Relación 1

1-. Sea X = {1, 2, 3, {a, b}, {1, a}, {d}, a, b, c}. Di si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas: a ∈ X, a ⊂ X, d ∈ X, {a, b} ∈ X, {a, b} ⊂ X, {1, 2, 3} ∈ X, {1, 2, 3} ⊂ X.

2-. Sean X e Y dos conjuntos no vacíos y f : X → Y una aplicación. Supongamos que existe una aplicación g : Y → X tal que f ∘ g = Id_{Y}. Demuestra que f es sobreyectiva y que g es inyectiva. Pon ejemplos en donde se demuestre que g no tiene que ser sobreyectiva y que f no tiene que ser inyectiva.

3-. Sea X un conjunto finito. Demuestra que una aplicación f : X → X es inyectiva si y sólo si es sobreyectiva si y sólo si es biyectiva.

4-. Consideramos en el conjunto ℤ_{3} = {0, 1, 2} la suma y el producto:

Demuestra que (ℤ_{3}, +, .) es un cuerpo.

5-. Sea X un conjunto no vacio y denotemos por P(X) el conjunto de partes de X. Demuestra que (P(X), △, ∩) tiene estructura de anillo conmutativo y unitario. Demuestra que no es un cuerpo si X tiene más de un elemento.

6-. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales sobre el cuerpo de los reales, ℝ y luego sobre ℤ_{7}.

\begin{aligned}6x + 3y + 5z & = 0 \\ 2x + 3y + 2z & = 0 \\ 3x + 2y + 2z & = 0 \end{aligned}

7-. Sean A_{n} = \{k ∈ ℕ | k ≠ n\}. Calcula ∩_{n}A_{n}, ∪_{n}A_{n}, ∩_{n}\overline{A}_{n} y ∪_{n}\overline{A}_{n} en donde \overline{A}_{n} significa el complemento de A_{n} en ℕ.