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\def\itemitempegao{\hangindent=2\parindent\textindent}
\def\itemitemitempegao{\hangindent=3\parindent\textindent}
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%%%%%%%%%%%

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\newfam\msbfam
\textfont\msbfam=\tenmsb \scriptfont\msbfam=\sevenmsb \scriptscriptfont\msbfam=\fivemsb
\def\bbb{\fam\msbfam\tenmsb}% math symbols b, family 11
\def\Bbb{\fam\msbfam\tenmsb}% math symbols b, family 11

%%Blackboardbold
\def\AA{{\bbb A}}
\def\BB{{\bbb B}}
\def\CC{{\bbb C}}
\def\DD{{\bbb D}}
\def\EQ{{\bbb EQ}}
\def\HH{{\bbb H}}
\def\II{{\bbb I}}
\def\JJ{{\bbb J}}
\def\KK{{\bbb K}}
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\def\OO{{\bbb O}}
\def\OQ{{\bbb OQ}}
\def\QQ{{\bbb Q}}
\def\RR{{\bbb R}}
\def\VV{{\bbb V}}
\def\ZZ{{\bbb Z}}

%%%%%%%%%%%%%

\font\teneufm=eufm10
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\font\seveneufm=eufm7
%\font \sixeufm=eufm6
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\newfam\eufmfam
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\def\fr{\fam\eufmfam\teneufm}% fraktur, family 8

\def\Ff{{\fr F}}
\def\Mm{{\fr M}}
\font\rms=cmr8




%%%%%%%%%%%%%automatic numbering device%%%%%%%%%%%%%
\newcount\parracount
\newcount\recount
\parracount=0
\recount=0
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\consinnombre{0}

%%% Cuando a consinnombre se le da la valor 1, entonces el nombre del
%%% resultado aparece
%%% al lado del mismo, si se le da otro valor numerico, commo 0, entonces
%%% el nombre
%%% desparece

\def\re#1#2{\advance\recount by 1
\edef#1{\number\parracount .\number\recount}
\def\nnnn{#2}
\def\indicador{\ifnum\consinnombre=1\indent\llap{{\rms\string #1}\ }\else\fi}
\ifx\nnnn\empty\vskip 3 pt plus 1 pt\indicador{\bf #1\ }\ignorespaces\else \vskip 3 pt plus 1 pt\indicador{\bf #1\ }{
\ver #2.\ }\ignorespaces\rm\fi}



%\def\re#1#2{\advance\recount by 1
%\edef#1{\number\parracount .\number\recount}
%\def\nnnn{#2}
%\ifx\nnnn\empty\vskip 3 pt plus 1 pt{\bf #1 }\else \vskip 3 pt
%plus 1 pt{\bf #1}{ \bf #2. }\it\fi}

\def\endre{\par\rm}
\def\Proof{{\bf Proof: }}
\def\endproof{~\vrule height 1.2ex width 1.2ex depth -0.06ex \par}

\font\parrafont=cmb10
\def\parrafo#1{\vskip-\lastskip\vskip 10 pt plus 10 pt\advance\parracount by
1\recount=0\noindent {\parrafont\hbox to
\parindent{\number\parracount .\hss}\ignorespaces
\uppercase{#1}}\par\nobreak\vskip 3 pt  plus 3 pt\nobreak}



%%%%%%%%%%%%%% FUENTES %%%%%%%%%%%%%%%%
\font\rms=cmr8 \font\bfs=cmbx8 \font\its=cmti8 \font\maths=cmmi8


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\headimpar{\hfil{\rm
\folio}}
\def\headpar{\hfil{\rm \folio}}
\headline={\ifnum\pageno=1{\hfil {\rm\folio}}\else \ifodd\pageno\headimpar\else\headpar\fi\fi}
%\footline={\ifnum\pageno=1\hfil\tenrm{\rm
%\folio}\hfil\else\hfil\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\centerline{\bf{Relaci\'{o}n 1}}\vskip 0.5 truecm

{\bf 1-.} Sea $X=\{1,2,3,\{a,b\},\{1,a\},\{d\},a,b,c\}$. Di si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas: $a\in
X$, $a\subset X$, $d\in X$, $\{a,b\}\in X$, $\{a,b\}\subset X$, $\{1,2,3\}\in X$, $\{1,2,3\}\subset X$.


{\bf 2-.} Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos no vac\'{\i}os y $f:X\to Y$ una aplicaci\'{o}n. Supongamos que existe una aplicaci\'{o}n $g:Y\to X$ tal que $f\circ
g=Id_Y$. Demuestra que $f$ es sobreyectiva y que $g$ es inyectiva. Pon ejemplos en donde se demuestre que $g$ no tiene que ser sobreyectiva y que $f$
no tiene que ser inyectiva.


{\bf 3-.} Sea $X$ un conjunto finito. Demuestra que una aplicaci\'{o}n $f:X\to X$ es inyectiva si y s\'{o}lo si es sobreyectiva si y s\'{o}lo si es biyectiva.


 {\bf 4-.} Consideramos en el conjunto ${\Bbb Z}_3=\{0,1,2\}$ la suma y el producto:

\centerline{\epsfxsize=7cm \epsfysize=2cm \epsfbox{tabla4.png}}

Demuestra que $({\Bbb Z}_3,+,.)$ es un cuerpo.

{\bf 5-.}  Sea $X$ un conjunto no vacio y denotemos por ${\cal P}(X)$ el conjunto de partes de $X$. Demuestra que  $({\cal P}(X), \triangle, \cap)$
tiene estructura de anillo conmutativo y unitario. Demuestra que no es un cuerpo si $X$ tiene m\'{a}s de un elemento.

{\bf 6-.}  Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales sobre el cuerpo de los reales, $\RR$ y luego sobre $\ZZ_7$.

$$\eqalign{6x+3y+5z&=0\cr 2x+3y+2z&=0\cr 3x+2y+2z&=0}$$

{\bf 7-.} Sean $A_n=\{k\in {\bbb N}\ \vert\ k\ne n\}$. Calcula $\cap _n A_n$, $\cup_n A_n$, $\cap _n \overline A_n$ y $\cup_n \overline A_n$ en donde
$\overline A_n$ significa el complemento de $A_n$ en $\bbb N$.

\end
