
\chapter{Grupos}
\label{chap:temados}
\hrule
\vskip0.5cm

%-----------------------------------------------------------------
\noindent{\sffamily\bfseries Objetivos del cap\'{\i}tulo} $\,$
\begin{itemize}\footnotesize
 \item Se recuerda el concepto abstracto de relaci\'{o}n binaria. Se estudian las propie\-da\-des asociadas a una relaci\'{o}n binaria. Se pretende que propie\-da\-des que han sido estudiadas en diferentes momentos se asimilen como un mismo concepto, por ejemplo unicidad del inverso en aplicaciones biyectivas o en $\ZZ_n$.
 \item Se introduce la noci\'{o}n de grupo y sus propiedades. Se relacionan propie\-da\-des de un grupo finito con propiedades de sus tablas de multiplicar, lo que permite  crear las tablas de multiplicar de grupos con 1,2,3 y 4 elementos.
 \item Se empiezan a estudiar m\'{e}todos para encontrar grupos nuevos a partir de grupos dados: se estudian subgrupos. En particular subgrupos generados por subconjuntos, haciendo hincapi\'{e} en los subgrupos c\'{\i}clicos.
 \item Se introduce la noci\'{o}n de homomorfismo de grupo demostrando sus principales propiedades. Se demuestra que un homomorfismo de grupo induce una aplicaci\'{o}n en los ret\'{\i}culos de sus subm\'{o}dulos.
 \item Se estudian los automorfismos de grupo. Se definen la noci\'{o}n de grupos isomorfos y se estudian ciertas propiedades estructurales.
 \item Se estudian y clasifican los grupos c\'{\i}clicos.
\end{itemize}
\vskip0.25cm
%-----------------------------------------------------------------
\hrule
\vskip0.3cm
\[\,\]




\hypertarget{Obin}{}

\section{Operaci\'{o}n binaria, semigrupo, monoide.}\label{sect:Obin}

\hypertarget{Dbin}{}
\begin{defi} \label{defi:Dbin}\rm
Sea $X$ un conjunto no vac\'{\i}o. Se define una \textbf{operaci\'{o}n binaria}\index{Operaci\'{o}n Binaria} en $X$ como una
aplicaci\'{o}n $*:X\times X\to X$.
\end{defi}


\noindent \textbf{Nota:} Gen\'{e}ricamente dados $a,b\in X$ denotaremos al producto de $a$ con $b$ como  $a*b$ y se leer\'{a} $a$ operado con $b$.  En casos concretos nos van a aparecer dos notaciones distinta de producto (de hecho, ya estamos acostumbrados a ellas): la notaci\'{o}n multiplicativa, $a\cdot b$ o simplemente $ab$ (la operaci\'{o}n  simplemente
se denota por yuxtaposici\'{o}n) y la notaci\'{o}n aditiva, $a+b$ (la operaci\'{o}n se denota por ``$+$").

\begin{ejem}\rm
\item{$\star$} La suma o el producto en $\NN$, $\ZZ$, $\ZZ_n$, $\QQ$ o $\RR$.
\item{$\star$} La resta en $\ZZ$, $\QQ$ o $\RR$ (la resta no es operaci\'{o}n en $\NN$).
\item{$\star$} La divisi\'{o}n no es operaci\'{o}n binaria en ninguno de estos conjuntos.
\item{$\star$} La divisi\'{o}n es una operaci\'{o}n binaria en  $\QQ-\{0\}$ o $\RR-\{0\}$.
\item{$\star$} El m\'{a}ximo com\'{u}n divisor y el m\'{\i}nimo com\'{u}n m\'{u}ltiplo son operaciones binarias en $\ZZ$.
\item{$\star$} La uni\'{o}n, la intersecci\'{o}n, la diferencia o la diferencia sim\'{e}trica son operaciones binarias.
\item{$\star$} Dado $\Delta:=\{f \ \vert\ f:X\to X\}$, la composici\'{o}n de aplicaciones es una operaci\'{o}n binaria en $\Delta$.
\item{$\star$} Dado un conjunto no vacio $X$, las siguientes son operaciones binarias en $X$: dado $c\in X$, para todo $a,b\in X$ definimos,
\begin{eqnarray*}
a*b=&a\\
a*b=&b\\
a*b=&c
\end{eqnarray*}
\end{ejem}


\hypertarget{Pbin}{}
\begin{defi} \label{defi:Pbin}\rm
Sea $X$ un conjunto no vacio y $*$ una operaci\'{o}n en $X$. Se dice que $*$
\item{$\bullet$} es asociativa si  $\forall \ a,b,c\in X$,\quad  $a*(b*c)=(a*b)*c$.\index{Propiedad!Asociativa}
\item{$\bullet$} es conmutativa si $\forall \ a,b\in X$, \quad $a*b=b*a$.\index{Propiedad!Conmutativa}
\item{$\bullet$} Posee elemento \textbf{neutro por la derecha}  si existe $e\in X$ tal que $\forall \ a\in X$, $a*e=a$.
\item{$\bullet$} Posee elemento \textbf{neutro por la izquierda}  si existe $e\in X$ tal que $\forall \ a\in X$,  $e*a=a$.\index{Propiedad!Elemento Neutro}
\item{$\bullet$} Posee elemento neutro si existe elemento \textbf{neutro} por la izquierda y por la derecha.
\end{defi}




\noindent \begin{tabularx}{13cm}{ll}
\begin{minipage}[t][-0.3cm][b] {10.35cm} \begin{lema} \label{lema:iguneu} Si $e$ es neutro por la izquierda y $e'$ es neutro por la derecha, entonces $e=e'$.  Por lo que el
elemento neutro, caso de existir es \'{u}nico.\end{lema} \vfill\end{minipage}\quad &\quad  \fbox{\includegraphics[scale=0.3]{Dibujos/neutro.eps}}
\end{tabularx}
\vskip .5truecm


\begin{defi}\rm
Sea $X$ un conjunto no vac\'{\i}o y $*$ una operaci\'{o}n en $X$.
\item{$\bullet$} Diremos que $(X,*)$ es un \textbf{semigrupo}\index{Semigrupo}
si $*$ es asociativa.
\item{$\bullet$} Diremos que $(X,*)$ es un \textbf{monoide}\index{Monoide} si $*$ es asociativa con elemento
unidad (normalmente denotado por $e$, si la notaci\'{o}n es multiplicativa, a veces, por $1$ y si es aditiva, por $0$).
\item{$\bullet$} Un monoide $(X,*)$ con operaci\'{o}n $*$ conmutativa se dir\'{a}
\textbf{monoide conmutativo}\index{Monoide!Conmutativo}.
\end{defi}

\textbf{Nota:} Tal como su nombre indica, en una operaci\'{o}n binaria podemos operar elementos de dos en dos. Por tanto, en principio, no tiene sentido expresiones tales como $a*b*c$. No obstante, si $*$ es asociativa tenemos que $(a*b)*c=a*(b*c)$. El siguiente teorema demuestra que es innecesario el uso de par\'{e}ntesis en una operaci\'{o}n asociativa.

\begin{theo}
Sea $(X,*)$ un semigrupo. Entonces el producto arbitrario de $n$ elementos de $X$ es independiente de la disposici\'{o}n de los par\'{e}ntesis.
\end{theo}

\textbf{Demo:} Por hip\'{o}tesis
$$(a*b)*c=a*(b*c)$$ por lo que lo podremos denotar  por  $a*b*c$.
$$(((a*b)*c)*d)=(a*b)*(c*d)=(a*(b*(c*d)))$$ se denotar\'{a} por $a*b*c*d$.
Supongamos que en un producto de $n-1$ elementos no afecta la posici\'{o}n de los par\'{e}ntesis y consideremos un producto de
$n$ t\'{e}rminos. Entonces:

$\blacklozenge$ Los par\'{e}ntesis del \'{u}ltimo producto ser\'{a}n $(a_1*\cdots*a_k)*(a_{k+1}*\cdots*a_n)$ para alg\'{u}n $k\in
\{1,\dots, n-1\}$. Por la hip\'{o}tesis de inducci\'{o}n los par\'{e}ntesis interiores a \'{e}stos pueden ordenarse como mejor nos
convenga. Por \'{u}ltimo, al ser la operaci\'{o}n asociativa:
\[\begin{split}
(a_1*\cdots*a_k)*(a_{k+1}*(a_{k+1}*\cdots*a_n))&=(a_1*\cdots*a_{k+1})*(a_{k+2}*\cdots*a_n)\\
((a_1*\cdots*a_{k-1})*a_k)*(a_{k+1}*\cdots*a_n)&=(a_1*\cdots*a_{k-1})*(a_{k}*\cdots*a_n)
\end{split}\]
Por lo que el \'{u}ltimo producto, y por tanto todos, pueden ser cambiados a nuestro antojo. Lo que demuestra el teorema.\EndProof

\hypertarget{Ubin}{}
\begin{defi} \label{defi:Ubin}\rm
Sea $X$ un conjunto no vac\'{\i}o y $*$ una operaci\'{o}n en $X$ con elemento unidad $e$. Diremos que un elemento $a\in X$ posee
inverso  (tambi\'{e}n llamado opuesto en notaci\'{o}n aditiva) si existe $b\in X$ tal que $a*b=b*a=e$.
\end{defi}

\textbf{Nota:} Los opuestos para la suma en $\ZZ,\QQ,\RR $ \'{o} $\ZZ_n$ verifican esta propiedad. Los inversos en
$\RR,\QQ,\ZZ_n$ o las aplicaciones inversibles verifican esta propiedad.


\begin{lema}\rm \label{lema:inv}
Sea $(M,*)$ un monoide con elemento neutro $e$. Entonces si existe el opuesto o inverso para un elemento $a\in X$
\'{e}ste es \'{u}nico, denotado por $a^{-1}$ en notaci\'{o}n multiplicativa  o por $-a$ en notaci\'{o}n aditiva. Cuando un elemento
$a\in X$ posee inverso, se dice que es una \textbf{unidad}\index{Unidad} del monoide.
\end{lema}

\noindent\textbf{Demo:} Sean $b$ y $b'$ inversos para $a$. Entonces
$$b'=e*b'=(b*a)*b'=b*(a*b')=b*e=b.\eqno{\blacksquare}$$

\begin{prop}\label{prop:monoide}
Sea $(X,*)$ un monoide y sean  $a,b\in X$. Entonces:
\item{(i)} El elemento neutro de $X$ es una unidad.
\item{(ii)} Si $a$ es una unidad, $a^{-1}$ es una unidad y $(a^{-1})^{-1}=a$.
\item{(iii)} Si $a$ y $b$ son unidades de $X$, $a*b$ es una unidad de $X$ y  $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$.
\item{(iv)} En general el producto arbitrario de unidades es una unidad.
$$(a_1*\cdots*a_{n-1}*a_n)^{-1}=a_n^{-1}*a_{n-1}^{-1}*\cdots*a_1^{-1}$$
\end{prop}

\noindent\textbf{Demo:} (i) y (ii) son triviales.

(iii) Veamos que $b^{-1}*a^{-1}$ es el inverso de $a*b$:
\begin{eqnarray*}
(a*b)*(b^{-1}*a^{-1})&=a*(b*b^{-1})*a^{-1}=a*e*a^{-1}=e\\
(b^{-1}*a^{-1})*(a*b)&=b^{-1}*(a^{-1}*a)*b=b^{-1}*e*b=e
\end{eqnarray*}

(iv) Vamos a dar una demostraci\'{o}n por inducci\'{o}n: el caso $n=2$ es el apartado anterior. Supongamos que el resultado es cierto para $n-1$, entonces:

\[\begin{split}
(a_1*\cdots*a_{n-1}*a_n)^{-1}&=((a_1*\cdots*a_{n-1})*a_n)^{-1}=a_n^{-1}*(a_1*\cdots*a_{n-1})^{-1}\\&=a_n^{-1}*a_{n-1}^{-1}\cdots*a_1^{-1}
\end{split}\]
Lo que demuestra la proposici\'{o}n.\hfill$\blacksquare$.
\begin{ejem}\rm
Veamos cuales son las unidades en algunas operaciones binarias estudiadas: sea $X$ un conjunto no vacio,
\item{$\star$} En $(\NN,\cdot)$ s\'{o}lo $1$ es unidad. En $(\ZZ,\cdot)$ las unidades son $\{1,-1\}$.
\item{$\star$} En $(\QQ,\cdot)$ o $(\RR,\cdot)$ las unidades son, respectivamente $\QQ-\{0\}$ y $\RR-\{0\}$.
\item{$\star$} Para $(\Delta,\circ)$ con $\Delta=\{f\ \vert\ f:X\to X\}$ y $\circ$ la composici\'{o}n, las unidades son las aplicaciones biyectivas.
\item{$\star$} En $({\cal P}(X),\cup)$ s\'{o}lo  $\emptyset$, que  es el elemento neutro, es unidad.   En $({\cal P}(X),\cap)$ s\'{o}lo  $X$, que  es el elemento neutro, es unidad.  En $({\cal P}(X),\triangle)$, todo elemento es unidad. ?`Quien es el elemento neutro?
\item{$\star$} En $(\ZZ_n,\cdot)$ las unidades son los elementos $\overline a\in \ZZ_n$ tales que $\mcd(n,a)=1$.
\item{$\star$} En $({\cal M}_n(\RR),+)$, suma de matrices, todo elemento es unidad, mientras que en $({\cal M}_n(\RR),\cdot)$ las matrices de determinante no nulo (las inversibles) son las unidades.
\end{ejem}

\hypertarget{Grup}{}
\section{Definici\'{o}n de grupo y propiedades} \label{sect:Grup}\rm

\hypertarget{Dgru}{}
\begin{defi}\rm \label{defi:Dgru}\rm
Sea $G$ un conjunto no vac\'{\i}o y $*$ una operaci\'{o}n en $G$. Diremos que $(G,*)$ es un \textbf{grupo}\index{Grupo} si:
\item{$\bullet$} $*$ es asociativa.
\item{$\bullet$} $*$ tiene elemento unidad, normalmente denotado  por $e$.
\item{$\bullet$} Todo elemento de $G$ tiene inverso.
\vskip .3truecm
Si adem\'{a}s $*$ es conmutativa se dir\'{a} que $G$ es un \textbf{grupo abeliano}.\index{Grupo!Abeliano}
\end{defi}

\begin{ejem}\rm $\ZZ,\QQ,\RR,\ZZ_n$ son grupos abelianos respecto de la suma. $\QQ-\{0\}$ y $\RR-\{0\}$ son grupos abelianos respecto del producto.
$({\cal P}(X),\triangle)$ es un grupo abeliano para cualquier conjunto no vac\'{\i}o  $X$.
\end{ejem}


\begin{prop}\rm
Sea $(G,*)$ un grupo. Entonces
\item{(i)} Dado $a\in G$, las aplicaciones
\begin{align*}
\psi^l_a:G&\to G & \psi^r_a:G&\to G\\
 x&\mapsto a*x & x&\mapsto x*a
\end{align*}  son biyectivas. Es m\'{a}s, si $b$ es el inverso de $a$ en $G$,  $\Psi^l_b$ y $\Psi^r_b$ son las inversas respectivas de las aplicaciones anteriores.
\item{(ii)} Se verifica las leyes de cancelaci\'{o}n:
\begin{eqnarray*}
\hbox{Si}\quad a*b=a*c\quad&\quad \hbox{entonces}\quad b=c\\
\hbox{Si}\quad b*a=c*a\quad&\quad \hbox{entonces}\quad b=c
\end{eqnarray*}
\item{(iii)} Si $G$ es finito con un n\'{u}mero par de elementos, existe $e\ne a\in G$ tal que $a*a=e$.
\end{prop}

\noindent\textbf{Demo:} Sea $a\in G$ con inverso $a^{-1}$. Demostremos que $\psi_a^l$ es una aplicaci\'{o}n inversible con inversa
$\psi_{a^{-1}}^l$: para todo $b\in G$,

\[\begin{split}
\psi_{a^{-1}}^l\psi_{a}^l(b)=\psi_{a^{-1}}^l(a*b)=a^{-1}*a*b=e*b=b\\
\psi_{a}^l\psi_{a^{-1}}^l(b)=\psi_{a}^l(a^{-1}*b)=a*a^{-1}*b=e*b=b
\end{split}\]

(ii) sean $b,c\in G$ tal que $a*b=a*c$. Entonces $\psi_{a}^l(b)=\psi_{a}^l(c)$ y como $\psi_{a}^l$ es
biyectiva, $b=c$. La ley de cancelaci\'{o}n por  la derecha se demuestra de forma equivalente.

(iii). Por  \fullref{el Lema}{lema:inv} dado $a\in G$ existe un \'{u}nico $a^{-1}$ que es el inverso de $a$, y por \fullref{la proposici\'{o}n}{prop:monoide} el inverso de $(a^{-1})^{-1}=a$. Por tanto, si quitamos el neutro (que es su propio inverso) quedan un
n\'{u}mero impar de elementos, por lo que si vamos  agrupando  \'{e}stos de dos en dos (un elemento y su inverso) debe de
quedar al menos un elemento suelto que es inverso de si mismo.\hfill$\blacksquare$.

\hypertarget{Tabl}{}
\begin{ejem}[Tablas de grupos finitos]\rm\label{ejem:Tabl}
Si $G$ es un grupo finito, podemos representar $*$ a partir de una tabla. Veamos que podemos determinar las tablas para grupos de pocos elementos.

$\blacklozenge$ La proposici\'{o}n anterior nos dice que, por (i) o (ii), que los elementos de una fila o una columna no se repiten y est\'{a}n todos.

$\blacklozenge$ Si el n\'{u}mero de elementos de $G$ es par hay un elemento tal que $a*a=e$. Estas propiedades nos van a
permitir calcular la multiplicaci\'{o}n para grupos de $1$, $2$, $3$, y $4$ elementos: juguemos a una especie de sudoku,
\vskip.5truecm
\textbf{$\star$ Grupo con dos elementos.} Sea $G=\{e,a\}$
\vskip.5truecm
\begin{tabularx}{13cm}{ll}
\begin{minipage}[t][-0.75cm][b] {11.3cm} $\star$  Si $e$ es neutro, la primera fila y la primera
 columna quedan fijadas. Por otro lado, como en las filas no se pueden repetir elementos, $a*a=e$.
 Esto demuestra que, en esencia, s\'{o}lo hay un \'{u}nico grupo con dos elementos (y es conmutativo) $(\ZZ_2,+)$. \vfill\end{minipage}& \fbox{\includegraphics[scale=0.4]{Dibujos/Zdos.eps}}
\end{tabularx}
\vskip .2truecm

\textbf{$\star$ Grupo con tres elementos.} Sea $G=\{e,a,b\}$. Como en el caso anterior, la primera fila y la primera columna quedan fijadas. Adem\'{a}s, $a*b$ no
 puede ser ni $a$ (hay un $a$ en esa misma fila) ni $b$ (hay un $b$ es esa misma columna) por tanto $a*b=e$.
 Por el mismo razonamiento, $a*a=b$ y $b*b=a$.
Esto demuestra que, en esencia, s\'{o}lo hay un \'{u}nico grupo con
  tres elementos (y es conmutativo) $(\ZZ_3,+)$.

\centerline{\includegraphics[scale=0.55]{Dibujos/Ztres.eps}}

\textbf{$\star$ Grupo con cuatro elementos.} Sea $G=\{e,a,b,c\}$. Como en los casos anteriores, la primera fila y la primera columna quedan fijadas. Adem\'{a}s,
 al tener $4$ elementos uno es inverso de si mismo, supongamos entonces que $a*a=e$. Entonces $a*c=b$
 (no puede ser ni $a$ ni $e$ porque repetir\'{\i}a en la fila, no puede ser $c$ ya que repetir\'{\i}a en la columna).
  Por tanto $a*b=c$. De forma similar se completa la columna $2$.

\centerline{\includegraphics[scale=0.55]{Dibujos/Zcuatro1.eps}}


 Tenemos entonces dos posibilidades para $b*b$, que $b$ sea su propio inverso o que $b*b=a$. En este segundo caso, fila y columna  $3$ quedan fijadas y por tanto la columna $4$. El primer caso es id\'{e}ntico. Estos dos grupos se conocen como $(\ZZ_4,+)$ (aqu\'{\i}, $e=\overline 0$, $b=\overline 1$, $a=\overline 2$ y  $c=\overline 3$), y como $(\ZZ_2\times \ZZ_2,+)$, el grupo de Klein (este grupo ha aparecido anteriormente, es $({\cal P}(X),\triangle)$ para $X=\{x,y\}$).

\centerline{ \,\includegraphics[scale=0.55]{Dibujos/Zcuatro2.eps}}
\end{ejem}

\textbf{Nota:} Si tenemos representada una operaci\'{o}n a partir de una tabla, la operaci\'{o}n ser\'{a}
 conmutativa si y s\'{o}lo si la tabla es sim\'{e}trica, por lo que todos los grupos con $1$, $2$, $3$ y $4$ elementos son abelianos. Se vera que el primer grupo no abeliano tiene $6$ elementos.



\begin{coro}\rm
Sea $(M,*)$ un monoide. Entonces, el subconjunto de las unidades de $M$, denotado por $M_G$, es un grupo respecto de la
operaci\'{o}n $*$. $$M_G:=\{a\in M\ \vert\ a\hbox{ es una unidad de $M$}\}$$
\end{coro}
\noindent\textbf{Demo:} Este resultado es corolario de  \fullref{la proposici\'{o}n}{prop:monoide}. El producto que estamos definiendo en $M_G$ es el
que tiene $M$, por tanto tenemos que demostrar que est\'{a} bien definido: dados dos elementos $a,b\in M_G$ sabemos que
$a*b\in M$ tenemos que demostrar que realmente pertenece a  $M_G$ y por tanto $*$ define una aplicaci\'{o}n de $*:M_G\times
M_G\to M_G$. Pero  \fullref{la proposici\'{o}n}{prop:monoide}(iii) demuestra precisamente esto. Como $*$ era asociativa para todo elemento de $M$, en
particular lo es para elementos de $M_G$. Es mas, $e\in M_G$, por lo que $*$ es unitaria y por  \fullref{la proposici\'{o}n}{prop:monoide}(ii) si
$a\in M_G$, $a^{-1}\in M_G$ y por tanto todo elemento de $M_G$ es inversible. \hfill$\blacksquare$.


\hypertarget{Egrup}{}
\begin{prop}\rm\label{prop:Egrup}
Sea $(M,*)$ un monoide. Las siguientes condiciones son equivalentes:
\item[(i)] Para todo $a,b\in M$ la ecuaci\'{o}n $a*X=b$ posee soluci\'{o}n.
\item[(ii)] $(M,*)$ es un grupo.
\item[(iii)]  Para todo $a,b\in M$ la ecuaci\'{o}n $X*a=b$ posee soluci\'{o}n.

Es mas,  la soluci\'{o}n de la ecuaci\'{o}n en (i) o (iii) es \'{u}nica.
\end{prop}

\indent\textbf{Demo:} Con demostrar (i)$\iff$ (ii) habremos demostrado la proposici\'{o}n, ya que las otras dos
implicaciones son sim\'{e}tricas.

(ii)$\implies$(i). Supongamos que $(M,*)$ es un grupo. Entonces existe $a^{-1}\in M$, por lo que $a^{-1}*b$ es soluci\'{o}n
de la ecuaci\'{o}n. Es mas, si $c$ es soluci\'{o}n $a*c=b$, multiplicando por $a^{-1}$ por la izquierda, tenemos que
$a^{-1}*b=a^{-1}*a*c=c$ (y es la \'{u}nica soluci\'{o}n).

(i)$\implies$(ii). Supongamos que para todo $a,b\in M$ la ecuaci\'{o}n $a*X=b$ posee soluci\'{o}n. Sea $a\in M$. Veamos que $a$
es inversible: Sea $c\in M$ tal que $a*c=e$ y sea $c'\in M$ tal que $c*c'=e$. Tenemos entonces
$$c'=(a*c)*c'=a*(c*c')=a.$$ por lo que $c$ es inversible con inversa $a$, lo que  demuestra que $a$ es
inversible.\hfill$\blacksquare$

\begin{prop}\rm
Sea $(X,*)$ un semigrupo. Entonces son equivalentes:
\item{(i)} Para todo $a,b\in X$ las ecuaciones $a*X=b$ y $X*a=b$ poseen  soluci\'{o}n.
\item{(ii)} $(X,*)$ es un grupo.

Es mas,  la soluci\'{o}n de las ecuaciones en (i) es \'{u}nica.
\end{prop}

\indent\textbf{Demo:} (ii)$\implies$(i) es parte de la proposici\'{o}n anterior. Por tanto su\-pon\-gamos que para todo
$a,b\in X$ las ecuaciones $a*X=b$ y $X*a=b$ poseen  soluci\'{o}n. Demostremos que $*$ es unitaria:
 Dado $a\in X$ existe $e\in X$ tal que $$a*e=a$$
 Veamos que $e$ es el elemento unidad (para cada $a$ las hip\'{o}tesis nos dan un $e$, pero no sabemos que sea el
 mismo para todo elemento de $X$, por lo que no sabemos que haya un elemento unidad). Dado $b\in X$ existe $c\in X$ tal
 que $c*a=b$, por tanto $$b*e=(c*a)*e=c*(a*e)=c*a=b,$$ lo que demuestra que $e$ es una unidad por la derecha para $*$.
 Dado ahora $a\in X$ existe $e'\in X$ tal que $e'*a=a$ y  repitiendo el proceso, $e'$ es un neutro por la izquierda para
 $ *$. Por tanto, por \fullref{el lema}{lema:iguneu}, $e=e'$ es un neutro para $*$. Por tanto $(X,*)$ es un monoide y por la proposici\'{o}n
 anterior tenemos (ii). \hfill$\blacksquare$

\hypertarget{SGrup}{}
\section{Subgrupos} \label{sect:SGrup}\rm


Hemos empezado a estudiar la noci\'{o}n de grupo. Vamos a estudiar ahora como obtener nuevos grupos a partir de los que conocemos. Comenzamos con la noci\'{o}n de subgrupo:

\hypertarget{Dsgrub}{}
\begin{defi} \label{defi:Dsgru}\rm
Sea $(G,*)$ un grupo y $H\subset G$. Diremos que $H$ es un \textbf{subgrupo} \index{Subgrupo} de $G$, y lo denotaremos por $H\le G$, si $(H,*)$ tiene estructura de grupo. Por tanto, se tiene que cumplir:
\item{$\bullet$} La operaci\'{o}n $*$ tiene que estar bien definida en $H$, es decir, para todo $x,y\in H$, $x*y\in H$.
\item{$\bullet$} $*$ tiene que ser asociativa en $H$.
\item{$\bullet$} Debe de poseer un elemento neutro.
\item{$\bullet$} Todo elemento de $H$ debe de poseer un inverso en $H$.
\end{defi}

\noindent\textbf{Nota:} En la definici\'{o}n anterior no se ha dicho que la unidad de $G$ sea la unidad de $H$ y por tanto
dado un elemento $h\in H$, su inverso en $H$ podr\'{\i}a ser distinto a su inverso en $G$. No se deben dar por hecho cosas que
 en principio no se saben. No obstante, la siguiente proposici\'{o}n muestra que unidad e inversos coinciden.

\begin{prop}\rm
Sea  $(G,*)$ un grupo y $H\subset G$. Entonces $H$ es subgrupo de $G$ si y s\'{o}lo
si:
\item{(i)} Para todo $x,y\in H$, $x*y\in H$.
\item{(ii)}  El elemento neutro de $G$ pertenece a $H$.
\item{(iii)} Para todo $x\in H$, $x^{-1}\in H$.
\vskip0.2truecm
Por tanto, la identidad del subgrupo es la misma que la del grupo y los inversos del grupo y del subgrupo coinciden.
\end{prop}

\indent\textbf{Demo:}  Supongamos que $H$ verifica (i), (ii) y (iii). Por (i), la
operaci\'{o}n $*$ est\'{a} bien definida en $H$. Por (ii), si $e$ es el elemento neutro de $G$,
$e*x=x*e=x$ para todo $x\in H$, por lo que es el elemento neutro de $H$ y por (iii), dado
$x\in H$, $x^{-1}\in H$ y es el inverso de $x$ en $H$. Por \'{u}ltimo, como $*$ es asociativa
para los elementos de $G$, en particular es asociativa para $H$, lo que demuestra que
$(H,*)$ es un grupo.

Supongamos ahora que $H\le G$. Por definici\'{o}n (i) se verifica. Sea $e'$ el elemento neutro de $H$ y $e$ el de $G$. Tenemos entonces que
$$e*e'=e'*e'$$
y como en $G$ se verifican las leyes de simplificaci\'{o}n, $e=e'$, lo que demuestra (ii). Por ultimo, dado $x\in H$ sea
 $x'$ su inverso en $H$, entonces $$e=x*x'=x*x^{-1}$$ por lo que por la ley de simplificaci\'{o}n $x'=x^{-1}$, lo que demuestra
  (iii). \hfill$\blacksquare$
\vskip .3truecm
 $\blacklozenge$ Todo subgrupo de un grupo abeliano es abeliano.

 $\blacklozenge$ Sea $(G,*)$ un grupo. Entonces $(\{e\},*)$ y $(G,*)$ son subgrupos de $G$, llamados los \textbf{subgrupos triviales} de $G$.
 \index{Subgrupo!Trivial} Los subgrupos no triviales de $G$ se denominan \textbf{subgrupos propios}.\index{Subgrupos!Propios}

 \begin{prop}[Caracterizaci\'{o}n de subgrupo]\rm
Sea $(G,*)$ un grupo y sea $H\subset G$. Entonces $H$ es subgrupo de $G$ si y s\'{o}lo si $H\ne \emptyset$ y $\forall a,b\in H$,
$ab^{-1}\in H$.
\end{prop}

\textbf{Demo:}  Supongamos que $H\le G$. Entonces $H$ posee un elemento neutro, por lo que $H\ne \emptyset$. Por otro lado, dados $a,b\in H$, el inverso de $b$ en $H$ consiste con el inverso de $b$ en $G$ por lo que $a*b^{-1}$ es el producto de dos elementos de $H$ y por ser $H$ subgrupo, pertenece a $H$.

Veamos la otra implicaci\'{o}n (que es la interesante). Tenemos que $H$ es no vac\'{\i}o y para todo par de elementos $a,b\in H$, $a*b^{-1}\in H$:

(1). Al ser $H$ no vac\'{\i}o, existe $a\in H$ por lo que $e=a*a^{-1}\in H$.

(2). Dado $b\in H$, $b^{-1}=e*b^{-1}\in H$.

(3). Dados $a,b\in H$, por (2), $b^{-1}\in H$ y por hip\'{o}tesis, $a*b=a*(b^{-1})^{-1}\in H$.

Luego, por (3), la operaci\'{o}n es cerrada en $H$. Por (1), $e\in H$ y por (2) todo elemento de $H$ tiene su inverso en $H$. Lo que demuestra que $H$ es subgrupo de $G$. \hfill$\blacksquare$

 \begin{prop}[Caracterizaci\'{o}n de subgrupo II]\rm
Sea $(G,*)$ un grupo y sea $H\subset G$. Entonces $H$ es subgrupo de $G$ si y s\'{o}lo si $H\ne \emptyset$ y $\forall a,b\in H$,
$a^{-1}b\in H$.
\end{prop}

\textbf{Demo:} Es \fullref{el ejercicio}{ejj:csubejj}.

\hypertarget{Csub}{}
\section{Construcci\'{o}n de nuevos subgrupos}\label{sect:Csub}


 \begin{prop}\label{prop:inter}\rm
 Sea $(G,*)$ un grupo y sean $\{H_i\}_{i\in I}$ una familia de subgrupos de $G$. Entonces $\bigcap_{i\in I} H_i$ es  subgrupo de $G$.
 \end{prop}

 \textbf{Demo:} Tenemos que para cada $i\in I$, $e\in H_i$ (en donde $e$ es el elemento neutro de $G$. Por tanto, $e\in \bigcap_{i\in I} H_i$. Por otro lado, dados $a,b\in \bigcap_{i\in I} H_i$, $a,b\in H_k$ para cualquier $k\in I$. Entonces, como $H_k$ es subgrupo de $G$, $a*b^{-1}\in H_k$ para todo $k$ y por tanto $a*b^{-1}\in \bigcap_{i\in I} H_i$. Lo que demuestra la proposici\'{o}n. \hfill$\blacksquare$

 \begin{prop}\rm
 Sea $(G,*)$ un grupo y $H\le G$. Entonces para cada $x\in G$,
 $$xHx^{-1}:=\{xhx^{-1}\ \vert\ h\in H\}$$
 es un subgrupo de $G$, llamado el \textbf{subgrupo conjugado}\index{Subgrupo!Conjugado} de $H$ por $x$.
 \end{prop}

  \textbf{Demo:} Como $e\in H$, $e=xex^{-1}\in xHx^{-1}$. Por otro lado, dados $a,b\in H$, $$xax^{-1}xbx^{-1}=xabx^{-1}\in xHx^{-1}.$$ Lo que demuestra la proposici\'{o}n. \hfill$\blacksquare$


 \begin{defi}\rm
 Sea $(G,*)$ un grupo. Se define el \textbf{centro} de $G$, y se denota por ${\cal Z}(G)$ como:\index{Centro de un grupo}
 $${\cal Z}(G)=\{x\in G\ \vert\ x*y=y*x\quad\hbox{para todo }y\in G\}$$
 \end{defi}

  \begin{prop}\rm
 Sea $(G,*)$ un grupo. Entonces ${\cal Z}(G)$ es un subgrupo (abeliano) de $G$.
 \end{prop}

  \textbf{Demo:} Tenemos que para todo $a\in G$, $e*a=a*e$. Por tanto $e\in {\cal Z}(G)$. Por otro lado, dados $x,y\in {\cal Z}(G)$,  $$(x*y)*a=x*y*a=x*a*y=a*x*y=a*(x*y)$$ Lo que demuestra que $*$ es cerrada en ${\cal Z}(G)$.  Por \'{u}ltimo, dado $x\in {\cal Z}(G)$, para todo $a\in G$, $$a*x=x*a$$ por lo que si multiplicamos a derecha e izquierda pro el inverso de $x$ obtenemos $$x^{-1}*a=x^{-1}*a*x*x^{-1}=x^{-1}*x*a*x^{-1}=a*x^{-1},$$ lo que demuestra que $x^{-1}\in {\cal Z}(G)$. Por tanto, ${\cal Z}(G)$ es subgrupo (abeliano) de $G$.  \hfill$\blacksquare$

\hypertarget{SCG}{} \label{hype:SCG}



 Sea $(G,*)$ un grupo y $X$ un subconjunto de $G$. Nos vamos a plantear encontrar el menor subgrupo de $G$ que contiene a $X$:
\hypertarget{Sgen}{}
\begin{prop}\rm\label{prop:Sgen}
Sea $(G,*)$ un grupo y $X$ un subconjunto de $G$. Entonces existe el menor subgrupo de
$G$ que contiene a  $X$, llamado el \textbf{subgrupo
ge\-ne\-rado}\index{Subgrupo!Generado} por $X$ y denotado por $\langle X\rangle$. Es m\'{a}s,
$$\langle X\rangle:=\bigcap \{H\le G\ \vert\ X\subset H\}$$
\end{prop}

\noindent\textbf{Demo:}  Como $X\subset G$ y $G\le G$, lo anterior es una intersecci\'{o}n no vac\'{\i}a. Por tanto,  \fullref{la proposici\'{o}n}{prop:inter}
demuestra que $\langle X\rangle$ es un subgrupo de $G$.  Es m\'{a}s, dado $H\le G$ con $X\subset H$, por construcci\'{o}n  $\langle X\rangle\subset H$,
 lo que demuestra que  $\langle X\rangle$ es el menor subgrupo que contiene a $X$. \hfill$\blacksquare$

\noindent\textbf{Nota:} Nos encontramos aqu\'{\i}, otra vez, con una demostraci\'{o}n no
constructiva, por tanto, no tenemos un m\'{e}todo est\'{a}ndar  para construir el subgrupo generado por un conjunto.

\begin{coro}
Sea $G$ un grupo, $H$ es un subgrupo de $G$ y $X\subset H$  un subconjunto. Entonces $\langle X\rangle\subset H$.
\end{coro}

\begin{defi}\rm
Sea $(G,*)$ un grupo. Diremos que $X\subset G$ es un \textbf{sistema
generador}\index{Sistema Generador} de $G$ si $\langle X\rangle=G$, en este caso se dir\'{a}
que $G$ est\'{a} generado por $X$. Se dice que un grupo $G$ est\'{a}  \textbf{finitamente generado}\index{Finitamente Generado} si est\'{a}
generado por un conjunto finito.
 \end{defi}

\noindent\textbf{Nota:} Observar que siempre podemos encontrar un subconjunto que genere a $G$, ya que $\langle G\rangle=G$ (el menor subgrupo que contiene a $G$ es todo $G$.

\noindent\textbf{Nota:} $\mathbb{Z}$ est\'{a} generado por el conjunto $\{1\}$: ya que $1\in \langle \{1\}\rangle$ y por tanto, al ser la operaci\'{o}n cerrada,  $1+1+\cdots^{n}+1\in \langle \{1\}\rangle$, as\'{\i}, todo elemento de $\mathbb{N}$ pertenece a $\langle \{1\}\rangle$. Ahora como los opuestos de estos elementos y el cero tambi\'{e}n est\'{a}n, $\langle \{1\}\rangle =\mathbb{Z}$.

Veamos que dado un grupo  $(G,*)$ si vamos a poder construir el subgrupo generado por un \'{u}nico elemento.  Antes una definici\'{o}n que nos va a ser \'{u}til.
\hypertarget{Scic}{}
\begin{defi}\rm\label{defi:Scic}
Sea $(G,*)$ un grupo y sea $a\in G$. Dado $n\in \ZZ$ definimos $a^n$ como:
$$a^n:=\left\{\begin{split}
a^n \hskip 0.6truecm &\quad n>0\\
e \hskip 0.8truecm &\quad n=0\\
(a^{-1})^{-n}&\quad n<0
\end{split}\right.$$
 \end{defi}

\noindent\textbf{Nota:} Dados $n,m\in \ZZ$, $a^n*a^m=a^{n+m}$.

\noindent\textbf{Nota:} el subgrupo generado por un \'{u}nico elemento $a$, se denotar\'{a} por $\langle a\rangle$ (si quisi\'{e}ramos ser rigurosos tendr\'{\i}amos que denotarlo por $\langle \{a\}\rangle$).

\begin{prop}\rm
Sea $(G,*)$ un grupo y sea $a\in G$. Entonces $$\langle a\rangle=\{a^n\ \vert\ n\in
\ZZ\}.$$ Este subgrupo se denomina  el \textbf{subgrupo c\'{\i}clico}\index{Subgrupo!C\'{\i}clico}
generado por $a$.
\end{prop}

\noindent\textbf{Demo:} Sea $\Delta:=\{a^n\ \vert\ n\in \ZZ\}$.  Sabemos, por la
proposici\'{o}n anterior que existe el menor subgrupo generado por $a$. Es mas, como $a\in
\langle a\rangle$, y la ope\-raci\'{o}n es cerrada en $ \langle a\rangle$, para cualquier $n\in
\NN$, $a^n\in \langle a\rangle$. Como $ \langle a\rangle$ es un subgrupo $e\in  \langle
a\rangle$ y como el inverso de cualquier elemento de $ \langle a\rangle$ pertenece a $
\langle a\rangle$, $(a^n)^{-1}=(a^{-1})^n\in
 \langle a\rangle$. Luego $\forall\ n\in \ZZ$, $a^n\in \langle a\rangle$, es decir $\Delta \subset \langle a\rangle$.

 Veamos por \'{u}ltimo que $\Delta$ es un subgrupo:
  Dados $a^n,a^m\in \Delta$, $$a^n*a^m=a^{n+m}\in \Delta,$$ $e\in \Delta$ (por definici\'{o}n) y dado $a^n\in \Delta$, su inverso es $a^{-n}\in \Delta$,
  lo que demuestra que $\Delta$ es un subgrupo de $G$.  Como $a\in \Delta$ y $\langle a\rangle$ es el menor subgrupo que contiene a $a$. $\langle a\rangle\subset \Delta$. \hfill$\blacksquare$

\begin{coro}
Sea $G$ un grupo y sea $a\in G$. Entonces $\langle a\rangle$ es  abeliano.
\end{coro}

\noindent\textbf{Demo:} Dados $x,y\in \langle a\rangle$ existen $n,m\in \mathbb{Z}$ tales que $x=a^n$ e $y=a^m$. Por tanto $$x*y=a^n*a^m=a^{n+m}=a^{m+n}=a^m*a^n=y*x$$ \vskip -0.9truecm \hfill$\blacksquare$


\begin{ejem}\rm
\item{$\star$} El subgrupo c\'{\i}clico generado por el $7$ en $(\ZZ,+)$ es $$\langle 7\rangle=\{\dots, -21,-14,-7,0,7,14,21,\dots\}$$
\item{$\star$} El subgrupo c\'{\i}clico generado por $\overline 3$ en $\ZZ_{12}$ es
 $$\langle \overline 3\rangle=\{\overline 0, \overline 3, \overline 6, \overline9\}$$
\item{$\star$} El subgrupo c\'{\i}clico generado por $\overline 4$ en $\ZZ_8$ es
 $$\langle \overline 4\rangle=\{\overline 0, \overline 4\}$$
\end{ejem}

\hypertarget{Oele}{}
\begin{defi}\rm\label{defi:Oele}
Sea $(G,*)$ un grupo. Se define el \textbf{orden} de $G$ y se representa por $\vert
G\vert$ como $$\vert G\vert=\left\{\begin{split} n\,\quad&\hbox{ si $G$ es finito con $n$
elementos}\\ \infty\quad&\hbox{en caso contrario}
\end{split}\right.$$
Se define el orden de un elemento $a\in G$, y se representa por $\vert a\vert$ (en
algunos libros se denota por  $\circ a$) como el \textbf{orden}\index{Orden!de un Grupo}
del subgrupo c\'{\i}clico que genera.\index{Orden!de un Elemento}
\end{defi}

\begin{prop}\label{prop:caracci}\rm
Si $(G,*)$ es un grupo y $a\in G$. Entonces:\begin{enumerate}
\item[(i)] Si $\vert a\vert=\infty$, se verifica que
$\langle a\rangle=\{\dots,a^{-3}, a^{-2},a^{-1},e,a,a^2,a^3,\dots\}.$
En donde todos los elementos son distintos.
\item[(ii)] Si $\vert a\vert=n$, se verifica que:
\begin{enumerate}
\item[(a)]  $a^n=e$,
\item[(b)] $\langle a\rangle=\{e,a,a^2,\cdots,a^{n-1}\}.$
\item[(c)] Para todo $m\in \ZZ$, si $a^m=e$, $m$ es m\'{u}ltiplo de $n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{prop}

\noindent\textbf{Demo:} Sabemos que  $\langle a\rangle=\{a^n\ \vert\ n\in \ZZ\}.$ Si todos estos elementos son distintos, tenemos $(i)$ y $\vert a\vert=\infty$. Caso contrario existe $r,s\in \NN$ distintos, por lo que puedo suponer $r<s$,   tales que $a^r=a^s$, o lo que es lo mismo, $a^{s-r}=e$. Sea $$\Lambda:=\{k\in \NN\ \vert\ a^k=e\}\subseteq \NN$$ Por lo anterior, $s-r\in \Lambda$ y por el principio del buen orden, existe un m\'{\i}nimo en $\Lambda$, denotemos a este m\'{\i}nimo por $n$.

Entonces $\{e,a,a^2,\dots,a^{n-1}\}$ son todos distintos (repetimos el razonamiento anterior) si $0<r<s<n-1$ y $a^r=a^s$, entonces $a^{ s-r}=e$ con $n>s-r\in \Lambda$, una contradicci\'{o}n. Es m\'{a}s, dado $m\in \ZZ$, por el algoritmo de la divisi\'{o}n $m=cm+r$ con $0<r<n$ y $$a^m=a^{cn+r}=(a^n)^c*a^r=e^c*a^r=a^r.$$
Por tanto $\langle a\rangle=\{a^n\ \vert\ n\in \ZZ\}=\{e,a,a^2,\dots,a^{n-1}\}$ y si $a^m=e$, entonces $r=0$ y $m$ es m\'{u}ltiplo de $n$. \hfill$\blacksquare$

\hypertarget{HOM}{}
\section{Homomorfismos de Grupos}\label{sect:HOM}


En este tema vamos a estudiar aplicaciones entre grupos. Siempre que en algebra se introduce un nuevo concepto en una estructura, \'{e}ste tiene que estar relacionado con todos los aspectos de dicha estructura. Por ejemplo, en principio los naturales son s\'{o}lo un conjunto. En \'{e}l introducimos una ope\-ra\-ci\'{o}n, la suma. Cuando se define el producto  se relaciona  con la suma por la propiedad distributiva y cuando se introduce el orden, se relacionan propiedades de la suma y del producto con el orden (la raz\'{o}n de que en $\ZZ_n$ no se haya introducido un orden es que no existe ninguno que se relacione  ``bien"\  con su suma y su producto).


\hypertarget{Dhom}{}
\begin{defi}\rm \label{defi:Dhom}

Sean $(G,*)$ y $(G',*')$ dos grupos. Se define un \textbf{homomorfismo}\index{Homomorfismo} de $G$ en $G'$ como  una aplicaci\'{o}n $f:G\to G'$ tal que para todo $x,y\in G$,
$$f(x*y)=f(x)*'f(y)$$
\end{defi}

\begin{ejem}\rm Las siguientes aplicaciones son homomorfismos de grupos:
\item{$\star$} La aplicaci\'{o}n identidad $\Id:G\to G$ es un homomorfismo (biyectivo) de $G$ en si mismo.
\item{$\star$} Sea $(\ZZ,+)$ el grupo de los enteros. Entonces para cada $\lambda\in \ZZ$,
$$
f:\ZZ\to \ZZ\quad\hbox{definida por }\quad f(x)=\lambda x.
$$

\item{$\star$} Si $G$ y $G'$ son dos grupos con $e'$ el elemento neutro de $G'$,  $$f:G\to G'\quad\hbox{definida por}\quad  f(x)=e'\quad\forall x\in G.$$
\item{$\star$} Sea $G$ un grupo y $a\in G$. Entonces  $$f:\ZZ\to G \quad\hbox{definida por }\quad f(n)=a^n.$$

\item{$\star$} Los reales estrictamente positivos con la multiplicaci\'{o}n es un grupo abeliano, denotado por $(\RR^+,\cdot)$.
$$f:(\RR,+)\to (\RR^+,\cdot)\quad\hbox{definida por}\quad  f(x)=2^x\quad\forall x\in \RR.$$
\end{ejem}

\begin{prop}\rm
Sean $G$ y $G'$ dos grupos y $f:G\to G'$ un homomorfismo de grupos. Entonces
\item{(i)} $f(e)=e'$ con $e$ y $e'$ neutros respectivos de $G$ y $G'$.
\item{(ii)} $f(a^{-1})=f(a)^{-1}$ para todo $a\in G$.
\item{(iii)} $f(a^k)=f(a)^k$ para todo $a\in G$, $k\in \ZZ$.
\item{(iv)} Si $a\in G$ tiene orden finito, entonces  $\vert f(a)\vert$ divide a $\vert a\vert$.
\end{prop}

\begin{Proof}
(i). Sabemos $e=e*e$, por tanto $f(e)=f(e*e)=f(e)*f(e)$. Si multiplicamos ahora por el inverso de $f(e)$ en $G'$ tenemos
$$e'=f(e)*f(e)^{-1}=(f(e)*f(e))*f(e)^{-1}=f(e)*(f(e)*f(e)^{-1})=f(e)*e'=f(e)$$
(ii). Tenemos que ver que el inverso de $f(a)$ en $G'$ es $f(a^{-1})$. vamos a comprobarlo:
\begin{align*}
f(a)*f(a^{-1})&=f(a*a^{-1})=f(e)=e'\cr
f(a^{-1})*f(a)&=f(a^{-1}*a)=f(e)=e'
\end{align*}
Por lo que el inverso de $f(a)$ en $G'$ es $f(a^{-1})$.

\noindent (iii). Vamos a demostrar en primer lugar el enunciado para $n$ positivo, la demostraci\'{o}n la haremos por inducci\'{o}n: si $n=1$ no hay nada que demostrar ($f(a^1)=f(a)^1$). Supongamos que el resultado es cierto para $n-1$, es decir, $f(a^{n-1})=f(a)^{n-1}$ y vamos a demostrarlo para $n$
$$f(a^n)=f(a^{n-1}*a)=f(a^{n-1})*f(a)=f(a)^{n-1}*f(a)=f(a)^n$$
El caso $n=0$ es el apartado $i$: $f(a^0)=f(e)=e'=f(a)^0$ y en caso de $n$ negativo se demuestra a partir del apartado (ii) y el caso positivo: sea $n\in \mathbb{N}$, entonces
$$f(a^{-n})=f((a^n)^{-1})=f(a^n)^{-1}=(f(a)^n)^{-1}=f(a)^{-n}$$
\vskip-.8truecm \hfill$\blacksquare$
\end{Proof}

\begin{prop}\rm
Sean $G$ y $G'$ dos grupos y $f:G\to G'$ un homomorfismo de grupos. Entonces:
\item{(i)} Si $H\le G$, entonces $f(H):=\{f(h)\ \vert\ h\in H\}\le G'$.
\item{(ii)} Si $H'\le G'$, entonces $f^{-1}(H'):=\{x\in G\ \vert\ f(x)\in H'\}\le G$.
\vskip.3truecm
\textbf{Nota:} en (ii) no se supone que $f$ es inversible, sino que por $f^{-1}(H')$ se est\'{a} denotando la imagen inversa de $H$ por $f$ (ver anexo A).
\end{prop}
\begin{Proof}
La demostraci\'{o}n de esta proposici\'{o}n es una mera comprobaci\'{o}n.

 (i). Sea $f(H)=\{f(h)\ \vert\ h\in H\}$. como $H\le G$, $e\in H$ y por tanto $e'=f(e)\in f(H)$ con lo que $f(H)\ne \emptyset$. Por otro lado, dados $a,b\in f(H)$ existen $h_1,h_2\in H$ tales que $a)f(h_1)$ y $b=f(h_2)$. por tanto
 $$a*'b^{-1}=f(h_1)*' f(h_2)^{-1}=f(h_1)*' f(h_1^{-1})=f(h_1*h_2^{-1})\in f(H)$$ ya que al ser $H\le G$, $h_1*h_2^{-1}\in H$.

 (ii). Sea $f^{-1}(H')=\{x\in G\ \vert\ f(x)\in H'\}$. Como $f(e)=e'\in H'$ (ya que $H'\le G'$, $f^{-1}(H')\ne \emptyset$. Por otro lado, dados $a,b\in f^{-1}(H')$, $$f(a*b^{-1})=f(a)*' f(b^{-1})=f(a)*'f(b)^{-1}\in H'$$ ya que por hip\'{o}tesis $f(a),f(b)\in H'$ que es subgrupo de $G'$. \hfill$\blacksquare$
\end{Proof}




\hypertarget{Nhom}{}
\begin{defi}\rm \label{defi:Nhom}
Sean $G$ y $G'$ dos grupos y $f:G\to G'$ un homomorfismo de grupos. Se define la \textbf{imagen}\index{Homomorfismo!Imagen} de $f$ y se representa por $\im(f)$ como $$\im(f):=\{f(x)\ \vert\ x\in G\}\le G'$$
Se define el \textbf{n\'{u}cleo}\index{Homomorfismo!Nucleo} de $f$ y se representa por $\Ker(f)$ como $$\Ker(f):=\{x\in G\ \vert \ f(x)=e\}\le G$$
en donde $e'$ denota el elemento neutro de $G'$
\end{defi}

\begin{defi}\rm
Sean $G$ y $G'$ dos grupos. Se dice que un homomorfismo  $f:G\to G'$ es\index{Homomorfismo}
\item{$\bullet$} un \textbf{monomorfismo} de grupos si $f$ es inyectiva.\index{Homomorfismo!Monomorfismo}
\item{$\bullet$} un \textbf{epimorfismo} de grupos si $f$ es sobreyectiva.\index{Homomorfismo!Epimorfismo}
\item{$\bullet$} un \textbf{isomorfismo} de grupos si $f$ es biyectiva.\index{Homomorfismo!Isomorfismo}
\item{$\bullet$} un homomorfismo $f:G\to G$ se dice que es un \textbf{endomorfismo}.\index{Homomorfismo!Endomorfismo} Al conjunto de todos los endomorfismos de un grupo $G$ se le denota por $\Hom(G)$.
\item{$\bullet$} un \textbf{automorfismo} es un endomorfismo biyectivo. \index{Homomorfismo!Automorfismo}Al conjunto de todos los endomorfismos biyectivos se le denota por $\Aut(G)$
\end{defi}

\begin{prop}\rm
Sean $G$ y $G'$ dos grupos y $f:G\to G'$ un homomorfismo de grupos. Entonces:
\item{(i)} $f$ es un epimorfismo si y s\'{o}lo si $\im(f)=G'$.
\item{(ii)} $f$ es un monomorfismo si y s\'{o}lo si $\Ker(f)=\{e\}$.
\end{prop}
\begin{Proof}
(i). Es trivial: si $\im(f)=G'$ significa que para todo $y\in G'$ existe $x\in G$ con $f(x)=y$ que es exactamente la condici\'{o}n para que $f$ sea sobreyectiva.

(ii). Supongamos que $f$ es un monomorfismo. Por un lado sabemos que $f(e)=e'$, con lo que $e\in Ker(f)$. Por otro, si $x\in \Ker(f)$, $f(x)=e'$ y como $f$ es inyectiva, $f(x)=e'=f(e)$ se tiene que $x=e$, luego el \'{u}nico elemento contenido en el n\'{u}cleo de $f$ es el elemento neutro.

Supongamos ahora que $\Ker(f)=\{e\}$ y sean $x,y\in G$ con $f(x)=f(y)$. Entonces,
$$e'=f(x)*'f(x)^{-1}=f(y)*'f(x)^{-1}=f(y)*'f(x^{-1})=f(y*x^{-1})$$ Por tanto $y*x^{-1}\in \Ker(f)$ y por tanto $y*x^{-1}=e$, con lo que multiplicando por $x$ por la derecha tenemos que $y=x$, es decir, $f$ es inyectiva. \hfill$\blacksquare$
\end{Proof}


\begin{prop}\rm
La composici\'{o}n de homomorfismos de grupos es un homomorfismo de grupos.
\end{prop}

\begin{Proof}
Sean $(G_i,*_i)$ con $i=1,2,3$ tres grupos y sean $f:G_1\to G_2$ y $g: G_2\to G_3$ dos homomorfismos de grupos, demostremos que $g\circ f:G_1\to G_3$ es tambi\'{e}n un homomorfismo de grupos: dados $x,y\in G_1$,
\begin{align*}
g\circ f(x*_1 y)&=g(f(x*_1 y))=g(f(x)*_2f(y))=g(f(x))*_3g(f(y))\cr &=(g\circ f(x))*_3(g\circ f(y))
\end{align*}
\vskip-.8truecm \hfill$\blacksquare$
\end{Proof}

\hypertarget{Aut}{}
\begin{prop}\rm \label{prop:Aut}
Sean $G$ y $G'$ dos grupos. Entonces:
\item{(i)} Si $f:G\to G'$ es un isomorfismo de grupos, entonces $f^{-1}:G'\to G$ tambi\'{e}n lo es.
\item{(ii)} Para cada $a\in G$ la aplicaci\'{o}n $$\sigma_a:G\to G\quad\hbox{ definida por } \sigma_a(x)=axa^{-1}$$ es un automorfismo de $G$, llamado un \textbf{automorfismo interno}\index{Homomorfismo!Automorfismo Interno} de $G$.
\end{prop}
\begin{Proof}
(i). Al ser $f$ un isomorfismo, tenemos que es biyectiva. Por tanto existe la aplicaci\'{o}n inversa de $f$, $f^{-1}:G'\to G$. Tenemos que demostrar que esta aplicaci\'{o}n es, de hecho, un homomorfismo de grupos: dados $x,y\in G'$ tenemos que ver que $f^{-1}(a*'b)$ es igual que $f^{-1}(a)*f^{-1}(b)$. Si aplicamos $f$ a ambos elementos,
\begin{align*}
f(f^{-1}(a*'b))&=f\circ f^{-1}(a*'b)=a*'b\cr
f(f^{-1}(a)*f^{-1}(b))&=f(f^{-1}(a))*f(f^{-1}(b))=f\circ f^{-1}(a)*'f\circ f^{-1}(b)=a*'b
\end{align*} nos da el mismo resultado y como $f$ es biyectiva (por tanto inyectiva),  $$f^{-1}(a*'b)=f^{-1}(a)*f^{-1}(b).$$

(ii). Veamos en primer lugar que $\sigma_a$ es un homomorfismo de grupos: dados $x,y\in G$,
$$ \sigma_a(x)*\sigma_a(y)=(a*x*a^{-1})*(a*y*a^{-1})=a*x*y*a^{-1}=\sigma_a(x*y)$$
Por otro lado, veamos que $\sigma_{a^{-1}}$ es la inversa de $\sigma_a$: dado $x\in G$,
\begin{align*}
\sigma_a\circ \sigma_{a^{-1}}(x)&=\sigma_a(a^{-1}*x*(a^{-1})^{-1})=\sigma_a(a^{-1}*x*a)=a*(a^{-1}*x*a)*a^{-1}=x\cr
\sigma_{a^{-1}}\circ \sigma_{a}(x)&=\sigma_{a^{-1}}(a*x*a^{-1})=a^{-1}*(a*x*a^{-1})*(a^{-1})^{-1}=a^{-1}*(a*x*a^{-1})*a=x
\end{align*}
Lo que demuestra que $\sigma_a$ es biyectiva y por tanto un automorfismo de $G$. \hfill$\blacksquare$
\end{Proof}


\textbf{Nota:} Dado $G$ un grupo, $H$ un subgrupo de $G$ y $a\in G$, el subgrupo conjugado de $H$ por $a$ no es m\'{a}s que la imagen de $H$ por el automorfismo interno $\sigma_a$. $$aHa^{-1}=\sigma_a(H)$$

\begin{coro}\rm
Sea $G$ un grupo. Entonces $(\Hom(G),\circ)$ es un monoide. Es m\'{a}s, los ele\-men\-tos inversibles de $\Hom(G)$ son precisamente los automor\-fismos de $G$, por lo que $(\Aut,\circ)$ es un grupo.
\end{coro}

\begin{defi}\rm
Se dice que dos grupos $G$ y $G'$ son \textbf{isomorfos} y se representa por $G\cong G'$ si existe un isomorfismo $f:G\to G'$. \index{Grupos!Isomorfos}
\end{defi}

\begin{prop}\rm
 ``Ser isomorfos"\  es una relaci\'{o}n de equivalencia.
\end{prop}

\begin{prop}\rm\label{prop:estructural} Sean $G$ y $G'$ dos grupos y $f:G\to G'$ un isomorfismo de grupos. Entonces:
\item{(i)} Si $G$ es abeliano, $G'$ es abeliano.
\item{(ii)} Si $G$ es finitamente generado, $G'$ es finitamente generado.
\item{(iii)} Si $G$ es c\'{\i}clico, $G'$ es c\'{\i}clico.
\item{(iii)} Si $G$ es finito, $G'$ es finito.
\item{(iv)} Si $G$ posee un elemento de orden $n$, $G'$ posse un elemento de orden $n$.\newline \vskip.1truecm
Se define una \textbf{propiedad estructural} como aqu\'{e}lla que se conserva por isomorfismo: las propiedades mencionadas anteriormente son estructurales.\index{Propiedad Estructural}
\end{prop}

Las propiedades estructurales nos pueden servir para saber si dos grupos no son isomorfos. As\'{\i}, tanto $\mathbb{Z}_6$ como $S_3$ son grupos con 6 elementos. ?`Son isomorfos? La respuesta es \textbf{NO}, ya que $\mathbb{Z}_6$ es abeliano (o c\'{\i}clico) y $S_3$ no es abeliano (ni c\'{\i}clico).

\hypertarget{Cay}{}
\section{Monomorfismos y subgrupos. El Teorema de Cayley}\label{sect:Cay}

Sea $G$ un grupo y sea $H$ un subgrupo de $G$. Entonces la inclusi\'{o}n $i:H\to G$ es un monomorfismo de grupos. Es m\'{a}s, nos encontramos con una especie de resultado inverso, a saber, si $f:G\to G'$ es un monomorfismo de grupos entonces $f:G\to Im(f)$ es un isomorfismo de grupos. Por lo que $G$ es isomorfo a un subgrupo de $G'$. Por tanto tenemos el siguiente resultado:

\begin{prop}
Los subgrupos de un grupo $G$ quedan caracterizados como im\'{a}genes por monomorfismos en $G$.
\end{prop}

\textbf{Nota:} Si los monomorfismos nos caracterizan, en cierta forma, los subgrupos de un grupo $G$, ?`Que pasar\'{a}n con los epimorfismos?

\begin{center}
\shadowbox{\parbox{\columnwidth+0\fboxsep-10\fboxrule-\shadowsize}{
\centering
\begin{theo}[Teorema de Cayley]\index{Teorema de Cayley}\rm \label{theo:Tcay}
Sea $G$ un grupo finito con $n$ elementos. Entonces $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n$.
\end{theo}
}}
\end{center}


\Proof  Dado $a\in G$, la aplicaci\'{o}n $\Phi^l_a:G\to G$ es biyectiva y por tanto una permutaci\'{o}n en $G$. Veamos
que la aplicaci\'{o}n $$\Phi^l:G\to S_G\quad \hbox{definida por}\quad \Phi^l(a)=\Phi^l_a$$ es un monomorfismo de grupos:

$$\Phi^l(a*b)(x)=a*b*x=\Phi^l_a(b*x)=\Phi^l_a(\Phi^l_b(x))=\Phi^l_a\circ \Phi^l_b(x)$$
 por lo que $\Phi^l(a*b)=\Phi^l_a\circ \Phi^l_b$ y por tanto $\Phi$ es un homomorfismo de anillos. Es m\'{a}s, si $\Phi^l(a)=\Phi^l(b)$, entonces $a=a*e=\Phi^l(a)(e)=\Phi^l(b)(e)=b*e=b$,
 por lo que $\Phi$ es inyectiva. Por tanto $G\cong \im(\Phi^l)\le S_G$. \EndProof

En principio este teorema puede parecer muy pr\'{a}ctico, aunque en rea\-lidad es muy complicado calcular todos los subgrupos de
$S_n$. Es m\'{a}s, en la actualidad no est\'{a}n clasificados los grupos finitos (s\'{\i} que lo est\'{a}n los grupos abelianos finitos). Veamos
algunos subgrupos interesantes de $S_n$.

\begin{ejem}
Los subgrupos c\'{\i}clicos de $S_3=\{\rho_0,\rho_1,\rho_2,\tau_1,\tau_2,\tau_3\}$ son:
$$\begin{array}{ll}
\langle \rho_0\rangle=\{\rho_0\}& \langle \rho_1\rangle=\langle \rho_2\rangle=\{\rho_1,\rho_2,\rho_0\}\cong \ZZ_3\\
\langle \tau_1\rangle=\{\tau_1,\rho_0\}\cong \ZZ_2\hskip 1truecm\ &\langle \tau_2\rangle=\{\tau_2,\rho_0\}\cong \ZZ_2\\
\langle \tau_3\rangle=\{\tau_3,\rho_0\}\cong \ZZ_2&\
\end{array}$$
\end{ejem}

Veremos, una vez demostrado el Teorema de Lagrange, que \'{e}stos son todos los subgrupos propios de $S_3$.

\hypertarget{GCICL}{}
\section{Grupos c\'{\i}clicos}\label{sect:GCICL}

\hypertarget{DGCicl}{}
\begin{defi}\rm \label{defi:DGCicl}
 Se dice que  $(G,*)$ es \textbf{c\'{\i}clico}\index{Grupo!C\'{\i}clico} si existe $a\in G$ tal que
$\langle a \rangle=G$, en este caso se dice que $a$ es un \textbf{generador}\index{Sistema Generador} de
$G$. Observar que en \fullref{la proposici\'{o}n}{prop:estructural} se demostr\'{o} que la propiedad  ``ser grupo c\'{\i}clico"\ es estructural.
\end{defi}

\begin{ejem}
$\blacklozenge$ $\ZZ$ es un grupo c\'{\i}clico infinito, $\ZZ=\langle 1\rangle$. \par
$\blacklozenge$ Para cada $n\in \NN$, $\ZZ_n$ es un grupo c\'{\i}clico con $n$ elementos, $\ZZ_n=\langle \overline 1\rangle$.
\end{ejem}

\begin{theo}\rm
Todo grupo c\'{\i}clico es abeliano.
\end{theo}

\begin{center}
\shadowbox{\parbox{\columnwidth+0\fboxsep-10\fboxrule-\shadowsize}{
\centering
\begin{prop} Sea $G$ un grupo c\'{\i}clico y $H$ un subgrupo de $G$. Entonces
\item{(i)} $H$ es c\'{\i}clico. \vskip.2truecm
 Es m\'{a}s, si $G$ es c\'{\i}clico con $n$ elementos,
\item{(ii)}  El orden de $H$ divide al orden de $G$.
\item{(iii)} Para cada divisor $k$ de $n$ existe un \'{u}nico subgrupo con $k$ elementos.
\end{prop}
}}
\end{center}

\indent\textbf{Demo:} Si $H=\{e\}$, no tenemos nada que demostrar. Por tanto, podemos suponer que existe $e\ne a^r\in H$. Tenemos entonces que $a^r$ y $a^{-r}$ pertenecen a $H$, por lo que el subconjunto  $$\Delta:=\{n\in \NN\ \vert a^n\in H\}\subset \NN$$ es no vac\'{\i}o. Sea  $k=\Min(\Delta)$. Veamos que $H=\langle a^k\rangle$: Dado $a^m\in H$, por el algoritmo de la divisi\'{o}n, $m=ck+r$  con $0\le r<k$ por lo que $a^m=a^{ck}*a^r$. Por tanto $a^r=a^m*(a^{-k})^c$ y como $a^m$ y $a^{-k}\in H$, $a^r\in H$ lo que implica, por la minimalidad de $k$,  que $r=0$. Luego,  $H\subset \langle a^k\rangle\subset H$, lo que demuestra que $H$ es c\'{\i}clico generado por $a^k$. Es m\'{a}s, hemos demostrado que $$\hbox{ si } a^m\in H,\quad m\hbox{ es m\'{u}ltiplo de k}\eqno{(*)}$$

Luego, si $G$ es finito con $n$ elementos, $e=a^n\in H$, por lo que $n$ es m\'{u}ltiplo de $k$, $n=ck$ y entonces $$H=\{a^k,a^{2k},\dots, a^{(c-1)k},a^{ck}=e\}$$
 lo que demuestra que $\vert H\vert=c$ y como $n=ck$, $c$ divide a $n$. Es m\'{a}s, un generado de $H$ es $a^{n/c}$  con $n$ el orden de $G$ y $c$ el orden de $H$, por lo que, a lo sumo,  hay un \'{u}nico subgrupo con $c$ elementos. Por \'{u}ltimo, si $c$ divide a $n$, y $n=ck$, $\langle a^k\rangle$ es un subgrupo con $c$ elementos, lo que demuestra (iii). \hfill$\blacksquare$


Estudiemos el orden de los elementos en un grupo c\'{\i}clico y finito:

\begin{center}
\shadowbox{\parbox{\columnwidth+0\fboxsep-10\fboxrule-\shadowsize}{
\centering
\begin{prop}\label{prop:genelementa}
Sea $G$ un grupo c\'{\i}clico con $n$ elementos, supongamos que $a\in G$ es un generador: $G=\langle a\rangle=\{e,a,a^2,\dots,a^{n-1}\}$. Entonces:
\item{(i)} $\langle a^k\rangle=\langle a^{\mcd(k,n)}\rangle$.
\item{(ii)} El orden de $a^k=n/\mcd(k,n)$.
\item{(iii)} $a^k$ genera $G$ si y s\'{o}lo si $\mcd(k,n)=1$.
\item{(iv)} El n\'{u}mero de generadores de $G$ es $\phi(n)$ (donde $\phi$ es la funci\'{o}n de Euler).
\end{prop}
}}
\end{center}

\indent\textbf{Demo:}  (i). Denotemos por $m:=\mcd(k,n)$. Como $k$ es m\'{u}ltiplo de $m$, $k=\alpha m$, $$a^k=a^{\alpha m}=(a^m)^\alpha\in \langle a^{m}\rangle.$$ Por tanto $\langle a^{k}\rangle\subset \langle a^{m}\rangle$.
Por otro lado, aplicando el Teorema de Bezout, existe $r,s\in \mathbb{Z}$ tales que $r k+s n=m (=\mcd(k,n))$. As\'{\i}, $$a^m=a^{r k+s n}=(a^k)^r\,(a^n)^s=(a^k)^r e^s=(a^k)^r\in \langle a^{k}\rangle$$ y por tanto $\langle a^{m}\rangle\subset \langle a^{k}\rangle$.

(ii). Seguimos denotando por $m=\mcd(k,n)$. Sea $\beta\in \mathbb{N}$ tal que $n=\beta m$. Tenemos entonces que $$\langle a^k\rangle=\langle a^{m}\rangle=\{a^m,a^{2m},\dots,a^{(\beta-1)m}, a^{\beta m}=a^n=e\}$$ Por lo que $\circ a^k=\beta=n/\mcd(k,n)$.

(iii)y (iv) son consecuencia directa de (ii).  \hfill$\blacksquare$

\begin{center}
\shadowbox{\parbox{\columnwidth+0\fboxsep-10\fboxrule-\shadowsize}{
\centering
\hypertarget{ClaGcicli}{}
\begin{theo}\rm \label{theo:ClaGcicli}
Si $G$ es un grupo c\'{\i}clico, entonces:
\item{(i)} Si $\vert G\vert=\infty$, entonces $G\cong \ZZ$.
\item{(ii)} Si $\vert G\vert=n$, entonces $G\cong \ZZ_n$.
\end{theo}
}}
\end{center}

\textbf{Demo:} Supongamos que $G$ es infinito y $a\in G$ es un generador. Por \fullref{la proposici\'{o}n}{prop:caracci}, $$G=\{\cdots,a^{-2},a^{-1},e,a,a^2,\cdots\}$$
en donde todos los elementos son distintos. Por tanto la aplicaci\'{o}n $$f:\ZZ\to G\quad\hbox{ definida por }\quad f(n)=a^n$$
 es un isomorfismo de grupos:
 \begin{enumerate}
 \item[$\star$] $f(n+m)=a^{n+m}=a^n\*a^m=f(n)*f(m)$ para todo $n,m\in \ZZ$.
 \item[$\star$] Claramente $f$ es sobreyectiva dado $a^k\in G$, $a^k=f(k)$
 \item[$\star$] La inyectividad viene del hecho de que todas las potencias de $a$ son distintas.
 \end{enumerate}


 Supongamos que $G$ es finito con $n$ elementos.  Por \fullref{la proposici\'{o}n}{prop:caracci}, $$G=\{a,a^2,\cdots\,a^{n-1},a^n=e\}$$
 con todas estas potencias distintas, por tanto $n$ es el menor natural tal que $a^n=e$ y con la propiedad de que si $a^k=e$ entonces $k$ es m\'{u}ltiplo de $n$.  Por tanto la aplicaci\'{o}n $$f:\ZZ_n\to G\quad\hbox{ definida por }\quad f(\overline n)=a^n$$
 es un isomorfismo de grupos:
    \begin{enumerate}
\item[$\star$] Al estar definida la aplicaci\'{o}n seg\'{u}n un representante de clase, tenemos que ver que est\'{a} bien definida. Si $\overline r=\overline s$, entonces $r-s=\alpha n$, por lo que $r=s+\alpha n$. Entonces que $a^r=a^{s+\alpha n}=a^s*(a^n)^\alpha=a^s$. Por tanto est\'{a} bien definida.
\item[$\star$] $f(\overline n+\overline m)=f(\overline{n+m})=a^{n+m}=a^n*a^m=f(\overline n)*f(\overline m)$, $\forall\ \overline n,\overline m\in \ZZ_n$.
\item[$\star$] Claramente $f$ es sobreyectiva, dado $a^k\in G$, $a^k=f(\overline k)$
\item[$\star$] La inyectividad. Sean $\overline r,\overline s\in \ZZ_n$ tales que  $f(\overline r)=f(\overline s)$. Entonces $a^r=a^s$ con lo que $a^{r-s}=e$ y por tanto $r-s$ es m\'{u}ltiplo de $n$, $r-s=\alpha n$ por lo que $\overline r=\overline s$.  \hfill$\blacksquare$
 \end{enumerate}


\hypertarget{Ejjdos}{}
\section{Ejercicios del Tema}\label{sect:Ejjdos}
\setcounter{ejj}{0}

\begin{ejj}\rm
Sea $\{(G_i,*_i)\}_{i=1}^n$ una familia de grupos y sea $G:=\Pi_{i=1}^n G_i$ el producto cartesianos de conjuntos. Entonces $G$ con producto
$$(x_1,x_2,\dots,x_n)*(y_1,y_2,\dots,y_n):=(x_1*_1y_1,x_2*_2y_2,\dots,x_n*_ny_n)$$
tiene estructura de grupo, llamado el \textbf{producto directo externo} de los grupos $G_i$.
\index{Producto!Directo Externo} Es m\'{a}s, $G$ es abeliano si y s\'{o}lo si $(G_i,*_i)$ es abeliano $\forall\ i\in \{1,2,\dots,n\}$.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
El grupo $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ tiene 4 elementos. ?`Cual de las dos tablas dada en teor\'{\i}a corresponde a este grupo?
\end{ejj}
\begin{ejj}\rm \textbf{Caracterizaci\'{o}n de subgrupo:} \label{ejj:csubejj}
Sea $(G,*)$ un grupo y sea $H\subset G$. Demuestra que $H$ es subgrupo de $G$ si y s\'{o}lo si $H\ne \emptyset$ y $\forall a,b\in H$,
$a^{-1}b\in H$.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $(M,*)$ un semigrupo. Supongamos que existen $e,e'\in M$, con $e\ne e'$, tales que $e*a=a$ y $e'*a=a$ para todo $a\in M$. Demuestra que $M$ no
tiene elemento unidad.
\end{ejj}

\begin{ejj}
Sea $G=\{a,b,c\}$ definamos en $G$ las operaciones binarias siguientes:

\centerline{\includegraphics[scale=0.55]{Dibujos/prodbineje.eps}}

?`Es $G$ con alguna de estas operaciones binarias un grupo?
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
En el conjunto $\RR-\{-1\}$ se define la operaci\'{o}n binaria $a*b=a+b+ab$. Demuestra que
$(\RR-\{- 1\},*)$ es un grupo abeliano. Encuentra la soluci\'{o}n de la ecuaci\'{o}n $2*X*5=4$.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $(G,*)$ un grupo, sea $H\le G$ y $K\le H$. Demuestra que $K\le G$.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $A$ un  conjunto, que llamaremos alfabeto. A las $n$-upla, $(a_1,a_2,\dots, a_n)$ de elementos de $A$ las llamaremos palabras
y las denotaremos por yuxtaposici\'{o}n $a_1a_2\cdots a_n$. Introducimos, por convenio, la palabra $\lambda$ que carece de letras. En
el conjunto de todas las palabras construidas con $A$ definimos una operaci\'{o}n: $$a_1a_2\cdots a_n*b_1b_2\cdots b_m:=a_1a_2\cdots
a_nb_1b_2\cdots b_m$$ Demuestra que se trata de un monoide no conmutativo.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Demuestra que $(\ZZ_n-\{\overline 0\},\cdot)$,  es un grupo abeliano si y s\'{o}lo si $n$ es un n\'{u}mero primo.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $(G,*)$ un grupo abeliano. Demuestra que $H:=\{a\in G\ \vert\ a^2=e\}\le G$
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Puede contener un grupo $(G,*)$ un subgrupo abeliano $H$ no contenido en el centro de $G$.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $(G,*)$ un grupo. Supongamos que $G$ s\'{o}lo posee los subgrupos tri\-via\-les. Demuestra que $G$ es abeliano y finito. ?`Ser\'{a}
c\'{\i}clico?
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Demuestra que la propiedad: si en un grupo $(G,*)$ la ecuaci\'{o}n $X^2=e$ tiene $n$ soluciones, entonces en todo grupo isomorfo
tambi\'{e}n.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $(G,*)$ un grupo y $H\le G$ propio. ?`Puede ser $H$ isomorfo a $G$?
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $(G,*)$ un grupo y sean $H,K$ subgrupos de $G$. Demuestra que $H\cup K$ es un subgrupo de $G$ si y s\'{o}lo si $H\subseteq K$ o $K\subseteq H$.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $(G,*)$ un grupo y sea $a\in G$. Demuestra que $\langle a\rangle=\langle a^{-1}\rangle$.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $(G,*)$ un grupo. Demuestra que la aplicaci\'{o}n $f:G\to G$ definida por $f(a)=a^{-1}$ es biyectiva. Es m\'{a}s, $f$ es un
automorfismo de $G$ si y s\'{o}lo si $G$ es abeliano.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $(G,*)$ un grupo. Demuestra que la relaci\'{o}n $a\equiv b$ si y s\'{o}lo si existe $x\in G$ con $a=xbx^{-1}$ es de equivalencia.
Caracteriza los elementos de $G$ cuya clase de equivalencia s\'{o}lo tiene un elemento.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $(G,*)$ un grupo y sean $a,b\in G$. Supongamos que $a^7=b^7$ y $a^{16}=b^{16}$. Demuestra que $a=b$.
\end{ejj}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%      *
\begin{ejj}\rm
Sea $(G,*)$ un grupo y sean $a,b\in G$. Supongamos que $a^5=b^5$ y $a^{14}=b^{14}$. Demuestra que $a=b$. ?`y si $a^6=b^6$ y
$a^{15}=b^{15}$, que es lo m\'{a}s que puedes obtener?\hfill\fbox{$*$}
\end{ejj}

\begin{ejj}
Sea $X$ un conjunto finito y sea $f:X\to X$ tal que $f^2=\Id$. Demuestra que si el cardinal de $X$ es impar, existe $a\in X$ tal que $f(a)=a$. Pon un contraejemplo cuando el cardinal de $X$ sea par.\hfill\fbox{$*$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $(M,*)$ un monoide. Supongamos que para cada $a\in M$ la aplicaci\'{o}n $\psi^l_a:M\to M$
definida por $\psi_a^l(x)=a*x$ es sobreyectiva. Demuestra que $M$ es un grupo. ?`El
resultado es  cierto si $\psi^l_a:M\to M$ es inyectiva?\hfill\fbox{$*$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $(Inv(\ZZ_n),\cdot)$ el grupo de los elementos inversibles de $\ZZ_n$. Demuestra que $(Inv(\ZZ_{10}),\cdot)$ no es isomorfo a
$(Inv(\ZZ_{12}),\cdot)$.\hfill\fbox{$*$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Demuestra que $(\RR,+)$ no es isomorfo a $(\RR-\{0\},\cdot)$.\hfill\fbox{$*$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Demuestra que no se puede definir un orden en $\ZZ_n$ tal que si $x\le y$ y $z\le t$, entonces $x+z\le y+t$. \hfill\fbox{$*$}
\end{ejj}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%      **

\begin{ejj}\rm
Sea $(M,*)$ un monoide finito y sea $a\in M$. Demuestra que si $a$ tiene inverso por la izquierda, entonces $a$ es inversible.\hfill\fbox{$**$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Calcula los homomorfismos $f:\ZZ_7\to \ZZ_3$. ?`En general los homomorfismos de $f: \ZZ_n\to \ZZ_m$ con $\mcd(n,m)=1$? ?`Existe
alg\'{u}n homomorfismo $f:\ZZ_2\to \ZZ_m$ con $m$ par? \hfill\fbox{$**$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $(G,*)$ un grupo y $H$ un subconjunto finito de $G$. Demuestra que $H$ es subgrupo de
$G$ si y solo si la operaci\'{o}n $*$ es cerrada en $H$. (Ayuda: si la operaci\'{o}n  es cerrada
en $H$, demuestra que para cada $x\in H$ existe $n\in \NN$ tal que $x^n=e$)\hfill\fbox{$**$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $(G,*)$ un grupo tal que todo elemento es su propio inverso. Demuestra que $G$ es abeliano.\hfill\fbox{$**$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $(G,*)$ un semigrupo con neutro por la izquierda, denotado por $e$, y tal que para
cada $a\in G$ existe $a'\in G$ con $a'*a=e$. Demuestra que $(G,*)$ es un grupo.\hfill\fbox{$**$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $(G,*)$ un grupo c\'{\i}clico con $n$ elementos. Demuestra que la ecuaci\'{o}n $X^2=e$ posee soluci\'{o}n en $G$ si y s\'{o}lo si $n$ es par.
Es m\'{a}s, la soluci\'{o}n caso de existir es \'{u}nica.\hfill\fbox{$**$}
\end{ejj}



