

\hypertarget{temaocho}{ }
\chapter{Producto directo interno y externo de grupos} \label{chap:temaocho}

\hrule \vskip0.5cm
%-----------------------------------------------------------------
\noindent{\sffamily\bfseries Objetivos del cap\'{\i}tulo} $\,$
\begin{itemize}\footnotesize
 \item Estudiamos el producto directo externo e interno de grupos.
 \item Caracterizamos el producto directo externo de grupos a partir de su propiedad fundamental.
\end{itemize}
\vskip0.25cm
%-----------------------------------------------------------------
\hrule \vskip0.3cm
\[\,\]



\hypertarget{Pdir}{ }
\section{Producto directo externo de grupos} \label{sect:Pdir}

\hypertarget{prodfin}{ }
\begin{prop}\rm  \label{prop:prodfin}

Sea $\{(G_i,*_i)\}_{i=1}^n$ una familia de grupos y sea $G:=\Pi_{i=1}^n G_i$ el producto cartesianos de conjuntos. Entonces $G$ con producto
$$(x_1,x_2,\dots,x_n)*(y_1,y_2,\dots,y_n):=(x_1*_1y_1,x_2*_2y_2,\dots,x_n*_ny_n)$$
tiene estructura de grupo, llamado el \textbf{producto directo externo} de los grupos $G_i$.
\index{Producto!Directo Externo} Es m\'{a}s, $G$ es abeliano si y s\'{o}lo si $(G_i,*_i)$ es abeliano $\forall\ i\in \{1,2,\dots,n\}$.
\end{prop}

\textbf{Nota:} El producto en la componente $k$ ha sido denotado en la proposici\'{o}n por  $*_k$. Como no hay
posibilidad de confusi\'{o}n, ya que en la componente $k$ los elementos son de $G_k$ y se multiplican con su
producto, vamos a denotar todos los productos por $*$.

\Proof Es claro que el producto est\'{a} bien definido. Veamos que dota a $G$ de estructura de grupo:

$\star$  La operaci\'{o}n es asociativa:
\begin{align*}
(x*y)*z&=\Big((x_1,x_2,\dots,x_n)*(y_1,y_2,\dots,y_n)\Big)*(z_1,z_2,\dots,z_n)\\
&=(x_1*y_1,x_2*y_2,\dots,x_n*y_n)*(z_1,z_2,\dots,z_n)\\
&=((x_1*y_1)*z_1,(x_2*y_2)*z_2,\dots,(x_n*y_n)*z_n)\\
&=(x_1*(y_1*z_1),x_2*(y_2*z_2),\dots,x_n*(y_n*z_n))\\
&=(x_1,x_2,\dots,x_n)*(y_1*z_1,y_2*z_2,\dots,y_n*z_n)\\
&=(x_1,x_2,\dots,x_n)*\Big((y_1,y_2,\dots,y_n)*(z_1,z_2,\dots,z_n)\Big)=x*(y*z)
\end{align*}

$\star$ Existencia  del elemento neutro:

Sea $e_k$ el neutro de $G_k$ para todo $k\in \{1,2,\dots,n\}$. Veamos que  $e:=(e_1,e_2,\dots,e_n)$ es el neutro del producto directo externo de grupos.
\begin{align*}
e*x&=(e_1,e_2,\dots,e_n)*(x_1,x_2,\dots,x_n)=(e_1*x_1,e_2*x_2,\dots,e_n*x_n)\\&=(x_1,x_2,\dots,x_n)=x\\
x*e&=(x_1,x_2,\dots,x_n)*(e_1,e_2,\dots,e_n)=(x_1*e_1,x_2*e_2,\dots,x_n*e_n)\\
&=(x_1,x_2,\dots,x_n)=x
\end{align*}

$\star$ Inverso: dado $x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\in \Pi_{i=1}^n  G_i$ sea $x^{-1}:=(x_1^{-1},x_2^{-1},\dots,x_n^{-1})$
\begin{align*}
x*x^{-1}&=(x_1,x_2,\dots,x_n)*(x_1^{-1},x_2^{-1},\dots,x_n^{-1})\\
&=(x_1*x_1^{-1},x_2*x_2^{-1},\dots,x_n*x_n^{-1})=(e_1,e_2,\dots,e_n)=e\\
x^{-1}*x&=(x_1^{-1},x_2^{-1},\dots,x_n^{-1})*(x_1,x_2,\dots,x_n)\\
&=(x_1^{-1}*x_1,x_2^{-1}*x_2,\dots,x_n^{-1}*x_n)=(e_1,e_2,\dots,e_n)=e
\end{align*}
Por \'{u}ltimo veamos que $G$ es conmutativo si y s\'{o}lo si cada $G_i$ es conmutativo:
 \begin{align*}
x*y=(x_1,x_2,\dots,x_n)&*(y_1,y_2,\dots,y_n)\\&=(x_1*y_1,x_2*y_2,\dots,x_n*y_n)\\
y*x=(y_1,y_2,\dots,y_n)&*(x_1,x_2,\dots,x_n)\\&=(y_1*x_1,y_2*x_2,\dots,y_n*x_n)
\end{align*}

Por tanto, si todo $G_i$ es abeliano, $G$ es abeliano y viceversa.\EndProof

\begin{lema}\label{lema:lemcomm}\rm
Sea $\{(G_i,*_i)\}_{i=1}^n$ una familia  de grupos y sea $\sigma\in S_n$. Entonces $$G_1\times G_2\times\cdots\times G_n\cong G_{\sigma(1)}\times G_{\sigma(2)}\times\cdots\times G_{\sigma(n)}$$
\end{lema}

\Proof  $f(a_1,a_2,\dots,a_n)=(a_{\sigma(1)}, a_{\sigma(2)}, \dots,a_{\sigma(n)})$ es un isomorfismo.\EndProof

Hasta este momento s\'{o}lo hemos visto el producto cartesiano finito de una familia de conjuntos. En esta secci\'{o}n vamos a introducir la noci\'{o}n de producto directo infinito de grupos. El resultado clave para esta definici\'{o}n es el lema anterior (conviene preguntarse la raz\'{o}n).

\hypertarget{prodinf}{ }
\begin{theo}\label{theo:prodinf}
Sea $I$ un conjunto y $\{G_i\}_{i\in I}$ una familia de grupos. Se define el \textbf{producto directo externo infinito}\index{Producto!Directo Externo infinito} de los grupos $G_i$ y se denota por $\prod_{i\in I} G_i$ como el conjunto:
$$\prod_{i\in I} G_i=\{f:I\to \bigcup_{i\in I}G_i\ \vert f(i)\in G_i\}$$
 con la operaci\'{o}n: dados $f,g\in \prod_{i\in I} G_i$, entonces $f*g$ es la aplicaci\'{o}n $f*g:I\to \bigcup_{i\in I} G_i$ definida por $$f*g(i):=f(i)*g(i)$$
\end{theo}

\textbf{Demo:} Veamos que la operaci\'{o}n es asociativa: dados $f,g,h\in \prod_{i\in I} G_i$ se tiene que dado $i\in I$
\begin{align*}
(f*g)*h(i)&=(f*g(i))*h(i)=(f(i)*g(i))*h(i)=f(i)*(g(i)*h(i))\\&=f(i)*(g*h(i))=f*(g*h)(i)
\end{align*}
Por lo que $(f*g)*h=f*(g*h)$.

Sea $E:I\to \bigcup_{i\in I}G_i$ definida por $E(i)=e_i$ (en donde $e_i$ denota el neutro de $G_i$). Tenemos entonces que para todo $f\in \prod_{i\in I} G_i$, \begin{align*}
f*E(i)&=f(i)*E(i)=f(i)*e_i=f(i)\\E*f(i)&=e(i)*f(i)=e_i*f(i)=f_i
\end{align*} Por lo que $E*f=f*E=f$. Por \'{u}ltimo, dado $f\in \prod_{i\in I} G_i$ sea $f^{-1}:I\to \bigcup_{i\in I}G_i$ definido por $f^{-1}(i):=f(i)^{-1}$. Tenemos entonces que $f*f^{-1}=f^{-1}*f=E$. Lo que demuestra que el teorema. \EndProof

\textbf{Nota:}  Si $I=\{1,2,\dots,n\}$ es un conjunto finito de \'{\i}ndices, cada elemento del producto, $f\in \prod_{i\in I} G_i $ puede denotarse como la $n$-upla $(f(1),f(2),\dots, f(n))$ (y viceversa) y en este caso los productos definidos en  \fullref{la proposici\'{o}n}{prop:prodfin} y  \fullref{el teorema}{theo:prodinf} coinciden, por lo que la estructura que nos sale son isomorfas.

\textbf{Nota:} Recordamos que asociado a cada estructura, en este caso el producto directo externo (finito o infinito), hay un morfismo.

\hypertarget{Pcanoni}{ }
\begin{prop}\label{prop:Pcanoni}
Sea $\{(G_i,*_i)\}_{i\in I}$ una familia de grupos y sea $G:=\Pi_{i\in I}  G_i$ el producto directo externo de
los $G_i$. Entonces para cada $k\in I$ la aplicaci\'{o}n $$\pi_k: \Pi_{i\in I}  G_i\to G_k\quad\hbox{definida
por}\quad \pi_k(f)=f(k)$$ es un epimorfismo de grupos, llamada la \textbf{proyecci\'{o}n can\'{o}nica}
de $G$ en $G_k$.\index{Proyecci\'{o}n Can\'{o}nica}
\end{prop}
\Proof Es una mera comprobaci\'{o}n.\EndProof
Veamos que el producto directo externo de grupos queda caracterizado por una propiedad fundamental:


\textbf{Nota:} Aunque las demostraciones de las proposiciones siguientes  es esencialmente la misma en el caso finito e infinito, vamos a dar aqu\'{\i} las demostraciones en el caso finito, ya que la notaci\'{o}n es mucho m\'{a}s intuitiva (en cualquier caso, los teoremas se consideraran  ciertos en el caso infinito).


\hypertarget{Pfunda}{ }
\begin{theo}\label{theo:Pfunda}
Sea $\{(G_i,*_i)\}_{i\in I} $ una familia de grupos  y sea $\Pi_{i\in I}  G_i$ el producto directo externo de los grupos $G_i$.
 Entonces para cada grupo $G$ y cada familia de homomorfismos $f_i:G\to G_i$ existe un \'{u}nico homomorfismo de grupo
 $f: G\to \Pi_{i=1}^n  G_i$ tal que el siguiente diagrama es conmutativo:

\centerline{\includegraphics[scale=0.45]{Dibujos/proddir.eps} }

Es m\'{a}s, si $G'$ es un grupo y existe una familia de homomorfismos  $\pi'_k: G'\to G_k$ tales que para
cada grupo $G$ y cada familia de homomorfismos $f_i:G\to G_i$ existe un \'{u}nico homomorfismo de grupo $f: G\to
G'$ que hace conmutativo el diagrama,

\centerline{\includegraphics[scale=0.45]{Dibujos/proddir2.eps} }
\noindent entonces $G'\cong \Pi_{i=1}^n  G_i$.
\end{theo}

\Proof Veamos en primer lugar que el producto cartesiano verifica esta propiedad. Normalmente, cuando en una
proposici\'{o}n hay que demostrar exis\-ten\-cia y unicidad, se demuestra primero la unicidad, dando
expl\'{\i}citamente cual es la \'{u}nica posibilidad, para luego demostrar que esa \'{u}nica verifica lo que queremos.

Dado $a\in G$, $f(a)=(x_1,x_2,\dots,x_n)$ en donde en principio no sabemos quienes son los elementos
$x_1,x_2\dots,x_n$, etc. Como el diagrama tiene que ser conmutativo, $$x_k=\pi_k(f(a))=f_k(a)$$ por lo que
la \'{u}nica forma de definir $f$ es:
$$f(a):=(f_1(a),f_2(a),\dots, f_n(a))$$
Veamos que esta aplicaci\'{o}n es un homomorfismo de grupo (ya sabemos que hace conmutativo el diagrama).
\begin{align*}
f(a*b)&=(f_1(a*b),f_2(a*b),\dots, f_n(a*b) )\\&=(f_1(a)*f_1(b),f_2(a)*f_2(b),\dots, f_n(a)*f_n(b) )\\
&=(f_1(a),f_2(a),\dots, f_n(a) )*(f_1(b),f_2(b),\dots, f_n(b) )\\&=f(a)*f(b)
\end{align*}

Supongamos ahora que tenemos un grupo $G'$ que verifica la propiedad del producto directo de grupos.
Entonces, si consideramos los siguientes diagramas, tenemos que:

\centerline{\includegraphics[scale=0.45]{Dibujos/proddir4.eps} }

Como $G'$ verifica la propiedad,  existe un \'{u}nico homomorfismo  $g:\Pi_{i=1}^n G_i\to G'$ que hace
conmutativo el tri\'{a}ngulo $A$. Es m\'{a}s, como el producto cartesiano verifica la propiedad, existe un \'{u}nico
homomorfismo de grupos $f:G'\to \Pi_{i=1}^n G_i$ que hace conmutativo el tri\'{a}ngulo $B$. Ahora, si nos fijamos
en el tri\'{a}ngulo formado por los tri\'{a}ngulos $A$ y $B$ en la primera figura, tenemos que la identidad hace
conmutativo el diagrama, pero tambi\'{e}n $g\circ f$ lo hace, ya que
 $$\pi_k'\circ (g\circ f)= (\pi_k'\circ
g)\circ f=\pi_k\circ f=\pi_k'$$ Por tanto $\Id=g\circ f$. Repitiendo el razonamiento en la segunda figura
 $$(g\circ f)\circ \pi_k = g\circ (f\circ \pi_k)=g\circ \pi_k'=\pi_k$$

Por lo que al haber un \'{u}nico homomorfismo de grupos que hace conmutativo el tri\'{a}ngulo $AB$ de la segunda
figura, y la identidad claramente hace conmutativo este tri\'{a}ngulo, tenemos que   $\Id=f\circ g$ por lo que
tanto $f$ como $g$ son isomorfismo, lo que demuestra que $G'\cong \Pi_{i=1}^n G_i$. \EndProof

Esta caracterizaci\'{o}n nos va a permitir construir homomorfismos entre productos directos de grupos:

\begin{coro}\label{coro:prod3}\rm
Sea $I$ un conjunto de \'{\i}ndices y  $\{(G_i,*_i)\}_{i\in I} $ y $\{(G'_i,*_i)\}_{i\in I} $ dos familias de grupos. Supongamos que para cada $k\in I$
 tenemos un homomorfismo  $f_k:G_k\to G_k'$. Entonces existe un \'{u}nico homomorfismo de grupos
 $f:\Pi_{i\in I}  G_i\to \Pi_{i\in I}  G'_i$ que hace conmutativo el diagrama:

\centerline{\includegraphics[scale=0.5]{Dibujos/proddir3.eps} }
\end{coro}

\Proof El teorema anterior nos dice que $f$ es:
$$f(a_1,a_2,\dots,a_n)=(f_1(a_1),f_2(a_2),\dots,f_n(a_n))$$\hfill\vskip-1.4truecm\EndProof

\textbf{Nota:} En el caso infinito, dado $g\in \Pi_{i\in I}  G_i$,  $f(g)$ ser\'{a} la aplicaci\'{o}n: $$f(g):I\to \Pi_{i\in I}  G'_i\quad\hbox{definida por}\quad f(g)(i)=f_i(g(i))$$
Que como puede verse es una notaci\'{o}n algo engorrosa.

\begin{lema}\rm
Sean $G_1,G_2$ y $G_3$ tres grupos. Supongamos que $G_1\cong G_2$. Entonces
$$
G_1\times G_3\cong G_2\times G_3
$$
\end{lema}

\Proof Sea $f:G_1\to G_2$ un isomorfismo. Entonces la aplicaci\'{o}n $$\Phi: G_1\times G_3\to G_2\times
G_3\quad\hbox{definida por}\quad \Phi(a_1,a_3)=(f(a_1),a_3)$$ es un isomorfismo, es un homomorfismo de grupos
por  \fullref{el corolario}{coro:prod3}. \EndProof

\begin{lema}
Sea $I,J$ dos conjuntos de \'{\i}ndices disjuntos y  $\{(G_i,*_i)\}_{i\in I} $ y $\{(G_j,*_j)\}_{j\in J} $ dos familias de grupos. Entonces $$\prod_{i\in I} G_i\times \prod_{j\in J} G_j\cong \prod_{k\in I\cup J} G_k$$
En particular, $(G_1\times G_2)\times G_3\cong G_1\times G_2\times G_3\cong G_1\times (G_2\times G_3)$.
\end{lema}


\begin{prop}\rm
Sea $\{(G_i,*_i)\}_{i\in I} $ una familia  de grupos y sea $G=\Pi_{i\in I}  G_i$ el producto directo externo de
los $G_i$. Sea $H_i$ un subgrupo de $G_i$ para cada $i\in I$. Entonces
\item{(i)} $H:=\Pi_{i\in I} H_i\le \Pi_{i\in I}  G_i$.
\item{(ii)}  $H\unlhd G$ si y s\'{o}lo si para cada $i\in I$, $H_i\unlhd G_i$.

Es m\'{a}s, si $H\unlhd G$,
\item{(iii)} $G/H\cong \Pi_{i\in I}  G_i/H_i$
\end{prop}

\Proof (i) Es una demostraci\'{o}n rutinaria: $(e_1,e_2,\dots, e_n)\in \Pi_{i=1}^n  H_i \ne \emptyset$. Es
m\'{a}s, dados $(h'_1,h'_2,\dots,h'_n), (h_1,h_2,\dots, h_n), \in H$
\begin{align*}
(h'_1,h'_2,\dots, h'_n)&*( h_1,h_2,\dots,h_n)^{-1}\\&=(h'_1,h'_2,\dots, h'_n)*( h_1^{-1},h_2^{-1},\dots,h_n^{-1})\\&=
(h'_1*h_1^{-1},h'_2*h_1^{-1},\dots, h'_n*h_1^{-1} )\in H
\end{align*}

(ii)  $H_i\unlhd G_i\quad \forall i\in \{1,2,\dots,n\}$, si y s\'{o}lo si $\forall \ a=( a_1,a_2,\dots,a_n)\in G$,
\begin{align*}( a_1,a_2,\dots,a_n)&*( h_1,h_2,\dots,h_n)*( a_1,a_2,\dots,a_n)^{-1}\\ &=( a_1h_1a_1^{-1},a_2h_2a_2^{-1},\dots,a_nh_na_n^{-1})\in H
\end{align*}
si y s\'{o}lo si $H$ es subgrupo normal de $G$.

(iii).  Consideremos la aplicaci\'{o}n $\Phi:\Pi_{i=1}^n  G_i\to \Pi_{i=1}^n  G_i/H_i$ definida por
$\Phi(x_1,x_2,\dots,x_n)=(\overline{x_1},\overline{x_2},\dots,\overline{x_n})$. Tenemos que
$\Phi$ es un epimorfismo de grupos por  \fullref{el corolario}{coro:prod3}. Es m\'{a}s, claramente $H\subset \Ker(\Phi)$
y si $(x_1,x_2,\dots,x_n)\in \Ker(\Phi)$,
$$\Phi(x_1,x_2,\dots,x_n)=(\overline{x_1},\overline{x_2},\dots,\overline{x_n})=(\overline{e_1},\overline{e_2},\dots,\overline{e_n})$$
por lo que $\overline {x_i}=\overline{e_i}$ y por tanto para cada $i\in \{1,2,\dots,n\}$, $h_i\in H_i$. Luego $H=
\Ker(\Phi)$. Ahora, el primer teorema de Isomorf\'{\i}a demuestra el apartado.\EndProof

\textbf{Nota:} No todo subgrupo de un producto directo de grupos es de esta forma. As\'{\i}, si consideramos $G=\ZZ_2\times \ZZ_2$, los subgrupos
que se pueden construir siguiendo el teorema anterior son:
$$\begin{array}{cc}
\{\overline 0\}\times \{\overline 0\}\qquad&\qquad\{\overline 0,\overline 1\}\times \{\overline 0\}\\
\{\overline 0\}\times \{\overline 0,\overline 1\}\qquad&\qquad\{\overline 0,\overline 1\}\times \{\overline 0,\overline 1\}
\end{array}$$
Mientras que $H=\{(\overline 0,\overline 0), (\overline 1,\overline 1)\}\le \ZZ_2\times \ZZ_2$ no es ninguno
de los anteriores. Es m\'{a}s, si $H$ es un subgrupo propio de $G$, por el teorema de Lagrange, $H$ tiene 2
elementos. Por tanto es c\'{\i}clico, lo que demuestra que estos tres son todos los subgrupos del grupo de Klein.
\begin{coro}\label{coro:subnor}\rm
Sea $\{(G_i,*_i)\}_{i\in I} $ una familia  de grupos y sea $\Pi_{i\in I}  G_i$ el producto directo externo de los $G_i$. Sea $J\subset I$. Entonces $\Pi_{j\in J} G_j\lhd \Pi_{i\in I}  G_i$.
\end{coro}

\Proof Para cada $i\in I$ definimos $$G'_i:=\begin{cases}
G_i&i\in J\\ \{e_i\}&i\notin J
\end{cases}$$

Tenemos entonces que $\Pi_{j\in J} G_j\cong \Pi_{i=1}^n G_i'\le \Pi_{i=1}^n  G_i$. Es trivial el ver que es un subgrupo normal.
\EndProof

\begin{prop}\label{prop:orddd}\rm
Sea $\{(G_i,*_i)\}_{i=1}^n$ una familia finita de grupos y sea $\Pi_{i=1}^n G_i$ el producto directo externo de los $G_i$. Sea $(a_1,a_2,\dots, a_n)\in G$. Entonces $\circ (a_1,a_2,\dots, a_n)<\infty$ si y s\'{o}lo si $\circ a_i<\infty$ para todo $i$. Es m\'{a}s, en este caso, $$\circ (a_1,a_2,\dots, a_n)=\MCM(\circ a_1,\circ a_2,\dots,\circ a_n)$$
\end{prop}

\Proof Supongamos que $a=(a_1,a_2,\dots, a_n)$ tiene orden  $k\in \NN$. Entonces  $$a^k=(a_1^k,a_2^k,\dots, a_n^k)=(e_1,e_2,\dots,e_n)\eqno{(*)}$$
Por lo que todo $a_i$ tiene orden finito para todo $i$. Es m\'{a}s, si todo $a_i$ tiene orden finito, denotemos por $k_i:=\circ a_i$, entonces $a^{k_1k_2\cdots, k_n}=e$, por lo que $a$ tiene orden finito.

Supongamos  que todo $a_i$ tiene orden finito $k_i$. Sea $k=\circ a$ y  $m=\MCM(k_1,k_2,\dots,k_n)$. Por $(*)$, $k$ es m\'{u}ltiplo de $k_i$ para todo $i$ y por tanto $m$ divide a $k$. Por otro lado, para cada $i\in \{1,\dots, n\}$, $m=\alpha_i k_i$. Por lo que
\begin{align*}
a^m=&(a_1^m,a_2^m,\dots, a_n^m)=((a_1^{k_1})^{\alpha_1},(a_2^{k_2})^{\alpha_2},\dots, (a_n^{k_n})^{\alpha_n})=(e_1^{\alpha_1},e_2^{\alpha_2},\dots,e_n^{\alpha_n})\\=&(e_1,e_2,\dots,e_n)
\end{align*}
Luego $m\vert _k$ y $k\vert_m$ y como  tanto $m$ como $k$ son naturales, $m=k$.
\EndProof

\begin{ejem}\rm
Tenemos ahora una representaci\'{o}n del grupo de Klein: el grupo con 4 elementos no c\'{\i}clico: \ $\ZZ_2\times
\ZZ_2$.
\end{ejem}

 El siguiente teorema nos da una condici\'{o}n necesaria y suficiente para saber cuando el producto directo externo de grupos es c\'{\i}clico:
\begin{prop}\label{prop:prodcicli}\rm
Sea $\{(G_i,*_i)\}_{i=1}^n $ una familia  de grupos y sea $G=\Pi_{i=1}^n  G_i$ el producto directo externo de los $G_i$. Entonces
\item{(i)} Si $\Pi_{i=1}^n  G_i$ es c\'{\i}clico, cada $G_i$ es c\'{\i}clico. Es m\'{a}s, si $a=( a_1,\dots,a_n)\in G$ es un generador de  $G$, entonces  $a_i$ es un generador de  $G_i$ para cada $i\in \{1,2,\dots,n\}$.
\item{(ii)} $\ZZ_{n_1}\times \ZZ_{n_2}\times\cdots\times \ZZ_{n_k}$ es c\'{\i}clico (e isomorfo a $\ZZ_{n_1\,n_2\dots n_k}$) si y s\'{o}lo si $\mcd(n_i,n_j)=1$ para todo $i\ne j$.
\end{prop}

\Proof (i) Supongamos que  $a=( a_1,\dots,a_n)\in G$ es un generador de $G$. Entonces, dado $x_k\in G_k$ podemos considerar el elemento $$x=(e_1,\dots, e_{k-1},x_k,e_{k+1},\dots, e_n).$$ Como $a$ genera $G$ existe $n\in \NN$ tal que $a^n=x$
 y por tanto $a^k=x_k$, lo que demuestra que $G_k$ es c\'{\i}clico generado por $a_k$.

 (ii) Supongamos que $G:=\ZZ_{n_1}\times \ZZ_{n_2}\times\cdots\times \ZZ_{n_k}$ es c\'{\i}clico y sean $n_i, n_j$ tales que $\mcd(n_i,n_j)\ne 1$. Entonces, como $\mcd(n_i,n_j)\MCM(n_i,n_j)=n_in_j$, $\MCM(n_i,n_j)<n_in_j$ y por tanto  $\ZZ_i\times \ZZ_j$ no es un grupo c\'{\i}clico ya que no contiene elementos de orden $n_in_j$. Por \'{u}ltimo, como $G$ contiene un subgrupo isomorfo a $\ZZ_i\times \ZZ_j$, $G$ no es c\'{\i}clico (todo subgrupo de un grupo c\'{\i}clico es c\'{\i}clico).

 Supongamos ahora que $\mcd(n_i,n_j)=1$ para todo $i\ne j$. Vamos a dar una demostraci\'{o}n por inducci\'{o}n a $k$. Supongamos $k=2$ y sean $n_1,n_2\in \ZZ$ tales que $\mcd(n_1,n_2)=1$. Entonces  $\MCM(n_1,n_2)=n_1n_2$ y por tanto $\circ(1,1)=n_1n_2$. As\'{\i}, $$\ZZ_{n_1}\times \ZZ_{n_2}\cong \ZZ_{n_1n_2}.$$
 Por inducci\'{o}n supongamos que el resultado es cierto para $k-1$. Tenemos entonces que $$\ZZ_{n_1}\times \ZZ_{n_2}\times\cdots\times \ZZ_{n_{k-1}}\cong \ZZ_{n_1\cdots n_{k-1}}$$ y por tanto, por el caso $k=2$, ya que $\mcd(n_1\cdots n_{k-1},n_k)=1$,
 $$\ZZ_{n_1}\times \ZZ_{n_2}\times\cdots\times \ZZ_{n_{k-1}}\times \ZZ_{n_k}\cong \ZZ_{n_1\,n_2\dots n_{k-1}}\times \ZZ_{n_k}\cong \ZZ_{n_1\,n_2\dots n_k}$$ Lo que demuestra el teorema.\EndProof


\hypertarget{Pint}{ }
\section{Producto directo interno de grupos}\label{sect:Pint}

Nos vamos a preguntar en esta secci\'{o}n cuando un grupo $G$ es isomorfo a un producto directo externo de grupos. Por ejemplo, $\mathbb{Z}_6$ puede verse como el producto directo externo  $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_3$. Normalmente no es f\'{a}cil, para un grupo concreto, saber si es isomorfo o no a un producto directo de grupos.


\begin{defi}\rm
Sea $G$ un grupo y sean $\{H_i\}_{i=1}^n$ una familia finita de  subgrupos de $G$. Se dice que $G$ es el \textbf{producto directo interno} \index{Producto!Directo Interno}de los $H_i$ si la aplicaci\'{o}n $$\Phi:\Pi_{i=1}^n H_i\to G\quad \hbox{definida por }\quad \Phi(h_1,\dots,h_n)=h_1*\cdots*h_n$$ es un isomorfismo de grupos.
\end{defi}


\textbf{Nota:} Sea $\{(G_i,*_i)\}_{i=1}^n $ una familia de grupos  y sea $G=\Pi_{i=1}^n  G_i$ el producto directo externo de los $G_i$. Entonces cada $G_i$ puede verse como un subgrupo normal de $G$ y por tanto $G$ puede verse como producto directo interno de los $G_i$,  ver Corolario \fullref{el corolario}{coro:subnor}. Por tanto, todo producto directo externo de grupos puede verse como producto directo interno de los subgrupos vistos en el lema anterior.

\begin{theo}\rm
Sea $G$ un grupo y sean $H,K$ subgrupos de $G$. Entonces $G$ es producto directo interno de $H$ y $K$  si y s\'{o}lo si se verifican las siguientes condiciones:
\item{(i)} $G=H\vee K$.
\item{(ii)} $hk=kh$ para todo $k\in K$, $h\in H$.
\item{(iii)} $H\cap K=\{e\}$.
\end{theo}

\Proof Supongamos que $G$ es el producto directo interno de $H$ y $K$ y sea $\Phi:H\times K\to G$ definida por $\Phi(h,k)=hk$ un isomorfismo de grupos. Tenemos entonces que $HK=\im(\Phi)=G$, al ser sobreyectiva, por lo que $H\vee K=G$. Por otro lado, dado $h\in H$ y $k\in K$,
$$hk=\Phi(h,k)=\Phi((e,k)*(h,e))=\Phi(e,k)*\Phi(h,e)=kh$$
Por  \'{u}ltimo si $x\in H\cap K$, tenemos que $x=\Phi(x,e)=\Phi(e,x)$ por lo que al ser $\Phi$ inyectiva $(x,e)=(e,x)$ y por tanto $x=e$. Veamos el rec\'{\i}proco, que es la parte  interesante de este Teorema. Por $(ii)$, como los elementos de $H$ y $K$ conmutan, $HK\le G$ y por tanto, por $(i)$,  $G=H\vee K=HK$. Sea la aplicaci\'{o}n $\Phi:H\times K\to G$ definida por $\Phi(h,k)=hk$. Veamos que $\Phi$ es un isomorfismo de grupos:

$\star$ $\Phi((h,k)*(h',k'))=\Phi(hh',kk')=hh'kk'=hkh'k'=\Phi(h,k)*h(h',k')$.

$\star$ $\Phi$ es sobreyectiva ya que $HK=H\vee K=G$.

$\star$ Veamos que $\Phi$ es inyectiva. Sea $(h,k)\in H\times K$ tal que $\Phi(h,k)=e$. Tenemos entonces que $hk=e$ y por tanto $h=k^{-1}\in H\cap K$ por tanto $h=e$ y $k^{-1}=e$ (luego $k=e$). Es decir, $ (h,k)=(e,e)$ o lo que es lo mismo $\Ker(\Phi)=\{e\}$. \EndProof


Este teorema se puede generalizar para un conjunto finito de subgrupos. No obstante a nosotros nos va a
interesar en el caso de $G$ un grupo conmutativo (en donde el enunciado es mucho m\'{a}s simple). Antes un lema:

\begin{lema}
Sea $(G,+)$ un grupo abeliano y $\{H_i\}_{i=1}^n$ una familia finita de subgrupos de $G$. Entonces
\begin{enumerate}
\item[(i)] La aplicaci\'{o}n $\Phi:H_1\times H_2\times \cdots\times H_n\to G$ definida por $\Phi(h_1,h_2,\cdots,h_n)=h_1+h_2+\cdots+h_n$ es un homomorfismo de grupos.
\item[(ii)] $\im(\Phi):=H_1+H_2+\cdots+H_n:=\{h_1+h_2+\cdots+h_n\ \vert\ h_i\in H_i,\quad i=1,\dots,n\}$ que es el menor subgrupo de $G$ que contiene a todos los $H_i$ con $i=1,2,\dots, n$.
\end{enumerate}
 \end{lema}

\Proof Dados dos elementos, $(h_1,h_2,\cdots,h_n)$ y $(h'_1,h'_2,\cdots,h'_n)$ con $h_i,h'_i\in H_i$ para
todo $i$, entonces
\begin{align*}
&\Phi((h_1,h_2,\cdots,h_n)+(h'_1,h'_2,\cdots,h'_n))=\Phi((h_1+h'_1,h_2+h'_2,\cdots,h_n+h'_n)\cr &=h_1+h'_1+h_2+h'_2+\cdots+h_n+h'_n
=(h_1+h_2+\cdots+h_n)+(h'_1+h'_2+\cdots+h'_n)\cr &=\Phi(h_1,h_2,\cdots,h_n)+\Phi(h'_1,h'_2,\cdots,h'_n)
\end{align*}
por lo que es un homomorfismos de grupos. Es m\'{a}s, $\im(\Phi)=H_1+H_2+\cdots+H_n$ que es claro que  contiene a cada $H_i$: dado $h_i\in H_i$, tenemos que
$$h_i=0+\cdots+0+h_i+0+\cdots0\in H_1+H_2+\cdots+H_n.$$ Por otro lado, si un subgrupo $H$ de $G$ contiene
 a todos los $H_i$, entonces contiene sumas arbitrarias de elementos y por tanto contiene a la suma de los $H_i$.\EndProof

\begin{defi}
Sea $G$ un grupo abeliano y sea  $\{H_i\}_{i=1}^n$  una familia de subgrupos de $G$. Al subgrupo $H_1+H_2+\cdots+H_n$ se le denomina la suma de los subgrupos $\{H_i\}_{i=1}^n$. \index{Suma!  de grupos} Cuando para todo   $k=\{1,2,\dots,n\}$ se tiene que
$H_k\cap (H_1+\cdots+H_{k-1}+H_{k+1}\cdots+H_n)=\{0\}$ se dice la suma de los subgrupos $\{H_i\}_{i=1}^n$ es directa y se denota por $H_1\oplus H_2\oplus\cdots\oplus H_n$.\index{Suma! directa de grupos}
\end{defi}

\begin{prop}
Sea $G$ un grupo y sean $\{H_i\}_{i=1}^n$ una familia de subgrupos de $G$. Las siguientes condiciones son equivalentes:
\begin{enumerate}
\item[(i)] La suma de los grupos $\{H_i\}_{i=1}^n$ es directa.
\item[(ii)] Si $h_1+h_2+\cdots+h_n=0$ con $h_i\in H_i$ para $i=1,2,\dots,n$ entonces   $h_i=0$ para $i=1,2,\dots,n$.
\item[(iii)] El subgrupo $H_1+H_2+\cdots H_n$ es producto directo interno de los subgrupos $\{H_i\}_{i=1}^n$
\end{enumerate}
\end{prop}

\Proof (i) $\implies$ (ii). Sean $h_i\in H_i$ tales que $h_1+h_2+\cdots+h_n=0$. tenemos entonces que para cada $k\in \{1,2,\dots,n\}$,
$$h_k=-(h_1+\cdots+h_{k-1}+h_{k+1}+\cdots+h_n)\in \begin{cases}
H_k& \\
H_1+\cdots+H_{k-1}+H_{k+1}\cdots+H_n
\end{cases}$$
Luego $h_k=0$ para todo $k$.

(ii) $\implies$ (iii). Como $G$ es  abeliano, la aplicaci\'{o}n $\Phi:H_1\times H_2\times\cdots\times H_n\to H_1+H_2+\cdots H_n$ definida por
$\Phi(h_1,h_2,\dots,h_n)=h_1+h_2+\cdots+h_n$ por es un homomorfismo de grupos (un epimorfismo por construcci\'{o}n). Es m\'{a}s, (ii) implica que $\Ker(\phi)=0$, por lo que $\Phi$ es inyectiva y por tanto un isomorfismo de grupos.

(iii) $\implies$ (i). Sea $k\in \{1,2,\dots,n\}$ y $h_h\in H_k\cap (H_1+\cdots+H_{k-1}+H_{k+1}\cdots+H_n)\ne \{0\}$. Entonces
$h_k=h_1+\cdots+h_{k-1}+h_{k+1}+\cdots+h_n$ por lo que
$$\Phi(h_1,\cdots,h_{k-1},(-h_k),h_{k+1},\cdots,h_n)=h_1+\cdots+h_{k-1}+(-h_k)+h_{k+1}+\cdots+h_n=0$$
y por tanto todos los $h_i=0$ en particular $-h_k=0$, luego $h_k=0$.
\EndProof




\begin{coro}
Sea $G$ un grupo abeliano y $\{H_i\}_{i=1}^n$ una familia finita de subgrupos de $G$. Entonces, $G$ es el
producto directo interno de los $H_i$ si y s\'{o}lo si
\item{(i)} $G=H_1+H_2+\cdots+H_n$.
\item{(ii)} $H_k\cap (H_1+\cdots+H_{k-1}+H_{k+1}\cdots+H_n)=\{0\}$ para $k=\{1,2,\dots,n\}$.
\vskip .2truecm
\noindent Es decir, $G$ es la suma directa de los subgrupos $\{H_i\}_{i=1}^n$.
\end{coro}






 \hypertarget{Ejjocho}{ }
\section{Ejercicios del Tema}\label{ejj:Ejjocho}
\setcounter{ejj}{0}


\begin{ejj}\rm
Sea $I$ un conjunto finito y $\{G_i,*_i)$ una familia de grupos. Demuestra que si $G=\Pi_{i\in I}G_i$ es un grupo c\'{\i}clico,
 entonces $G_i=\{e\}$ para todo $i$ salvo un conjunto finito.\hfill\fbox{$**$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Demuestra que la proyecci\'{o}n can\'{o}nica del producto directo de grupos es un epimorfismo de grupos.
\end{ejj}

\begin{ejj}\label{ejj:prod3}\rm
Sean  $\{(G_i,*_i)\}_{i\in I}$ y $\{(G'_i,*_i)\}_{i\in I}$ dos familias de grupos. Supongamos que para cada
$k\in I$ tenemos un homomorfismo $f_k:G_k\to G_k'$. Entonces existe un \'{u}nico homomorfismo de grupos
$f:\Pi_{i\in I} G_i\to \Pi_{i\in I} G'_i$ que hace conmutativo el diagrama:

\centerline{\includegraphics[scale=0.5]{Dibujos/proddir3.eps} }

Es m\'{a}s, si cada $f_k$ es inyectivo, sobreyectivo, o biyectivo, as\'{\i} lo es $f$.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $\{(G_i,*_i)\}_{i=1}^n$ una familia  de grupos y sea $\sigma\in S_n$. Entonces $$G_1\times
G_2\times\cdots\times G_n\cong G_{\sigma(1)}\times G_{\sigma(2)}\times\cdots\times G_{\sigma(n)}$$
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $\{(G_i,*_i)\}_{i\in I}$ una familia  de grupos y sea $\Pi_{i\in I} G_i$ el producto directo externo de
los $G_i$. Sea $J\subset I$. Entonces $\Pi_{j\in J} G_j\lhd \Pi_{i\in I} G_i$.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $G$ un grupo con $p\,q$ elementos con $p$ y $q$ dos n\'{u}meros primos (puede darse la posibilidad $p=q$).
Demuestra que todo subgrupo propio de $G$ es c\'{\i}clico. Demuestra que si $G$ es abeliano y  $H\ne K$ son dos
subgrupos propios de $G$, entonces $G$ es el producto directo interno de $H$ y $K$.\hfill\fbox{$*$}
\end{ejj}

\begin{ejj}
Demuestra que si $G$ es un grupo y  $H_1$ y $H_2$ son dos subgrupos conjugados de $G$, entonces $G/H_1\cong
G/H_2$. El siguiente ejercicio demuestra que no es suficiente s\'{o}lo con que $H_1$ y $H_2$ sean isomorfos.\hfill\fbox{$*$}
\end{ejj}

\begin{ejj}
 Sea $G=\ZZ_2\times \ZZ_{12}$ y $H_1=<(1,4)>$ y $H_2=<(0,2)>$. Demuestra que $H_1\cong H_2$ y $G/H_1\not\cong G/H_2$.\hfill\fbox{$*$}
\end{ejj}

\begin{ejj}
Sean $G$ y $G'$ dos grupos, $H_1$ un subgrupos de $G$ y sea $f:H_1\to G'$ un homomorfismo de grupos. Se dice que $f$ se extiende a $G$ si existe un homomorfismo de grupos $F:G\to G'$ tal que para todo $x\in H_1$, $F(x)=f(x)$. Demuestra que no todo homomorfismo de grupos es extendible. \hfill\fbox{$**$}
\end{ejj}

\begin{ejj}
Sea $G$ un grupo abeliano y $\{H_i\}_{i=1}^n$ una familia finita de subgrupos de $G$. Demuestra que $G$ es el
producto directo interno de los $H_i$ si y s\'{o}lo si
\item{(i)} $G=H_1+H_2+\cdots+H_n$.
\item{(ii)} $H_k\cap (H_{k+1}\cdots+H_n)=\{0\}$ para $k=\{1,2,\dots,n\}$.
\end{ejj}

\begin{ejj}
Sea $G$ un grupo abeliano y $\{H_i\}_{i=1}^n$ una familia finita de subgrupos de $G$. Demuestra que $G$ es el
producto directo interno de los $H_i$ si y s\'{o}lo si para cada $x\in G$ existen unos \'{u}nico $h_i\in H_i$ tales
que $x=h_1+h_2+\cdots +h_n$.
\end{ejj}


\begin{ejj}
Sea $G$ un grupo finito. Demuestra que el n\'{u}mero de elemento de $G$ de orden $k$ es cero o m\'{u}ltiplo de $\phi(k)$ (la funci\'{o}n de Euler).\hfill\fbox{$*$}
\end{ejj}



\begin{ejj}
Sea $G$  producto directo interno de $\{H_i\}_{i=1}^n$. Entonces cada elemento de $G$ se escribe de forma \'{u}nica como un producto $h_1*\cdots*h_n$. Es m\'{a}s, $h_i*h_j=h_j*h_i$ para todo $h_i\in H_i$, $h_j\in H_j$, $i\ne j$.
 \end{ejj}


