
\hypertarget{temasiete}{ }
\chapter{Teoremas de Isomorf\'{\i}a}\label{chap:temasiete}

\hrule \vskip0.5cm
%-----------------------------------------------------------------
\noindent{\sffamily\bfseries Objetivos del cap\'{\i}tulo} $\,$
\begin{itemize}\footnotesize
 \item En este capitulo demostramos los teoremas de Isomorf\'{\i}a.
\end{itemize}
\vskip0.25cm
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\hrule \vskip0.3cm
\[\,\]

\hypertarget{Piso}{ }
\section{Primer Teorema de Isomorf\'{\i}a}\label{sect:Piso}



\begin{center}
\shadowbox{\parbox{\columnwidth+0\fboxsep-10\fboxrule-\shadowsize}{
\centering
\begin{theo}[Primer Teorema de Isomorf\'{\i}a]\index{Teorema de Isomorf\'{\i}a!Primer}
Sean $G$ y $G'$ dos grupos y con\-si\-de\-re\-mos $f:G\to G'$ un homomorfismo de grupos. Entonces $G/\ker(f)\cong \im(f)$ es m\'{a}s, la aplicaci\'{o}n $\overline f:G/\ker(f)\to \im(f)$ definido por $\overline f(\overline a)=f(a)$ es un isomorfismo que hace conmutativo el siguiente diagrama:

\centerline{\includegraphics[scale=0.41]{Dibujos/conmdia.eps} }

Observar que entonces $f=i\circ \overline f\circ \pi$ con $i$ un monomorfismo, $\overline f$ un isomorfismo y $\pi$ un epimorfismo de grupos.
\end{theo}
}}
\end{center}



\Proof Sabemos que $\ker(f)$ es un subgrupo normal de $G$, por lo que tiene sentido $G/\Ker(f)$. Sea la aplicaci\'{o}n $\overline f:G/\ker(f)\to \im(f)$ definida por $\overline f(\overline a)=f(a)$.

Veamos que est\'{a} bien definida: si $\overline a=\overline b$, entonces $b=za$ con $z\in \Ker(f)$, por lo que $f(b)=f(za)=f(z)f(a)=ef(a)=f(a)$. es m\'{a}s, dado $\overline a\in G/\Ker(f)$, $\overline f(\overline a)=f(a)\in \im(f)$. Luego est\'{a} bien definida.

Es un homomorfismo de grupos: $$\overline f(\overline a*\overline b)=\overline f(\overline{a*b})=f(a*b)=f(a)*f(b)=\overline f(\overline{a})*\overline f(\overline{b})$$

Es claramente sobreyectiva: dado $f(a)\in \im(f)$, $\overline f(\overline a)=f(a).$

Veamos  que es inyectiva: sea $\overline x\in G/\Ker(f)$ tal que $\overline f(\overline x)=e$. tenemos entonces que $f(x)=e$ y por tanto $x\in \Ker(f)$ o lo que es lo mismo, $\overline x=\overline e$.

Por \'{u}ltimo, el diagrama es conmutativo por construcci\'{o}n.\EndProof

\hypertarget{Siso}{ }
\section{Segundo Teorema de Isomorf\'{\i}a}\label{sect:Siso}

Veamos alg\'{u}n lema previo para el segundo teorema de Isomorf\'{\i}a.
\begin{defi}
Sea $G$ un grupo y sean $H,K$ subgrupos de $G$. Definimos $H\vee K$ \index{$H\vee K$} como el menor subgrupo de $G$ que contiene a $H$ y a $K$.
\end{defi}

Sabemos que $H\vee K$ siempre existe. Es m\'{a}s, $H\vee K$ coincide con la intersecci\'{o}n de todos los subgrupos de $G$ que contienen tanto a $H$ como a $K$. Por otro lado, observar que el conjunto $HK:=\{hk\ \vert h\in H,\ k\in K\}$ contiene a $H$ y a $K$ y est\'{a} contenido en $H\vee K$. Por tanto, $H\vee K$ es el menor subgrupo de $G$ que contiene a $HK$.

\begin{lema}
Sea $G$ un grupo y sean $H,K$ dos subgrupos de $G$. Entonces:
\item{(i)} Si $H$  es  normal en $G$. Entonces $H\vee K=HK =KH$.
\item{(ii)} Si $H$ y $K$ son subgrupos normales de $G$, entonces $HK$ es un subgrupo normal de $G$.
\end{lema}

\textbf{Nota:} Si en (i) $H$ no es normal y $K$ si, el resultado es el mismo.
\Proof (i). Supongamos que $H$ es subgrupo normal de $G$ y veamos que  $HK$ es un subgrupo de $G$. Veamos que la operaci\'{o}n es interna en $HK$: dados $h,h'\in H$ y $k,k'\in K$, como $H\le G$,
$$hkh'k'=hkh'k^{-1}kk'=h(kh'k^{-1})kk'\in HK$$
Es claro que $e=ee\in HK$. Veamos que $HK=KH$ antes de demostrar que todo elemento posee inverso: dado $hk\in HK$, $$hk=kk^{-1}hk=k(k^{-1}hk)\in KH$$ De igual forma, dado $kh\in KH$,
$$kh=khk^{-1}k=(khk^{-1})k\in HK$$
Por \'{u}ltimo dado $hk\in HK$, $k^{-1}h^{-1}\in KH=HK$ es el inverso.

(ii) Supongamos ahora que tanto $H$ como $K$ son subgrupos normales. Entonces, para todo $a\in G$:

$$ahka^{-1}=aha^{-1}aka^{-1}=(aha^{-1})(aka^{-1})\in HK$$

Luego $HK\le G$.\EndProof

\begin{center}
\shadowbox{\parbox{\columnwidth+0\fboxsep-10\fboxrule-\shadowsize}{
\centering
\begin{theo}[Segundo Teorema de Isomorf\'{\i}a]\index{Teorema de Isomorf\'{\i}a!Segundo}
Sea $G$ un grupo, $H$ un subgrupo normal de $G$ y $K$ un subgrupo de $G$. Entonces:
\item{(i)} $H$ es subgrupo normal de $H\vee K$ y $H\cap K$ es subgrupo normal de $K$.
\item{(ii)} $H\vee K/H\cong K/(H\cap K)$
\end{theo}
}}
\end{center}

\Proof (i). Dado $a\in H\vee K$, tenemos que $aha^{-1}\in H$, ya que $H$ es normal en $G$, por lo que $H$ es normal en $H\vee K$. Sea $k\in K$ y $h\in H\cap K$. Entonces $khk^{-1}\in K$ ya que es un producto de tres elementos de $K$ y $khk^{-1}\in H$ ya que $H$ es normal en $G$. Por tanto $H\cap K\unlhd K$

(ii). Sabemos, por el lema anterior, que $H\vee K=HK$. Consideremos la aplicaci\'{o}n $$\Phi:HK\to K/(H\cap K)\quad\hbox{ definida por } \Phi(hk)=\overline k.$$ Tenemos que demostrar que est\'{a} bien definida: supongamos que $hk=h'k'$, entonces $h'^{-1}h=k'k^{-1}\in H\cap K$, luego $k'k^{-1}\in H\cap K$ y por tanto $k'\sim k$ en $K/H\cap K$ es decir, $\overline k=\overline{k'}$ en $K/H\cap K$. As\'{\i}, $\Phi(hk)=\overline k=\overline k'=\Phi(h'k')$.

Veamos que es un homomorfismo de grupos: dados $h,h'\in H$ y $k,k'\in K$ tenemos que $hkh'k'=hkh'k^{-1}kk'=(hkh'k^{-1})kk'$ en donde $hkh'k^{-1}\in H$ y $kk'\in K$. Por tanto $$\Phi(hk\,h'k')=\Phi((hkh'k^{-1})kk')=\overline{kk'}=\overline k\overline{k'}=\Phi(hk)\Phi(h'k')$$ luego es un homomorfismo de grupos.

Es claro que dado $k\in K$, $\Phi(ek)=\overline k$, por lo que $\Phi$ es sobreyectiva. Es m\'{a}s, si $hk\in H$, $hk=(hk)e$ y por tanto $\Phi(hk)=\overline e$, es decir, $H\subset \Ker (\Phi)$. Por otro lado, sea $hk\in \Ker\Phi$. Tenemos entonces que $\Phi(hk)=\overline k=\overline e$, por lo que $k\in H\cap K$, y por tanto $hk\in H$. Es decir, $\Ker \Phi=H$.

Aplicando ahora el primer teorema de Isomorf\'{\i}a: $H\vee K/\Ker(\Phi)\cong \im(\Phi)$ es decir $H\vee K/H\cong
K/(H\cap K)$.\EndProof

\hypertarget{Tiso}{ }
\section{Tercer Teorema de Isomorf\'{\i}a}\label{sect:Tiso}


\begin{center}
\shadowbox{\parbox{\columnwidth+0\fboxsep-10\fboxrule-\shadowsize}{
\centering
\begin{theo}[Tercer Teorema de Isomorf\'{\i}a]\index{Teorema de Isomorf\'{\i}a!Tercer}
Sea $G$ un grupo y sean $H,K$  subgrupos normales de $G$. Supongamos que $K\le H$. Entonces:
\item{(i)} $K$ es subgrupo normal de $H$, y $H/K$ es ``subgrupo normal"\  de $G/K$.
\item{(ii)} $G/H\cong (G/K)/(H/K)$
\end{theo}
}}
\end{center}



\Proof (i). Dado $h\in H$ y $k\in K$, $hkh^{-1}\in K$, ya que $K$ es un subgrupo normal de $G$. Por tanto $K$ es subgrupo normal de $H$.
Consideremos la aplicaci\'{o}n $$i:H/K\to G/K\quad\hbox{ definida por }\quad i(\overline h)=\overline h.$$ Veamos que $i$ es un monomorfismo de grupos y que $\im (i)$ es un subgrupo normal de $G/K$.

$\star$ Bien definido: si $h\sim h'$ en $H/K$, entonces $hh'^{-1}\in K$, por lo que $h\sim h'$ en $G/K$.

$\star$ es trivial que es monomorfismo de grupos: $$i(\overline h*\overline {h'})=i(\overline {h*h'})=\overline {h*h'}=\overline {h}*\overline{h'}=i(\overline {h})*i(\overline{h'}).$$ Es m\'{a}s, si $i(\overline h)=\overline e$, entonces $h\in K$ y por tanto $\overline h=\overline e$ en $G/K$.

Dado $\overline a\in G/K$ y $\overline h\in H/K$, tenemos que $\overline a\overline h(\overline a)^{-1}=\overline{aha^{-1}}\in H/K$.

\textbf{Observar:} Los elementos de $H/K$ son aquellos  que tienen por representantes elementos de $H$.

(ii) Sea $\pi_1:G\to G/K$ y $\pi_2:G/K\to (G/K)/(H/K)$ las proyecciones can\'{o}nicas y definamos  $$f:G\to (G/K)/(H/K)\quad \hbox{como}\quad f=\pi_2\circ \pi_1$$

Como $\pi_1$ y $\pi_2$ son epimorfismos de grupos, $f$ es un epimorfismo de grupos. Veamos ahora quien es el $\Ker(f)$: si $h\in H$, $f(h)=\overline{\bar e}$ por lo que $H\subset \Ker(f)$. Por otro lado, si $f(a)=\overline{\bar e}$, tenemos que $\overline a\in H/K$, por lo que $\overline a=\overline h$ con $h\in H$ y por tanto $ah^{-1}\in K$. As\'{\i}, $a=kh\in H$.

El primer teorema de Isomorf\'{\i}a nos demuestra (ii). \EndProof



\hypertarget{Ejjsiete}{ }
\section{Ejercicios del Tema}\label{ejj:Ejjsiete}
\setcounter{ejj}{0}

\begin{ejj}\rm
Sean $G$ y $G'$ dos grupos y consideremos $G\times G'$. Demuestra que el conjunto $$G\times \{e\}=\{(x,e)\ \vert\ x\in G\}$$ es un subgrupo normal de $G\times G'$ y que $G\times G'\over G\times\{e\}$ es isomorfo a $G'$.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $G$ un grupo de orden $pq$ con $p,q$ n\'{u}meros primos. Supongamos  $H,K$ subgrupos normales de $G$ de ordenes $p$ y $q$. Demuestra que $G\cong H\times K$.\hfill\fbox{$*$}
\end{ejj}



\begin{ejj}\rm
?`Cuantos elementos tiene  $G={\mathbb{Z}/21\mathbb{Z}\over 7\mathbb{Z}/21\mathbb{Z}}$?. ?`A quien es isomorfo?\hfill\fbox{$*$}
\end{ejj}



