismo de anillos
$f:\bigoplus _{i\in I} R_i\to R'$ tal que para cada $k\in I$ el siguiente diagrama es conmutativo:

  \centerline{\epsfxsize=4cm \epsfysize=3cm \epsfbox{ProdFundSum.png}}

Es m\'{a}s, Si $\hat R$ es un anillo y $g_i: R_i\to \hat R$ son una familia de monomorfismos de anillos tales que para cada anillo $R'$ y cada
familia de homomorfismos de anillos $f_i: R_i\to R'$ tales que  $f_i: R_i\to R'$ verificando
 $f_s(x_s).f_r(x_r)=0$ para todos $ x_r\in R_r, x_s\in R_s$ con $r,s$ dos elementos distintos de $I$, existe un \'{u}nico homomorfismo de anillos $f:\hat R\to R'$ tal que para cada $k\in I$ el diagrama anterior es
conmutativo, entonces $\hat R$ es isomorfo a $\bigoplus_{i\in I} R_i$.

{\bf Demo:} Vamos a suponer en principio que existe este homomorfismo de anillos y demostremos que entonces s\'{o}lo se puede definir de una
manera, por lo que demostraremos que, caso de existir, es \'{u}nico. Luego veremos que \'{e}ste verifica lo que queremos.

1-. Supongamos que existe $f: \bigoplus_{i\in I} R_i\to R'$ tal que $f\circ \rho_k =f_k$ tenemos entonces que dado $r_k\in R_k$,
$f_k(r_k)=f(\rho_k(r_k))$, por lo que  $f((r_i)_{i\in I})=f(\sum_{i\in I}(\rho_i(r_i)))=\sum_{i\in I}f_i(r_i)$. Observar que, aunque no lo
parezca, por definici\'{o}n de suma directa est\'{a} es una suma finita (en grupos  no podemos sumar un n\'{u}mero infinito de elementos).

2-. Comprobemos entonces que la aplicaci\'{o}n $f:\bigoplus_{i\in I} R_i\to R'$ definido por $f((r_i)_{i\in I})=\sum_{i\in I}f_i(r_i)$ es un
homomorfismo de anillos que verifica el enunciado:

$\star$ ?`Es homomorfismo de grupos? $$\eqalign{f( (r_i)_{i\in I}+(r'_i)_{i\in I})&=f( ( r_i +r'_i)_{i\in I})=\sum _{i\in I} f_i(
r_i+r'_i)\cr&= \sum_{i\in I} f_i(r_i)+\sum_{i\in I} f_i(r'_i)= f((r_i)_{i\in I})+f((r'_i)_{i\in I})}$$

$\star$ ?`va bien con el producto? $$\eqalign{f( (r_i)_{i\in I}.(r'_i)_{i\in I})&=f( ( r_i .r'_i)_{i\in I})=\sum _{i\in I} f_i(
r_i.r'_i)=\sum _{i\in I} f_i( r_i).f_i(r'_i)\cr&{\buildrel (*)\over =} \sum_{i\in I} f_i(r_i).\sum_{i\in I} f_i(r'_i)= f((r_i)_{i\in
I}).f((r'_i)_{i\in I})}$$


 {\bf Nota:} Observar que la igualdad $(*)$ es cierta ya que $f_i(r_i).f_j(r_j)=0$ para todo $i,j\in I$ con $i\ne j$.

$\star$ ?`Hace conmutativo los diagramas?  Pues claro $$f\circ \rho_k(r_k)=f_k(r_k).$$

Veamos ahora que todo anillo con estas propiedades es isomorfo al producto cartesiano de los $\{R_i\}_{i\in I}$. Sea $\hat R$  un anillo y
$g_i:R_i\to \hat R$ una familia de monomorfismos de anillos tales que para cada anillo $R'$ y cada familia de homomorfismos de anillos
$f_i:R_i\to R'$ existe un \'{u}nico homomorfismo de anillos  $f: \hat R\to R'$ tal que para cada $k\in I$ el siguiente  diagrama es
conmutativo:

\centerline{\epsfxsize=4cm \epsfysize=3cm \epsfbox{ProdFundProd1.png}}



Si consideramos ahora $R'=\bigoplus_{i\in I} R_i$ y $f_i=\rho_i$ las inclusiones can\'{o}nicas te\-ne\-mos, aplicando varias veces esta
propiedad fundamental:



\centerline{\epsfxsize=8cm \epsfysize=4cm \epsfbox{ProdFundSum2.png}}

En donde $g\circ f=Id _{\hat R}$ y $f\circ g=Id_{\bigoplus R_i}$ lo que demuestra que tanto $f$ como $g$ son isomorfismos, y por tanto
$\hat R$ y $\bigoplus_{i\in I} R_{i}$ son anillos isomorfos.





\parrafo{El anillo de matrices}

\re{\dematrices}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo y $n\in {\bbb N}$. Entonces ${\cal M}_n(R)$ con su suma y producto habitual tiene
estructura de anillo. Es m\'{a}s,

\item{--} ${\cal M}_n(R)$ es conmutativo si y s\'{o}lo si $R$ es conmutativo y $n=1$.
\item{--} ${\cal M}_n(R)$ es un anillo de divisi\'{o}n si y s\'{o}lo si $R$ es un anillo de divisi\'{o}n  y $n=1$.
\item{--} ${\cal M}_n(R)$ es un cuerpo si y s\'{o}lo si $R$ es un cuerpo  y $n=1$.
\endre

\parrafo{El anillo de polinomios y el anillo de series formales}

\re{\deserie} {Def} Sea $R$ un anillo. Se define el anillo de series formales sobre $R$ y se representa por $R[[X]]$ como:
$$R[X]:=\{f:{\bbb N}\to R\}\quad \hbox{supondremos en este caso que } 0\in {\bbb N}$$
con suma y producto dado por:
$$\eqalign{(f+g)(k):&=f(k)+g(k)\cr (f.g)(k):&=\sum_{i=0}^k f(i)g(k-i)}$$


$$R[X]:=\{f:{\bbb N}\to R\ \vert\ f(i)=0\hbox{ casi para todo } i\}$$


\parrafo{Hechos destacables:}

\item{$\star$} Se han dado los anillos $\bbb Z, Q, R, C$, el anillo de congruencias m\'{o}dulo $n$ (para $n$ cualquier natural) y como ejemplo m\'{a}s abstracto
$({\cal P}(X), \triangle, \cap)$ para cualquier conjunto $X$.

\item{$\star$} Tenemos los subanillos de cualquier anillo dado.

\item{$\star$} Dado cualquier grupo abeliano $G$ tenemos el anillo $\End(G)$.

\item{$\star$} Podemos construir el producto directo, as\'{\i} como la suma directa de una familia arbitraria de anillos.

\item{$\star$} Podemos construir el anillo de matrices de un anillo dado.

\vskip 2truecm

\centerline{\bf Bibliograf\'{\i}a.}

\vskip 1truecm

$\star$ {\bf J. B. Fraleigh}, ``A First Course in Abstract Algebra". Addison-Wesley Publishing Company (1982).

$\star$ {\bf W. Keith Nicholson}, ``Introduction to Abstract Algebra". J. Wesley \& Sons Publishing Company (1999).


\vfill\eject

\Tema{\segundo}{TEMA 2} \vskip 1truecm

\parrafo{Introducci\'{o}n}
En este tema vamos a estudiar m\'{a}s en profundidad los anillos de integridad: recordamos que dado un anillo $R$, un elemento no nulo $a\in R$
se dice que es  un {\bf divisor de cero por la izquierda} si existe un elemento no nulo $b\in R$ tal que $a.b=0$. De manera an\'{a}loga se
define {\bf divisor de cero por la derecha}. Un {\bf dominio de integridad} es un anillo conmutativo y unitario sin divisores de cero.

Como primer resultado obtendremos que los dominios de integridad son precisamente los anillo $R$ en los que las ecuaciones $aX+b=0$ y
$Xa+b=0$, con $a,b\in R$, caso de tener soluci\'{o}n, est\'{a} es \'{u}nica (esto no es m\'{a}s que otra forma de expresar las leyes de cancelaci\'{o}n).

Observamos que los anillos de divisi\'{o}n son precisamente los anillos en los que  estas ecuaciones tienen soluci\'{o}n \'{u}nica.

Como \'{u}ltimo resultado de la secci\'{o}n demostraremos  que todo dominio de integridad finito es cuerpo. Para finalizar el tema, demostraremos
el Teorema (peque\~{n}o) de Fermat y una genera\-lizaci\'{o}n de este, el teorema de Euler.

Nos har\'{a}n falta los siguientes resultados (todos ellos visto en el primer cuatrimestre):

\item{$\star$} Toda aplicaci\'{o}n inyectiva de un conjunto finito en si mismo es biyectiva.
\item{$\star$} Algoritmo de la divisi\'{o}n.
\item{$\star$} Nociones de divisibilidad. Los n\'{u}meros primos.
\item{$\star$} Factorizaci\'{o}n de n\'{u}meros enteros.
\item{$\star$} El m\'{a}ximo com\'{u}n divisor. El teorema de Bezout.
\item{$\star$} El m\'{\i}nimo com\'{u}n m\'{u}ltiplo.


\parrafo{Primeras propiedades}



\re{\leycanc}{Def} Diremos que un anillo $R$ verifica la ley de cancelaci\'{o}n por la izquierda si dados $a,b,c\in R$ con $c\ne 0$, $ca=cb$
entonces $a=b$.  Diremos que un anillo $R$ verifica la ley de cancelaci\'{o}n por la derecha si dados $a,b,c\in R$ con $c\ne 0$, $ac=bc$
entonces $a=b$.
\endre


\re{\teocanc}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo. Las siguientes condiciones son equivalentes:
\item{(i)}  $R$ verifica la ley de cancelaci\'{o}n por la izquierda.
\item{(ii)}  $R$ no tiene divisores de cero por la derecha.
\item{(iii)}  $R$ no tiene divisores de cero por la izquierda.
\item{(iv)}  $R$ verifica la ley de cancelaci\'{o}n por la derecha.\endre

{\bf Nota:} A partir de ahora hablaremos de anillos que verifican la ley de cancelaci\'{o}n y anillos sin divisores de cero.

 {\bf Nota:} Todo dominio de integridad y todo anillo de divisi\'{o}n (en particular todo cuerpo) verifica la ley de cancelaci\'{o}n.

\re{\ecu}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo. Las siguientes condiciones son equivalentes: \item{(i)} $R$ no posee divisores de cero.
\item{(ii)} Para todo par de elementos $a,b\in R$ con $a\ne 0$, las ecuaciones $aX+b=0$ y $Xa+b=0$, si poseen soluci\'{o}n, \'{e}sta es
\'{u}nica.\endre

\re{\ecu}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo. Las siguientes condiciones son equivalentes: \item{(i)} $R$ es un anillo de divisi\'{o}n. \item{(ii)}
Para todo par de elementos $a,b\in R$ con $a\ne 0$, las ecuaciones $aX+b=0$ y $Xa+b=0$, poseen soluci\'{o}n \'{u}nica.\endre


\re{\domfinitos}{Teorema} Todo dominio de integridad finito es cuerpo.\endre


{\bf Demo:} Sea $D$ un dominio de integridad finito y $0\ne a\in D$. Veamos que $a$ es un elemento inversible de $D$. Consideremos la
aplicaci\'{o}n
$$\phi_a:D\to D\quad \hbox{ definida por }\quad \phi_a(x)=ax.$$ Como $D$ verifica la ley de cancelaci\'{o}n por la izquierda, $\phi_a$ es una aplicaci\'{o}n
 inyectiva y como $D$ es finito, $\phi_a$ es sobreyectiva. Por tanto,  existe $b\in D$ con $ab=1$. Por \'{u}ltimo, como $D$ es conmutativo $ab=ba=1$ y $a$ es inversible con inverso $b$.
\endproof




 {\bf Nota:} Hemos demostrado un poco m\'{a}s:

$\star$ Un anillo unitario y finito sin divisores de cero por la derecha (o por la izquierda) es un cuerpo: por la demostraci\'{o}n anterior
dado $a\in R$ existe $b\in R$ con $ab=1$. Si repetimos el proceso para $b$, existe $c\in R$ con $bc=1$. Pero entonces $a=a(bc)=(ab)c=c$ lo
que demuestra que $a=c$ es un inverso para $b$ en $D$, o lo que es lo mismo, que $a$ es inversible con inverso $b$.

$\star$ Si $R$ es un anillo finito y unitario y $a\in R$ es un elemento que no es divisor de cero por la izquierda, entonces existe $b\in
R$ con $ab=1$. Si adem\'{a}s $a$ no es divisor de cero por la derecha, $a$ es inversible (tomamos la aplicaci\'{o}n $\rho_a(b)=ba$ y repetimos el
argumento.

\parrafo{recuerdo del primer cuatrimestre}

Vamos a trabajar con $\bbb Z$, el anillo de los enteros y su orden usual (recordamos que $({\bbb N}, \le )$  es un conjunto bien ordenado:
todo subconjunto no vacio  de $\bbb N$ posee un m\'{\i}nimo).

\re{\aldiv}{Algoritmo de la divisi\'{o}n} Dados $m,d\in {\bbb Z}$, con $d>0$, existen dos \'{u}nicos elementos $c,r\in {\bbb Z}$, con $0\le r<d$,
tales que $m=cd+r$.\endre

{\bf Nota:} Se considera el conjunto $\{m-td\ \vert\ t\in {\bbb Z}\ \hbox{ y }\ m-td>0\}$. Se demuestra que es no vacio y se toma como $r$
es m\'{\i}nimo en este conjunto. Posteriormente se demuestra la unicidad.\endproof

\re{\dedivisor}{Def} Sean $n,m\in {\bbb Z}$. Diremos que $n$ divide a $m$ (o que $m$ es m\'{u}ltiplo de $n$) si existe $r\in {\bbb Z}$ tal que
$m=nr$.
\endre

\re{\dedivisor}{Def} Sean $n,m\in {\bbb Z}$ no nulos. Se define el m\'{a}ximo com\'{u}n divisor de $m$ y $n$ y se representa por $mcd(n,m)$ como un
$d\in {\bbb Z}$ tal que: \item{(i)} $d>0$.
\item{(ii)} $d$ divide a $n$ y a $m$.
\item{(iii)} Si $a$ divide a $n$ y a $m$, entonces $a$ divide a $d$.
\endre
{\bf Nota:} No hay que ser cr\'{e}dulo, hay que demostrar que este n\'{u}mero siempre existe.

\re{\dedivisor}{Def:} Sean $n,m\in {\bbb Z}$ no nulos. Se define el m\'{\i}nimo com\'{u}n m\'{u}ltiplo de $m$ y $n$ y se representa por $MCM(n,m)$ como
un $D\in {\bbb Z}$ tal que: \item{(i)} $D>0$.
\item{(ii)} $n$ y $m$ dividen a $D$.
\item{(iii)} Si $n$ y $m$ dividen a $a$, entonces $D$ divide a $a$.
\endre
{\bf Nota:} Lo mismo de antes.


\re{\teoBezout}{Teorema de Bezout}  Sean $n,m\in {\bbb Z}$ no nulos. Entonces existen $x,y\in {\bbb Z}$ tales que $mcd(n,m)=xn+ym$.

\re{\deprimo}{Def} Se dice que $p\in {\bbb Z}$ es un n\'{u}mero primo si $p\ge 2$ y los \'{u}nicos divisores de $p$ son $\pm1,\pm p$.

\re{\teo}{Teorema} Sea $p$ un n\'{u}mero primo de ${\bbb Z}$ y sean $n_1,n_2,\dots,n_k\in {\bbb Z}$, con $k\in {\bbb N}$. Entonces, si $p$
divide a $\Pi_{i=1}^k n_i$, existe $s\in \{1,\dots,n\}$ tal que $p$ divide a $n_s$.

\re{\fact}{Teorema de factorizaci\'{o}n} Sea $n\in {\bbb Z}$ con $n>1$. Entonces $n$ se puede escribir de forma \'{u}nica (salvo permutaci\'{o}n) como
producto de primos.

\re{\mcdmcm}{Teorema}  Sean $n,m\in {\bbb Z}$ no nulos. Entonces $$mcd(n,m) MCM(n,m)=nm$$

\parrafo{Algunos resultados en Teor\'{\i}a de n\'{u}meros}

\re{\ejedom}{Proposici\'{o}n} Sea $n\in \bbb N$. Entonces $\bar a\in {\bbb Z}_n$ es divisor de cero si y s\'{o}lo si $m.c.d(a,n)\ne 1$ si y solo si
$\bar a$ no es inversible. Por tanto, ${\bbb Z}_n$ es un cuerpo si y s\'{o}lo si $n$ es un n\'{u}mero primo.\endre

{\bf Demo:}  Sea $a\in {\bbb Z}$. Supongamos en primer lugar que $mcd(n,a)=1$. Entonces, por la igualdad de Bezout existen $x,y\in {\bbb
Z}$ tales que $xa+yn=1$. Si miramos esta igualdad en ${\bbb Z}_n$ lo que obtenemos es: $\bar 1=\overline {xa+yn}=\bar x\bar a+\bar y\bar
n=\bar x\bar a$  y por tanto $\bar a$ es un elemento inversible de ${\bbb Z}_n$, por lo que no es divisor de cero. Si $mcd(a,n)=d\ne 1$,
entonces $a=da'$, $n=dn'$ con $n'<n$. Por tanto $\bar 0\ne \bar n'\in {\bbb Z}_n$ y $\bar a \bar n'=\overline {da'n'}=\overline{a'n}=0$,
con lo que $a$ es divisor de cero y no es inversible.\endproof

\re{\fermat}{Teorema de Fermat} Sea $p$ un n\'{u}mero primo y $a\in {\bbb Z}$ tal que $p$ no divide a $a$. Entonces $a^{p-1}\equiv 1$ (mod p).

{\bf Demo:} Consideremos $({\cal U}({\bbb Z}_n), \ )$ el grupo de los elementos inversibles de ${\bbb Z}_n$. Tenemos entonces, por un lado,
que $\# U=p-1$ y por otro que si $p$ no divide a $a$, $mcd(p,a)=1$ y $a\in {\cal U}({\bbb Z}_n)$. luego por el Teorema de Lagrange, $\bar
a^{p-1}=\bar 1$ en ${\cal U}({\bbb Z}_n)$, o lo que es lo mismo, $a^{p-1}\equiv 1 (mod(p))$.\endproof

\re{\fermat}{Corolario} Sea $p\in {\bbb Z}$ primo y $a\in {\bbb Z}$. Entonces $a^{p}\equiv a$ (mod p).

\re{\deeuler}{Def} Se define la funci\'{o}n de Euler como la aplicaci\'{o}n $\phi:{\bbb N}\to {\bbb N}$ definida por
$$\phi(n):=\#\{a\in {\bbb N}\ \vert\ a<n \ \hbox{ y }\ m.c.d(a,n)=1\}$$

\re{\teoEuler}{Teorema de Euler} Sea $a, n\in {\bbb N}$ tales que $m.c.d(a,n)=1$. Entonces $a^{\phi(n)}\equiv 1$ (mod n).

{\bf Demo:} An\'{a}loga al teorema de Fermat.\endproof

\vskip 10truecm

\parrafo{Bibliograf\'{\i}a}

$\star$ {\bf J. B. Fraleigh}, ``A First Course in Abstract Algebra". Addison-Wesley Publishing Company (1982).


$\star$ {\bf W. Keith Nicholson}, ``Introduction to Abstract Algebra". J. Wesley \& Sons Publishing Company (1999).


\vfill\eject




\Tema{\tercero}{TEMA 3} \vskip 1truecm

\parrafo{Introducci\'{o}n}

El tema anterior ha tratado sobre los dominios de integridad, y muy particularmente sobre $\bbb Z$, el anillo de los enteros. Es por todos
conocidos la construcci\'{o}n de $\QQ$ a partir de $\ZZ$:

\item{--} Definimos una relaci\'{o}n de equivalencia en el conjunto de los pares $(a,b)\in {\bbb Z}^*\times
{\bbb Z}$, en donde ${\bbb Z}^*$ denota los enteros menos el cero. Diremos que dos pares $(a,b)$ y $(a',b')$ est\'{a}n relacionados  si y s\'{o}lo
si $ab'=a'b$. La clase de equivalencia del elemento $(a,b)$ se denota por $b\over a$.
$${\bbb Q}:=\{ {b\over a}\ \vert \ a,b\in {\bbb Z},\ a\ne 0\}$$
\item{--} Definimos la suma y el producto en este conjunto como:
$$\vbox{
\+ La suma:&\qquad\quad  &${b\over a}+{b'\over a'}:={ba'+ab'\over aa'}$.\cr \+\ & \ & \cr \+ El producto:& &${b\over a}\ \, \times\ \,
{b'\over a' }:={bb'\over aa'}$.\cr}$$ Nos encontramos con que $(\QQ, +,.)$ es el cuerpo de los racionales.

En este tema vamos a demostrar que esta construcci\'{o}n no es exclusiva de  $\ZZ$, sino que cualquier dominio de integridad se ``sumerge" de
forma similar en un cuerpo.

\parrafo{Construcci\'{o}n del cuerpo de fracciones de un dominio de integridad}

Sea $D$ un dominio de integridad. Consideremos $$D^*\times D:=\{(a,b)\in D\times D\ \vert\ a\ne 0\}$$

\re{\pasouno}{Proposici\'{o}n} Sea $D$ un dominio de integridad. Entonces, en  $D^*\times D$ la relaci\'{o}n, $(a,b)\cong (a',b')$ si y s\'{o}lo si
$ab'=a'b$, es de equivalencia.
\endre

\Proof Veamos que $\cong$ verifica las propiedades reflexiva, sim\'{e}trica y transitiva:

$\star$ Reflexiva: sea $(a,b)\in D^*\times D$. Entonces $ab=ab$, con lo que $(a,b)\cong (a,b)$.

 $\star$ Sim\'{e}trica: Supongamos que $(a,b)\cong (a',b')$. Entonces, $ab'=a'b$ que directamente da $(a',b')\cong (a,b)$.

 $\star$ Transitiva: Supongamos que $(a,b)\cong (a',b')$ y $(a',b')\cong (a'',b'')$. Entonces:
 $$ab'=a'b\quad \hbox{y}\quad a'b''=a''b'$$
 si multiplicamos en la segunda igualdad por $a$ y sustituimos $ab'$ por $a'b$ (primera igualdad) obtenemos
$ aa'b''=aa''b'=a''a'b$ (por lo que simplificando $0\ne a'$,  al  verificar $D$ la leyes de simplificaci\'{o}n) $ab''=a''b$, lo que nos
demuestra que $(a,b)\cong (a'',b'')$.\endproof

 {\bf Nota:}  El conjunto cociente
$D^*\times D/\cong$ se denotar\'{a} por ${\cal Q}(D)$. La clase de equivalencia de un elemento $(a,b)\in D^*\times D$ ser\'{a} denotada por $b\over
a$.


 \re{\prod}{Teorema} Sea $D$ un dominio de integridad.
Entonces, en ${\cal Q}(D)$, las operaciones
$$\vbox{
\+ La suma:&\qquad\quad  &${b\over a}+{b'\over a'}:={ab'+ba'\over aa'}$.\cr \+\ & \ & \cr \+ El producto:& &${b\over a}\ \, \times\ \,
{b'\over a'}:={bb'\over aa'}$.\cr}$$ dotan a ${\cal Q}(D)$ de estructura de cuerpo (llamado el {\bf cuerpo de fracciones} del dominio de
integridad $D$). Es m\'{a}s, la aplicaci\'{o}n $i:D\to {\cal Q}(D)$ definida por $i(d)={d\over 1}$ es un monomorfismo de anillos unitarios.\endre

\Proof Veamos que la suma anterior define una estructura de grupo abeliano en ${\cal Q}(D)$, para ello tendremos que demostrar:
\item{(i)} Que est\'{a} bien definida (hace falta ver que el elemento $(aa',ab'+ba')\in D^*\times D$ y que esta suma no
depende de los representantes.
\item{(ii)} Verifica las propiedades de grupo abeliano.

(i.1) Es claro que $aa'\ne 0$ ya que $D$ es un dominio de integridad y $a\ne 0\ne a'$.

(i.2) Veamos que esta suma no depende de los representantes. Supongamos que $(b,a)\cong (b_1,a_1)$ y que $(b',a')\cong (b'_1,a'_1)$.
Tenemos entonces que:$$ab_1=a_1b\quad \hbox{y}\quad a'b_1'=a_1'b'\eqno{(H)}$$

y queremos demostrar que $(aa',ab'+ba')\cong(a_1a_1',a_1b_1'+b_1a_1')$, es decir:$$ aa'(a_1b_1'+b_1a_1')=a_1a_1'(ab'+ba')$$
$$\eqalign{aa'(a_1b_1'+b_1a_1')& ={*^1}aa'a_1b_1'+aa'b_1a_1'={*^2}aa_1(a'b_1')+(ab_1)a'a_1'\cr &={*^3}aa_1(a_1'b')+(a_1b)a'a_1'={*^4}a_1a_1'(ab'+ba')}$$

$*^1$ aplicando la propiedad asociativa y la distributiva.

$*^2$ aplicando la propiedad asociativa y la conmutativa.

$*^3$ aplicando las identidades de (H).

$*^4$ aplicando la propiedad asociativa, la conmutativa y la distributiva.

Luego la suma est\'{a} bien definida en ${\cal Q}(D)$. Veamos ahora que $({\cal Q}(D), +)$ tiene estructura de grupo abeliano. Antes veamos
algunas propiedades \'{u}tiles:

($P_1$) Dado un elemento no nulo $c\in D$, para todo ${b\over a}\in {\cal Q}(D)$,  ${b\over a}={cb\over ca}$.

($P_2$) Dos elementos $b\over a$, $b'\over a'$ de ${\cal Q}(D)$ tienen representantes con el mismo denominador: ${b\over a}={ba'\over aa'}$
y ${b'\over a'}={ab'\over aa'}$.

($P_3$) La suma de dos elementos $b\over a$ y $c\over a$ con el mismo ``denominador" consiste en  sumar ``numeradores": $${b\over
a}+{c\over a}={ba+ca\over a^2}={b+c\over a}$$
 con estas tres propiedades, ya podemos demostrar f\'{a}cilmente que  $({\cal Q}(D), +)$ tiene estructura de grupo abeliano. Por $P_3$ voy a
 tomar, cuando me sea de inter\'{e}s, ``fracciones" con el mismo denominador"

 (ii.1) Asociativa: sean ${b_1\over a}, {b_2\over a}, {b_3\over a}\in {\cal Q}(D)$. Entonces:
 $$\left({b_1\over a}+ {b_2\over a}\right)+ {b_3\over a}={b_1+b_2\over a}+{b_3\over a}={b_1+b_2+b_3\over a}={b_1\over a}
 +{b_2+b_3\over a}={b_1\over a}+\left( {b_2\over a}+ {b_3\over a}\right)$$

 (ii.2) Conmutativa: sean ${b_1\over a}, {b_2\over a}\in {\cal Q}(D)$. Entonces:
 $${b_1\over a}+ {b_2\over a}={b_1+b_2\over a}={b_2+b_1\over a}={b_2\over a}
 + {b_1\over a}$$

 (ii.3) Neutro: $0={0\over 1}\in {\cal Q}(D)$.

 (ii.4) Opuesto: dado ${b\over a}\in {\cal Q}(D)$,  ${-b\over a}$ es su opuesto, ya que ${b\over a}+{-b\over a}={0\over a}=0$.

 {\bf Nota:} El neutro de la suma es cualquier elemento de la forma ${0\over a}$ con $a\in D^*$.

 Veamos ahora la propiedad asociativa del producto y las distributivas:

 (iii.1) Asociativa: sean ${b_1\over a_1}, {b_2\over a_2}, {b_3\over a_3}\in {\cal Q}(D)$. Entonces:
$$\left({b_1\over a_1} {b_2\over a_2}\right) {b_3\over a_3}={b_1b_2\over a_1a_2} {b_3\over a_3}={b_1b_2b_3\over a_1a_2a_3}={b_1\over a_1}
 {b_2b_3\over a_2a_3}={b_1\over a_1} \left({b_2\over a_2} {b_3\over a_3}\right)$$

 (iii.2) Conmutativa: sean ${b_1\over a_1}, {b_2\over a_2}\in {\cal Q}(D)$. Entonces:
 $${b_1\over a_1} {b_2\over a_2}={b_1b_2\over a_1a_2}= {b_2 b_1\over a_1a_2}= {b_2\over a_2} {b_1\over a_1}$$



  (iv) Distributiva: demostramos s\'{o}lo la distributiva por un lado, ya que hemos demostrado que el producto es  conmutativo.
   Sean ${b_1\over a}, {b_2\over a}, {b_3\over a}\in {\cal Q}(D)$. Entonces:

   $$\eqalign{\left({b_1\over a}+ {b_2\over a}\right) {b_3\over a}&={b_1+b_2\over a}{b_3\over a}={(b_1+b_2)b_3\over a^2}={b_1b_3+b_2b_3\over a^2}\cr &=
   {b_1b_3\over a^2}+{b_2b_3\over a^2}={b_1\over a} {b_3\over a}+ {b_2\over a} {b_3\over a}}$$

Por \'{u}ltimo demostremos que ${\cal Q}(D)$ es un cuerpo, es decir, que es un anillo unitario y que todo elemento no nulo tiene inverso.

  (v.1) Elemento neutro: el elemento ${1\over 1}$ es el elemento neutro de la suma.

 {\bf Nota:} por la propiedad $P_1$, ${1\over 1}={a\over a}$ para todo $a\in D^*$.

 (v.2) Sea ${b\over a}$ un elemento no nulo de ${\cal Q}(D)$. Por lo anterior, $b\ne 0$ y por tanto, ${b\over a}$ es el inverso:
$${b\over a}{a\over b}={ba\over ab}={1\over 1}$$
 Veamos que la aplicaci\'{o}n $i:D\to {\cal Q}(D)$, definida por $i(d):={d\over 1}$, es un monomorfismo de anillos.

$$\eqalign{i(b_1+b_2)&={b_1+b_2\over 1}={b_1\over 1}+{b_2\over 1}=i(b_1)+i(b_2)\cr
i(b_1 b_2)&={b_1b_2\over 1}={b_1\over 1}{b_2\over 1}=i(b_1) i(b_2)} $$

Por \'{u}ltimo si $i(b)=0$, entonces ${b\over 1}={0\over 1}$ por lo que $b 1=0.1 =0$ y $b=0$, es decir, $i$ es una aplicaci\'{o}n inyectiva.
 \endproof


 \re{\coroprod}{Corolario} Un anillo $R$ es un dominio de integridad si y s\'{o}lo si es subanillo de un cuerpo.
\endre

La segunda parte importante del cuerpo de fracciones ${\cal Q}(D)$ de un dominio de integridad $D$ es que  es el cuerpo ``m\'{a}s peque\~{n}o" que
contiene a $D$. Naturalmente la noci\'{o}n de ``ser m\'{a}s peque\~{n}o que" es:


\re{\caraccuerpofrac}{Teorema} Sea $D$ un dominio de integridad, $F$ un cuerpo y $f:D\to F$ un monomorfismo de anillos. Entonces  existe un
\'{u}nico monomorfismo de anillos $g:{\cal Q}(D)\to F$ que hace conmutativo el diagrama.


\centerline{\epsfxsize=4cm \epsfysize=3cm \epsfbox{CuerpoFrac.png}}


 Es m\'{a}s, si $Q$ es un cuerpo tal que existe un monomorfismo de anillos $i:D\to
Q$ y tal que para cada cuerpo $F$ y cada monomorfismo de anillos $f:D\to F$, existe un \'{u}nico monomorfismo de anillos $g:Q\to F$ que hace
conmutativo el diagrama. Se tiene que $Q$ es isomorfo al cuerpo de fracciones de $D$. \vskip .2truecm \centerline{\epsfxsize=8cm
\epsfysize=3cm \epsfbox{CuerpoFracII.png}}



\parrafo{Generalizaciones}

En todo este tema hemos partido de $D$, un dominio de integridad, pero ?`nos hacia falta tanto?

\re{\uni}{Unidad} Si nos fijamos bien en la demostraciones que hemos hecho, ?`donde se usa que $D$ sea unitario?

En la proposici\'{o}n (\pasouno) no se usa el car\'{a}cter unitario: la relaci\'{o}n $(a,b)\cong (a',b')$ si y s\'{o}lo si $ab'=a'b$ es de equivalencia,
sea $D$ unitario o no.

 El Teorema (\prod) demuestra que el conjunto cociente, ${\cal Q}(D)$ con las operaciones definidas tiene estructura de anillo
 (aqu\'{\i} no hace falta la unidad. Para demostrar que ${\cal Q}(D)$ es un cuerpo (luego unitario), parece ser que s\'{\i}. No obstante,
 dado $0\ne a\in D$, $a\over a$ es la unidad de ${\cal Q}(D)$ y el inverso de un elemento no nulo $b\over a$ sigue siendo $a\over b$.
 Por lo que la unidad de $D$, en realidad, no ha hecho falta.

 Si nos damos cuenta, los \'{u}ltimos teoremas tampoco hacen uso de que $D$ tiene un elemento unitario.

 \re{\divi}{Divisores de cero} Aqu\'{\i} la cosa se complica algo m\'{a}s. Pero en realidad dado un anillo $R$, si definimos el conjunto $Z(R)$
 como:
 $$Z(R)=\{a\in R\ \vert\ ax=xa \quad \hbox{para todo}\quad x\in R \}$$
y no hay divisores de cero  $R$ contenidos en $Z(R)$. Se puede dar una construcci\'{o}n id\'{e}ntica en la anterior, en la que se obtiene un anillo
 denotado por $Z^{-1}R$ y que tiene la propiedad que todo elemento no nulo de $Z(R)$ es inversible en $Z^{-1}R$.

Observar que si $D$ es un dominio de integridad $Z(D)=D$.

\parrafo{ Bibliograf\'{\i}a.}



$\star$ {\bf J. B. Fraleigh}, ``A First Course in Abstract Algebra". Addison-Wesley Publishing Company (1982).

$\star$ {\bf W. Keith Nicholson}, ``Introduction to Abstract Algebra". J. Wesley \& Sons Publishing Company (1999).

\vfill\eject


\Tema{\cuatro}{TEMA 4} \vskip 1truecm

\parrafo{Introducci\'{o}n}

En este capitulo vamos a introducir la estructura cociente. En el cuatrimestre anterior se ha estudiado esta noci\'{o}n en el contexto de
grupos, apareciendo la noci\'{o}n de subgrupo normal: Dado un grupo $G$ y un subgrupo $N$, se podia construir la estructura cociente $Q/N$ si y
s\'{o}lo si $N$ era subgrupo normal de $G$.

Dado un anillo $R$ y una relaci\'{o}n de equivalencia $\cong$ en $R$ vamos a definir una estructura de anillo en el conjunto cociente
$R/\cong$, en donde la suma y el producto queden definidos por: $$\eqalign{\bar x+\bar y:&=\overline{x+y}\cr \bar x \bar y:&=\overline{x
y}}$$
 {\bf Nota:} Lo cual, al igual que en el caso de grupos, significa ``buscar" cuales son las relaciones de equivalencia compatibles con las
 operaciones del anillo.

Si consideramos $G$ un grupo con elemento neutro $e$ y $\cong$ una relaci\'{o}n en $G$ que de estructura de grupo al cociente, tenemos:

-- La clase del elemento neutro $[e]$, es cerrada para la suma: $[e]+[e]=[e]$.

-- Si $x\in [e]$, $x^{-1}\in [e]$: si $x\in [e]$, $[e]=[e][e]=[x][x^{-1}]=[e][x^{-1}]=[x^{-1}]$. Por lo que $[e]$ resulta ser un subgrupo.

-- $[e]$ es un subgrupo normal de $G$: dado $x\in [e]$ e $y\in G$, $[yxy^{-1}]=[y][x][y^{-1}]=[y][e][y^{-1}]=[y][y^{-1}]=[e]$. Por lo que
$yxy^{-1}\in [e]$.

Por \'{u}ltimo, si definimos la relaci\'{o}n: dados $x,y\in G$ diremos que $x\equiv y$  si y solo si $xy^{-1}\in [e]$. Resulta que la clases de
equivalencia de $\cong$ y $\equiv$ coinciden, por lo que son la misma relaci\'{o}n de equivalencia. As\'{\i},  se introduce la estructura cociente
de un grupo $G$ respecto de un cierto subgrupo normal $N$.

Veamos que sucede en teor\'{\i}a de anillos.

\parrafo{Ideales de un anillo}

Sea $R$ un anillo y  $\cong$ una relaci\'{o}n de equivalencia  en $R$. Queremos definir  una estructura de anillo en el conjunto cociente
$R/\cong$, en donde la suma y el producto queden definidos por: $$\eqalign{\bar x+\bar y:&=\overline{x+y}\cr \bar x \bar y:&=\overline{x
y}}$$

Tenemos que $(R/\cong,+)$ va a tener estructura de grupo, por lo que las \'{u}nicas posibles relaciones de equivalencia vienen dadas a partir
de subgrupos normales de $(R,+)$.

{\bf Nota:} Como $(R,+)$ es un grupo abeliano, cualquier subgrupo de $R$ es un subgrupo normal.

Sea $R$ un anillo,  $I$ un subgrupo de $R$ y $\cong$ la relaci\'{o}n $x\cong y$ si y solo si $x-y\in I$. Supongamos que $R/\cong$ tiene
estructura de anillo. entonces:

-- Dado $x\in R$, $y\in I$, $[x][y]=[0][y]=[0]$, $[y][x]=[y][0]=[0]$. Por lo que para todo $x\in R$, $y\in I$, $xy,yx\in I$.

Veamos que \'{e}sta es la condici\'{o}n que nos faltaba.

\re{\deideal}{Def} Sea $R$ un anillo. Se dice que $I\subset R$ es un {\bf ideal} de $R$ si $I$ es un subanillo de $R$ tal que para todo
$x\in R$, $y\in I$, $xy,yx\in I$.\endre

\re{\ejemideal}{Ejemplos} --- Sea $R$ un anillo, entonces $R$ y $\{0\}$ son siempre ideales de $R$ (llamados triviales).

--- Sea $\bbb Z$ el anillo de los enteros. Entonces para cada $n\in {\bbb N}$ el conjunto $n{\bbb Z}$ es un ideal de $\bbb Z$.


\re{\proi}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo e $I$ un ideal de $R$. Entonces si $I$ contiene un elemento inversible  de $R$, $I=R$. Por tanto
los \'{u}nicos ideales de un anillo de divisi\'{o}n son los triviales.\endre


\re{\prococi}{Teorema} Sea $R$ un anillo e $I$ un ideal de $R$. Entonces:
\item{(i)} La relaci\'{o}n $x\cong y$ si y solo si $x-y\in I$ es de equivalencia.
\item{(ii)} $(R/\cong,+,\ )$ con las operaciones $$\eqalign{\bar x+\bar y:&=\overline{x+y}\cr \bar x \bar y:&=\overline{x y}}$$ tiene estructura de
anillo.

El anillo anterior se denota por $R/I$ y se llama el {\bf anillo cociente de $R$ sobre $I$}. \endre

Asociado a cada estructura hay asociado un homomorfismo, en el caso de anillos de cocientes no iba a ser menos:



\re{\defproy}{Def} Sea $R$ un anillo y $I$ un ideal de $R$. Entonces la aplicaci\'{o}n $\pi: R\to R/I$ definida por $\pi(r)=[r]$ es un
epimorfismo de anillos (llamado el epimorfismo de {\bf proyecci\'{o}n} de $R$ en $R/I$).\endre

\re{\primerriso}{Teorema (Propiedad fundamental del cociente)} Sean $R$ y $R'$ dos anillos y $f:R\to R'$ un homomorfismo de anillos. Sea
$I$ un ideal de $R$ tal que $I\subset \Ker(f)$. Entonces la aplicaci\'{o}n $\bar f:R/I\to R'$ definida por $\bar f(\bar x):=f(x)$ es un
homomorfismo de anillos. \endre


\re{\primeriso}{Teorema (primer teorema de Isomorf\'{\i}a)} Sean $R$ y $R'$ dos anillos y $f:R\to R'$ un homomorfismo de anillos. Entonces:
\item{(i)} $\Ker(f)\triangleleft R$.
\item{(ii)} $R/\Ker(f)\cong Im(f)$. Es m\'{a}s, la aplicaci\'{o}n $\bar f:R/\Ker(f)\to Im(f)$ definida por $\bar f([x]):=f(x)$ es un isomorfismo de
anillos.\endre


\re{\ejencociente}{Ejemplo} Sea $\bbb Z$ el anillo de los enteros y $n\in {\bbb N}$. Entonces ${\bbb Z}/n{\bbb Z}\equiv {\bbb Z}_n$.\endre

\re{\deflado}{def} Sea $R$ un anillo. Se dice que $I$ es un ideal por la izquierda de $R$ y se representa por $I\triangleleft_l R$ si $I$
es un subanillo de $R$ tal que para todo $x\in R$, $y\in I$, $xy\in I$. Se dice que $I$ es un ideal por la derecha de $R$ y se representa
por $I\triangleleft_r R$ si $I$ es un subanillo de $R$ tal que para todo $x\in R$, $y\in I$, $yx\in I$.

Nos va a interesar construir ideales a partir de elementos. El siguiente teorema nos dice como.

\re{\conside}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo y $x\in R$. Entonces:
\item{(i)} $Rx=\{ax\ \vert\ a\in R\}$ es un ideal por la izquierda de $R$. Si $R$ es unitario $x\in Rx$.
\item{(ii)} $Rx+{\bbb Z}x$ es un ideal por la izquierda de $R$ que contiene a $x$. Es m\'{a}s, \'{e}ste es es el ideal por la izquierda m\'{a}s peque\~{n}o de $R$
que contiene a $x$.
\item{(iii)} $xR=\{xa\ \vert\ a\in R\}$ es un ideal por la derecha de $R$. Si $R$ es unitario $x\in xR$.
\item{(iv)} $xR+{\bbb Z}x$ es un ideal por la derecha de $R$ que contiene a $x$. Es m\'{a}s, \'{e}ste es es el ideal por la derecha  m\'{a}s peque\~{n}o de $R$
que contiene a $x$.
\item{(v)} $RxR=\{\sum_{finita} a_ixb_i\ \vert\ a_i,b_i\in R\}$ es un ideal de $R$. Si $R$ es unitario, $x\in RxR$.
\item{(vi)} $RxR+Rx+xR+{\bbb Z}x$ es un ideal de $R$ que contiene a $x$. Es m\'{a}s, \'{e}ste es es el ideal m\'{a}s peque\~{n}o de $R$
que contiene a $x$.\endre

\re{\proidII}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo y $I_1,I_2$ dos ideales (ideales por la izquierda, por la derecha) de $R$. Entonces:
\item{(i)} $I_1\cap I_2$ es un ideal (ideal por la izquierda, por la derecha) de $R$.
\item{(ii)} $I_1+ I_2$ es un ideal (ideal por la izquierda, por la derecha) de $R$.
\item{(iii)} $I_1 I_2:=\{\sum y_iy_i'\ \vert\ y_i\in I_1, y_i'\in I_2\}$ es un ideal (ideal por la izquierda, por la derecha) de $R$.

Es m\'{a}s, si $I_1,I_2$ son ideales de $R$, entonces $I_1I_2\subset I_1\cap I_2\subset I_1+I_2$.

\re{\segiso}{Teorema} Sea $R$ un anillo e $I_1,I_2$ dos ideales de $R$. Entonces:
\item{(i)} $I_1,I_2$ son ideales de $I_1+I_2$ y $I_1\cap I_2$ es ideal tanto de $I_1$ como de $I_2$.
\item{(ii)} $I_1+I_2/I_1\cong I_2/\cap (I_1\cap I_2)$.\endre

\re{\teriso}{Teorema} Sea $R$ un anillo e $I_1\subset I_2$ dos ideales de $R$. Entonces:
\item{(i)} $I_1/I_2$ es un ideal de $R/I_2$.
\item{(ii)} $(R/I_2)/(I_1/I_2)\cong R/I_1$.\endre


\parrafo{Subcuerpo primo}

En esta secci\'{o}n vamos a ver que todo anillo de divisi\'{o}n $\Delta$ contiene como subanillo a ${\bbb Z}_p$ o a $\bbb Q$. M\'{a}s precisamente:

\re{\teosubcuer}{Teorema} Sea $\bbb F$ un cuerpo. Entonces:
\item{(i)} Si $\bbb F$ tiene caracter\'{\i}stica cero, ${\bbb Q}\subset {\bbb F}$.
\item{(i)} Si $\bbb F$ tiene caracter\'{\i}stica $p$, ${\bbb Z}_p\subset {\bbb F}$.\endre
A $\bbb Q$ o ${\bbb Z}_p$, con $p$ un n\'{u}mero primo,  se les denomina los subcuerpos primos.

\Proof Sea la aplicaci\'{o}n $f:{\bbb Z}\to {\bbb F}$ definida por $f(n)=1+{\buildrel n \over \cdots}+1=n 1$. Claramente, $f$ es un
homomorfismo de anillos, es m\'{a}s:

$\star$  Si la caracter\'{\i}stica de $\Delta$ es $0$, $f$ es un monomorfismo de anillos, por  lo que aplicado la propiedad fundamental del
cuerpo de fracciones de un dominio de integridad, existe$\bar f:{\bbb Q}\to {\bbb F}$ un monomorfismo de anillos, por lo que se puede
considerar ${\bbb Q}$ contenido en ${\bbb F}$.

$\star$ Si la caracter\'{\i}stica de $\bbb F$ es un n\'{u}mero $p$, (que sabemos que es un n\'{u}mero primo), $\Ker(f)=p{\bbb Z}$ y por el primer
teorema de Isomorf\'{\i}a $${\bbb Z}_p\cong {\bbb Z}/\Ker(f)\cong \Im(f)\subset {\bbb F}.$$ lo que nos demuestra el teorema. \endproof


\parrafo{Ideales primos, ideales maximales}

 Los dos \'{u}ltimos resultados importantes de este tema se van a centrar en teor\'{\i}a de anillos unitarios. No obstante las definiciones se
har\'{a}n de forma general.

\re{\defmax}{Def} Sea $R$ un anillo. Se dice que un ideal  $I$ de $R$ es maximal si $I\ne R$ y dado cualquier ideal $J$ de $R$ tal que
$I\subset J\subset R$ se tiene que $J=I$ o $J=R$.

\re{\procomax}{Teorema} Un ideal $I$ de un anillo conmutativo y unitario $R$ es maximal si y solo si el anillo cociente $R/I$ es un cuerpo.
\endre
\Proof Supongamos que $R/I$ es un cuerpo y sea $J$ un ideal de $R$ distinto de $I$ con $I\subset J$. Entonces, dado $x\in J-I$, $\bar 0\ne
\bar x\in R/I$ y como $R/I$ es un cuerpo, existe $\bar z\in R/I$ tal que $\overline{xz}=\overline 1$. Por tanto, $xz-1=y\in I$ y as\'{\i},
$1=xz-y\in J$, ya que $xz\in J$ y $y\in I\subset J$. Luego $J=R$ al contener a $1$.

Supongamos que $I$ es un ideal maximal de $R$ y sea $\bar 0\ne \bar x\in R/I$. Tenemos entonces que $x\notin I$. Por otro lado, $Rx$ es un
ideal de $R$ que contiene a $x$ (ya que $R$ es conmutativo y unitario) y por tanto $I+Rx$ es un ideal de $R$ que contiene a $I$ y a $x$,
por lo que, por la maximalidad de $I$, $I+Rx=R$. As\'{\i}, existe $y\in I$ y $z\in R$ con $y+zx=1$ o lo que es lo mismo, $\bar x\bar z=\bar 1$
en $R/I$. Luego $R/I$ es un anillo conmutativo y unitario en donde todo elemento no nulo tiene inverso, $R/I$ es un cuerpo.\endproof


\re{\desimple}{Def:} Se dice que un anillo $R$ es simple si los \'{u}nicos ideales que posee son los triviales.\endre

Ya sabemos que los anillos de divisi\'{o}n y en particular los cuerpos son anillos simples. En el caso de anillos conmutativos y unitarios se
tiene el rec\'{\i}proco:


 \re{\cormax}{Corolario} Un anillo conmutativo y unitario $R$ es un cuerpo si y s\'{o}lo si s\'{o}lo posee los ideales
triviales.\endre

\Proof Si $R$ es un cuerpo, $R$ s\'{o}lo tiene los ideales triviales. Si $R$ es un anillo conmutativo y unitario que s\'{o}lo posee los ideales
triviales, $\{0\}$ es un ideal maximal de $R$ y por tanto, $R/\{0\}\cong R$ es un cuerpo.\endproof

Hay ejemplos de anillos simples que no son de divisi\'{o}n:

 \re{\teomatrix}{Teorema} Sea $R$ un anillo y $n\in {\bbb N}$. Entonces $\cal I$ es
un ideal de ${\cal M}_n(R)$ si y solo si ${\cal I}={\cal M}_n(I)$ para $I$ un ideal de $R$. \endre

\Proof Sea $I$ un ideal de $R$. Entonces ${\cal M}_n(I)$ es un ideal de ${\cal M}_n(R)$:

$\star$ $({\cal M}_n(I),+)$ es un grupo abeliano: dados $(y_{ij})_{ij=1}^n, (y'_{ij})_{ij=1}^n\in {\cal M}_n(I)$,

\item{--} $(y_{ij})_{ij=1}^n+ (y'_{ij})_{ij=1}^n=(y_{ij}+y'_{ij})_{ij=1}^n\in {\cal M}_n(I)$.

\item{--} $(0_{ij})_{ij=1}^n\in {\cal M}_n(I)$

\item{--} El opuesto de $(y_{ij})_{ij=1}^n$ es $(-y_{ij})_{ij=1}^n\in {\cal M}_n(I)$

$\star$ Veamos que es un ideal: dados $(y_{ij})_{ij=1}^n\in {\cal M}_n(I)$ y $(x_{ij})_{ij=1}^n\in {\cal M}_n(R)$,

\item{--} $(x_{ij})_{ij=1}^n (y_{ij})_{ij=1}^n=(\sum_{k=1}^n x_{ik}y_{kj})_{ij=1}^n\in {\cal M}_n(I)$, ya que $x_{ik}y_{kj}\in I$ para
cualesquiera  $i,j,k\in \{1,2,\cdots,n\}$.

\item{--} $(y_{ij})_{ij=1}^n (x_{ij})_{ij=1}^n=(\sum_{k=1}^n y_{ik}x_{kj})_{ij=1}^n\in {\cal M}_n(I)$, ya que $y_{ik}yx_{kj}\in I$ para
cualesquiera  $i,j,k\in \{1,2,\cdots,n\}$.

Sea ahora $\cal I$ un ideal de ${\cal M}_n(R)$. Veamos que existe un ideal $I$ de $R$ tal que ${\cal I}={\cal M}_n(I)$:  denotemos por
$e_{ij}$ la matriz de ${\cal M}_n(R)$ que tiene un uno en el lugar $ij$ y ceros en el resto.

$\star$ Dada una matriz $A=(a_{ij})_{ij=1}^n\in {\cal M}_n(R)$, $A=\sum_{ij=1}^n e_{ii}Ae_{jj}$: s\'{o}lo hay que darse cuenta que
$e_{ii}Ae_{jj}$ es la matriz que tiene a $a_{ij}$ en el lugar $ij$ y ceros en el resto.

$\star$  Si $Y=(x_{ij})_{ij=1}^n\in {\cal I}$,  y considero $x_{rs}\in R$ la  coordenadas $rs$ de esta matriz, entonces la matriz $A$ que
tiene a $x_{rs}$ en el lugar $r's'$ y ceros en el resto pertenece a $\cal I$: solo hay que darse cuenta que $A=e_{r'r} (x_{rs})_{ij=1}^n
e_{ss'}$.



 Consideremos la
aplicaci\'{o}n
$$\pi_{11}: {\cal M}_n(R)\to R\quad \hbox{definida por}\quad \pi((x_{ij})_{ij=1}^n)=x_{11}.$$
 y sea $I=\pi_{11}({\cal I})$ (el conjunto de las coordenadas 11 de cada matriz de ${\cal I}$).

 Veamos que ${\cal I}\subset {\cal M}_n(I)$: dado $Y\in {\cal I}$, por la propiedad segunda, cada coordenada de $Y$ pertenece a $I$.

 Veamos que ${\cal M}_n(I)\subset {\cal I}$: dada una matriz   $A\in{\cal M}_n(I)$, por la propiedad primera, $A=\sum_{ij=1}^n
  e_{ii}Ae_{jj}$ y por la propiedad segunda cada matriz $e_{ii}Ae_{jj}\in {\cal I}$.\endproof

\re{\teobuen}{Corolario} Sea $R$ un anillo simple y unitario. Entonces para cada $n\in {\bbb N}$, ${\cal M}_n(R)$ es un anillo simple y
unitario. En particular ${\cal M}_n(\bbb F)$ es simple (y no es un cuerpo o un anillo de divisi\'{o}n) para cada cuerpo $\bbb F$.

  En particular ${\cal M}_n(\bbb F)$ es simple (y
no es un cuerpo o un anillo de divisi\'{o}n) para cada cuerpo $\bbb F$.



\re{\deprimo}{Def}  Sea $R$ un anillo. Se dice que un ideal  $I$ de $R$ es primo si $I\ne R$ y para todos $x,y\in R$ tales que  $xy\in I$
se tiene que $x\in I$ o $y\in I$.\endre


\re{\procoprimo}{Teorema} Un ideal $I$ de un anillo conmutativo y unitario $R$ es primo si y solo si el anillo cociente $R/I$ es un dominio
de integridad.\endre

\Proof Supongamos que el anillo cociente $R/I$ es un dominio de integridad y sean $x,y\in R$ con $xy\in I$. Tenemos entonces que $\overline
{xy}=\overline 0$ en el dominio de integridad $R/I$ por lo que o $\bar x=\bar 0$, y as\'{\i} $x\in I$ o $\bar y=\bar 0$, y as\'{\i} $y\in I$.

Supongamos que $I$ es un ideal primo de $R$. Veamos que el anillo cociente $R/I$ es un dominio de integridad. Sean $\bar x,\bar y\in R/I$,
con $\bar x\bar y=\bar 0$. Entonces $\overline{xy}=\bar 0$ y por tanto $xy\in I$. Luego $x\in I$, y as\'{\i} $\bar x=\bar 0$  o $y\in I$, y as\'{\i}
$\bar y=\bar 0$. As\'{\i}, $R/I$ es un anillo conmutativo y unitario sin divisores de cero.\endproof

\re{\corprimo}{Corolario} Sea $R$ un anillo conmutativo y unitario. Entonces todo ideal maximal de $R$ es primo.\endre

\Proof Si $I$ es un ideal maximal de $R$, $R/I$ es un cuerpo y por tanto un dominio de integridad, lo que implica que $I$ es un ideal
primo.\endproof


\parrafo{Bibliograf\'{\i}a}

$\star$ {\bf J. B. Fraleigh}, ``A First Course in Abstract Algebra". Addison-Wesley Publishing Company (1982).


$\star$ {\bf W. Keith Nicholson}, ``Introduction to Abstract Algebra". J. Wesley \& Sons Publishing Company (1999).


\vfill\eject

 \Tema{\primero}{TEMA 6} \vskip 1truecm

\parrafo{Introducci\'{o}n}

Hemos estudiado a lo largo del curso dos anillos de integridad: $\ZZ$, el anillo de los enteros,  y ${\bbb F}[X]$ con
$\bbb F$ un cuerpo, el anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo, que adem\'{a}s de ser dominios de integridad
tienen una propiedad muy curiosa: todo elemento se escribe ``de forma \'{u}nica" como producto de ``primos". En este tema
vamos a estudiar dominios de integridad con esta propiedad, los dominios de factorizaci\'{o}n \'{u}nica.

\parrafo{Definiciones}

\re{\deI}{Def} Sea $D$ un dominio de integridad. Se dice que $u\in D$ es una unidad si $u$ es un elemento inversible de
$D$. Dados $a,b\in D$. Se dice que $a$ divide a $b$ y se representa $a\vert b$ si existe $c\in D$ tal que $b=ac$.

\re{\proa}{Propiedades} Sea $D$ un dominio de integridad y sean $a,b,c\in D$. Entonces:
\item{(i)} $a \vert a$.
\item{(ii)} Si $a\vert b$ y $b\vert c$, entonces $a\vert c$.
\item{(iii)} Si $a\vert b$ y $a\vert c$, entonces $a\vert xb+yc$ para todo $x,y\in \ZZ$.

\re{\proI}{Proposici\'{o}n} Sea $D$ un dominio de integridad y sean $a,b\in D$. Las siguientes condiciones son
equivalentes:
\item{(i)} $a\vert b$ y $b\vert a$.
\item{(ii)} Existe $u\in D$ una unidad tal que $a=ub$.
\item{(iii)} $Da=Db$ (El ideal generado por $a$ coincide con el ideal generado por $b$).

Si $a,b$ verifican las condiciones anteriores, se dice que $a$ y $b$ son asociados y se representa por $a\sim b$.

\re{\corI}{Corolario} Sea $D$ un dominio de integridad. Entonces la relaci\'{o}n $\sim$ es de equivalencia.

\re{\deII}{Def} Sea $D$ un dominio de integridad. Se dice que un elemento $p\in D$ es irreducible si:
 \item{(i)} $p$ no es una unidad ni es cero.
 \item{(ii)} Si $p=ab$ con $a,b\in D$, entonces  $a$ o $b$ es una unidad de $D$.

\re{\ejem}{Ejemplo} Los n\'{u}meros primos de $\bbb Z$ o los polinomios irreducibles de $\bbb F[X]$, con $\bbb F$ un
cuerpo, son irreducibles.

\re{\theo}{Teorema} Sea $D$ un dominio de integridad y sea $0\ne p\in D$ que no es unidad. las siguientes condiciones
son equivalentes:
\item{(i)} $p$ es irreducible.
\item{(ii)} Si $d\vert p$, entonces $d$ es inversible  o $d\sim p$.
\item{(iii)} Si $p=ab$ entonces $p\sim a$ o  $p\sim b$.


\re{\coroII}{Corolario} Sea $D$ un dominio de integridad y sean $a,b\in D$ con $a$ irreducible. Entonces si $b\sim a$,
$b$ es irreducible. \endre

\re{\decca}{Def} Se dice que un dominio de integridad verifica la condici\'{o}n de cadena ascendente (C.C.A.) para sus
ideales principales si toda cadena de ideales principales,
$$Da_1\subset Da_2\subset\cdots\subset Da_n\subset \cdots$$ es estacionaria. Es decir, existe $k\in {\bbb N}$ tal que $Da_k=Da_{k+s}$
para todo $s\in {\bbb N}$.

\re{\Theo}{Teorema} Sea $D$ un dominio de integridad que satisface C.C.A. para sus ideales principales. Entonces todo
elemento de $D$ se puede escribir como producto de elementos irreducibles.

\parrafo{Dominios de factorizaci\'{o}n \'{u}nica (DFU)}
\re{\dedfu}{Def} Se dice que un dominio de integridad $D$ es un dominio de facto\-ri\-zaci\'{o}n \'{u}nica si para todo
elemento no nulo $a\in D$, con $a$ no inversible se tiene:
\item{(i)}  $a$  se factoriza como producto de irreducibles.
\item{(ii)} Si $a=p_1\cdots p_r=q_1,\cdots q_s$ con $p_i,q_i$ irreducibles, entonces $r=s$ y existe $\sigma\in S_r$ (el
grupo de permutaciones con $r$ elementos) tal que $p_i$ es asociado a $q_{\sigma(i)}$ para $i=1,2,\dots,r$.

{\bf Nota:} Sabemos que ${\bbb Z}$ y ${\bbb F}[X]$ son DFU.

\re{\deprimo}{Def} Sea $D$ un dominio de integridad. Se dice que un elemento $p\in D$ es primo si para todo par de
elementos $a,b\in D$, si $p\vert ab$ entonces $p\vert a$ o $p\vert b$.


\re{\lem}{Lema} Sea $D$ un dominio de integridad y sean $p,a_1,\dots, a_n\in D$. Supongamos que $p$ es primo y divide a
$a_1a_2\cdots a_n$. Entonces existe $k\in \{1,2,\dots, n\}$ tal que $p\vert a_k$.

 \re{\theoIII}{Teorema} En un dominio
de integridad $D$ los elementos primos son irreducibles. Es m\'{a}s, si $D$ es un DFU, se tiene el rec\'{\i}proco.


\re{\theoIV}{Teorema} Sea $D$ un dominio de integridad. Las siguientes condiciones son equivalentes:
\item{(i)} $D$ verifica CCA y  todo elemento  irreducible de $D$ es primo.
\item{(ii)} $D$ es un DFU.


\re{\proI}{Proposici\'{o}n} Sea $D$ un dominio de factorizaci\'{o}n \'{u}nica. Sea $a\in D$ que factoriza como producto de primos
$a=p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}$, con $n_i\in {\bbb N}$. Entonces los divisores de $a$, salvo asociados, son de la forma
$p_1^{m_1}\cdots p_k^{m_k}$, con $m_i\le n_i$.

\re{\demcd}{Def} Sea $D$ un DFU. y sean $a_1,a_2,\dots, a_n\in D$.

$\star$ Se define el m\'{a}ximo com\'{u}n divisor de $a_1,\dots, a_n$ y se representa por $$m.c.d(a_1,a_2,\dots, a_n)$$  a
cualquier $d\in D$ con las siguientes propiedades:
\itemitem{(i)} $d\vert a_i$ para $i=1,2,\dots, n$.
\itemitem{(ii)} Si $r\vert  a_i$ para $i=1,2,\dots, n$, entonces $r\vert d$.

$\star$ Se define el  m\'{\i}nimo com\'{u}n m\'{u}ltiplo  $a_1,\dots, a_n$ y se representa por $$M.C.M(a_1,a_2,\dots, a_n)$$  a
cualquier $ d' \in D$ con las siguientes propiedades:
\itemitem{(i)} $a_i\vert d$ para $i=1,2,\dots, n$.
\itemitem{(ii)} Si $a_i\vert  r$ para $i=1,2,\dots, n$, entonces $d\vert r$.

$\star$ Es f\'{a}cil de demostrar que el m\'{a}ximo com\'{u}n divisor y el m\'{\i}nimo com\'{u}n m\'{u}ltiplo, si existe, son \'{u}nicos salvo
asociados.

\re{\themcd}{Teorema} Sea $D$ un dominio de factorizaci\'{o}n \'{u}nica y sean $a_1,\dots, a_n\in D$ no nulos ni unidades. Sean
$p_1,\dots, p_k$ elementos primos de $D$ tales que para cada $i\in \{1,\dots, n\}$, $a_i=p_1^{n_1^i}\cdots
p_k^{n_k^i}$. Entonces:
\item{(i)} $m.c.d(a_1,a_2,\dots, a_n)$ consiste en el producto de los primos comunes con el menor exponente.
\item{(ii)} $M.C.M(a_1,a_2,\dots, a_n)$ consiste en el producto de los primos comunes y no comunes con el mayor
exponente.

Por tanto, dados $a,b\in D$ no nulos ni unidades, $$a\ b=m.c.d(a,b)\ M.C.M(a,b).$$

{\bf Nota:} El teorema de Bezout no se tiene que verificar para DFU.

\re{\thefinal}{Teorema} Si $D$ es un DFU, entonces $D[X]$ es un DFU.


\parrafo{Dominios de ideales principales (DIP)}

Sea $D$ un dominio de integridad, o m\'{a}s generalmente, sea $D$ un anillo conmutativo y unitario.   Sabemos entonces que
dado $a\in D$ el ideal generado por $a$   es $Da$. (en un anillo arbitrario $R$ es $<a>=RaR+Ra+aR+{\bbb Z}a$).

{\bf Nota:} Durante esta secci\'{o}n denotaremos indistintamente al ideal generado por $a$ como $Da$ o $<a>$.

\re{\deprin}{Def} Se dice que un dominio de integridad $D$ es un dominio de ideales principales (DIP) si todo ideal de
 $D$ es principal, es decir, si $I$ es un ideal de $D$, existe $a\in I$ tal que $I=Da$.

{\bf Nota:} Sabemos que $\bbb Z$ y ${\bbb F}[X]$ con ${\bbb F}$ un cuerpo son dominios de ideales principales: Los
ideales de $\bbb Z$ son de la forma $n{\bbb Z}$ para $n\in {\bbb N}$ y si $I$ es un ideal de ${\bbb F}[X]$ y $p(x)$ es
un polinomio de $I$ con grado m\'{\i}nimo, entonces $I=<p(x)>$.

\re{\propI}{Proposici\'{o}n} Todo DIP verifica CCA para sus ideales.

\re{\propII}{Proposici\'{o}n} En un DIP los elementos irreducibles son primos.

\re{\tehoIJ}{Teorema} Todo DIP es un DFU.

\re{\prio}{Proposici\'{o}n} Sea $D$ un DIP y sean $a_1,\dots, a_n\in D$ no nulos ni inversibles. Entonces:

\item{(i)} $d=m.c.d (a_1,\dots,a_n)$ si y s\'{o}lo si $Da_1+Da_2+\cdots+Da_n=Dd$.

\item{(i)} $d=M.C.M (a_1,\dots,a_n)$ si y s\'{o}lo si $Da_1\cap Da_2\cap \cdots\cap Da_n=Dd$.


{\bf Nota:} Como corolario de (i) se obtiene el teorema de Bezout para DIP (recordamos que no era cierto para DFU).


\re{\theoH}{Teorema} Sea $D$ un DIP y sea $0\ne p\in D$. Las siguientes condiciones son equivalentes:

\item{(i)} $p$ es primo (que es lo mismo que irreducible).
\item{(ii)} $Dp$ es un ideal  maximal de $D$.
\item{(iii)} $D/Dp$ es un cuerpo.
\item{(iv)} $D/Dp$ es un dominio de integridad.
\item{(v)} $Dp$ es un ideal primo de $D$.


\re{\coro}{Corolario} Si $D$ es un DIP y $I$ es un ideal no nulo de $D$, $I$ es un ideal primo si y s\'{o}lo si es maximal.

{\bf Nota:} en un dominio de integridad $D$, el ideal nulo es siempre primo y no tiene que ser maximal (s\'{o}lo es maximal
si $D$ es un cuerpo).

\parrafo{Dominios eucl\'{\i}deos}

Cuando trabajamos con $\bbb Z$ o con ${\bbb F}[X]$, el anillo de polinomios sobre un cuerpo $\bbb F$, demostramos que
verificaban el ``algoritmo de la division". En esta secci\'{o}n vamos a estudiar dominios de integridad en los que existe,
en cierta forma, un algoritmo de la divisi\'{o}n.

\re{\deDE}{Def} Sea $D$ un dominio de integridad. Se dice que $D$ es un dominio eucl\'{\i}deo (DE) si existe una funci\'{o}n
$\delta:D^*\to {\bbb N}^*$ tal que:
\item{(i)} dados $a,b\in D$ con $b\ne 0$ existe $c,r\in D$ tales que $a=cb+r$ en donde $r=0$ o $\delta (r)<\delta (b)$.
\item{(ii)} para todo par de elementos no nulos $a,b\in D$, $ \delta (a)\le \delta(ab)$.

{\bf Nota:} $\bbb Z$ es un dominio eucl\'{\i}deo en donde $\delta$ es el valor absoluto y ${\bbb F}[X]$, el anillo de
polinomios sobre un cuerpo ${\bbb F}$ es dominio eucl\'{\i}deo en donde $\delta$ es la funci\'{o}n grado.

\re{\tfhe}{Teorema} Todo DE es un DIP.

\re{\thealg}{Teorema} En DE se verifica el algoritmo eucl\'{\i}deo. Es decir,

$\star$ dados $a,b\in D$ no nulos, si $a=cb+r$, entonces $m.c.d(a,b)=m.c.d (b,r)$

Por tanto, la funci\'{o}n Eucl\'{\i}dea permite un m\'{e}todo recursivo para calcular el m\'{a}ximo com\'{u}n divisor de dos elementos no
nulos:

Sean $a,b$ dos elementos no nulos de un dominio Eucl\'{\i}deo $D$. Aplicacos el algoritmo de la divisi\'{o}n a $a,b$

$$\eqalign{a=c_1b+r_1\quad&\quad \hbox{Si}\quad r_1\ne 0,\quad \delta(r_1)<\delta(b)\cr
b=c_2r_1+r_2\quad&\quad \hbox{Si}\quad r_2\ne 0,\quad \delta(r_2)<\delta(r_1)\cr r_1=c_3r_2+r_3\quad&\quad
\hbox{Si}\quad r_3\ne 0,\quad \delta(r_3)<\delta(r_2)\cr &\quad \ \vdots\cr
  r_n=c_3r_{n+1}+r_{n+2}\quad&\quad
\hbox{Si}\quad r_{n+2}\ne 0,\quad \delta(r_{n+2})<\delta(r_{n+1})}$$ Como
$\delta(b)>\delta(r_1)>\cdots>\delta(r_n)>\cdots$, existe un $k$ tal que $r_k=0$. Para este $k$ se tiene que
$r_{k-2}=c_{k}r_{k-1}$ y por la propiedad $\star$
$$m.c.d(a,b)=m.c.d (b,r_1)=\cdots=m.c.d(r_{k-2},r_{k_1})=m.c.d(c_{k}r_{k-1},r_{k_1})=r_{k-1}.$$

\parrafo{El anillo de los enteros de Gauss}

En esta \'{u}ltima secci\'{o}n vamos a estudiar una familia de anillos que aparecen al adjuntar a $\bbb Z$ un elemento
$\omega\in {\bbb C}$ tal que $\omega^2\in {\bbb Z}$ (es decir, $\omega$ es soluci\'{o}n del polinomio $X^2-\omega^2\in
{\bbb Z}[X]$).

\re{\anill}{Def} Sea $\omega\in {\bbb C}$ tal que $\omega^2\in {\bbb Z}$ y $\omega\notin \ZZ$. Consideremos el
subanillo de $\CC$ generado por $\ZZ$ y $\omega$, denotado por $\ZZ[\omega]$. Es claro que tienes que contener a $\ZZ$,
y a $\ZZ \omega$ y a sumas de estos elementos. Es f\'{a}cil ver que no contiene elementos nuevos:
$$\ZZ[\omega]=\{n+m\omega\quad \vert \quad n,m\in \ZZ\}$$

{\bf Nota:} Dado $\xi\in \CC$ consideremos el homomorfismo evaluaci\'{o}n $\Phi_\xi:\ZZ[X]\to \CC$ que a cada $p(x)\in
\ZZ[X]$ le hace corresponder $p(\xi)$. Entonces $\Im\Phi_\xi\cong \ZZ[\xi]\cong \ZZ[X]/(\Ker(\Phi_\xi))$.

\re{\lem}{Lema} Sea $\omega\in {\bbb C}$ tal que $\omega^2\in {\bbb Z}$ y $\omega\notin \ZZ$. Entonces:

\item{(i)} $w\notin \QQ$.
\item{(ii)} Si $n+m\omega=n'+m'\omega\in \ZZ[\omega]$, entonces $n=n'$ y $m=m'$.\endre

{\bf Nota:} Recordamos el anillo de los enteros de Gauss que corresponde a $\ZZ[i]$ con $i$ la ra\'{\i}z imaginaria
($i^2=-1$).

\re{\denew}{Def} Sea $\omega\in {\bbb C}$ tal que $\omega^2\in {\bbb Z}$ y $\omega\notin \ZZ$. Consideremos
$\ZZ[\omega]$:

$\star$ Se define el conjugado de un elemento $n+m\omega\in \ZZ[\omega]$ y se representa por $(n+m\omega)^*$ como
$$(n+m\omega)^*:=n-m\omega.$$

$\star$ Se define la norma de un elemento $n+m\omega\in \ZZ[\omega]$ y se representa por $N(n+m\omega)$ como
 $$N(n+m\omega):=n^2-\omega^2 m^2.$$



\re{\de}{Proposici\'{o}n} Sea $\omega\in {\bbb C}$ tal que $\omega^2\in {\bbb Z}$ y $\omega\notin \ZZ$. Sean $a,b\in
\ZZ[\omega]$, entonces:

\item{(i)} $aa^*=a^*a=N(a)=N(a^*)$.
\item{(ii)}$(ab)^*=a^*b^*$ y $a^{**}=a$.
\item{(iii)} $N(ab)=N(a)N(b)$.
\item{(iv)}  $a$ es una unidad de $\ZZ[\omega]$ si y s\'{o}lo si  $N(a)=\pm 1$. Adem\'{a}s,  $a^{-1}=N(a)\ a^*$.
\item{(v)} $N(a)=0$ si y s\'{o}lo si $a=0$.
\item{(vi)} Si $N(a)$ es un primo de $\ZZ$, entonces $a$ es irreducible en $\ZZ[\omega]$.

\re{\fgfh}{Teorema} Sea $\omega\in {\bbb C}$ tal que $\omega^2\in {\bbb Z}$ y $\omega\notin \ZZ$. Entonces
$\ZZ[\omega]$ verifica la C.C.A para sus ideales principales. En particular todo elemento de $\ZZ[\omega]$ factoriza
como producto de irreducibles.

\re{\fgfh}{Teorema} Sea $\omega\in {\bbb C}$ tal que $\omega^2\in {\bbb Z}$ y $\omega\notin \ZZ$. Supongamos que para
cada $r,s\in \QQ$ existen $n,m\in \ZZ$ tales que $$\vert (r-m)-\omega^2(s-n)\vert<1$$ Entonces $\ZZ[\omega]$ es un
dominio eucl\'{\i}deo, con funci\'{o}n Eucl\'{\i}dea $\delta(a)=\vert N(a)\vert$.

\re{\cor}{corolario} EL anillo de los enteros de Gauss es un dominio eucl\'{\i}deo.


{\bf Nota:} Las unidades de $\ZZ[i]$ son $\pm 1,\pm i$.

 Estudiemos ahora cuales son los elementos irreducibles de
$\ZZ[i]$. Ya sabemos que dado $a=n+mi\in \ZZ[i]$, si $N(a)$ es un n\'{u}mero primo, $a$ es irreducible.

En primer lugar podr\'{\i}amos pensar que todo primo de $\ZZ$ es primo en $\ZZ[i]$, pero es falso: $5=(2+i)(2-i)$ (esta es
la factorizaci\'{o}n de $5$ como producto de primos).

\re{\lde}{Proposici\'{o}n} Un n\'{u}mero primo  $p\in \ZZ$ es primo en $\ZZ[i]$ si y s\'{o}lo si no se puede escribir como suma de
dos cuadrados.\endre

{\bf Demo:} Supongamos que $p$ se puede escribir como suma de dos cuadrados, $p=n^2+m^2$. Entonces $$p=(n+mi)(n-mi)$$
en donde $n+mi, n-mi$ si son primos de $\ZZ[i]$ (ya que su norma es un n\'{u}mero primo).

Supongamos que $p=(n+mi)(n'+m'i)$, en donde $n+mi$, $n'+m'i$ no son unidades. Podemos suponer $n,m$ son primos entre
si, entonces:
$$\eqalign{ nn'-mm'&=p\qquad \ (*)\cr nm'+mn'&=0\qquad (**)}$$

veamos varios casos:

$\star$ Si $n=0$, entonces $p=mi\ (n'+m'i)=-mm'+mn'i$, por tanto $n'=0$ y $p=-mm'$ implica que  $m$ o $m'$ es $\pm 1$
(al ser $p$ primo) y $n+mi=\pm i$ o $n'+m'i=\pm i$ es   inversible.

$\star$ Si $m=0$ llegamos al mismo resultado.

$\star$  So $n,m$ son no nulos, entonces $nm'=-mn'$, como $m.c.d(n,m)=1$, $n$ divide a $n'$, por lo que $n'=\alpha n$,
As\'{\i}, por $(*)$, $nm'=-n'm=-\alpha nm$, por lo que $m'=-\alpha m$. Ahora por $(**)$,  $p=nn'-mm'=\alpha n^2+\alpha
m^2=\alpha(n^2+m^2)$ y as\'{\i}, como $p$ es un primo de $\ZZ$, o $n^2+m^2=1$ con lo que $n+mi$ ser\'{\i}a inversible, o
$\alpha=\pm 1$ y $p=(n+mi)( n-mi)=n^2+m^2$, una suma de cuadrados.\hfill \endproof

\re{\lem}{Lema} Sea $p\in \ZZ$ un n\'{u}mero primo tal que $p\equiv 1\ (\hbox{Mod } 4)$. Entonces la ecuaci\'{o}n $x^2+1=0$
tiene soluci\'{o}n en $\ZZ_p$.

{\bf Demo:} En caso contrario, no habr\'{\i}a elementos en $\ZZ_p$ tales que $x^2=-1$ y como $\ZZ_p$ es un cuerpo para cada
$r\in \ZZ_p$ existir\'{\i}a $s\in \ZZ_p$ con $rs=-1$ (los podr\'{e} reordenar a pares), luego si multiplico todos los elementos
de $\ZZ_p^*$, $$(p-1)!\equiv (-1)^{(p-1)/2} \ (\hbox{Mod }p)$$ y como $p\equiv 1\ (\hbox{Mod } 4)$, $(p-1)/2$ es par
por lo que  $$(p-1)!\equiv 1 \ (\hbox{Mod }p)$$ que contradice el teorema de Wilson $(p-1)!\equiv -1 \ (\hbox{Mod
}p)$.\endproof

\re{\je}{Teorema} Sea $p\in \ZZ$ un n\'{u}mero primo. Entonces $p$ es irreducible en $\ZZ[i]$ si y s\'{o}lo si $p\equiv 3\
(\hbox{Mod } 4)$.

{\bf Demo:} Supongamos que $p$ es reducible. Entonces por el teorema anterior $p=n^2+m^2$ con $n,m\in \NN$. Si $p=2$,
$p\equiv 2\ (\hbox{Mod } 4)$ y si $p$ es impar, $n$ es par y $m$ es impar o viceversa, podemos suponer $n$ par, por lo
que
$$\eqalign{ p&\equiv n^2+m^2\equiv 0+1^1\equiv 1 \ (\hbox{Mod }4)\qquad \hbox{\'{o},}\cr p&\equiv n^2+m^2\equiv 0+3^3\equiv 1 \ (\hbox{Mod }4)\ }$$

Supongamos ahora que $p$ es irreducible y no es congruente con 3 m\'{o}dulo 4. Entonces,

$\star$ $p$ no puede ser congruente con cero m\'{o}dulo 4 (ya que es primo).

$\star$ Si $p\equiv 2\ (\hbox{Mod } 4)$, $p=2$ que es reducible, contradicci\'{o}n.

$\star$ Luego $p\equiv 1\ (\hbox{Mod } 4)$. Tenemos entonces que la ecuaci\'{o}n $x^2+1\equiv 0\ (\hbox{Mod }p)$ tiene
soluci\'{o}n por lo que existe $u\in \ZZ$ tal que $u^2+1$ es divisible por $p$, pero en $\ZZ[i]$, $u^2+1=(u+i)(u-i)$ y como
es primo, $p$ dividir\'{\i}a a $u-i$ o a $u+i$, una contradicci\'{o}n.\endproof


\re{\theo}{Teorema} Sea $z=n+mi\in \ZZ [i]$, el anillo de los enteros de Gauss. Entonces $z$ es irreducible (y por
tanto primo)  si y s\'{o}lo si se verifica una de las siguientes condiciones:
\item{(i)} $N(z)$ es un n\'{u}mero primo.
\item{(ii)} $z\in \ZZ$ es un n\'{u}mero primo con $z\equiv 3 \ (\hbox{Mod } 4)$ o asociado a \'{e}ste.

{\bf Demo:} Por los teoremas anteriores, los elementos que verifican (i) y (ii) son irreducibles. Supongamos ahora que
 $z\in \ZZ[i]$ es irreducible y consideremos $N(z)$. Factorizamos $N(z)$ como producto de primos de $\ZZ$ y si $p$ es
 uno de estos primos y es reducible sobre $\ZZ[i]$ lo escribimos como $p=(n+mi)(n-mi)$ producto de primos por (i),(con $n^2+m^2=p$)
 luego como $z$ divide a $N(z)$, y es primo tiene que dividir  a alguno de estos y por tanto es (salvo equivalencia) uno de
 estos.\endproof


\re{\pro}{} Veamos un proceso para factorizar un n\'{u}mero de Gauss: Consideremos $n+mi\in \ZZ[i]$.

\item{$\star$} Paso primero: calculamos la norma de $z$.
$$N(z)=n^2+m^2$$

\item{$\star$} Paso segundo: factorizamos en $\ZZ$ el n\'{u}mero entero $N(z)$.
$$N(z)=p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}$$

\item{$\star$} Paso tercero: Factorizamos cada uno de los primos que aparecen.

\item{$\star$} Paso final: Como $N(z)=zz^*$,  y $\ZZ[i]$ es un dominio de factorizaci\'{o}n \'{u}nica, al ser un dominio
eucl\'{\i}deo, de la factorizaci\'{o}n en primos de $N(z)$ s\'{o}lo nos tenemos que quedar con los que corresponden a $z$ (que son
justamente la mitad).

{\bf Nota:} Si $p_i$ est\'{a} en la factorizaci\'{o}n de $N(z)$ y es primo de $\ZZ[i]$, por tanto $p_i\equiv 3\ (\hbox{Mod
}4)$, entonces debe de aparecer elevado a un n\'{u}mero par.


\parrafo{Bibliograf\'{\i}a}

$\star$ {\bf J. B. Fraleigh}, ``A First Course in Abstract Algebra". Addison-Wesley Publishing Company (1982).


$\star$ {\bf W. Keith Nicholson}, ``Introduction to Abstract Algebra". J. Wesley \& Sons Publishing Company (1999).


$\star$ {\bf J. Dorronsoro y E. Hern\'{a}ndez }, ``N\'{u}meros, Grupos y Anillos". Addison- Wesley (1996).


 \end

\end
