

\hypertarget{tema17}{ }
\chapter{ Series de Grupos. Grupos Solubles}
\label{chap:tema17}
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\vskip0.5cm

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\noindent{\sffamily\bfseries Objetivos del cap\'{\i}tulo} $\,$
\begin{itemize}\footnotesize
 \item Estudiamos la noci\'{o}n de serie de grupo y demostramos el Teorema de Jordan-Holder junto con
algunos corolarios interesantes.
\end{itemize}
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\vskip0.3cm
\[\,\]


\section{El Teorema de Jordan-H\"{o}lder}\label{sect:JordanH}

\begin{defi} \index{Serie! Normal}  \index{Serie! Sub-normal}
Sea $G$ un grupo. Se define una serie normal en $G$ como una cadena de subgrupos $$H_0\le H_1\le \cdots\le H_n$$ en donde cada $H_i$ es un subgrupo normal de $G$ con $H_0=\{e\}$ y $H_n=G$. Se define una serie sub-normal de $G$ como una cadena de subgrupos $$H_1\le H_2\le \cdots\le H_n$$ en donde cada subgrupo $H_i$ es subgrupo normal en $H_{i+1}$ par $i=0,1,\dots, n-1$ con con $H_0=\{e\}$ y $H_n=G$.
\end{defi}

\begin{ejem}\label{ejem:eser}
\begin{itemize}
\item Tenemos que $\{0\}\le 12\mathbb{Z}\le 4\mathbb{Z}\le \mathbb{Z}$ es una serie normal (y sub-normal) para $\mathbb{Z}$.
\item Sea $D_4$ el grupo de simetr\'{\i}as del cuadrado. Tenemos que $$\{\rho_0\}\le \{\rho_0,\mu_1\}\le \{\rho_0,\rho_2,\mu_1,\mu_2\}$$ es una serie sub-normal que no es normal (recordar que apareci\'{o} en el ejercicio en donde busc\'{a}bamos tres subgrupos $H_1\subset H_2\subset H_3$ de un grupo $G$ con $H_1$ normal en $H_2$, $H_2$ normal en $H_3$ pero $H_1$ no normal en $H_3$).
\end{itemize}
\end{ejem}

\begin{defi} \index{Serie! refinamiento de}
Se dice que una serie $\{H_i\}_{i=0}^n$ normal o (sub-normal) de un grupo $G$ es un refinamiento de otra serie $\{K_j\}_{j=0}^m$ si para cada $j$ existe un $i$ con $K_j=H_i$. Es decir, todos los subgrupos que aparecen en la serie $\{K_j\}_{j=0}^m$ est\'{a}n en la primera serie. Se dice que $\{K_j\}_{j=0}^m$ es un refinamiento propio de $\{H_i\}_{i=0}^n$ si $n<m$.
\end{defi}

Por ejemplo, la serie $$\{0\}\le 24\mathbb{Z}\le 12\mathbb{Z}\le 4\mathbb{Z}\le 2\mathbb{Z} \le \mathbb{Z}$$ es un refinamiento de la primera serie dada en   \fullref{el ejemplo}{ejem:eser}.

\begin{defi}\index{Serie! isomorfas}
Se dice que dos series normales, o sub-normales $\{H_i\}_{i=0}^n$ y $\{K_i\}_{j=0}^n$ son isomorfas si hay una biyecci\'{o}n entre las familias de grupos cocientes $\Delta:= \{H_{i+1}/H_i\}_{i=0}^{n-1}$ y $\Delta':=\{K_{i+1}/K_i\}_{i=0}^{n-1}$, $f:\Delta\to \Delta'$  tales que para todo grupo cociente $X\in \Delta$, se tiene que $X$ es isomorfo a $f(X)$.
\end{defi}

\begin{ejem} Veamos un ejemplo para comprender la definici\'{o}n: Sea $G=\mathbb{Z}_{24}$ grupo c\'{\i}clico con 24 elementos y consideremos en $G$ las siguientes series:
\begin{align*}
\{\overline 0\}\le \ <\overline 4> \ \le  \ <\overline 2> \ \le  \ \mathbb{Z}_{24}\cr
\{\overline 0\}\le \ <\overline 12> \ \le  \ <\overline 6> \ \le  \ \mathbb{Z}_{24}
\end{align*}
Ambas series tienen por grupos cocientes a $\mathbb{Z}_2,\mathbb{Z}_2,\mathbb{Z}_{6}$.
\end{ejem}

\begin{theo}[Teorema de Jordan-Holder]\index{Teorema de Jordan-Holder}\label{theo:TJH}
Sea $G$ un grupo. Entonces cualesquiera dos series de $G$ admiten refinamientos isomorfos.
\end{theo}

\begin{defi}\index{Serie! de Composici\'{o}n} \index{Serie! Principal}\label{defi:composicion}
Sea $G$ un grupo. Se dice que una serie $\{H_i\}_{i=0}^n$ es una serie de composici\'{o}n para $G$ si es una serie sub-normal tal que todos los grupos cocientes $H_i/H_{i+1}$ para $i=0,1,\dots, n-1$ son grupos simples (sin subgrupos normales no triviales). Se dice que una serie $\{H_i\}_{i=0}^n$ es una serie principal para $G$ si es una serie normal tal que todos los grupos cocientes $H_i/H_{i+1}$ para $i=0,1,\dots, n-1$ son grupos simples.
\end{defi}

\textbf{Nota:} No todo grupo posee serie de composici\'{o}n (por tanto tampoco tiene que poseer serie principal). Por ejemplo $\mathbb{Z}$ es un grupo abeliano que no posee serie de composici\'{o}n.

\begin{prop}
 Sea $G$ un grupo y sea  $\{H_i\}_{i=0}^n$  una serie de composici\'{o}n (o principal) para  $G$. Si $\{K_i\}_{j=0}^n$ es una serie isomorfa a $\{H_i\}_{i=0}^n$, entonces $\{K_i\}_{j=0}^n$ es tambi\'{e}n una serie de composici\'{o}n (o principal).
\end{prop}

\begin{prop}
 Sea $G$ un grupo y sea $\{H_i\}_{i=0}^n$ una serie normal (o sub-normal) para $G$. Las siguientes condiciones son equivalentes:
 \begin{itemize}
 \item $\{H_i\}_{i=0}^n$ es una serie de composici\'{o}n (o principal).
 \item $\{H_i\}_{i=0}^n$ s\'{o}lo admite refinamientos propios.
 \end{itemize}
 \end{prop}

\begin{theo}[Teorema de Jordan-Holder II]\label{theo:TJH2}
Sea $G$ un grupo. Entonces cualesquiera dos series de composici\'{o}n (o principales) de $G$ son isomorfas.
\end{theo}

\begin{coro}\label{coro:coropasol}
Sea $G$ un grupo que posee una serie de composici\'{o}n (o principal) y sea $N$ un subgrupo normal de $G$. Entonces $G$ posee una serie de composici\'{o}n (o principal) que contiene a $N$.
\end{coro}

\Proof Sea $\{H_i\}_{i=0}^n$ la serie de composici\'{o}n (o principal) para $G$. Podemos considerar
 la serie normal $\{e\}\le N\le G$. Ahora, por el Teorema de Jordan-Holder existe un refinamiento de ambas series que son isomorfos. Por tanto el refinamiento de la serie $\{e\}\le N\le G$ es una serie de composici\'{o}n (o principal) que contiene a $N$
\EndProof

\begin{defi}\index{Grupo Soluble}\label{defi:soluble}
Se dice que un grupo $G$ soluble (en algunos libros resoluble) si posee una serie de composici\'{o}n $\{H_i\}_{i=0}^n$ tal que para todo $i\in 0,1,\dots, n-1$, $H_{i+1}/H_i$ es abeliano (observar que en este caso $H_{i+1}/H_i$ es siempre isomorfo a $\mathbb{Z}_{p_i}$ para $p_i$ un n\'{u}mero primo).
\end{defi}

\textbf{Nota:} $\mathbb{Z}$ aunque es abeliano no es soluble ya que no posee serie de composici\'{o}n.


\begin{prop}
Sea $G$ un grupo y $N$ un subgrupo normal de $G$. Entonces:
\begin{itemize}
\item Si $G$ es soluble, $G/N$ y $N$ son grupos solubles.
\item Si $G/N$ y $N$ son grupos solubles, entonces $G$ es soluble.
\end{itemize}
\end{prop}

\Proof (1). Supongamos que $G$ es soluble y sea $\{H_i\}_{i=0}^n$ una serie de composici\'{o}n para $G$. Por  \fullref{el corolario}{coro:coropasol}, $G$ posee una serie de composici\'{o}n que contiene a $N$. Supongamos entonces que $\{K_i\}_{i=0}^n$ es esta nueva serie de composici\'{o}n, con $K_s=N$ para $s\in \{1,2,\dots,n\}$. Tenemos entonces que $\{K_i\}_{i=0}^s$ es una serie de composici\'{o}n para $N$ en donde todos los cocientes son simples, por lo que $N$ es soluble y $\{K_i/K_s\}_{i=s}^n$ es una serie de composici\'{o}n para $G/N$, ya que $(K_{i+1}/K_s)/(K_i/K_s)\cong K_{i+1}/K_i$ es un grupo simple y abeliano. Por lo que $G/N$ es soluble.

(2). Supongamos ahora que $N$ y $G/N$ son grupos solubles y sea $\{H_i\}_{i=0}^s$ y $\{\overline{H_i}\}_{i=s}^n$ una serie de composici\'{o}n para $N$ y $G/N$ respectivamente en donde los cocientes son grupos abelianos (simples). Sea $\pi:G\to G/N$ la proyecci\'{o}n can\'{o}nica al cociente y sean $H_i:=\pi^{-1} (\overline{H_i})$ con $i\in \{s,\dots, n\}$. Tenemos, que $H_i$ es un subgrupo normal de $H_{i+1}$, es m\'{a}s, por el tercer teorema de Isomorf\'{\i}a,
$$H_{i+1}/H_i\cong (H_{i+1}/N)/(H_i/N)=\pi(H_{i+1})/\pi (H_i)=\overline{H_{i+1}}/\overline{H_i}$$
lo que demuestra que $\{H_i\}_{i=0}^n$ es una serie de composici\'{o}n para $G$ con cocientes simples y abelianos.
\EndProof


\begin{prop}\label{prop:prodsol}
Sea $\{G_i\}_{i=1}^n$ una familia de grupos. Entonces $\prod_{i=1}^n G_i$ es un grupo soluble si y s\'{o}lo si cada $G_i$ es un grupo soluble.
\end{prop}

\Proof Vamos a dar una demostraci\'{o}n por inducci\'{o}n a $n$. Si $n=1$ no hay nada que demostrar. Supongamos que el resultado es cierto para $n-1$ y sea $G=\prod_{i=1}^n G_i$. Entonces $\prod_{i=1}^{n} G_i$ es soluble si y s\'{o}lo si $\prod_{i=1}^{n-1} G_i$ y $G/(\prod_{i=1}^{n-1} G_i)\cong G_n$ es soluble (por la proposici\'{o}n anterior), si y s\'{o}lo si $G_i$ es soluble para todo $i\in \{1,2,\dots, n\}$.
\EndProof

\begin{theo}
Un grupo abeliano es soluble si y s\'{o}lo si es finito.
\end{theo}

\Proof Si $G$ es soluble, existe una serie de composici\'{o}n (realmente principal, ya que $G$ es abeliano) $\{H_i\}_{i=0}^n$ tal que cada cociente es simple, por lo que $H_{i+1}/H_i\cong \mathbb{Z}_{p_{i+1}}$. Por tanto, $\# H_1=p_1$, $\# H_2=\#(H_2/H_1) \# H_1=P_2 p_1$ y por tanto $\#G=\#H_n=\prod_{i=1}^n p_i$.

Por el contrario, si $G$ es abeliano y finito, por el teorema de clasificaci\'{o}n de los grupos abelianos finitos $G\cong \prod_{i=1}^k \mathbb{Z}_{p_i}^{n_i}$ y por  \fullref{la proposici\'{o}n}{prop:prodsol}, s\'{o}lo hace falta demostrar que cada grupo c\'{\i}clico $\mathbb{Z}_{p}^{n}$ es soluble. Ahora,
$$\{\overline{0}\}\lhd <\overline{p^{n-1}}>\lhd <\overline{p^{n-2}}>\lhd \cdots \lhd <\overline{p}>\lhd \mathbb{Z}_{p}^{n}$$ es una serie de composici\'{o}n para $\mathbb{Z}_{p}^{n}$ en donde todo cociente es isomorfo a $\mathbb{Z}_{p}$. Por tanto $G$ es soluble.
\EndProof

El siguiente resultado, ser\'{a} de gran utilidad en asignaturas posteriores.

\begin{prop}
El grupo $S_n$ no es un grupo soluble para $5\le n\in \mathbb{N}$.
\end{prop}


\begin{defi}\index{Serie! central ascendente}\label{defi:sca}
Sea $G$ un grupo. Se define la serie central ascendente para $G$ como:
\begin{itemize}
\item $H_0:=\{e\}$,
\item $H_1:=Z(G)$, el centro de $G$, que es un subgrupo normal de $G$.
\item Por inducci\'{o}n, si tenemos construido hasta $k-1$, se define $H_k:=\pi^{-1}(Z(G/H_{k-1})$ en donde $\pi:G\to G/H_{k-1}$ denota la proyecci\'{o}n can\'{o}nica al cociente. Al ser $Z(G/H_{k-1})$ un subgrupo normal de $G/H_{k-1}$, tenemos que $H_k$ es un subgrupo normal de $G$.
\end{itemize}
\end{defi}



 \hypertarget{Ejjnueve}{ }
\section{Ejercicios del Tema}\label{ejj:Ejjnueve}
\setcounter{ejj}{0}


\begin{ejj}
Sea $G$ un grupo y $\{H_i\}_{i=0}^n$ una serie sub-normal (normal) sobre $G$ tal que todo cociente $H_{k+1}/H_k$ es abeliano y finito. Demuestra que $G$ es un grupo soluble y finito.
\end{ejj}

\begin{ejj}
Encuentra refinamientos isomorfos para las siguientes series en $\mathbb{Z}_{72}$:
\begin{align*}
\{0\}\lhd <\overline 8>\lhd <\overline 4>\lhd <\overline 4>\lhd <\mathbb{Z}_{72}>\cr
\{0\}\lhd <\overline 9>\lhd <\overline 9>\lhd  <\mathbb{Z}_{72}>
\end{align*}
?`Los refinamientos obtenidos son series principales?
\end{ejj}


\begin{ejj}
Encuentra refinamientos isomorfos para las siguientes series en $\mathbb{Z}_{16}$:
\begin{align*}
\{0\}\lhd  <\overline 4>\lhd <\mathbb{Z}_{16}>\cr
\{0\}\lhd <\overline 2>\lhd  <\mathbb{Z}_{16}>
\end{align*}
?`Los refinamientos obtenidos son series principales?
\end{ejj}

\begin{ejj}
Encuentra una serie principal para $\mathbb{Z}_{100}$ que contenga al subgrupo $<\overline {25}>$ y otra que no lo contenga. ?`Es posible?
\end{ejj}

\begin{ejj}
Calcula la serie central ascendente de $S_3$. ?`Es $S_3$ un grupo soluble?
\end{ejj}

\begin{ejj}
Calcula la serie central ascendente de $S_4$. ?`Es $S_4$ un grupo soluble?
\end{ejj}


\begin{ejj}
Demuestra que $\mathbb{Z}$ no es un grupo soluble.
\end{ejj}

\begin{ejj}
Sea $G$ un grupo soluble y sea $N$ un subgrupo normal de $G$. Demuestra que $G/N$ es un grupo soluble.
\end{ejj} 