

\chapter{Teorema de Lagrange}


\hrule \vskip0.5cm
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\noindent{\sffamily\bfseries Objetivos del cap\'{\i}tulo} $\,$
\begin{itemize}\footnotesize
 \item Estudio de las clases laterales de un grupo $G$ respecto de un subgrupo $H$ (clases de equivalencia de una cierta relaci\'{o}n de equivalencia en $G$ asociada a $H$). Se prueba que todas las clases son equipotentes.
 \item Se demuestra el Teorema de Lagrange que demuestra que el orden de un subgrupo siempre divide al orden del grupo. Como corolario de obtiene que el orden de cualquier elemento divide al orden del grupo.
\end{itemize}
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\hrule \vskip0.3cm
\[\,\]



\hypertarget{Clat}{ }
\section{Clases laterales}\label{sect:Clat}

\begin{center}
\shadowbox{\parbox{\columnwidth+0\fboxsep-10\fboxrule-\shadowsize}{
\centering
\begin{lema}
Sea $G$ un grupo y sea $H$ un subgrupo de $G$.  Entonces la relaci\'{o}n $a\sim b$ si y s\'{o}lo si
$ab^{-1}\in H$ es de equivalencia.
\end{lema}
}}
\end{center}

\Proof  Demostremos que verifica las propiedades reflexiva, transitiva y sim\'{e}trica.

$\bullet$  Reflexiva: dado $a\in G$, $aa^{-1}=e\in H,$  por lo que $ a\sim a.$

$\bullet$  Transitiva: Supongamos que $a\sim b$ y $b\sim c$. Tenemos entonces que $ab^{-1}$ y $bc^{-1}\in H$
y por tanto $ ab^{-1}\,bc^{-1}= ac^{-1}\in H$, y por tanto, $a\sim c.$

$\bullet$  Sim\'{e}trica: Supongamos que $a\sim b$, entonces $ab^{-1}\in H$. Como $H$ es un subgrupo
$(ab^{-1})^{-1}=ba^{-1}\in H$ y as\'{\i}, $b\sim a$.\EndProof


\begin{lema} Sea $G$ un grupo y sea $H$ un subgrupo de $G$. Sea $\sim$ la relaci\'{o}n anterior. Entonces la clase de equivalencia de un elemento $a\in G$ es:  $$\overline a=Ha=\{ha\ \vert\ h\in H\}$$
Llamada \textbf{clase de equivalencia por la derecha} de $H$ en $a$. \index{Clase de Equivalencia de $H$ en
$G$!Por la Derecha}
\end{lema}
\Proof Vamos a demostrar el lema por doble contenido:

Sea $b\in \overline a$. Por definici\'{o}n, $ab^{-1}=h\in H$, por tanto $a=hb$ o lo que es lo mismo,
$b=h^{-1}a\in Ha$. Es decir, $\overline a\subset Ha$. \par Sea $ha\in Ha$. Tenemos entonces que
$a(ha)^{-1}=aa^{-1}h^{-1}=h^{-1}\in H$ y por tanto $a\sim ha$ o lo que es lo mismo, $ha\in \overline a$.
\EndProof

\textbf{Nota:} Observar que la clase por la derecha de $H$ en $e$ es $H=He$. Es m\'{a}s, $Ha=He$ (es decir, $\overline e=\overline a$) si y s\'{o}lo si $a\in
H$.

\begin{lema}
Sea $G$ un grupo y sea $H$ un subgrupo de $G$. Entonces para todo $a\in G$, $\#H=\#Ha$. Es decir, todas las
clases de equivalencia por la derecha de $H$ en $G$ tienen el mismo cardinal.
\end{lema}

\Proof Es claro que la aplicaci\'{o}n $\Psi:H\to Ha$ definida por $\Psi(h)=ha$ es biyectiva.\EndProof


Nos hemos centrado en estudiar las clases de equivalencia por la derecha de un grupo $G$ respecto de un
subgrupo $H$. Es claro que tambi\'{e}n podr\'{\i}amos haber estudiado sus clases por la izquierda. Enunciamos, aunque
no demostramos, los resultados an\'{a}logos:
\begin{lema}
Sea $G$ un grupo y sea $H$ un subgrupo de $G$.  Para todo $a,b\in G$, la relaci\'{o}n $a\asymp b$ si y s\'{o}lo si
$a^{-1}b\in H$ es de equivalencia.
\end{lema}

\begin{lema} Sea $G$ un grupo y sea $H$ un subgrupo de $G$. Sea $\asymp$ la relaci\'{o}n anterior. Entonces la clase de equivalencia de un elemento $a\in G$ es:  $$\overline a=aH=\{ah\ \vert\ h\in H\}$$
Llamada \textbf{clase de equivalencia por la izquierda} de $H$ en $a$. \index{Clase de Equivalencia de $H$ en
$G$!Por la Izquierda}
\end{lema}

\begin{lema}
Sea $G$ un grupo y sea $H$ un subgrupo de $G$. Entonces para todo $a\in G$, $\#H=\#aH$.
\end{lema}

\hypertarget{Tlag}{ }
\section{Teorema de Lagrange y consecuencias}\label{sect:Tlag}

\begin{center}
\shadowbox{\parbox{\columnwidth+0\fboxsep-10\fboxrule-\shadowsize}{
\centering
\begin{theo}[Teorema de Lagrange]
Sea $G$ un grupo finito y sea $H$ un subgrupo de $G$. Entonces $\#H$ divide a $\#G$.
\end{theo}
}}
\end{center}


\Proof Consideremos la relaci\'{o}n de equivalencia estudiada en la secci\'{o}n anterior:
$$a\sim b\quad\hbox{si y s\'{o}lo si}\quad ab^{-1}\in H$$

Tenemos entonces que est\'{a} relaci\'{o}n de equivalencia define una partici\'{o}n en $G$, por lo que
$$G= Ha_1\cup\cdots\cup Ha_k$$ es m\'{a}s, como todas las clases de equivalencia tienen el mismo n\'{u}mero de elementos
$\#Ha_i=\#H$ tenemos que $\#G=k\ \#H$. Lo que nos demuestra el teorema. \EndProof

\begin{defi}
Sea $G$ un grupo  y sea $H$ un subgrupo de $G$. Se define el \textbf{\'{\i}ndice} de $H$ en $G$, y se denota por $(H:G)$ como el
n\'{u}mero de clases de equivalencia por la derecha de $H$ en $G$.\index{Indice de $H$ en $G$}
\end{defi}

\textbf{Nota:} El \'{\i}ndice de $H$ en $G$ coincide con $\#G/\#H$. Por tanto, el n\'{u}mero de clases de equivalencia
por la derecha y por la izquierda coincide.

\begin{coro}
Sea $G$ un grupo finito y $a\in G$. Entonces  $\circ a$ divide a $\#G$.
\end{coro}

\Proof El resultado se sigue del teorema de Lagrange: el orden de $a$ coincide con $\#\langle a \rangle$, el
subgrupo generado por $a$.\EndProof

\begin{coro}\label{coro:pot}
Sea $G$ un grupo finito. Entonces para todo $a\in G$, $a^{\#G}=e$.
\end{coro}

\Proof Sea $k$ el orden de $a$, tenemos entonces que $\langle a\rangle=\{a,a^2,\dots, a^k=e\}$, y sea $n$ el
orden de $G$. Por el corolario anterior $n=kc$ y por tanto $a^n=a^{kc}=(a^k)^c=e^c=e$. \EndProof

\begin{coro}
Sea $G$ un grupo finito con $p$ elementos ($p$ un n\'{u}mero primo). Entonces $G$ es c\'{\i}clico isomorfo a $\ZZ_p$.
\end{coro}

\Proof Sea $a\in G$ distinto del elemento neutro. Entonces $a,e\in \langle a \rangle$ es un subgrupo de $G$.
Por el Teorema de Lagrange $\#\langle a \rangle$ divide a $p$ y como no puede ser uno,  $\#\langle a
\rangle=p$, o lo que es lo mismo,  $\langle a \rangle=G$.\EndProof

\begin{coro}
Sea $G$ un grupo finito y sean $H$ y $K$ subgrupos de $G$. Supon\-ga\-mos que $\mcd(\#H,\#K)=1$. Entonces
$H\cap K=\{e\}$.
\end{coro}

\Proof Por el Teorema de lagrange $\#(H\cap K)$ divide a $\#H$ y $\#K$, por lo que $\#(H\cap K)=1$ y por
tanto $H\cap K=\{e\}$.\EndProof

\begin{coro}[Teorema de Euler(Fermat)] Sean $n\in \NN$ y $a\in \ZZ$ primos relativos. Entonces $$a^{\phi(n)}\equiv 1 (\Mod n)$$
\end{coro}

\Proof Sabemos que $(\ZZ_n,\cdot)$ es un monoide. Por lo que el subconjunto de los elementos inversibles, que
coincide con $\{a\in \ZZ_n\ \vert\ \mcd(a,n)=1\}$, es un grupo con el producto (con $\phi(n)$ elementos). Por
lo que por  \fullref{el corolario}{coro:pot}, $a^{\phi(n)}\equiv 1 (\Mod n)$.\EndProof


Veamos que ahora si podemos determinar el ret\'{\i}culo de los subgrupos de $S_3$. Con  poco de esfuerzo, vamos a demostrar algo un poco m\'{a}s general.

\begin{prop}\rm
Sea $G$ un grupo de orden $pq$ con $p,q$ dos n\'{u}meros primos. Entonces todo subgrupo propio de $G$ es c\'{\i}clico de orden $p$ o $q$.
\end{prop}

En particular, los subgrupos de $S_3$ son:

\centerline{\includegraphics[scale=0.50]{Dibujos/StresR.eps}}





\hypertarget{Ejjseis}{}
\section{Ejercicios del Tema}\label{ejj:Ejjseis}
\setcounter{ejj}{0}

\begin{ejj}\rm
Calcula las clases laterales por la izquierda y por la derecha de $H=\{\rho_0,\tau_1\}$ en $S_3$. ?`Cual es el \'{\i}ndice de $S_3$ en $H$?
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sean $H$ y $K$ subgrupos de un grupo $G$. Supongamos que existen $a,b\in G$ tales que $Ha\subseteq Kb$. Demuestra que $H\subset K$.\hfill\fbox{$*$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $G$ un grupo de orden $p^2$ con $p$ un n\'{u}mero primo. Demuestra que o $G$ es c\'{\i}clico o para todo $a\in G$, $a^p=e$.\hfill\fbox{$*$}
\end{ejj}


