

\chapter{Grupo cociente}


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\noindent{\sffamily\bfseries Objetivos del cap\'{\i}tulo} $\,$
\begin{itemize}\footnotesize
 \item Estudiamos condiciones para poder definir una estructura de grupo en el conjunto cociente de un grupo $G$ por una relaci\'{o}n de equivalencia $\cal R$.
 \item Introducimos la noci\'{o}n de subgrupo normal dando diversas caracterizaciones.
 \item Introducimos la estructura cociente viendo sus principales propiedades. Estudiamos la proyecci\'{o}n can\'{o}nica en el cociente.

\end{itemize}
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\hrule \vskip0.3cm
\[\,\]




\hypertarget{Ccg}{ }
\section{Conjunto cociente y grupos}\label{sect:Ccg}

Como sabemos, toda relaci\'{o}n de equivalencia $\cal R$ en un conjunto $X$ da lugar a una partici\'{o}n en $X$ y por tanto al conjunto cociente $X/_{\cal R}$ y viceversa (ver anexo A). En este tema vamos a estudiar relaciones de equivalencia ``que tengan relaci\'{o}n"\ con la estructura del grupo. M\'{a}s espec\'{\i}ficamente, relaciones de equivalencia que ``induzcan"\ una estructura de grupo en el conjunto cociente: buscamos una relaci\'{o}n de equivalencia $\simeq$ en un grupo $G$ tal que en el conjunto cociente $G/_\simeq$ la operaci\'{o}n $$\overline a*\overline b:=\overline{a*b}$$ est\'{e} bien definida (se explicar\'{a}) y dote al cociente de estructura de grupo.

Aunque no nos percat\'{a}ramos en su momento, ya hemos dado estructura de grupo a conjuntos cocientes. Sea
$\ZZ$ el anillo de los enteros y sea $n\in \ZZ$. Estudiamos la relaci\'{o}n de congruencia modulo $n$:$$a\equiv
b\ (\Mod n)\quad \hbox{si y s\'{o}lo si}\quad a-b=kn$$

Observar que si consideramos el subgrupo c\'{\i}clico de $\ZZ$ generado por $n$, que no es m\'{a}s que $n\ZZ$, tenemos
que la relaci\'{o}n de congruencia m\'{o}dulo $n$ es exactamente cualquiera de las relaciones vista en el tema
anterior. Observar que $a\equiv b\ (\Mod n)$ si y s\'{o}lo si $a-b\in n\ZZ$. Es m\'{a}s, en el conjunto cociente
$\ZZ/_\equiv$ definimos una suma y un producto $$\overline a+\overline b:=\overline{a+b}\qquad \overline
a\cdot\overline b:=\overline{a\cdot b}$$ lo que nos dio los anillos de congruencia m\'{o}dulo $n$, es decir,
$\ZZ_n$ (en cualquier caso $(\ZZ_n,+)$ tiene la estructura de grupo que estamos buscando). En general no
vamos a poder definir una estructura de grupo en el conjunto cociente (la operaci\'{o}n no tiene porqu\'{e} estar
bien definida) no obstante encontraremos una condici\'{o}n necesaria y suficiente para poder construirlo.


\begin{theo} Sea $G$ un grupo y sea $\simeq$ una relaci\'{o}n de equivalencia en $G$. Supongamos que en el conjunto cociente $G/_\simeq$ la operaci\'{o}n $$\overline a*\overline b:=\overline{a*b}$$ est\'{a} bien definida. Entonces:
 \begin{enumerate}
 \item[(i)] $(G/_\simeq,*)$ tiene estructura de grupo en donde el elemento neutro de $(G/_\simeq,*)$ es $\overline e$ y para todo $a\in G$, el inverso de $\overline a\in G/_\simeq$ es precisamente $\overline{a^{-1}}$.
 \item[(ii)]  La clase de equivalencia del elemento neutro es subgrupo de $G$.
 \item[(iii)] Dados $a,b\in G$, $a\simeq b$ si y s\'{o}lo si $ab^{-1}\in \overline e$.
 \item[(iv)] Sea $H=\overline e$. Entonces para todo $a\in G$ y $h\in H$, $aha^{-1}\in H$.
 \end{enumerate}
\end{theo}

\Proof (i). Dados $a,b,c\in G$,
\begin{align*}
(\overline a*\overline b)*\overline c&=\overline {a*b}*\overline c=\overline{(a*b)*c}\\ \overline a*(\overline b*\overline c)&=\overline {a}*\overline b* c=\overline{a*(b*c)}
\end{align*}
Lo que demuestra que la operaci\'{o}n es asociativa. Es claro que \begin{align*}
\overline a*\overline e&=\overline{a*e}=\overline a\\ \overline e*\overline a&=\overline{e*a}=\overline a
\end{align*}
por lo que $\overline e$ es el neutro de $(G/_\simeq,*)$. Por otro lado, dado $a\in G$,
\begin{align*}
\overline a*\overline{a^{-1}}=\overline{a*a^{-1}}=\overline e\\ \overline{a^{-1}}\overline{a}=\overline{a^{-1}*a}=\overline e
\end{align*}
lo que demuestra que $\overline{a^{-1}}$ es el inverso de $\overline a\in G/_\simeq$.

(ii). Como $(G/_\simeq,*)$ es un grupo, dados $a,b\in \overline e$, es decir $\overline a=\overline e=\overline b$, se tiene que $$\overline {a*b}=\overline a*\overline b=\overline e*\overline e=\overline {e*e}=\overline e$$ y por tanto $a*b\in \overline e$. Lo que demuestra que la operaci\'{o}n es cerrada en $\overline e$.

Por hip\'{o}tesis $e\in \overline e$. Por \'{u}ltimo, sea $a\in \overline e$, entonces $$\overline e=\overline
a*\overline{a^{-1}}=\overline e*\overline{a^{-1}}=\overline{a^{-1}}$$ por lo que $a^{-1}\in \overline e$, lo
que demuestra el lema.

(iii). Supongamos que $a\simeq b$. Tenemos entonces que $$\overline e=\overline a*(\overline
a)^{-1}=\overline a*(\overline b)^{-1}=\overline{ a*b^{-1}}$$ por lo que $a*b^{-1}\in \overline e$. Por otro
lado, si $a*b^{-1}\in \overline e$, entonces $\overline{a*b^{-1}}=\overline e$ y por tanto, $$\overline
e=\overline{a*b^{-1}}=\overline{a}*\overline{b^{-1}}=\overline{a}*\overline{b}^{-1}$$ multiplicando por la
derecha por $\overline b$ obtenemos: $$\overline e*\overline b=\overline{a}*\overline{b}^{-1}*\overline
b=\overline a$$ Es decir, $a\simeq b$.

(iv). Que la operaci\'{o}n $*$ est\'{e} bien definida significa que no depende de representantes:
$$\hbox{si}\quad a'\sim a\ \hbox{y}\ b'\sim b\ \hbox{entonces}\ \overline{a'}*\overline{b'}=\overline{a}*\overline{b}$$
o lo que es lo mismo, que puedo cambiar el representante cuando hago un producto en el conjunto cociente. Por otro lado la clase del elemento neutro es $H$, $\overline e=H$. As\'{\i},

 $$\overline{a*h*a^{-1}}=\overline{a}* \overline{h}*\overline{a^{-1}}=\overline{a}* \overline{e}*\overline{a^{-1}}=\overline {a*a^{-1}}=\overline e$$
 lo que demuestra que $a*h*a^{-1}\in H$.
\EndProof


 \textbf{Nota:} Hemos demostrado que una condici\'{o}n necesaria para poder definir una estructura de grupo en un conjunto cociente $G/_\simeq$ es que la relaci\'{o}n de equivalencia sea la de las clases por la derecha respecto de un subgrupo $H$ de $G$ que verifica una condici\'{o}n extra: para todo $a\in G$ y $h\in H$, $aha^{-1}\in H$. En lo que sigue vamos a estudiar subgrupos que tienen esta propiedad y demostraremos que  siempre que tengamos un subgrupo $H$ de $G$ con esta propiedad vamos a poder definir una estructura de grupo en el conjunto cociente (de las clases por la derecha de $H$ en $G$).

\hypertarget{Snor}{ }
\section{Subgrupo Normal}\label{sect:Snor}



\begin{defi}
Sea $G$ un grupo. Se dice que un subgrupo $N$ de $G$ es \textbf{normal} en $G$, y se representa por $N\lhd G$, \index{Subgrupo!Normal} si para todo $a\in G$,
$n\in N$,  $ana^{-1}\in N$.
\end{defi}

\begin{prop}
Sea $G$ un grupo y $N$ un subgrupo de $G$. Las siguientes condiciones son equivalentes:
\item{(i)} $N$ es un subgrupo normal de $G$.
\item{(ii)} $N$ es invariante para todo automorfismo interno.
\item{(iii)} Para todo $a\in G$, $aN=Na$ (las clases laterales coinciden).

\end{prop}
\Proof   $(i)\implies (ii)$. Sea $a\in G$ y consideremos el automorfismo interno $\Phi_a:G\to G$ definido por $\Phi_a(x)=axa^{-1}$. Tenemos entonces, por definici\'{o}n de subgrupo normal que $\Phi_a(N)=aNa^{-1}\subset N$. Por otro lado, dado $n\in N$, $$a^{-1}n(a^{-1})^{-1}=n'\in N,$$ por lo que $n=an'a^{-1}\in \Phi_a(N)$ lo que demuestra que $\Phi_a(N)=N$.

$(ii)\implies (iii)$.  Supongamos que $N$ es invariante por todo automorfismo interno. Dado $a\in G$, sea $an\in aN$. Tenemos entonces que   $\Phi_a(n)=ana^{-1}\in N$, por lo que $an=\Phi_a(n)a\in Na$. Rec\'{\i}procamente, dado $na\in Na$,  $\Phi_{a^{-1}}(n)=a^{-1}n(a^{-1})^{-1}=n'\in N$, por lo que $ na=an'\in Na$. Luego para todo $a\in G$, $aN=Na$.

$(iii)\implies (i)$ Sea $a\in G$ y $n\in N$.  Como las clases por la derecha y por la izquierda coinciden,
existe $n'\in N$ tal que $an=n'a$. Por tanto $ana^{-1}=n'\in N$, lo que demuestra que $N$ es un subgrupo
normal de $G$. \EndProof

\begin{ejem} $\star$ Los subgrupos triviales siempre son subgrupos normales, es decir, $G$ y $\{e\}$ son subgrupos normales de $G$.

$\star$ Sea $S_3$ el grupo de permutaciones de 3 elementos. Entonces $N=\{\rho_0,\rho_1,\rho_2\}$ es un subgrupo normal de $S_3$ y $H=\{\tau_1,\rho_0\}$ no lo es.
\end{ejem}

\begin{prop}
Sea $G$ un grupo. Entonces:
\item{(i)} Cualquier subgrupo de $G$ contenido en $Z(G)$ es normal.
\item{(ii)} Si $G$ es un grupo abeliano, cualquier subgrupo suyo es normal.
\end{prop}

\begin{defi}
Sea $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G$. Se dice que un subgrupo $H'$ de $G$ es conjugado con $H$ si existe un automorfismo interno $\Phi_a:G\to G$ tal que $\Phi_a(H)=H'$.
\end{defi}
\textbf{Nota:} Recordar que la relaci\'{o}n de conjugaci\'{o}n es una relaci\'{o}n de equivalencia en el ret\'{\i}culo de los subgrupos de $G$.

\begin{prop}
Sea $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G$. Si $H$ s\'{o}lo es conjugado a  si mismo, entonces $H$ es subgrupo normal de $G$. En particular, si no hay subgrupos de $G$ (distintos de $H$) con $\#H$ elementos, entonces $H$ es normal en $G$.
\end{prop}


\begin{prop}
Sea $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G$ de \'{\i}ndice $2$. Entonces $H$ es normal en $G$.
\end{prop}

\textbf{Nota:} En particular $A_n$, el subgrupo alternado de $S_n$ es un subgrupo normal de $S_n$.

\hypertarget{Gcoc}{ }
\section{Grupo cociente}\label{sect:Gcoc}

\hypertarget{ConC}{ }
\begin{theo}\rm\label{theo:ConC}
Sea $G$ un grupo y $N$ un subgrupo normal de $G$. Entonces:
\item{(i)} El conjunto cociente $G/_\sim$ con la operaci\'{o}n $$\overline a*\overline b:=\overline{a*b}$$ tiene estructura de grupo, que denotaremos por $G/N$.
\item{(ii)} La aplicaci\'{o}n $\pi:G\to G/N$ definida por $\pi(a)= \overline a$ es un epimorfismo de grupos. Es m\'{a}s, $\Ker \pi=N$. Esta aplicaci\'{o}n es llamada la proyecci\'{o}n can\'{o}nica de $G$ en $G/N$.
\item{(iii)} Si $G$ es abeliano, entonces $G/N$ es abeliano.
\item{(iv)} Si $G$ es c\'{\i}clico, entonces $G/N$ es c\'{\i}clico.
\item{(v)} Si $G$ es finito, entonces $G/N$ es finito. Es m\'{a}s, $\#(G/N)=(G:N)$.
\end{theo}

\Proof (i) Veamos en primer lugar que la operaci\'{o}n est\'{a} bien definida: sean $a,a',b,b'\in G$ tales que $a\sim a'$ y $b\sim b'$. Tenemos entonces que $a'=ha$ y $b'=h'b$ con $h,h'\in N$. Es m\'{a}s, como $N$ es subgrupo normal de $G$ dado $ah'\in aH$, existe $h''\in H$ tal que $ah'=h''a$.  Por tanto $$ a'*b'=hah'b=hh''ab$$ lo que demuestra que $a'*b'\sim a*b$.

Veamos que se verifica que $*$ es asociativa: dados $a,b,c\in G$,
\begin{align*}
(\overline a*\overline b)*\overline c&=\overline {a*b}*\overline c=\overline{(a*b)*c}\\ \overline a*(\overline b*\overline c)&=\overline {a}*\overline b* c=\overline{a*(b*c)}
\end{align*}
Lo que demuestra que la operaci\'{o}n es asociativa. Es claro que $\overline e$ es el elemento neutro de $G/N$:
\begin{align*}
\overline e*\overline a&=\overline {e*a}=\overline a\\ \overline a*\overline e&=\overline {a*e}=\overline a
\end{align*}
Por \'{u}ltimo dado $a\in G$, $$\overline a*\overline{a^{-1}}=\overline{a*a^{-1}}=\overline e=\overline{a^{-1}*a}=\overline{a^{-1}}*\overline{a}$$ Lo que demuestra que el inverso de $\overline a$ en $G/N$ es $\overline{a^{-1}}$.

(ii) consideremos la aplicaci\'{o}n $\pi:G\to G/N$ definida por $\pi(a)=\overline a$. Es claro que est\'{a} bien definida y es sobreyectiva. Veamos que es un homomorfismo de grupos:
$$\pi(a*b)=\overline{a*b}=\overline a*\overline b=\pi(a)*\pi(b)$$

Calculemos por \'{u}ltimo el $\Ker(\pi)$ sea $x\in \Ker(\pi)$. Tenemos que $\pi(x)=\overline x=\overline e$ por lo que $x\in \overline e=Ne=N$. Sea $x\in N$. Tenemos entonces que $\overline x=\overline e$ por lo que $\pi(x)=\overline e$.

(iii) Resultado casi trivial: $\overline a*\overline b=\overline{a*b}=\overline {b*a}=\overline b*\overline a$.

(iv) Supongamos que $G$ es c\'{\i}clico generado por $a$. Tenemos entonces que dado $\overline b\in G/N$, existe $k\in \ZZ$ tal que $b=a^n$ y por tanto $\overline b=\overline {a^n}=\overline a^n$. Lo que demuestra que $G/N$ es c\'{\i}clico generado por $\overline a$.

(v). Ya est\'{a} demostrado. \EndProof

\hypertarget{Ecoc}{ }
\begin{prop}\rm\label{prop:Ecoc}
Sea $G$ un grupo y $H$ subgrupo de $G$. Entonces $H$ es un subgrupo normal de $G$ si y s\'{o}lo si $H=\Ker(f)$ para $f:G\to G'$ un homomorfismo de grupos.
\end{prop}

\Proof Si $N$ es un subgrupo normal, tenemos la proyecci\'{o}n can\'{o}nica de $G$ en el cociente: $\pi:G\to G/N$ que es un epimorfismo de grupos, con $\Ker(\pi)=N$. Supongamos ahora que$f:G\to G'$ es un homomorfismo de grupos. Veamos que $\Ker(f)$ es un subgrupo normal de $G$: dado $a\in G$ y $n\in \Ker f$,
\begin{align*}
f(a*n*a^{-1})&=f(a)*f(n)*f(a^{-1})=f(a)*e*f(a^{-1})= f(a)*f(a^{-1})\\&=f(a*a^{-1})=f(e)=e.
\end{align*}
Por lo que para todo $a\in G$, $n\in \Ker(f)$, $a*n*a^{-1}\in \Ker(f)$. \EndProof

\hypertarget{Cret}{ }
\begin{prop}\rm\label{prop:Cret}
Sea $G$ un grupo y $N$ un subgrupo normal de $G$. Entonces existe una biyecci\'{o}n entre el ret\'{\i}culo de los subgrupos de $G/N$ y el ret\'{\i}culo de los subgrupos de $G$ que contienen a $N$.
\end{prop}

\Proof\ \  Sea $\pi:G\to G/N$ la proyecci\'{o}n can\'{o}nica de $G$ en el cociente.

$\blacklozenge$ Dado $\overline H\le G/N$, sabemos que $$\pi^{-1}(\overline H)=\{x\in G\ \vert\ \pi(x)\in \overline H\}\le G.\eqno{(*)}$$
Es m\'{a}s, dado $n\in N$, tenemos que $\pi(n)=\overline e\in \overline H$. As\'{\i} $N\subset \pi^{-1}(\overline H)\le G$.

$\blacklozenge$ Sea ahora $H\le G$ con $N\subset H$. Tenemos entonces que  $$\pi(H)\le G/N.\eqno{(**)}$$ Veamos ahora que estas dos aplicaciones son inversa la una de la otra: Sea $\overline H\le G/N$ y consideremos $H:=\pi^{-1}(\overline H)$. Por definici\'{o}n
$$\pi(H)=\pi(\pi^{-1}(\overline H))\subset \overline H$$
Es m\'{a}s, dado $\overline h\in \overline H$ existe $h\in G$ tal que $\pi(h)=\overline h$ (por tanto $h\in H$), por lo que  $\pi(\pi^{-1}(\overline H))=\overline H$

Sea $H$ un subgrupo de $G$ que contiene a $N$ y sea $\overline H:=\pi(H)$. Por cons\-trucci\'{o}n $$H\subset
\pi^{-1}(\overline H)=\pi^{-1}(\pi(H))$$ por otro lado, dado $x\in  \pi^{-1}(\pi(H))$, tenemos entonces que
$\pi(x)\in \pi(H)$, por lo que existe $h\in H$ tal que $\pi(x)=\pi(h)$ o lo que es lo mismo, $x-h\in
\Ker(\pi)=N$ y por tanto $x=h+n\in H$.\EndProof



\hypertarget{Ejjseis}{}
\section{Ejercicios del Tema}\label{ejj:Ejjseis}
\setcounter{ejj}{0}

\begin{ejj}\rm
 ?`Es $H=\{\rho_0,\tau_3\}$ subgrupo normal de $S_3$?
\end{ejj}


\begin{ejj}\rm
Sea $G$ un grupo y $H$, $K$ son subgrupos normales de $G$. Demuestra que $H\cap K$ es un subgrupo normal de $G$.
\end{ejj}


\begin{ejj}\rm
Sea $G$ un grupo y $H$ un subgrupo normal de $G$. Supongamos que $H'$ es un conjugado de $H$. Demuestra que $H'$ es un subgrupo normal de $G$.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $G$ un grupo con $n$ elementos y sea $a\in G$ tal que $a^m=e$ con $\mcd(n,m)=1$. Demuestra que $a=e$.\hfill\fbox{$*$}
\end{ejj}


\begin{ejj}\rm
Sea $G$ un grupo y sean $H,N$  subgrupos normales de $G$.  Demuestra que $\pi(N)$ es un subgrupo normal de $G/H$ y que $\pi^{-1}(\pi(N))$ es un subgrupo normal de $G$. \hfill\fbox{$*$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Se dice que un grupo $G$ es simple si $G\ne \{e\}$ y los \'{u}nicos subgrupos normales de $G$ son los triviales. Demuestra que si $G$ es un grupo simple y abeliano, entonces $G$ es finito con un n\'{u}mero primo de elementos.\hfill\fbox{$*$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $G$ un grupo. Se dice que un subgrupo (normal) $H$ de $G$ es maximal si para todo subgrupo (normal) $K$ de $G$ tal que $H\subseteq K\subseteq G$ se tiene que $H=K$ o $K=G$. Demuestra que si $H$ es un subgrupo normal de $G$ maximal, entonces $G/H$ es simple. \hfill\fbox{$*$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $G$ un grupo simple. Demuestra que todo homomorfismo $f:G\to G'$, con $G'$ un grupo arbitrario, es inyectivo o nulo.
\end{ejj}
\begin{ejj}\rm
Sea $H$ un subgrupo normal de un grupo $G$. Supongamos que $(G:H)=m$. Demuestra que para todo $a\in G$, $a^m\in H$.\hfill\fbox{$*$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Demuestra que todo subgrupo normal $H$ de $G$ con  $\#H=2$ est\'{a} contenido en el centro de $G$, es decir, $H\subset Z(G)$.\hfill\fbox{$*$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $G$ un grupo y $H\le G$. Demuestra que $N(H)=\{a\in G\ \vert\ aHa^{-1}=H \}$ es un subgrupo de $G$ que contiene a $H$. Demuestra que $H$ es un subgrupo normal de $N(H)$.\hfill\fbox{$*$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $G$ un grupo y $H,\,K$ subgrupos de $G$. Supongamos que $H$ o $K$ es un subgrupo normal de $G$.\hfill\fbox{$*$}
\item{(i)} Demuestra que $HK=\{hk\ \vert\ h\in H,k\in K\}$ es un subgrupo  de $G$.
 \item{(ii)} Si ambos son subgrupos normales, entonces $HK$ es normal en $G$.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $H$ un subgrupo  de $G$ tal que para todo $a\in G$, $a^2\in H$. Demuestra que $H$ es un subgrupo normal de $G$ y que $G/H$ es abeliano.\hfill\fbox{$*$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $G$ un grupo y $H,K$ subgrupos normales de $G$ tales que $H\cap K=\{e\}$. Entonces para todo $h\in H$ y $k\in K$, $hk=kh$.\hfill\fbox{$**$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G$ con $n$ elementos. Demuestra que la intersecci\'{o}n de todos los subgrupos de $G$ con $n$ elementos es un subgrupo normal de $G$.\hfill\fbox{$**$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $H$ un subgrupo normal de $G$ y $K$ un subgrupo normal de $H$. Demuestra que para cada $a\in G$, $aKa^{-1}$ es un subgrupo normal de $H$.\hfill\fbox{$**$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $G$ un grupo. Para todo $a,b\in G$ definimos el conmutador de $a,b$ y lo representamos por $[a,b]$ como $[a,b]=aba^{-1}b^{-1}$. Sea \hfill\fbox{$**$} $$N=\{[a,b]\ \vert \ a,b\in G\}.$$
\item{(i)} Demuestra que $N$ es un subgrupo normal de $G$.
\item{(ii)} Demuestra que $G/N$ es abeliano.
\item{(iii)} Demuestra que si $H$ es un subgrupo normal de $G$ con $G/H$ abeliano, entonces $N\subset H$.
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $G$ un grupo. $H$ un subgrupo normal de $G$ y $K$ un subgrupo normal de $H$. ?`Es $K$ un subgrupo normal de $G$?\hfill\fbox{$**$}
\end{ejj}

\begin{ejj}\rm
Sea $G$ un grupo con $n$ elementos. Supongamos que para cada $m\in \NN$, la ecuaci\'{o}n $X^m=e$ tiene a lo sumo $m$ soluciones. Demuestra que $G$ es c\'{\i}clico.\hfill\fbox{$***$}
\end{ejj}

