ÁLGEBRA y GEOMETRÍA. Hoja de problemas 7

1. Prueba sin desarrollar que el determinante de la siguiente matriz vale 0:

( \begin{matrix}1 & a & b + c \\ 1 & b & a + c \\ 1 & c & a + b \end{matrix} )

2. Sean M y N dos matrices no nulas de M_{n}(K). Demuestra que si MN = 0 entonces d(M) = d(N) = 0. ¿Es cierto el recíproco?

3. Demuestra que

| \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n−1} & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & … & a_{2n−1} & a_{2n} \\ 0 & 0 & … & a_{3n−1} & a_{3n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & … & a_{n−1n−1} & a_{n−1n} \\ 0 & 0 & … & 0 & a_{nn} \end{matrix} | = a_{11}a_{22} … a_{n−1n−1}a_{nn}

4. Prueba que si A ∈ M_{n}(K) es una matriz antisimétrica (es decir, A^{t} = −A) entonces d(A) = (−1)^{n}d(A). Deduce de ello que si un matriz antisimétrica tiene orden impar entonces su determinante es nulo.

5. Calcula los determinantes de las siguientes matrices:

( \begin{matrix}a_{1} & a_{1} & a_{1} & a_{1} \\ a_{1} & a_{2} & a_{2} & a_{2} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}3 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 4 & 3 & 4 \end{matrix} )

6. Demostrar que el determinante de Vandermonde

| \begin{matrix}1 & 1 & … & 1 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & … & x_{n−1} & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & … & x_{n−1}^{2} & x_{n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ \\ x_{1}^{n−1} & x_{2}^{n−1} & … & x_{n−1}^{n−1} & x_{n}^{n−1} \end{matrix} |

es igual a ∏_{i<j}(x_{i} − x_{j})

7. Discute y resuelve, cuando sea posible, en función de los parámetros a, b, c el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

\{ \begin{matrix}x + by + az = 1 \\ ax + by + z = a \\ x + aby + z = b \end{matrix}

8. En el desarrollo del determinante de una matriz de orden 6, ¿cuál es el signo que corresponde al término a_{13}a_{21}a_{36}a_{45}a_{54}a_{62}?