



\centerline{\granbf   INTRODUCCI\'ON }
\endtopmatter


El presente programa ha sido pensado para ser impartido en una asignatura  troncal de 6
cr\'editos del primer ciclo (curso tercero)
 de la Licenciatura de Matem\'aticas  de la Universidad de M\'alaga
denominada \'Algebra Cl\'asica.

Nos encontramos en esta asignatura, por su car\'acter troncal, con todos los alumnos de la
Licenciatura de Matem\'aticas, los cuales llevan normalmente un a\~no  sin haber cursado asignaturas
propias del \'Algebra, ya que en los nuevos planes de estudio no se contempla ninguna asignatura de
esta materia en el segundo curso de la licenciatura. No obstante, gracias a que los problemas que
trata  son en s\'\i\  interesantes, se consigue una buena respuesta por parte del
alumno desde un primer momento, simplemente  recordando  las nociones y los resultados
b\'asicos que vayan siendo de utilidad.




El principal objetivo de esta asignatura es el estudio de la llamada teor\'\i a de Galois.
 Con esta teor\'\i a se consiguen contestar pro\-blemas propuestos desde la
Grecia Cl\'asica, aunque m\'as interesantes que la soluci\'on de dichos problemas son
las t\'ecnicas utilizadas para resolverlos. Estos problemas son: por un lado, el estudio de ciertas
cons\-trucciones geom\'etricas, las llamadas cons\-trucciones con regla y comp\'as,  y, por otro, la
solubilidad de ecuaciones polin\'omicas por radicales. Veamos en qu\'e consisten dichos problemas:

Si nos centramos en la ecuaci\'on de segundo grado $aX^2+bX+c=0$ tenemos que sus soluciones  son:

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Dicho resultado ya era conocido  en esencia por los babil\'onicos.  La soluci\'on general
de la ecuaci\'on de tercer grado fue resuelta por Scipione de Ferro no despu\'es de 1541. Cuatro
a\~nos m\'as tarde, en 1545, Niccolo Tartaglia dar\'a una soluci\'on independiente conocida como la
f\'ormula de Cartan para la resoluci\'on de la ecuaci\'on de tercer grado. Expliquemos dicho
proceso: dada una ecuaci\'on de tercer grado $aX^3+bX^2+cX+d=0$, haciendo el cambio de variable
$X\rightsquigarrow X-\frac13 a$ nos encontramos con una ecuaci\'on de tercer grado en forma
reducida, $X^3+pX+q=0$. Denotemos por
$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ a las ra\'\i ces de esta ecuaci\'on reducida y sean
$\delta=-4p^3-27p^2$,
$\phi=-\frac12(1+\sqrt{-3})$, $y_1=\alpha_1+\phi^2\alpha_2+\phi \alpha_3$ y
$y_2=\alpha_1+\phi\alpha_2+\phi^2 \alpha_3$. Entonces, las f\'ormulas de Cartan dicen que:

$$\align y_1&=\root3\of{-\frac{27}2q+\frac32\sqrt{-3\delta}}\\
y_2&=\root3\of{-\frac{27}2q-\frac32\sqrt{-3\delta)}}\endalign$$

Por tanto s\'olo hay que resolver un sistema lineal de tres ecuaciones con tres inc\'ognitas para
obtener las soluciones del sistema reducido (ya que $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=0$). Un m\'etodo
general para la ecuaci\'on de grado cuarto fue publicado por Cardano en Ars Magna aunque es
atribuido a un alumno suyo, Ludovico Ferrari. Lo  interesante de este m\'etodo es que en \'el
tambi\'en se pone de manifiesto que las soluciones de la ecuaci\'on de cuarto grado est\'an dadas
en t\'erminos de sumas, productos, cocientes y ra\'{\i}ces de n\'umeros racionales  junto con  los
coeficientes de dicha ecuaci\'on. Cuando esto sucede se dice que la ecuaci\'on es soluble por
radicales. En  1813 A. Ruffini e independientemente en 1827 N. H. Abel  demuestran que la
ecuaci\'on general de grado $n$, con $n>4$, no es soluble por radicales. M\'as tarde, en 1830, E.
Galois (a la edad de 19 a\~nos) da un criterio que permite saber si una ecuaci\'on concreta de
grado $n$ es o no es soluble por radicales.

El segundo problema que podremos contestar gracias a las t\'ecnicas usadas en la teor\'{\i}a de Galois
tiene sus or\'{\i}genes en la Grecia Cl\'asica y consiste en saber si ciertas construcciones
geom\'etricas son posibles usando s\'olo una regla (sin marcas) y un comp\'as. Las cuestiones m\'as
importantes son:
\roster
\item ?` Es posible trisecar un \'angulo?
\item  ?` Es posible construir un cubo con volumen el doble de uno dado?
\item ?` Es posible construir el pol\'\i gono regular de $n$ lados?
 \item ?` Es posible cuadrar el circulo?
\endroster


Como veremos, la respuesta a las tres primeras preguntas no siempre ser\'a afirmativa (depender\'a
del \'angulo que queramos trisecar, del cubo al que queramos duplicar el volumen o del pol\'\i gono
que queramos construir).  La cuarta pregunta la contestaremos gracias al resultado establecido por
F. Lindemann  que afirma que
$\pi$ es trascendente.

El proyecto que aqu\'\i\  presentamos es esencialmente Teor\'\i a de
 Extensiones de Cuerpos. Consideramos que esta asignatura es particularmente bonita: por un lado,
tenemos la elegancia de los resultados intr\'\i nsecos de la teor\'\i a de Galois y, por otro,  su
fineza a la hora de resolver problemas en principio ajenos a dicha teor\'\i a.  Es importante
que el alumno se de cuenta de que a veces, y en esta asignatura hay muchos ejemplos de ello, la
mejor forma para resolver un  problema  es verlo desde otro punto de vista. As\'\i, calcular
extensiones intermedias puede realizarse calculando subgrupos para un  cierto grupo, o poder
trisecar un \'angulo con regla y comp\'as depende de que cierta extensi\'on de cuerpos tenga grado
potencia de dos.

Comenzamos en el Tema 1 con las nociones b\'asicas de la teor\'\i a de Galois: defi\-ni\-mos
extensi\'on de cuerpos, grado de una extensi\'on, extensi\'on algebraica y trascendente y damos
algunos resultados que relacionan dichos conceptos.

S\'olo con estas nociones y sin  hacer uso de ning\'un resultado te\'orico potente abordamos en el
Tema 2 los problemas cl\'asicos de  construcciones con regla y comp\'as: estudiamos los problemas de
la trisecci\'on del \'angulo y de la cuadratura del c\'\i rculo contest\'andolos en su totalidad y
damos una primera respuesta parcial a la pregunta de qu\'e pol\'\i gonos regulares son
construibles con regla y comp\'as.

En el Tema 3 demostramos la existencia y la unicidad, salvo automorfismos, del cuerpo de
descomposici\'on de una familia finita de polinomios, obteniendo a la vez informaci\'on  sobre el
n\'umero de tales automorfismos. En la \'ultima secci\'on de este tema introducimos
la noci\'on de clausura algebraica y demostramos que todo cuerpo  posee, salvo isomorfismos, una
\'unica clausura algebraica.

En los temas 4 y 5 estudiamos de forma independiente las distintas nociones que aparecen en la
definici\'on de extensi\'on de Galois.  El Tema 4 est\'a dedicado  al
estudio de las extensiones normales y el Tema 5 al estudio de las extensiones separables. Cabe
destacar que, en este \'ultimo tema, se introduce la noci\'on de cuerpo perfecto y se demuestra que
todo cuerpo de caracter\'\i stica cero y todo cuerpo finito es perfecto.

En el Tema 6 se demuestra que toda extensi\'on finita de un cuerpo finito es normal, separable, y
simple. Por \'ultimo se demuestra un resultado de Galois que afirma que para cada primo $p$ y para
cada natural $n$ existe un \'unico cuerpo, salvo isomorfismos, con $p^n$ elementos.

El Tema 7 se dedica a establecer la correspondencia de Galois: se introduce la noci\'on de grupo
de Galois asociado a una extensi\'on de cuerpos, se establecen distintas aplicaciones entre los
subgrupos del grupo de Galois y los cuerpos intermedios de la extensi\'on y se demuestra que, en
caso de que  la extensi\'on sea de Galois, dichas aplicaciones son biyectivas. Cabe destacar de
este tema el Teorema de Artin, as\'\i\ como que se establece un algoritmo para calcular el grupo de
Galois de una extensi\'on de Galois dada.

En los temas 8 y 9 comprobamos la gran fortaleza del resultado de Galois obtenido en el tema
anterior. En el Tema 8, tras un breve repaso de teor\'\i a de grupos, resolvemos completamente los
problemas de construcciones con regla y comp\'as y obtenemos el Teorema del Elemento Primitivo. Por
otra parte, en el Tema 9 se caracterizan los polinomios resolubles por radicales en cuerpos de
caracter\'\i stica cero como aqu\'ellos que su grupo de Galois es soluble. Hasta este momento el
proceso que hab\'\i amos explicado  para calcular el grupo de Galois de un polinomio hac\'\i a uso
expl\'\i cito de sus ra\'\i ces. Obviamente esto no nos permite en la pr\'actica aplicar el
criterio anterior para saber si un polinomio en concreto es resoluble. Por tanto, damos un nuevo
m\'etodo para calcular el grupo de Galois de cierta clase de  polinomios sin necesidad de conocer
sus ra\'\i ces.
 Finalizamos el tema probando que
la ecuaci\'on general de grado $n$ para $n\ge 5$  no es resoluble por radicales.

Los 6 cr\'editos de la asignatura se dividen en 4 te\'oricos y 2 pr\'acticos. Con\-si\-de\-ra\-mos
que se debe ser flexible a la hora de fijar clases te\'oricas y pr\'acticas, adaptando unas y otras
al desarrollo de la asignatura. Hay temas m\'as conceptuales y abstractos y otros en los que los
ejemplos y ejercicios cobran mayor importancia.

Los ejercicios se suministrar\'an a los alumnos  con
anterioridad a su resoluci\'on en pizarra, de modo que puedan ser ellos mismos los que los
expliquen a sus compa\~neros. En este sentido, ha de exigirse a los alumnos claridad, precisi\'on
y justificaci\'on de sus razonamientos, oblig\'andolos a
organizar conocimientos y a resumir ideas, consiguiendo, en \'ultima instancia, una mayor
comprensi\'on de la materia.

Consideramos que en las clases te\'oricas debe propiciarse la intervenci\'on del alumno, huyendo de
la lecci\'on magistral tradicional, y planteando cuestiones y preguntas que fomenten el di\'alogo
entre profesor y alumno. Adem\'as, el profesor servir\'a de gu\'{\i}a para que los alumnos
interesados  puedan profundizar en el tema y, en este sentido, se propondr\'an lecturas y ejercicios
complementarios.
