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\centerline{\granbf   TEMA 1. } \vskip .1true in \centerline{\granbf   EXTENSIONES DE CUERPOS. } \vskip .2true in


Lecci\'on 1.- Definiciones y ejemplos.\par Lecci\'on 2.- Grado de una extensi\'on. \par Lecci\'on 3.- Extensiones   algebraicas. Extensiones
trascendentes.\par

\vskip .5true in




Las primeras clases de esta asignatura estar\'an dedicadas  a plantear los distintos  problemas cl\'asicos que son contestados   gracias a la
teor\'\i a de Galois.

Se introduce el concepto de construcci\'on con regla y comp\'as y se discuten algunos de los problemas procedentes de dicha teor\'\i a, tales  como
la bisecci\'on y trisecci\'on del \'angulo,  el c\'alculo de la perpendicular o paralela a una recta dada que pase por un punto determinado, la
cuadratura del c\'\i rculo, la duplicaci\'on del cubo, etc. Se discuten soluciones dadas por los alumnos, as\'\i\ como la posibilidad de que  algunas
de las cuestiones anteriores posean una respuesta negativa.

 Por otro lado se discute la resoluci\'on de ecuaciones polin\'omicas. Se
recuerda la f\'ormula de resoluci\'on de la ecuaci\'on de grado dos y se da un sistema general para resolver la de grado tres. Se plantea si  pueden
ser encontradas f\'ormulas similares para grados superiores.

Antes de empezar  con la materia propia de la asignatura hacemos un breve repaso  de los resultados que vamos a necesitar en los primeros temas:
Recordamos el anillo de polinomios sobre un anillo conmutativo y unitario $R$ y lo caracterizamos por su propiedad universal. Recordamos el algoritmo
de la divisi\'on en $F[X]$, con $F$ un cuerpo y obtenemos que $F[X]$ es un D.I.P. Por \'ultimo, se recuerdan las nociones de divisibilidad entre
polinomios, la definici\'on de polinomio irreducible y damos varios criterios que nos permiten concluir si ciertos polinomios son irreducibles.

\subheading{ Definiciones y ejemplos}


 Sea $F$ un cuerpo. Se dir\'a que $(K,\sigma)$ es una  extensi\'on de
$F$ y se denotar\'a por $F\preccurlyeq K$ si $K$ es un cuerpo y $\sigma:F\to K$ es un monomorfismo de anillos unitarios.

Damos dos procesos interesantes para la construcci\'on de extensiones de cuerpos:

1) Sean $F$ un cuerpo y $F[X]$ el anillo de los polinomios con coeficientes en $F$. Dado un polinomio irreducible $f(X)\in F[X]$ se tiene que
$K=F[X]/<f(X)>$ es un cuerpo. Adem\'as, la aplicaci\'on $\sigma: F\to K$ definida por $\sigma(a)=\overline a$ es un monomorfismo de anillos
unitarios. As\'\i, $(K,\sigma)$ es una  extensi\'on de $F$.

2) Sea $(K,\sigma)$ una extensi\'on de $F$ y sea $S\subset K$. Se define $F[S]$ como el menor subanillo de $K$ que contiene a $\sigma(F)$ y a $S$.
 Se denota por $F(S)$ al menor subcuerpo de $K$ que contiene a $\sigma(F)$ y a $S$.
Claramente se tiene que $F[S]\subset F(S)$. Se demuestra que $F(S)$ es el cuerpo de fracciones de $F[S]$ y que  dados $S,T$ dos subconjuntos de $K$,
$F(S)(T)=F(S\cup T)$. Concluimos que para cada subconjunto $S\subset K$ se tiene que $(F(S), \sigma\vert _{F(S)})$ es una extensi\'on  de $F$.

Si $F\preccurlyeq K$, la imagen   $\sigma(F)$ es un subcuerpo de $K$ isomorfo a $F$, por lo que cuando convenga  se  podr\'a considerar $F\subset K$.

\subheading{ Grado de una extensi\'on}

Dada una extensi\'on de cuerpos $F\preccurlyeq K$,  se puede dotar,  de forma natural, a $K$ de estructura de $F$--espacio vectorial.  Se define el
grado de $K$ en $F$ y se representa por $[K:F]$ como la dimensi\'on de  este espacio vectorial.  Si $[K:F]<\infty$ se dice que $K$ es una extensi\'on
finita de $F$. Se calcula entonces el grado de toda extensi\'on del tipo 1): si $F$ es un cuerpo y  $f(X)$ es un polinomio irreducible de $F[X]$ de
grado $n$ se demuestra  que $[K:F]=n$, en donde $K$ denota a  $F[X]/<f(X)>$.

Se pone de manifiesto  que la propiedad de ser una extensi\'on finita es una propie\-dad transitiva dentro de las extensiones de cuerpos. Es m\'as,
se demuestra que  $[K:F]=[K:L][L:F]$ para $F,L$ y $K$ tres cuerpos tales que $F\preccurlyeq L\preccurlyeq K$.

Para finalizar la secci\'on se introduce el concepto de extensi\'on simple de cuerpos (se dice que una extensi\'on de cuerpos  $F\preccurlyeq K$ es
simple si existe $u\in K$ tal que $K=F(u)$; en este caso se dir\'a que  $u$  es un elemento primitivo de la extensi\'on) y se demuestra  que toda
extensi\'on del tipo 1), as\'\i \ como toda extensi\'on de grado primo, es simple.

\subheading{ Extensiones   algebraicas. Extensiones trascendentes}


Sea $F\preccurlyeq K$ una extensi\'on de cuerpos y sea $u\in K$. Se considera  el anillo de polinomios $F[X]$ con coeficientes en $F$. Por la
propiedad universal de los anillos de polinomios existe un \'unico homomorfismo de anillos $\phi: F[X]\to K$ tal que $\phi\vert_F=Id\vert_F$ y
$\phi(X)=u$. En estas condiciones se tiene que  $Im (\phi)=F[u]$ y que, al ser $F[X]$ un dominio de ideales principales,  existe $f(X)\in F[X]$ tal
que $Ker( \phi)=<f(X)>$. Tenemos dos posibilidades mutuamente excluyentes:

1) Si $Ker (\phi)=\{0\}$, entonces $F[X]\approxeq Im(\phi)=F[u]$ y por tanto $[F(u):F]=\infty$. En este caso  se dice que $u$ es trascendente sobre
$F$.

2) Si $\{0\}\ne Ker(\phi)=<f(X)>$, entonces es f\'acil ver que $f(X)$ es un polinomio irreducible de $F[X]$ y por tanto, aplicando el Primer Teorema
de Isomorf\'{\i}a, $F[u]=Im(\phi)\cong F[X]/<f(X)>$ es un cuerpo. As\'\i,  $F[u]=F(u)$ y  $[F(u):F]=deg (f(X))$. En este caso se dice que $u$ es
algebraico sobre $F$.

Reuniendo la informaci\'on obtenida tendremos,  respectivamente, la caracterizaci\'on de elemento trascendente y de elemento algebraico:

 Sea $F\preccurlyeq K$ una extensi\'on de cuerpos y sea $u\in K$. Las
siguientes condiciones son equivalentes: \roster
\item $u$ es trascendente sobre $F$.
\item $F[u]\cong F[X]$.
\item $F(u)\cong F(X)$.
\item $[F(u):F]=\infty$.
\endroster


 Sea $F\preccurlyeq K$ una extensi\'on de cuerpos y sea $u\in K$. Las
si\-guientes condiciones son equivalentes: \roster
\item $u$ es algebraico sobre $F$.
\item Existe un (\'unico) polinomio (m\'onico) irreducible $f(X)\in F[X]$ tal que $u$ es ra\'\i z
de $f(X)$.
\item $F[u]=F(u)\cong F[X]/<f(X)>$.
\item $[F(u):F]<\infty$.
\endroster
Adem\'as, en este caso $[F(u):F]=deg (f(X))$. Este \'unico polinomio m\'onico irreducible sobre $F$ que anula a $u$ ser\'a llamado el polinomio m\'\i
nimo de $u$ sobre $F$.


 A continuaci\'on se define cu\'ando una extensi\'on de cuerpos  es
algebraica,  trascendente y finitamente generada, y se relacionan estos  conceptos   demostrando que si
  $F\preccurlyeq K$ es una extensi\'on de cuerpos, es equivalente que  sea finita a que sea
 finitamente generada y  algebraica, o a que sea
de la forma $K=F(u_1,u_2,\hdots,u_n)$, con $u_i$ elemento de $K$ algebraico sobre $F$ para $i=1,2,\hdots, n$.

Se define la clausura algebraica de una extensi\'on de cuerpos
 $F\preccurlyeq K$ como el conjunto
$\Cal A_K(F)=\{u\in K\ \vert\ \text{ $u$ es algebraico sobre $F$ }\}$, y se prueba que es un subcuerpo de $K$. Se demuestra tambi\'en que la
propiedad de ser una extensi\'on algebraica es una propiedad transitiva  dentro de las extensiones de cuerpos.

Para finalizar la secci\'on se introduce la noci\'on de cuerpo algebraicamente cerrado y se caracteriza dicho concepto de varias maneras
interesantes.

\newpage





\centerline{\granbf   TEMA 2. } \vskip .1true in \centerline{\granbf   CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMP\'AS. } \vskip .2true in


Lecci\'on 4.- Definiciones previas.\par Lecci\'on 5.- Criterios de constructibilidad. \par Lecci\'on 6.- Aplicaciones.\par

\vskip .5true in

En estos momentos ya podemos abordar algunos de los problemas cl\'asicos de construcciones con regla y comp\'as. La  idea clave para resolver estos
problemas est\'a simplemente en  mirarlos  desde otro punto de vista, y que esto, y no resultados complicados en s\'\i, es lo que nos permite
resolverlos.


\subheading{Definiciones previas}

Sea $\Bbb R$ el cuerpo de los n\'umeros reales  y  $\Bbb R^2$ el plano geom\'etrico. Denotemos por $S$ a un subconjunto de $\Bbb R^2$ que contenga a
$\{(0,0), (1,0)\}$.

 Se dir\'a que una recta $r$ es construible a
partir de $S$ si contiene dos puntos distintos de $S$.
 Se dir\'a que una circunferencia $c$ es construible a
partir de $S$ si el centro es un punto de $S$ y el radio es la distancia entre dos puntos de $S$.  Se define el conjunto de puntos  construible a
partir de $S$ y se denota por $G(S)$ como $\cup_{n\in \Bbb N} S_n$ en donde $S_n$ se define de forma inductiva como sigue: $S_1=S$; $S_n$ son puntos
de intersecciones de dos rectas (distintas), una recta y una circunferencia o dos circunferencias (distintas) construibles a partir de $S_{n-1}$.
Diremos que un punto $p$ es construible si pertenece a $G(S)$. Diremos que una recta o una circunferencia  es construible si es construible a partir
de $G(S)$

 Se demuestra que si
 $p$ y $r$ son respectivamente  un punto y una recta construible, entonces  tanto
la
 recta perpendicular   como
la recta paralela a $r$ que pasan por $p$ es   construible.

En este momento  se identifican los puntos del plano geom\'etrico $\Bbb R^2$ con el cuerpo de los complejos. El conjugado de un elemento $z=a+bi\in
\Bbb C$ se denota por $\overline z$. Dado el subconjunto $S$,  como subconjunto de $\Bbb C$, se denota por $\overline S$ a $\{z,\overline z,\ \vert\
z\in S\}$

Se demuestra que si $S$ es un subconjunto de $\Bbb C$, la suma, el producto, el cociente, los conjugados y las ra\'\i ces cuadradas de elementos
construibles son construibles. Es m\'as, se demuestra que
 $G(S)$ es el menor subcuerpo de $\Bbb C$ que contiene a $S$  y es cerrado para
conjugados y ra\'\i ces cuadradas.

\newpage
\subheading{ Criterios de constructividad}

Dado un cuerpo  $F$, se define una extensi\'on de torres de ra\'{\i}ces cuadradas sobre $F$ como una cadena
$$F=F(u_0)\subset F(u_1)\subset F(u_1,u_2)\subset \dotsb \subset F(u_1,u_2,\hdots, u_n)$$
tal que  $u_i^2\in F(u_1,u_2,\hdots, u_{i-1})$ para  $i\in \{1,2,\hdots, n\}$.

Un resultado que ser\'a muy \'util en la pr\'actica es que  si la caracter\'{\i}stica de $F$ es distinta de dos, una extensi\'on $K$ de $F$ es de
grado dos si y s\'olo si existe $x\in K$ tal que $K=F(x)$ con $x^2\in F$.

Se demuestra entonces que dado un conjunto $S$ en las condiciones del tema,  un punto
 $z\in \Bbb C$ es construible si y s\'olo si
 existe una extensi\'on de torres de ra\'{\i}ces cuadradas sobre $F=\Bbb Q(\overline S)$,
$$F=F(u_0)\subset F(u_1)\subset F(u_1,u_2)\subset \dotsb \subset F(u_1,u_2,\hdots, u_n)$$ tal que
$z\in  F(u_1,u_2,\hdots, u_n)$.

Como corolario se obtiene que si $z$ es un punto construible, $[ F(z), F ]=2^n$.

\subheading{Aplicaciones}

En esta lecci\'on estudiamos cada uno de los problemas cl\'asicos ya mencionados. As\'\i, se ve que no siempre es posible construir con regla y
comp\'as un cubo de volumen el doble a uno dado. Se demuestra que el cubo de arista $1$ no se puede duplicar. En ejercicios se ver\'a que hay cubos a
los que se les puede duplicar el volumen, con o sin  necesidad de usar su arista como  dato.


Se estudia ahora el problema de la trisecci\'on del \'angulo. Se define cu\'ando un \'angulo es construible y se demuestra que  un \'angulo $\alpha$
es construible (con regla y comp\'as)  si y s\'olo si $z=e^{i\alpha}=cos(\alpha)+sen(\alpha)i$ es construible,  y esto sucede si y s\'olo si se puede
construir $sen (\alpha)$ o $\cos (\alpha)$. Se demuestra que existen \'angulos que no se pueden trisecar. Como en el caso de la duplicaci\'on del
cubo, se demuestra que existen \'angulos, digamos $\alpha$, que se pueden trisecar simplemente porque el \'angulo $\alpha/3$ es construible a partir
de $S=\{0,1\}$, y otros que para poder trisecarlos hace falta partir del dato inicial.


Continuamos el tema dando una respuesta parcial a la pregunta de qu\'e pol\'{\i}gonos regulares se pueden construir con regla y comp\'as.  M\'as
adelante, cuando tengamos el Teorema Fundamental de la Teor\'\i a  de Galois, la contestaremos en su totalidad. Estudiamos
 la construcci\'on de pol\'{\i}gonos regulares con un n\'umero primo $p$  de lados, llegando a la
conclusi\'on que son construibles si y s\'olo si $p$ es un primo de Fermat, es decir, $p$ es un n\'umero primo de la forma $2^{(2^n)}+1$. Por tanto,
se establece que se pueden construir los pol\'{\i}gonos regulares de $3,5,17,257$ y $ 65537$ lados

Por \'ultimo, gracias al resultado de F. Lindemann que establece que $\pi$ es trascendente, se demuestra que  no es posible cuadrar el c\'\i rculo.

\newpage


\centerline{\granbf   TEMA 3. } \vskip .1true in

\centerline{\granbf   CUERPOS DE DESCOMPOSICI\'ON. } \vskip .2true in

Lecci\'on \ 7.- Cuerpo de descomposici\'on de un polinomio.\par Lecci\'on \ 8.- Extensiones de isomorfismos a extensiones simples.\par Lecci\'on \
9.-  Unicidad (salvo isomorfismo) del cuerpo de descomposici\'on.\par Lecci\'on 10.- Clausura algebraica.\par \vskip .5true in

\subheading{Cuerpo de descomposici\'on de un polinomio}

Sean $F$ un cuerpo,  $f(X)\in F[X]$ y $K$ una extensi\'on de $F$. Se dice que $f(X)$ se descompone totalmente en $K$ si  existen
$c,u_1,u_2,\hdots,u_n\in K$ tales que $f(X)=c (X-u_1)(X-u_2)\dotsb(X-u_n)\in K[X]$ (obs\'ervese que $c\in F$). Si adem\'as $K=F(u_1,u_2,\hdots,u_n)$
se dice que $K$ es cuerpo de descomposici\'on de $f(X)$ sobre $F$. En general, dada una familia de polinomios $\Cal F=\{f_i\vert\ i\in I\}$ y una
extensi\'on $K$ de $F$, se dice que $K$ es  cuerpo de descomposici\'on de la familia $\Cal F$  si para cualquier $i\in I$, $f_i(X)$ se descompone en
$K$ y $K=F(S)$, en donde $S$ es el conjunto de todas las ra\'\i ces de los polinomios de $\Cal F$.

Usando el hecho conocido de que todo polinomio se factoriza como producto de polinomios irreducibles y de que dado un polinomio irreducible $f(X)\in
F[X]$ existe una extensi\'on $K$ de $F$ que contiene una ra\'\i z de $f(X)$, se demuestra, por un proceso inductivo, que todo polinomio posee, al
menos, un  cuerpo de descomposici\'on. Adem\'as, si $f(X)$ tiene grado $n$ y $K$ es un cuerpo de descomposici\'on de $f(X)$ sobre $F$,  $[K:F]\le
n!$.


\subheading{Extensiones de isomorfismos a extensiones simples}


Sean $F\preccurlyeq K$  y $F^\prime\preccurlyeq K^\prime$ dos extensiones de cuerpos y $\sigma: F\to F^\prime$ un isomorfismo de cuerpos. Se dice que
$\sigma^\prime:K\to K^\prime$  es un isomorfismo extensi\'on de $\sigma$ si $\sigma^\prime$ es un isomorfismo de cuerpos tal que
$\sigma^\prime\vert_F=\sigma$.


Dados dos cuerpos $F$ y $F^\prime$  y $\sigma:F\to F^\prime$ un isomorfismo de cuerpos, se denotar\'a por   $\phi_\sigma:F[X]\to F^\prime[X]$ al
\'unico isomorfismo de anillos  que verifica que $\phi_\sigma\vert_F=\sigma$ y $\phi_\sigma(X)=X$. En lo que sigue denotaremos por
$p^\sigma(X):=\phi_\sigma(p(X))$. De este hecho se deduce un primer resultado de extensi\'on de isomorfismos a extensiones simples, ya que dado un
polinomio irreducible $f(X)\in F[X]$, $$F[X]/<f(X)>\cong F^\prime[X]/<f^\sigma(X)>.$$ Por tanto, dados dos cuerpos $F$ y $F^\prime$, un isomorfismo
 $\sigma:F\to F^\prime$ de cuerpos y dos extensiones algebraicas (y simples) de $F$ y $F^\prime$
(respectivamente denotadas por $F(u)$ y $F^\prime(v)$), es equivalente el que
  $p(X)\in F[X]$ polinomio m\'{\i}nimo de $u$ sobre $F$, implique que
$p^\sigma(X)\in F^\prime [X]$ sea el polinomio m\'{\i}nimo de $v$ sobre $F^\prime$  a que exista un (\'unico) isomorfismo de anillos
$\sigma^\prime:F(u)\to F^\prime(v)$ que extienda a $\sigma$ con $\sigma^\prime(u)=v$. Adem\'as, en tal caso, el n\'umero de isomorfismos
$\sigma^\prime:F(u)\to F^\prime(v)$ que extienden a $\sigma$ coincide con el n\'umero de ra\'\i ces distintas que posea $p^\sigma(X)$ en
$F^\prime(v)$.


\subheading{Unicidad (salvo isomorfismo) del cuerpo de descomposici\'on}

En esta secci\'on  vamos a demostrar la unicidad, salvo isomorfismo, del cuerpo de descomposici\'on de un polinomio. Adem\'as,  vamos a obtener
informaci\'on sobre el n\'umero de automorfismos en ciertas extensiones de cuerpos.


 Sean $F$ y $F^\prime$ dos cuerpos y $\sigma:F\to F^\prime$ un isomorfismo de
cuerpos. Sea $f(X)\in F[X]$ un polinomio y consideremos $f^\sigma(X)\in F^\prime[X]$. Sean $K$ y $K^\prime$ cuerpos de descomposici\'on
respectivamente de $f(X)$  sobre $F$ y $f^\sigma(X)$ sobre $F^\prime$. En estas condiciones se demuestra que  $K$ es isomorfo a $ K^\prime$ y que  el
n\'umero de   isomorfismos $\sigma^\prime:K\to K^\prime$ que extienden a $\sigma$ es menor o igual que $[K:F]$, coincidiendo con este \'ultimo cuando
todas las ra\'\i ces de $f^\sigma(X)$ en $K^\prime$ son distintas.



 Sea $F\preccurlyeq K$ una extensi\'on de cuerpos. Se dice que un
automorfismo $\sigma: K\to K$ es un F--automorfismo si $\sigma$ extiende a la identidad en $F$.

Como corolario al teorema anterior se obtiene que el cuerpo de descomposici\'on de un polinomio $f(X)\in F[X]$, digamos $K$, es \'unico salvo
$F$--automorfismos y que el n\'umero de tales $F$--automorfismos es menor o igual  que el grado de la extensi\'on $F\preccurlyeq K$, coincidiendo con
este  cuando todas las ra\'\i ces de $f(X)$ en $K$ son distintas.

\subheading{Clausura algebraica}

Se define la clausura algebraica de un cuerpo $F$, y se denota  por $\overline F$, como un cuerpo $K$ extensi\'on algebraica de $F$ tal que todo
polinomio de $F$ se descompone en $\overline F$. Se prueba que la clausura algebraica de un cuerpo   es algebraicamente cerrada. Se demuestra
 que  todo cuerpo $F$ est\'a contenido en un cuerpo $K$
algebraicamente cerrado y que la clausura algebraica de $F$ en este cuerpo algebraicamente cerrado $K$ es justamente la clausura algebraica de $F$.
Por \'ultimo se demuestra la unicidad, salvo isomorfismos, de la clausura algebraica. Hacemos notar que
 ambos resultados, tanto el de existencia como el de unicidad de la clausura algebraica,  hacen uso
del Lema de Zorn.

\newpage

\centerline{\granbf   TEMA 4. } \vskip .1true in

 \centerline{\granbf   EXTENSIONES NORMALES.}
\endtopmatter

\vskip .2true in

Lecci\'on 11.- Definiciones y ejemplos.\par Lecci\'on 12.- Distintas caracterizaciones de extensi\'on normal.\par Lecci\'on 13.- Algunas propiedades
de las extensiones normales.\par \vskip .5true in



\subheading{Definiciones y ejemplos}

Dada una extensi\'on de cuerpos $F\preccurlyeq K$, se dice que dos elementos $u,v\in K$ son conjugados sobre $F$ si poseen el mismo polinomio
m\'{\i}nimo sobre $F$.
 Una extensi\'on de cuerpos $F\preccurlyeq K$ se dice que es normal si es cerrada para
conjugados, es decir, para cualquier extensi\'on $L$ de $K$, si $u\in K$ y $v\in L$ son conjugados sobre $F$, entonces $v\in K$.

Se dan algunos ejemplos de extensiones normales y se demuestra que  si $F\preccurlyeq K$ es una extensi\'on cuerpos de grado dos, o si $K$ es un
cuerpo
 algebraicamente cerrado, la extensi\'on es normal.


\subheading{Distintas caracterizaciones de extensi\'on normal}

Se da una primera caracterizaci\'on de extensi\'on normal como aquella extensi\'on de cuerpos $F\preccurlyeq K$ tal que los polinomios irreducibles
de $ F[X]$ que poseen una ra\'\i z en $K$ se descomponen en $K$.

 Caracterizamos entonces las extensiones de cuerpos, $F\preccurlyeq
K$, que son normales y algebraicas  como aqu\'ellas en las que
 $K$ es el cuerpo de descomposici\'on de una familia de polinomios de $ F[X]$. Como
corolario se obtiene que una extensi\'on de cuerpos, $F\preccurlyeq K$, es normal y finita si y s\'olo si $K$ es el cuerpo de descomposici\'on de un
polinomio $f(X)\in F[X]$.

Se  observa que si $F\preccurlyeq K$ es una extensi\'on normal y $L$ es un cuerpo intermedio, entonces $L\preccurlyeq K$ es tambi\'en normal y que
$F\preccurlyeq L$ no tiene por qu\'e serlo.


\subheading{Algunas propiedades de las extensiones normales}

 En esta secci\'on  se caracterizar\'a el
conjunto de soluciones de un polinomio irreducible $f(X)\in F$ con una ra\'\i z, digamos  $u$, en una extensi\'on normal $K$ de $F$ como el conjunto
de las im\'agenes de $u$ por cada uno de los $F$--automorfismos de $K$. Para concluir se demuestra que si $F\preccurlyeq K$ es una extensi\'on
algebraica de cuerpos y  $L$ es un cuerpo intermedio entre $F$ y $K$, entonces, la extensi\'on $F\preccurlyeq L$ es normal si y s\'olo si para todo
$F$--automorfismo $\sigma:K\to K$, se verifica que $\sigma(L)\subset L$. Este resultado  ser\'a de utilidad para el c\'alculo del grupo de Galois de
una extensi\'on de Galois.

\newpage

\centerline{\granbf   TEMA 5. } \vskip .1true in \centerline{\granbf   EXTENSIONES SEPARABLES.}
\endtopmatter

\vskip .2true in

Lecci\'on 14.- Derivada formal.\par Lecci\'on 15.- Extensiones separables. Cuerpos perfectos.\par \vskip .5true in



\subheading{Derivada formal}


Se define la derivada formal de un polinomio y se comprueba que verifica propie\-da\-des an\'alogas a las usuales. Se caracterizan los polinomios
$f(X)\in F[X]$ que poseen una ra\'\i z doble (en el cuerpo de descomposici\'on de $f(X)$ sobre $F$) como aqu\'ellos que verifican que $f(x)$ y
$D(f(X))$  no son primos relativos.


\subheading{Extensiones separables. Cuerpos perfectos}

Sea $F$ un cuerpo. Se dice que un polinomio irreducible $f(X)\in F[X]$ es separable si no posee ra\'\i ces m\'ultiples en un cuerpo de
descomposici\'on de $f(X)$ sobre $F$. Se  observa que  la definici\'on anterior es independiente del cuerpo de descomposici\'on que tomemos. Se dice
que un polinomio $f(X)\in F[X]$ es separables si lo es cada uno de sus factores irreducibles.

Se caracterizan los polinomios irreducibles $f(X)\in F[X]$ que son separables como aqu\'ellos tales que $Df(X)\ne 0$. Como consecuencia se obtiene
que todo polinomio en un cuerpo de caracter\'\i stica cero es separable y que los polinomios irreducibles y no separables en cuerpos de
caracter\'{\i}stica $p$ se caracterizan por ser de la forma $f(X)=g(X^p)$ con $g(X)\in F[X]$

Una extensi\'on de cuerpos,  $F\preccurlyeq K$, se dice que es separable si es algebraica y todo polinomio irreducible de $F$ con una ra\'\i z en $K$
es separable. Un cuerpo se dice que es perfecto si toda extensi\'on algebraica suya es separable. Se obtiene por tanto que los cuerpos de
caracter\'\i stica cero son perfectos y que
 los cuerpos perfectos de caracter\'{\i}stica $p$ son aqu\'ellos tales que todo elemento
admite una ra\'\i z $p$-\'esima  (es decir, dado $u\in F$, existe $v\in F$ tal que $v^p=u$).


Para concluir se demuestra que todo cuerpo finito es perfecto y  se da un ejemplo de cuerpo no perfecto.

\newpage



\centerline{\granbf   TEMA 6. } \vskip .1true in \centerline{\granbf  CUERPOS FINITOS.}

\vskip .2true in Lecci\'on 16.- Cuerpos finitos.
\endtopmatter




En este tema vamos a clasificar todos los cuerpos finitos. As\'\i, como los ani\-llos de divisi\'on
  y los dominio de integridad finitos  son
cuerpos   tendremos tambi\'en clasificadas estas estructuras.

Como primer resultado se recuerda que si $F$ es un cuerpo finito  existe $p\in \Bbb Z$ ($p$ es la caracter\'\i stica de $F$) tal que $F$ es
extensi\'on de $\Bbb Z_p$. Como consecuencia se obtiene que $\#F=p^n$ en donde $n=[F:\Bbb Z_p]$.

Haciendo uso de la clasificaci\'on de los grupos abelianos finitos y del  hecho de que un polinomio de grado $n$ tiene a lo sumo $n$ ra\'{\i}ces se
demostrar\'a que cualquier subgrupo finito del grupo multiplicativo  de un cuerpo es c\'\i clico. Esto  probar\'a que todo cuerpo  finito es
extensi\'on primitiva de su cuerpo primo.

Asimismo se ver\'a que si $F$ es un  cuerpo finito con $p^n$ elementos, $F$ es isomorfo al cuerpo de descomposici\'on sobre $\Bbb Z_p$ del polinomio
$X^{n-1}-1\in \Bbb Z_p[X]$. Esto  implica que todo cuerpo finito es  extensi\'on normal y separable de su cuerpo primo, as\'\i\ como  da la clave
para demostrar el Teorema de Galois que afirma que para cada primo $p$ y cada natural $n$ existe un \'unico
 cuerpo  con $p^n$ elementos.

\newpage



\centerline{\granbf   TEMA 7.} \vskip .1true in \centerline{\granbf  LA CORRESPONDENCIA DE GALOIS. }

\vskip .2true in

Lecci\'on 17.- El grupo de Galois.\par Lecci\'on 18.- Teorema de Artin.\par Lecci\'on 19.- Teorema Fundamental de la Teor\'\i a de Galois.\par
\endtopmatter

En este cap\'\i tulo vamos a desarrollar el resultado central de la Teor\'\i a de Galois, en donde se establece  una correspondencia biyectiva entre
los cuerpos intermedios de una extensi\'on  normal, separable y finita y los subgrupos de cierto grupo finito (el grupo de Galois de la extensi\'on).
 Este resultado  permitir\'a demostrar la exis\-tencia de ecuaciones polin\'omicas  no
resolubles por radicales as\'\i\  como abordar de forma definitiva ciertos problemas de construcciones con regla y comp\'as. M\'as adelante, en
ejercicios, se usar\'a este resultado para calcular las ra\'\i ces de ciertos polinomios separables.


\subheading{El grupo de Galois}


Se comienza la secci\'on definiendo el grupo de Galois,  $Gal_F(K)$, de una extensi\'on de cuerpos $F\preccurlyeq K$. Se prueba que si $K$ es una
extensi\'on finitamente generada de un cuerpo $F$,  $K= F(u_1,u_2,\hdots,u_n)$, y consideramos $\sigma\in Gal_F(K)$, entonces: 1) $\sigma$ queda
determinada una vez que se conoce la imagen de  $u_i$, para $i=1,2,\hdots, n$. 2)
  $u_i$ y $\sigma(u_i)$ son conjugados sobre $F$, para
$i=1,2,\hdots, n$. A continuaci\'on se calcula el grupo de Galois de distintas extensiones.

Dado una extensi\'on de cuerpos  $F\preccurlyeq K$ se definen los siguientes conjuntos:
$$\align \Cal S&=\{ L\ \vert\ \text { $L$ es un   cuerpo intermedio entre $F$ y $K$}\},\\
\Cal T&=\{ H \vert \text{ $H$ es un subgrupo del grupo de Galois de $F\preccurlyeq K$}\},
\endalign$$

y las siguientes aplicaciones: \roster
\item $\phi:\Cal S\to \Cal T$, en donde para cada cuerpo $L\in \Cal S$ definimos
$\phi(L)=Gal_L(K)$, y
\item $\Phi:\Cal T\to \Cal S$, en donde para cada subgrupo $H\in \Cal T$ definimos
$\Phi(H)=Inv(H):=\{a\in K\ \vert\ f(a)=a \quad \forall\  f\in H\}$.
\endroster
 Se demuestran entonces las siguiente propiedades:
\roster
\item"(i)" Si $H_1\subset H_2$, $Inv(H_2)\subset Inv(H_1)$.
\item"(ii)" Si $L_1\subset L_2$, $Gal_{L_2}(K)\subset Gal_{L_1}(K)$.
\item"(iii)" $F\subset Inv(Gal_F(K))$.
\item"(iv)" $Gal_F(K)=Gal_{Inv(G)}(K)$, en donde $G$ denota $Gal_F(K)$.
\endroster


\subheading{El Teorema de Artin}

Se comienza la secci\'on haciendo notar que  el cuerpo de descomposici\'on de un polinomio separable coincide con el cuerpo de descomposici\'on de un
polinomio sin ra\'{\i}ces dobles. De aqu\'\i\   se deduce, gracias al Teorema de Unicidad del Cuerpo de Descomposici\'on de un polinomio, que si
 $F$ es un cuerpo, $f(X)\in F[X]$ un polinomio separable y
$K$  el cuerpo de descomposici\'on de $f(X)$ sobre $F$, $\#Gal_F(K)=[K:F]$.


Se enuncia y demuestra el Teorema de Artin que establece que si $K$ es un cuerpo y  $H$ un subgrupo finito  de $Aut(K)$, entonces $[K:Inv(H)]\le
\#H$.

\subheading{Teorema Fundamental de la Teor\'\i a de Galois}


Se define una extensi\'on de  Galois como una extensi\'on de cuerpos
 normal finita y separable.

Se caracteriza una extensi\'on de Galois como una extensi\'on de cuerpos, d\'{\i}gase $F\preccurlyeq K$, tal que verifica alguna de las siguientes
condiciones equivalentes: 1) Existe  un polinomio separable $f(X)\in F[X]$ tal que $K$ es el cuerpo de des\-composici\'on de  $f(X)$ sobre $F$. 2)
$F=Inv(G)$ para $G$ un subgrupo finito de $Aut(K)$. Adem\'as en las condiciones de 1), si tomamos como $G=Gal_F(K)$, $Inv(G)=F$; y en las condiciones
de 2), $Gal_F(K)=G$.

Estamos entonces ya en condiciones de dar el resultado central de la Teor\'\i a de Galois: sea  $F\preccurlyeq K$ una extensi\'on de Galois y
$$\align \Cal S&=\{ L\vert\text { $L$ es
un   cuerpo intermedio entre $F$ y $K$}\},\\
\Cal T&=\{ H \vert \text{ $H$ es un subgrupo del grupo de Galois de $F\preccurlyeq K$}\}.
\endalign$$
Entonces las aplicaciones:
$$\matrix{\matrix \phi:&\Cal S&\to &\Cal T\\ &L&\mapsto& Gal_L(K)\endmatrix}&\qquad &{\matrix
\Phi:&\Cal T&\to &\Cal S\\ &H&\mapsto& Inv(H)\endmatrix}\endmatrix$$ son inversa la una de la otra. Adem\'as: \roster
\item"(i)" $H_1\subset H_2$ si y s\'olo si $\Phi(H_2)\subset \Phi(H_1)$.
\item"(ii)" $\#H=[K:Inv(H)]$.
\item"(iii)"  $[Gal_F(K):H]=[Inv(H):F]$.
\item"(iv)" $H$ es un subgrupo normal de $Gal_F(K)$ si y s\'olo si la extensi\'on $F\preccurlyeq
Inv(H)$ es normal. Adem\'as, en este caso, $Gal_F{Inv(H)}\cong G/H$.
\endroster


Para concluir esta lecci\'on damos un resultado que  ser\'a de utilidad a la hora de estudiar el grupo de Galois de ciertas extensiones y que
establece que si
  $F\preccurlyeq K$ es una extensi\'on de Galois y $L_1$ y $L_2$ son dos cuerpos
intermedios entre $F$ y $K$ tales que:\par 1) $F\preccurlyeq L_i$ sea una extensi\'on de Galois para $i=1,2$,\par 2) $L_1\cap L_2=F$,\par 3)
$F(L_1\cup L_2)=K$,\newline entonces $Gal_F(K)=Gal_F(L_1)\times Gal_F(L_2)$.


\newpage

\centerline{\granbf   TEMA 8.} \vskip .1true in \centerline{\granbf  CONSECUENCIAS DE LA TEOR\'IA DE GALOIS. }

\vskip .2true in

Lecci\'on 20.- Reencuentro con la Teor\'\i a de Grupos.\par Lecci\'on 21.-  Construcciones con regla y comp\'as.\par Lecci\'on 22.- Teorema del
Elemento Primitivo.\par

\endtopmatter

\subheading{Reencuentro con la Teor\'\i a de Grupos}

En esta lecci\'on vamos a dar los resultados de Teor\'\i a de Grupos que  ser\'an necesarios en  temas los siguientes temas. Por tratarse de
resultados que se encuentran en los \'ultimos temas de la asignatura de Introducci\'on al \'Algebra, algunos a\~nos
 hay simplemente que recordar los conceptos mientras que otros \'estos tienen que ser explicados
con detalle. No obstante, los resultados en Teor\'\i a de Grupos que vamos a necesitar son los siguientes:

Comenzamos introduciendo la noci\'on de acci\'on de un grupo sobre un conjunto y las nociones que involucra encaminados para dar la f\'ormula de
ecuaci\'on de clase. Con este resultado demostramos el Teorema de Cauchy que asegura que para todo n\'umero primo $p$ que divide al orden de un grupo
$G$
 existe un elemento $g\in G$ de orden $p$. Se introduce la noci\'on de $p$-subgrupo de Sylow y
se demuestra el primer Teorema de Sylow.  Se define el subgrupo conmutador de un grupo $G$ y se ven algunas propiedades asociadas a \'el.

 Se define la serie derivada de un grupo $G$ y
la noci\'on de grupo soluble. Se caracteriza un grupo soluble como aqu\'el en el que existe una sucesi\'on de subgrupos $H_0\triangleleft
H_1\triangleleft\dotsb \triangleleft H_n=G$ tales que $H_i/H_{i-1}$ es abeliano y se demuestra que si $G$ es finito incluso se puede  conseguir que
los cocientes $H_i/H_{i-1}$ sean isomorfos a $\Bbb Z_{p_i}$ para ciertos  $p_i$  n\'umeros primos. Por \'ultimo se demuestra que $S_n$ es soluble si
y s\'olo si $n\le 4$.

Finalmente, y dependiendo del tiempo del que dispongamos, se demuestran el Segundo y el Tercer Teorema de Sylow.

\subheading{Construcciones con regla y comp\'as}

Usando el Teorema Fundamental de la Teor\'\i a de Galois,  se demuestra un segundo criterio de constructividad que  caracteriza a los elementos
construibles con regla y comp\'as a partir de un conjunto de datos $S$ como los elementos  algebraico $\alpha\in \Bbb C$ tales que  $[K:\Bbb
Q(\overline S)]$ es potencia de dos, en donde $K$ es el cuerpo de descomposici\'on del polinomio m\'\i nimo de $\alpha$ sobre $\Bbb Q(\overline S)$,
o lo que es equivalente, si el grupo de Galois de la extensi\'on $\Bbb Q(\overline S)\subset K$ es un $2$--grupo.

En estos momentos ya podemos demostrar  que un pol\'\i gono regular de $n$ lados es  construible con regla y comp\'as  si y s\'olo si $\phi(n)=2^n$,
en donde $\phi$ denota la funci\'on de Euler. Por \'ultimo se demuestra que esto sucede si y s\'olo si $n=2^kp_1\dotsb p_n$, con $k\in \Bbb N$ y los
$p_i$ primos distintos de Fermat.


\subheading{Teorema del Elemento Primitivo}

Comenzamos la secci\'on con una caracterizaci\'on, dada por Steinitz, de las extensiones de cuerpos que poseen un elemento primitivo. A saber: Una
extensi\'on de cuerpos  $F\preccurlyeq K$ de grado finito es simple si y s\'olo si existen un n\'umero finito de cuerpos intermedios entre $F$ y $K$.

Como consecuencia de esta caracterizaci\'on, y de un resultado visto en ejercicios que asegura que dada $F\preccurlyeq K$  una extensi\'on finita y
separable, existe un cuerpo $L$ extensi\'on de $K$ tal que $F\preccurlyeq L$ es de Galois, se demuestra el Teorema del Elemento Primitivo: toda
extensi\'on finita y separable es primitiva.


\newpage



\centerline{\granbf   TEMA 9.} \vskip .1true in \centerline{\granbf  RESOLUBILIDAD DE ECUACIONES POR RADICALES. }

\vskip .2true in



Lecci\'on 23.- Resolubilidad de ecuaciones por radicales.\par Lecci\'on 24.- El grupo de Galois visto como subgrupo del grupo sim\'etrico.\par
Lecci\'on 25.- Resoluci\'on de la ecuaci\'on general de grado $n$.\par
\endtopmatter




\subheading{Resolubilidad de ecuaciones por radicales}


Se comienza la lecci\'on dando la noci\'on intuitiva de  polinomio resoluble por radi\-cales. A continuaci\'on se da una definici\'on formal de dicho
concepto: una extensi\'on de torre radical sobre un cuerpo $F$ es una cadena de cuerpos,
$$F=F_1\subset F_2\subset \dotsb\subset F_n$$
tal que  para cada $i\in \{1,2,\hdots,n-1\}$, $F_{i+1}=F_i(d_i)$ con $d_i^{n_i}\in F_i$ para  cierto $n_i\in \Bbb N$.
 Un polinomio $f(X)\in F[X]$ se dice que es resoluble
por radicales sobre $F$ si existe una torre radical $F=F_1\subset F_2\subset \dotsb\subset F_n$ tal que $f(X)$ se descompone en $F_n$.

Se define el grupo de Galois de un polinomio $f(X)\in F[X]$ como el grupo de Galois de la extensi\'on $F\subset K$ en donde $K$ es el cuerpo de
descomposici\'on de  $f(X)$ sobre $F$. Se hace notar que al ser el cuerpo de descomposici\'on \'unico salvo isomorfismos, el grupo de Galois de un
polinomio es independiente  del cuerpo de descomposici\'on que tomemos.

Lo que sigue de lecci\'on se dedica a probar el criterio de resolubilidad por radicales de Galois. A saber, si $F$ es un cuerpo de caracter\'\i stica
cero y $f(X)\in F[X]$, entonces $f(X)$ es resoluble por radicales sobre $F$ si y s\'olo si el grupo de Galois de $f(X)$ sobre $F$ es soluble.

Para demostrar que  el  grupo de Galois de un polinomio resoluble $f(X)\in F[X]$, con $F$ un cuerpo de caracter\'{\i}stica cero, es soluble nos
basaremos en tres hechos:



 1) El grupo de Galois del polinomio $X^n-1\in F[X]$ es abeliano.

2) Si  $F$  contiene  una ra\'\i z primitiva $n$-\'esima de la unidad, el grupo de Galois del polinomio $f(X)=X^n-a\in F[X]$ es c\'\i clico.

 3) Si $f(X)\in F[X]$ es un polinomio resoluble por radicales, entonces existe una torre radical
$F=F_1\subset F_2\subset \dotsb\subset F_n$ tal que $f(X)$ se descompone en $F_n$ y
 para cada $i\in \{1,2,\hdots,n\}$ se tiene que  $F\subset F_i$ es una extensi\'on normal.

Para demostrar el rec\'\i proco usaremos:

1) Si  $F\preccurlyeq L$ es una extensi\'on de cuerpos, $f(X)\in F[X]$, $K$ es el cuerpo de descomposici\'on de $f(X)$ sobre $F$ y  $E$ el cuerpo de
descomposici\'on de $f(X)$ sobre $L$, entonces $Gal_L(E)$ es isomorfo a un subgrupo de $Gal_F(K)$.

 2)
 Si  $F$ es un cuerpo que contiene a las ra\'\i ces $p$-\'esimas
de la unidad y $K$ es una extensi\'on de Galois de $F$ de grado primo $p$, entonces existe $a\in K$ tal que $a^p\in F$ y $K=F(a)$.



\subheading{El grupo de Galois visto como subgrupo del grupo sim\'etrico}

Sea $f(X)\in F[X]$ un  polinomio separable. Denotemos por $K$ al cuerpo de des\-composici\'on de $f(X)$ sobre $F$, por $G$ al grupo de Galois de
$f(X)$ y por $R=\{r_1,r_2.,\hdots,r_k\}$ a las ra\'\i ces de $f(X)$ en $K$. Se pondr\'a de manifiesto que $G$ puede verse, de forma natural, como un
cierto subgrupo del grupo de las permutaciones de $R$. Es m\'as, cada una de las \'orbitas de la acci\'on de $G$ en $R$ se corresponde con cada uno
de los conjuntos  de  ra\'\i ces de cada uno de los factores irreducibles de $f(X)$ sobre $F$, por lo que si $f(X)=\prod f_i(X)^s_i$ y $R_i$ son las
ra\'\i ces de $f_i(X)$ en $K$, $G$ queda como subgrupo de $\oplus S_{R_i}$. De lo anterior se deduce  que $f(X)$ es irreducible sobre $F$ si y s\'olo
si la acci\'on de $G$ sobre $R$ es transitiva.

Se plantea entonces calcular el cuerpo intermedio entre $F$ y $K$ correspondiente, seg\'un la correspondencia de Galois, al subgrupo $A_k\cap G$
(donde $A_k$ denota al subgrupo alternante de $S_k$) del grupo de Galois, concluyendo que coincide con $F(D)$ en donde $D=\prod_{1\le i< j\le n}
(r_i-r_j)$. Se demuestra que  $D^2$ pertenece a $F$, y   se le deno\-mina
  discriminante de $f(X)$. Como corolario se obtiene que el grupo de Galois
$G$ es subgrupo del grupo alternante si y s\'olo si el discriminante de $f(X)$ es el cuadrado de alg\'un elemento de $F$.

Estos dos resultados anteriores nos ser\'an \'utiles para calcular, en ejercicios, el grupo de Galois de los polinomios de grado  $\le 4$.

\subheading{Resoluci\'on de la ecuaci\'on general de grado $n$}

 Sea $F$ un cuerpo. Consideremos
$\{y_1,y_2,\hdots,y_n\}$, $n$ variables y el polinomio $f(X)=(X-y_1)(X-y_2)\dotsb (X-y_n)$. Se observa, en un primer lugar, que $f(X)$ habita en
$F(s_1,s_2,\hdots,s_n)$, en donde cada $s_k$ se construye a partir de las funciones sim\'etricas racionales, es decir, $s_k=\sum_{i_1<i_2<\dotsb<i_k}
y_{i_1} y_{i_2}\dotsb y_{i_k}$. Por tanto, la extensi\'on $F(s_1,s_2,\hdots,s_n)\subset F(y_1,y_2,\hdots,y_n)$ es de Galois.

Se demuestra que el grupo de Galois de esta extensi\'on  es isomorfo a $S_n$, de donde se deduce, ya que la acci\'on de $G$ sobre las ra\'\i ces es
transitiva, que $f(X)$ es irreducible sobre $F(s_1,s_2,\hdots,s_n)$ y que, gracias a la Teor\'\i a de Galois,  $F(s_1,s_2,\hdots,s_n)$ es el
subcuerpo de $F(y_1,y_2,\hdots,y_n)$ formado por las expresiones racionales que quedan invariantes por toda permutaci\'on de las variables
$\{y_1,y_2,\hdots,y_n\}$. Por \'ultimo se obtiene  que la ecuaci\'on general de grado $n$, $n\ge 5$, no es resoluble.


\newpage




\widestnumber\key {OvL}
$$ $$
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