\documentclass{book}
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\input{C:/texmf/tex/plain/amsfonts/amssym.def}
\newsymbol\square 1003
\newsymbol\subsetneq 2320
\newsymbol\vartriangleleft 1343
\newsymbol\vartrianglelefteq 1345
\newsymbol\trianglerighteq 1344

\def \eop {\hbox{}\nobreak\hfill
    \vrule width 1.4mm height 1.4mm depth 0mm
           \par \goodbreak \smallskip}

\def \Z{{ \Bbb Z }}
\def \C{{\Bbb C } }
\def \R{{ \Bbb R}}
\def \N{{ \Bbb N }}
\def \Q{{ \Bbb Q}}

\def\chaptername{Cap\'{\i}tulo}


\newtheorem{teor}{Teorema}
\newtheorem{notac}{Notaci\'on}
\newtheorem{lema}{Lema}
\newtheorem{cor}{Corolario}
\newtheorem{prop}{Proposici\'on}
\newtheorem{defi}{Definici\'on}
\newtheorem{ejem}{Ejemplo}
\newtheorem{obs}{Observaci\'on}
\newcommand{\dem}{\paragraph*{\bf Dem:}}

\hyphenation{su-bes-pa-cio}
\hyphenation{si-guien-tes}


\pagestyle{empty}

\hspace{1cm}

\vspace{-1cm}
\begin{center} \'ALGEBRA y GEOMETR\'IA. Hoja de problemas 7
\end{center}

\bigskip
\begin{enumerate}

\item Prueba sin desarrollar que el determinante de la siguiente matriz vale $0$:
$$\left(\begin{array}{ccc}1& a & b+c \\ 1 & b & a+c \\ 1 & c & a+b \end{array}\right)$$

\item Sean $M$ y $N$ dos matrices no nulas de ${\cal M}_{n}(K).$
Demuestra que si $MN=0$ entonces $d(M)=d(N)=0.$
?`Es cierto el rec\'{\i}proco?

\item Demuestra que $$\left| \begin{array}{ccccc}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n-1}& a_{1n}
\\ 0 & a_{22} & \ldots & a_{2n-1} & a_{2n} \\ 0 & 0 & \ldots & a_{3n-1} & a_{3n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & a_{n-1n-1} & a_{n-1n}\\
0 & 0 & \ldots & 0& a_{nn}
 \end{array}\right|=a_{11}a_{22} \ldots a_{n-1n-1}a_{nn}$$

\item Prueba que si $A \in {\cal M}_{n}(K)$ es una matriz antisim\'etrica (es decir, $A^t=-A$) entonces
$d(A)=(-1)^{n} d(A).$
Deduce de ello que si un matriz antisim\'etrica tiene orden impar entonces su determinante es nulo.   

\item Calcula los determinantes de las siguientes matrices:
$$\left(\begin{array}{cccc}a_1 & a_1 & a_1 & a_1 \\ a_1 & a_2 & a_2 & a_2 \\
a_1 & a_2 & a_3 & a_3 \\a_1 & a_2 & a_3 & a_4  \end{array}\right) \; \; \; \;
\left(\begin{array}{ccccc}3 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 9 & 2 & 0 & 0  \\0 & 5 & 0 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 4 & 3 & 4 \end{array}\right)$$

\item Demostrar que el determinante de Vandermonde
$$\left| \begin{array}{ccccc}1 & 1 & \ldots & 1& 1
\\ x_1 & x_{2} & \ldots & x_{n-1} & x_{n} \\ x_1^2 & x_{2}^2 & \ldots & x_{n-1}^2 & x_{n}^2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_{2}^{n-1} & \ldots & x_{n-1}^{n-1} & x_{n}^{n-1} \\
 \end{array}\right|$$ es igual a $\prod_{i<j}(x_i-x_j)$


\item Discute y resuelve, cuando sea posible, en funci\'on de los par\'ametros $a,b,c$ el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$$\left\{\begin{array}{l}x+by+az=1 \\ ax+by+z=a \\ x+ aby +z = b \end{array} \right.$$

\item En el desarrollo del determinante de una matriz de orden $6$, ?`cu\'al es el signo
que corresponde al t\'ermino $a_{13}a_{21}a_{36}a_{45}a_{54}a_{62}$?
\end{enumerate}


\end{document}