

\hypertarget{temaocho}{ }
\chapter{Clasificaci\'{o}n grupos Abelianos Finitamente Generados} \label{chap:temaocho}

\hrule \vskip0.5cm
%-----------------------------------------------------------------
\noindent{\sffamily\bfseries Objetivos del cap\'{\i}tulo} $\,$
\begin{itemize}\footnotesize
  \item Clasificar, salvo isomorfismo, los grupos abelianos finitamente generados. \'{E}stos quedan como suma directa de un grupo de torsi\'{o}n y un grupo libre de torsi\'{o}n.
 \item Se estudian los grupos abelianos finitamente generados de Torsi\'{o}n, que son precisamente los grupos abelianos finitos. Clasificando estos como producto directo de grupos abelianos c\'{\i}clico del tipo $\ZZ_{p^n}$ con $p$ un n\'{u}mero primo.
 \item Se estudian los grupos abelianos finitamente generados libres de Torsi\'{o}n. Se clasifican como producto directo de $\ZZ$. Se demuestra que \'{e}stos son precisamente los que poseen base, demostrando que el n\'{u}mero de elementos de cualquiera de sus bases es un invariante del grupo.
\end{itemize}
\vskip0.25cm
%-----------------------------------------------------------------
\hrule \vskip0.3cm
\[\,\]





\hypertarget{Gfg}{ }
\section{Grupos finitamente generados} \label{sect:Gfg}

\begin{defi}\rm
Recordamos que un grupo $G$ es finitamente generado si exis\-te un subconjunto finito $X\subset G$ tal que
$G=<X>$.
\end{defi}

\textbf{Nota:} Observar que:

$\blacklozenge$ Un grupo es c\'{\i}clico si y s\'{o}lo si est\'{a} generado por un \'{u}nico elemento.

$\blacklozenge$  $\ZZ_{n_1}\times\cdots\times\ZZ_{n_k}$ est\'{a} generado por  $$X=\{(1,0,\dots,
0),(0,1,\dots,0),\cdots,(0,0,\dots,1)\}.$$ Luego es finitamente generado, teniendo un sistema de generadores
de $k$ elementos (podr\'{\i}a ocurrir que tuviera sistemas de generadores con menos de $k$ elementos).

Aunque en general no es f\'{a}cil calcular el subgrupo generado por un subconjunto, si que podemos dar una
construcci\'{o}n te\'{o}rica de dicho subgrupo:

\begin{prop}\label{prop:subgenII}
Sea $G$ un grupo y $\emptyset\ne X\subset G$. Sea $Y=\{x_i,x_i^{-1}\ \vert\ x_i\in X\}$. Entonces
$$<X>:=\{y_1y_2\dots y_m\ \vert\ a_i\in Y,m\in \NN\}$$
es decir, el conjunto de todos los elementos de $G$ que son productos arbitrarios de elementos de $Y$.
\end{prop}

\Proof Denotemos por $Z=\{y_1y_2\dots y_m\ \vert\ a_i\in Y,m\in \NN\}$. Es claro que el producto de dos
elementos de $Z$ es un elemento de $Z$. Es mas $e=x_1x_1^{-1}\in Z$. Por \'{u}ltimo, si $y_1y_2\dots y_m\in Z$
con $y_i\in Y$, $m\in \NN$, entonces $(y_1y_2\dots y_m)^{-1}=y_m^{-1}\dots y_2^{-1}y_1^{-1}\in Z$. Por tanto
$Z$ es un subgrupo. Por construcci\'{o}n  $Z$ es el menor subgrupo de $G$ que contiene a $X$, por lo que
$Z=<X>$.\EndProof

\begin{prop}
Sean $G,G'$ dos grupos y $f:G\to G'$ un epimorfismo de grupos. Entonces si $G$ es finitamente generado,
 $G'$ tambi\'{e}n lo es.
\end{prop}

\begin{coro}
Si $G$ es un grupo finitamente generado y $H$ es un subgrupo normal de $G$, entonces $G/H$ es finitamente
generado.
\end{coro}

\begin{prop}
Sean $\{(G_i,*_i)\}_{i=1}^n$ una familia de grupos y consideremos $G=G_1\times \cdots\times G_n$ el producto
directo externo de los $G_i$. Entonces $G$ es finitamente generado si y s\'{o}lo si cada $G_i$ es finitamente
generado.
\end{prop}



\hypertarget{Gafg}{ }
\section{Grupos  abelianos finitamente generados} \label{sect:Gafg}


Recordamos en este punto que normalmente, cuando se trabaja con grupos abelianos, se suele usar la notaci\'{o}n
aditiva:

$\bullet$ la operaci\'{o}n se denota por el signo $+$.

$\bullet$ Un elemento operado  n veces, $a+\stackrel{n}{\cdots}+a$, se denota por $na$. Observar entonces que
el orden de un elemento $a\in G$ es el menor natural $m$ tal que $$ma=a+\stackrel{m}{\cdots}+a=0.$$

$\bullet$ El inverso de un elemento $a$ se llamaba opuesto y se denotado por $-a$. El neutro se denota por 0.

En toda esta secci\'{o}n usaremos notaci\'{o}n aditiva.
\begin{defi}\rm
Se dice que un grupo abeliano $G$ es de \textbf{torsi\'{o}n} si todo elemen\-to de $G$ tiene orden finito. Si
ning\'{u}n elemento de $G$ tiene orden finito (salvo el neutro), se dice que $G$ es \textbf{libre de
torsi\'{o}n}.\index{Grupo!Torsi\'{o}n}\index{Grupo!Libre de Torsi\'{o}n}
\end{defi}

\begin{theo}\rm
Sea $G$ un grupo abeliano. Entonces $$T(G):=\{a\in G\ \vert \ a \hbox{ tiene orden finito}\}$$ es un subgrupo
``normal" de $G$, llamado el \textbf{subgrupo de torsi\'{o}n} de $G$.\index{Subgrupo!Torsi\'{o}n}
\end{theo}

\Proof Veamos que $T(G)$ es un subgrupo de $G$. Como $0\in T(G)$ (ya que tiene orden 1), $T(G)$ es no vacio.
Por otro lado, dados $a,b\in T(G)$, existen $n_1,n_2\in \NN$ tales que ${n_1}a=0$ y $n_2 b=0$. Tenemos
entonces que
$$n_1n_2(a-b)=n_2(n_1a)-n_1(n_2b)=0-0=0$$ por lo que $a-b\in T(G)$, lo
que demuestra que $T(G)$ es subgrupo de $G$. Como $G$ es abeliano, es un subgrupo normal de $G$. \EndProof



\begin{prop}[Ejercicio]\rm
Sea $G$ un grupo abeliano y $T(G)$ su grupo de torsi\'{o}n. Entonces $G/T(G)$ es libre de torsi\'{o}n
\end{prop}


\begin{ejem}\rm
Si $G$ es un grupo abeliano finito, entonces $G$ es un grupo de torsi\'{o}n. Si $G=\ZZ\times\cdots\times\ZZ$,
entonces $G$ es libre de torsi\'{o}n.
\end{ejem}

Veamos que el subgrupo generado por un conjunto finito, ver \fullref{Proposici\'{o}n}{prop:subgenII}, queda considerablemente m\'{a}s
simple:

\begin{prop}\label{prop:subgenII}\rm
Sea $G$ un grupo abeliano y $X=\{x_1,x_2,\dots, x_n\}\subset G$. Entonces
$$<X>:=\{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_nx_n\ \vert\ \alpha_i\in  \ZZ\}$$ es decir,
$$<X>=<x_1>+<x_2>+\cdots+<x_n>=\ZZ x_1+\ZZ x_2+\cdots+\ZZ x_n$$
\end{prop}


\begin{coro}\label{coro:fingenII}\rm
Sea $G$ un grupo abeliano generado por $X=\{x_1,x_2,\dots, x_n\}$. Entonces la aplicaci\'{o}n
$$\Phi:\ZZ\times\stackrel{n)}{\cdots}\times\ZZ\to G\quad\hbox{definida por}\quad
\Phi(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)=\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_nx_n$$ es un epimorfismo de
grupos.
\end{coro}

\begin{coro}
Todo grupo abeliano finitamente generado es cociente de un grupo libre de torsi\'{o}n.
\end{coro}

\hypertarget{Gafglt}{ }

\subsection{Libres de torsi\'{o}n} \label{sect:Gafglt}


\begin{defi}
Sea $G$ un grupo abeliano. Se dice que $X=\{x_1,x_2,\dots, x_n\}$ es una \textbf{base} para $G$ si $X$ es un
sistema de generadores de $G$ que verifica que si $\alpha_1 x_1+\cdots+\alpha_nx_n=0$ con $\alpha_i\in \ZZ$
para $i=1,2,\dots,n$ entonces $ \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_n=0$.\index{Base}
\end{defi}

\begin{lema}[Ejercicio]\label{lema:cbase}
Sea $G$ un grupo abeliano y $X=\{x_1,x_2,\dots, x_n\}$ es una base para $G$. Entonces para cualesquiera
$\alpha_2,\dots,\alpha_n\in \ZZ$ si sustituimos $x_1$ por $y_1=x_1+\alpha_2 x_2+\cdots+\alpha_n x_n$
obtenemos una nueva base de $G$.
\end{lema}

\begin{lema}[Ejercicio]\label{lema:cbase2} Sea $G$ un grupo y $X=\{x_1,x_2,\dots, x_n\}$ es una base para $G$.
Entonces para cada natural $1\le k\le n$ se tiene que $G=<\{x_1,\dots, x_k\}>\oplus<\{x_{k+1},\dots, x_n\}>$.
Es m\'{a}s, Si $G$ es producto directo interno de dos subgrupos  $H_1,H_2$ y $X_1, X_2$ son bases respectivas de
$H_1$ y $H_2$.  Entonces $X=X_1\cup X_2$ es una base para $G$.
\end{lema}

\begin{theo}\label{theo:thimp}
Sea $G$ un grupo abeliano y $X=\{x_1,x_2,\dots, x_n\}$ es una base para $G$. Entonces:
\item{(i)} Para cada $k\in\{1,2,\dots,n\}$, $H_k:=<x_k>\cong \ZZ$. Es m\'{a}s,
$$H_1\oplus H_2\oplus \cdots\oplus H_k\cong \ZZ\times\ZZ\times\stackrel{k)}{\cdots}\times\ZZ$$
\item{(ii)} $G$ es suma directa interna de  los subgrupos $H_i$. Es decir, $$G= H_1\oplus H_2\oplus\cdots\oplus H_n$$
\item{(iii)} Cualquier base de $G$ tiene $n$ elementos.
\end{theo}

\Proof (i) Sea $H:=H_1+H_2+\cdots+H_k$. Tenemos entonces que $H$ es un grupo abeliano generado por el
conjunto $\{x_1,x_2,\dots, x_k\}$. Por lo que por  \fullref{el corolario}{coro:fingenII}  la aplicaci\'{o}n
$\Phi:\ZZ\times\stackrel{k)}{\cdots}\times\ZZ\to H_1+H_2+\cdots+H_k$ con
$\Phi(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k)=\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_kx_k$ es un epimorfismo de
anillos. Es m\'{a}s, si $(\alpha_1,\dots,\alpha_k)\in \Ker \Phi$, entonces
$\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_kx_k=0$, por lo que
$$\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_kx_k+0x_{k+1}+0x_n=0$$ y aplicando que $X$ es una base de $G$,
$\alpha_i=0$ para $i=1,2,\dots,n$. As\'{\i}, $\Phi$ es inyectiva y por tanto un isomorfismo de grupos.



(ii) Se sigue de $(i)$ para $k=n$.

(iii) Consideramos $K:=\{2g\ \vert\ g\in G$. Tenemos que claramente $$K=<2x_1>\oplus <2x_2>\oplus\cdots\oplus
<2x_n>$$ y por tanto
\begin{align*} G/K&=(H_1\oplus H_2\oplus\cdots\oplus H_n)/(<2x_1>\oplus <2x_2>\oplus\cdots\oplus
<2x_n>)\\&\cong H_1/<2x_1>\oplus H_2/<2x_2>\oplus \cdots H_n/<2x_n>\\&\cong
\ZZ_2\times\ZZ_2\times\stackrel{n)}{\cdots}\times\ZZ_2
\end{align*}
Luego $G/K$, que est\'{a} construido de forma independiente a la base $X$, tiene $2^n$ elementos, lo que
demuestra el apartado.\EndProof




\begin{theo}\label{theo:fbase}
Sea $G$ un grupo abeliano con base $\{x_1,x_2,\dots,x_n\}$ y sea $H$ un subgrupo de $G$. Entonces existe
una base $X=\{x_1,x_2,\dots, x_n\}$ de $G$ y  unos \'{u}nicos n\'{u}meros naturales $m_1,m_{2},\dots m_k\in \NN$
con $1\le k\le n$ tales que $m_i$ divide a $m_{i+1}$ para $i=1,\dots, k-1$ con $$H=<m_1 x_1>\oplus
<m_2 x_2>\oplus\cdots\oplus <m_k x_k>$$
\end{theo}

\Proof Vamos a dar una demostraci\'{o}n por inducci\'{o}n a $n$, el n\'{u}mero de elementos de cualquier base de $G$.
 Sea $m_1$ el menor natural que aparece como coeficiente de un elemento no
nulo de $H$ en una base de $G$. Es decir, existe $0\ne h\in H$ y $X=\{y_1,y_2,\dots, y_n\}$ una base de $G$
tal que
$$h=m_1 y_1+\cdots+\alpha_{n-1} y_{n-1}+\alpha_n y_n\eqno{(*)}$$ y si $X'=\{y'_1,y'_2,\dots, y'_n\}$ es otra
base de $G$ (sabemos que todas las bases tienen $n$ elementos) y $h'\in H$ un elemento no nulo de $H$ con
$h'=\alpha_1 y_1'+\alpha_2 y_2'+\cdots+\alpha_n y_n'$, entonces $m_1\le \alpha_i$ para todo $i$.
\vskip.5truecm

\textbf{Propiedad 1:} Si $h\in H$ y $X=\{y_1,y_2,\dots, y_n\}$ una base de $G$ tal que
$$h=m_1 y_1+\cdots+\alpha_{n-1} y_{n-1}+\alpha_n y_n\eqno{(**)}$$
Entonces todos los $\alpha_i$ son divisibles por $m_1$: \vskip.5truecm

Si aplicamos ahora el algoritmo de la divisi\'{o}n para cada $i=2,3,\dots, n$, $\alpha_i=c_i m_1+r_i$ (hemos
dividido $\alpha_i$ entre $m_1$) tenemos que
\begin{align*} h&=m_1 y_1+\cdots+\alpha_{n-1} y_{n-1}+\alpha_n y_n\\&=m_1 y_1+(c_2 m_n+r_2) y_2+\cdots+(c_{n-1} m_n+r_{n-1})
y_{n-1}+(c_n m_n+r_n) y_n\\&=m_1(y_1+c_2y_2+\cdots+c_{n}y_{n})+r_2y_2+\cdots+r_{n-1}y_{n-1}+r_ny_n
\end{align*}

Sea $x_1:=y_1+c_2y_2+\cdots+c_{n}y_{n}$. Tenemos, por   \fullref{el lema}{lema:cbase}, que
$$\{x_1,\ y_2,\ \dots, y_{n}\}\eqno{(\star)}$$ es una base de
$G$. As\'{\i}, por la elecci\'{o}n de $m_1$, todos los $r_i$ son cero (ya que son coeficientes de elementos de $H$ en
bases de $G$ y son todos ellos menores que $m_1$). \vskip.5truecm

\textbf{Propiedad 2:} La base $(\star)$ verifica que  $m_1 x_1\in H$. Es m\'{a}s, \vskip.5truecm

 \vskip.5truecm

\textbf{Propiedad 3:} Sea $G_1=<y_2,y_3,\dots,y_{n}>$. Tenemos, por  (\fullref{el lema}{lema:cbase2}), que
$G=<x_n>\oplus G_2$. Veamos que $H=<m_1 x_1> \oplus H_2$ con $H_2=G_2\cap H$. \vskip.5truecm

Dado $h\in H$, $h=\beta_1 x_1+\beta_2 y_2+\cdots+\beta_{n} y_{n}$. Por el algoritmo de la divisi\'{o}n
$\beta_1=c_1 m_1 +r_1$. Por tanto, como  $h-c_1 (m_1 x_1)\in H$, ya que $m_1 x_1\in H$, tenemos que
\begin{align*} h-m_1 c_1 x_1&=\beta_1 x_1-c_1 m_1 x_1+\beta_2 y_2+\cdots+\beta_{n} y_{n}
r_1 x_1+\beta_{2} y_{2}\cdots+\beta_{n} y_{n}\in H
\end{align*}

 Por lo que, otra vez, por la elecci\'{o}n de $m_1$, $r_1=0$ y por tanto $h-c_1 m_1 x_1\in H\cap G_2$, lo que
 demuestra el apartado.

Aplicando ahora la hip\'{o}tesis de inducci\'{o}n al grupo $G_2$ que tiene una base con $n-1$ elementos y al subgrupo
$H_2$, existen $m_2, m_{3}, \dots, m_{k}\in \NN$ tales que $m_i$ divide a  $m_{i+1}$ para
$i=2,\dots, k$ con $$H_1=<m_2 x_2>\oplus \cdots\oplus <m_{k} x_{k}>$$

Por \'{u}ltimo $m_{2} x_{2}\in H$, por lo que $m_1 x_1+m_{2} x_{2}\in H$ y por la propiedad (**),
$m_{1}$ divide a  $m_2$. Por tanto,
$$
H=<m_1 x_1>\oplus H_2 \\=<m_1 x_1>\oplus <m_{2}x_{2}>\oplus\cdots\oplus <m_{k} x_{k}>
$$
Lo que demuestra el Teorema.\EndProof

\noindent \textbf{Nota:} La demostraci\'{o}n anterior sigue realmente un proceso recursivo: por la propiedad 3,
$G=G_1\oplus <x_n>$ y $H=H_1\oplus <m_n x_n>$. En el segundo paso trabajamos con el grupo $G_1$ y el subgrupo
$H_1$. En principio, parecer\'{\i}a natural que nos aparecieran $n$ naturales, $n_1,n_2,\dots, n_n$.  Lo que
sucede es que en la propiedad 3,(cuando se haya tenido que reiterar el proceso un n\'{u}mero de veces,  puede
ocurrir que $H_1=0$, lo que har\'{\i}a concluir el proceso.
\vskip.2truecm
\noindent \textbf{Ejemplos}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] si $G=\ZZ\times \ZZ$ y $H=<(0,2)>$. Tenemos que la base $X=\{(1,0),(0,1)\}$ nos vale y con
$H=<2(0,1)>$.
\item[$\bullet$] Si $G=\ZZ\times \ZZ$ y $H=<(2,2)>$. Tenemos que $X=\{(1,1),(1,0)\}$ es una base de $G$ con $H=2(1,1)$. En este segundo ejemplo no nos vale la base del apartado anterior.
\end{itemize}

\hypertarget{Gafgt}{}

\subsection{De Torsi\'{o}n} \label{subs:Gafgt}


Como corolario al teorema de Lagrange tenemos que todo grupo abeliano finito es de torsi\'{o}n (y claramente finitamente generado). Veremos en la secci\'{o}n siguiente que los grupos abelianos finitamente generados y de torsi\'{o}n son precisamente los finitos. Es m\'{a}s, todo grupo abeliano finitamente generado se podr\'{a} escribir como suma directa de un grupo finito (de torsi\'{o}n) y un grupo libre de torsi\'{o}n.

\begin{defi}
 Sea $G$ un grupo. Se define la \textbf{componente p-primaria} de $G$, con $p$ un n\'{u}mero primo, y se denota por $G(p)$ como:
 $$G(p):=\{x\in G\ \vert\ p^nx=0 \quad\hbox{para alg\'{u}n }\ n\in \NN\}$$
 Se dice que un grupo $G$ es un \textbf{$p$-grupo}, si $G=G(p)$.\index{Componente $p$-Primaria}\index{$p$-Grupo}
\end{defi}

\begin{ejem}
Sea $G=\mathbb{Z}_3\times \mathbb{Z}_{49}\times \mathbb{Z}_9$. Entonces:
\begin{align*}
G(3)=&\mathbb{Z}_3\times \mathbb{Z}_9\\
G(7)=&\mathbb{Z}_{49}\\
G(p)=&\{0\}\quad \hbox{para $p\ne 3,7$}
\end{align*}
\end{ejem}

\begin{theo}[Descomposici\'{o}n p-primaria]
Sea $G$ un grupo abeliano con $n$ elementos y $p$ un n\'{u}mero primo. Entonces
\item{(i)} $G(p)$ es un subgrupo de $G$.
\item{(ii)} $G(p)\ne 0$ si y s\'{o}lo si $p$ divide a $n$.
\item{(iii)} Si $n=p_1^{n-1}p_2^{n_2}\cdots p_k^{n_k}$, con $p_i$ n\'{u}meros primos, entonces
$$G=G(p_1)\oplus G(p_2)\oplus \cdots\oplus G(p_k)$$
\end{theo}

\Proof (i) Es claro que $0\in G(p)$. Es m\'{a}s, dados $a,b\in G(p)$, existe $n,m\in \NN$ tales que $p^ma=0$ y $p^{m'}b=0$. Por tanto, $$p^mab^{-1}=(p^ma)b^{-1}=0b^{-1}=0.$$ Lo que demuestra que $G(p)$ es un subgrupo de $G$.

(ii) Supongamos que $p$ no divide a $n$ y sea $a\in G(p)$. Sabemos entonces que existe $m\in \NN$ tal que $p^ma=0$. Por otro lado, el teorema de Lagrange nos dice que $na=0$ y como $p$ es primo,  $\mcd(p^m,n)=1$. Por \'{u}ltimo, por el teorema de Bezout existen $\alpha,\beta\in \ZZ$ tales que $\alpha p^m+\beta n=1$. Por tanto, $$a=1a=(\alpha p^m+\beta n)a=\alpha (p^ma)+\beta (na)=0$$
Por lo que $G(p)=0$.

Supongamos ahora que $p$ divide a $n$. Vamos a dar una demostraci\'{o}n por inducci\'{o}n (generalizada) a $n$. Si $n=2$, entonces $p=2$ y $G=\ZZ_2$, por lo que $G(2)=G\ne 0$. Supongamos que el resultado es cierto para todo grupo de orden $<n$ y sea $G$ de orden $n$. Dado $0\ne a\in G$ tenemos dos posibilidades: sea $k=\circ a$, el orden de $a$,

$\star$ Que $p$ divida a $k$. Entonces, $a^{k/p}$ tiene orden $p$.

$\star$ Que $p$ no divida a $k$. Consideramos entonces $G/<a>$, que es un grupo con $n/k$ elementos. Como $p$ divide a $n$ y no divide a $k$, entonces $p$ divide a $n/k$ y por el principio de inducci\'{o}n generalizado, existe $\overline b\in G/<a>$ de orden $p$. Por tanto, $p \overline b=\overline 0$, luego $p b\in <a>$ y por el corolario al teorema de Lagrange $k p b=0$. Por \'{u}ltimo, si $kb=0$, $k\overline b=\overline 0$ y por tanto $\overline b=\overline 0$, una contradicci\'{o}n (como $\mcd(k,p)=1$, existe $\alpha,\beta\in \ZZ$ tales que $\alpha k+\beta p=1$ y por tanto $1\overline b=(\alpha k+\beta p)\overline b=\overline 0$). Luego $kb$ es no nulo y por tanto es un elemento de $G$ de orden $p$.

(iii) Veamos en primer lugar que la suma es directa. Sea $x_i\in G(p_i)$ para $i=1,2,\dots, k$, por lo que  existen $m_i\in \NN$ tales que $p_i^{m_i} x_i=0$, tales que $$x_1+x_2+\cdots+x_k=0\eqno{(*)}.$$
Si multiplicamos $(*)$ por $\alpha_s:=p_1^{m_1}p_2^{m_2}\cdots p_{s-1}^{m_{s-1}}p_{s+1}^{m_{s+1}}\cdots p_k^{m_k}$. Tenemos que $$0=\alpha_s (x_1+x_2+\cdots+x_k)=\alpha_s x_s$$
y como $p_s^{m_s} x_s=0$ y $\mcd(p_s^{m_s},\alpha_s)=1$, $x_s=0$ para todo $s=1,2,\dots, k$, por lo que la suma es directa.
Por \'{u}ltimo, como los $\alpha_i$ son co-primos (si $\gamma\in \mathbb{N}$ divide a todo $\alpha_i$, entonces $\gamma=1$), aplicando la generalizaci\'{o}n del teorema de Bezout, ver \fullref{el ejercicio}{ejj:genbezout}, existen $\beta_i$ tales que $$\beta_1\alpha_1+\beta_2\alpha_2+\cdots+\beta_k\alpha_k=1,$$ luego para todo $x\in G$,
\begin{align*}
x&=1x=(\beta_1\alpha_1+\beta_2\alpha_2+\cdots+\beta_k\alpha_k)x\\&=\beta_1\alpha_1 x+\beta_2\alpha_2x+\cdots+\beta_k\alpha_kx
\end{align*}con $\beta_i\alpha_i x\in G(p_i)$. Lo que demuestra el Teorema. \EndProof

\begin{ejem}\

\begin{itemize}
\item Sea $G=\ZZ_{9}\times \ZZ_3\times\ZZ_5\times\ZZ_{25}\times \ZZ_{27}$. Entonces $\#G=3^6\,5^3$ por lo que $G=G(3)\oplus G(5)$
\begin{align*}
G(3)&=\ZZ_{9}\times \ZZ_3\times \ZZ_{27}\\
G(5)&=\ZZ_5\times\ZZ_{25}
\end{align*}


\item Sea $G=\ZZ_{15}\times \ZZ_3\times\ZZ_5\times\ZZ_{42}\times \ZZ_{56}$. Entonces $\#G=2^4\,3^3\,5^2\,7^2$ por lo que $G=G(2)\oplus G(3)\oplus G(5)\oplus G(7)$. Si reordenamos nuestro grupo como producto de grupos potencias de primos tenemos $G=(\ZZ_{3}\times \ZZ_5) \times \ZZ_3\times\ZZ_5\times(\ZZ_{2}\times\ZZ_{3}\times\ZZ_{7})\times (\ZZ_{8}\times \ZZ_{7})$
\begin{align*}
G(2)&=\ZZ_{2}\times \ZZ_{8}\\
G(3)&=\ZZ_{3}\times \ZZ_3\times \ZZ_{3}\\
G(5)&=\ZZ_5\times\ZZ_{5}\\
G(7)&=\ZZ_7\times\ZZ_{7}
\end{align*}
\end{itemize}
\end{ejem}
\hypertarget{TCGA}{ }
\section{Teoremas de clasificaci\'{o}n}\label{sect:TCGA}


\begin{theo}\label{theo:class}\rm
Sea $G$ un grupo abeliano finitamente generado. Entonces $G$ es el producto directo interno de $T(G)$, el
subgrupo de torsi\'{o}n de $G$, y un subgrupo $L$ que es libre de torsi\'{o}n.  Adem\'{a}s,
\begin{enumerate}
\item[(i)] $L\cong \ZZ\times\stackrel{k)}{\cdots}\times\ZZ$ con $k$ \'{u}nico, llamado el \textbf{n\'{u}mero de Betti} de $G$.\index{N\'{u}mero de Betti}
\item[(ii)] $T\cong \ZZ_{n_1}\times\cdots\times\ZZ_{n_k}$. Es m\'{a}s, podemos escoger los $n_i$ tales que:
\begin{enumerate}
\item[$\star$] $n_1>n_2>\cdots>n_k$ con $n_{i-1}$ dividiendo a $n_i$ para $i\in \{2,\dots,k\}$. Siendo esta representaci\'{o}n \'{u}nica. A los
elementos $n_1,n_2,\dots,n_k$ se les denomina los \textbf{coeficientes de torsi\'{o}n} de $G$.\index{Coeficientes
de Torsi\'{o}n}
    \item[$\star$] $n_i=p_i^{\alpha_i}$ con $p_i$ n\'{u}meros primos. En este caso la representaci\'{o}n es \'{u}nica salvo por el orden.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{theo}

\Proof Por  \fullref{el corolario}{coro:fingenII} existe  un epimorfismo de grupos
$$\Phi:\ZZ\times\stackrel{n)}{\cdots}\times\ZZ\to G$$
Por tanto, aplicando el primer teorema de Isomorf\'{\i}a, $G\cong \ZZ\times\stackrel{n)}{\cdots}\times\ZZ/\Ker(\Phi)$. Es m\'{a}s, por 
\fullref{el teorema}{theo:fbase}, existe una base de $G'$, $X=\{x_1,x_2,\dots, x_n\}$ y unos naturales $m_{1},\dots, m_k$
tales que $$\Ker (\Phi)=<m_{1} x_{1}>\oplus\cdots\oplus <m_k x_k>$$ Por tanto
\begin{align*}
\ZZ\times\stackrel{n)}{\cdots}\times\ZZ&=<x_1>\oplus <x_2>\cdots\oplus<x_n>\\
\Ker(\Phi)&=<m_{1} x_{1}>\oplus\cdots\oplus <m_k x_k>
\end{align*}
Por lo que \begin{align*} G&\cong \ZZ\times\stackrel{n)}{\cdots}\times\ZZ/\Ker(\Phi)=<x_1>\oplus <x_2>\cdots\oplus<x_n>/<m_{1}
x_{1}>\oplus\cdots\oplus <m_k x_k>\\&=(<x_1>/<m_{1} x_{1}>)\oplus \cdots\oplus(<x_{k}>/<m_{k} x_{k}>)\oplus <x_{k+1}>\oplus
\cdots\oplus <x_n>\\&=\ZZ_{m_{1}}\times\cdots\times\ZZ_{m_k}\times\ZZ\times\stackrel{n-k)}{\cdots}\times\ZZ
\end{align*}

Luego $G$ se escribe como suma directa de un grupo grupo libre de torsi\'{o}n
$\ZZ\times\stackrel{n-k)}{\cdots}\times\ZZ$ y un grupo de torsi\'{o}n $\ZZ_{m_{1}}\times\cdots\times\ZZ_{m_k}$
que claramente es su grupo de torsi\'{o}n. Por tanto hemos demostrado la existencia de la descomposici\'{o}n (las dos
posibles descomposiciones en (ii) se deducen de  \fullref{la proposici\'{o}n}{prop:prodcicli}.

En particular, si $G$ es libre de torsi\'{o}n y finitamente generado, $G$ posee una base, ya que es isomorfo a un producto directo de $\ZZ$ y si $G$ es de torsi\'{o}n y finitamente generado, $G$ es finito.

Tenemos ahora que demostrar su unicidad.


$\blacklozenge$ Por un
lado $\ZZ\times\stackrel{n-k)}{\cdots}\times\ZZ$, la parte libre de torsi\'{o}n en nuestra factorizaci\'{o}n es isomorfa a $G/T(G)$ y por tanto $n-k$ coincide con el n\'{u}mero de elementos de cualquier base de $G/T(G)$ (que es independiente de la factorizaci\'{o}n anterior). Por tanto $n-k$ es \'{u}nico.

$\blacklozenge$ Tenemos que $T(G)=\ZZ_{m_{1}}\times\cdots\times\ZZ_{m_k}$. Es m\'{a}s, $m_{k}$ es el m\'{a}ximo orden posible de cualquier elemento de $T(G)$ (por tanto, este elemento es independiente de la facto\-ri\-zaci\'{o}n). Vamos a dar una demostraci\'{o}n por inducci\'{o}n  al n\'{u}mero de elementos de $T(G)$: Si $\#T(G)=2$, entonces $T(G)\cong \ZZ_2$ y no hay nada que hacer. Supongamos que la facto\-ri\-zaci\'{o}n es \'{u}nica para todo grupo de orden menor que $n=\#T(G)$. Sea $p$ un n\'{u}mero primo divisor de $m_{k}$. Consideremos el subgrupo $$H=\{x\in T(G)\quad\hbox{tales que}\quad px=0\}\le T(G)$$
Por construcci\'{o}n sea $s$ el mayor natural  tal que $m_s$ es divisible por $p$. Tenemos entonces que
$$H=\{0\}\times\cdots\times\{0\}\times <m_{s+1}/p>\times\cdots\times <m_k/p>$$ y por tanto
$$T(G)/H=\ZZ_{m_{1}}\times\cdots\ZZ_{m_s}\times\ZZ_{m_{s+1}/p}\times\cdots\times\ZZ_{m_k/p}$$ y por la hip\'{o}tesis de inducci\'{o}n estos n\'{u}meros son \'{u}nicos y por tanto la factorizaci\'{o}n de $T(G)$ es \'{u}nica. \EndProof

\textbf{Nota:} Observar que el n\'{u}mero de Betti junto con los coeficientes de torsi\'{o}n determinan, de forma
\'{u}nica, al grupo.

\begin{coro}[Ejercicio]
Sea $G$ un grupo abeliano finitamente generado y de torsi\'{o}n. Entonces $G$ es finito.
\end{coro}

\begin{prop}[Ejercicio]
Los grupos abelianos finitamente generados libres de torsi\'{o}n son precisamente los grupos abelianos que poseen
una base $\{x_1,x_2,\dots,x_n\}$.
\end{prop}


\begin{ejem}\rm
Determina todos los grupos abelianos de orden $72$ dando su representaci\'{o}n en las dos formas posibles.
\end{ejem}

\Proof Sabemos que un grupo con $72$ elementos es finitamente generado y de torsi\'{o}n, por tanto podremos
representarlo seg\'{u}n la clasificaci\'{o}n segunda del  \fullref{teorema}{theo:class}. En primer lugar descomponemos $72$ como
producto de primos.
$$72=2^33^2$$

Ahora s\'{o}lo queda poner todas las posibilidades (sin repetir grupos isomorfos)
$$
\begin{array}{lllc}
& & & \hbox{Coeficientes de Torsi\'{o}n}\\
G\cong&\  \ZZ_{2^3}\times \ZZ_{3^2}&\cong\ \ZZ_{72}&72\\
G\cong&\  \ZZ_{2}\times \ZZ_{2^2}\times \ZZ_{3^2}&\cong\ \ZZ_{36}\times \ZZ_2&36,2\\
G\cong&\  \ZZ_{2}\times \ZZ_{2}\times \ZZ_2\times \ZZ_{3^2}&\cong\ \ZZ_{18}\times \ZZ_{2}\times \ZZ_2&18,2,2\\
G\cong&\  \ZZ_{2^3}\times \ZZ_{3}\times \ZZ_{3}&\cong\ \ZZ_{24}\times \ZZ_3&24,3\\
G\cong&\  \ZZ_{2}\times \ZZ_{2^2}\times \ZZ_{3}\times \ZZ_{3}&\cong\ \ZZ_{12}\times \ZZ_{6}&12,6\\
G\cong&\  \ZZ_{2}\times \ZZ_{2}\times \ZZ_2 \times \ZZ_{3}\times \ZZ_{3}&\cong\ \ZZ_{6}\times \ZZ_{6}\times
\ZZ_2&6,6,2
\end{array}
$$

\begin{ejem}\rm
Determina todos los grupos abelianos de orden $60$ dando su representaci\'{o}n en las dos formas posibles.
\end{ejem}

\Proof Sabemos que un grupo con $60$ elementos es finitamente generado y de torsi\'{o}n, por tanto podremos
representarlo seg\'{u}n la clasificaci\'{o}n segunda del \fullref{teorema }{theo:class}. En primer lugar descomponemos $60$ como
producto de primos.
$$60=2^2\  3\  5$$

Ahora s\'{o}lo queda poner todas las posibilidades (sin repetir grupos isomorfos)

$$
\begin{array}{lllc}
& & & \hbox{Coeficientes de Torsi\'{o}n}\\
G\cong&\  \ZZ_{2^2}\times \ZZ_{3}\times \ZZ_5&\cong\ \ZZ_{60}&60\\
G\cong&\  \ZZ_{2}\times \ZZ_{2}\times \ZZ_{3}\times \ZZ_5&\cong\ \ZZ_{30}\times \ZZ_2&30,2
\end{array}
$$


 \hypertarget{Ejjocho}{ }
\section{Ejercicios del Tema}\label{ejj:Ejjocho}
\setcounter{ejj}{0}


\begin{ejj}
Calcula todos los elementos de orden 5 en $\ZZ_{25}$ y en $\ZZ_5\times \ZZ_{10}$.
\end{ejj}
\begin{ejj}
Sea $G$ un grupo y $T(G)$ el grupo de torsi\'{o}n de $G$. Demuestra que $G/T(G)$ es libre de torsi\'{o}n.
\end{ejj}

\begin{ejj}
Sean $G,G'$ dos grupos y $f:G\to G'$ un epimorfismo de grupos. Demuestra que si $G$ es finitamente generado,
entonces $G'$ tambi\'{e}n lo es.
\end{ejj}


\begin{ejj} Sea $G$ un grupo y $X=\{x_1,x_2,\dots, x_n\}$ es una base para $G$.
Entonces para cada natural $1\le k\le n$ se tiene que $G=<\{x_1,\dots, x_k\}>\oplus<\{x_{k+1},\dots, x_n\}>$.
Es m\'{a}s, Si $G$ es producto directo interno de dos subgrupos  $H_1,H_2$ y $X_1, X_2$ son bases respectivas de
$H_1$ y $H_2$.  Entonces $X=X_1\cup X_2$ es una base para $G$.\hfill\fbox{$*$}
\end{ejj}

\begin{ejj}
Demuestra que si $G$ es un grupo finitamente generado y $H$ es un subgrupo normal de $G$, entonces $G/H$ es
finitamente generado.
\end{ejj}

\begin{ejj}
Sean $\{G_i\}_{i=1}^n$ una familia de grupos y sea $G=G_1\times \cdots\times G_n$ el producto directo externo
de los $G_i$. Demuestra que $G$ es finitamente generado si y s\'{o}lo si cada $G_i$ es finitamente generado.
\end{ejj}

\begin{ejj}
Determina, salvo isomorfismo, todos los grupos abelianos con 675 y con 288
elementos dado su representaci\'{o}n en las dos formas posibles.
\end{ejj}

\begin{ejj}[Generalizaci\'{o}n del Teorema de Bezout]\label{ejj:genbezout}
Sea, $k_1,k_2,\dots, k_n\in \mathbb{N}$ tales que el mayor natural que divide a todo $k_i$ es 1. Demuestra que existen $\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_n\in \mathbb{Z}$ tales que $\alpha_1k_1+\alpha_2k_2+\cdots+\alpha_nk_n=1$.\hfill\fbox{$**$}
\end{ejj}

\begin{ejj}
Sea $G=\ZZ\times \ZZ$ y sean $x,y\in \ZZ$ tales que $\mcd(x,y)=1$. Demuestra que existe una base de $G$ que contiene a $(x,y)$.\hfill\fbox{$**$}
\end{ejj}

\begin{ejj}
Sea $G=\ZZ\times \ZZ$. ?`Puede contener una base de $G$ con un elemento $(a,b)$ tal que  $\mcd(a,b)= k\ne 1$?
\textbf{Ayuda:} Demuestra que si $X=\{(a,b), (x,y)\}$ es una base de $G$ entonces $X'=\{(a',b'), (x,y)\}$ tambi\'{e}n es base, en donde $a=ka'$ y $b=kb'$. Despu\'{e}s escribe de dos formas distintas el elemento $(a',b')$ en la base $X'$.\hfill\fbox{$**$}
\end{ejj}


\begin{ejj}
Sea $G=\ZZ\times \ZZ$.
\begin{itemize}
\item[(i)] Encuentra una base para $G$. ?`Cual es el n\'{u}mero de Betti de $G$?
\item[(ii)] Sea $H=<\{(2,3\}>$. Encuentra una base para $G$, $X=\{x_1,x_2\}$ tal que $H=\lambda x_1$ con $\lambda\in \NN$.
\item[(iii)] Sea $H=<\{(2,6\}>$. Encuentra una base para $G$, $Y=\{y_1,y_2\}$ tal que $H=\mu y_1$ con $\mu\in \NN$.\hfill\fbox{$*$}
\end{itemize}
\end{ejj}

