Relación 2

1-. Sea V = (ℝ^{4}, +, .) con su estructura de espacio vectorial usual. Consideremos

\begin{aligned}W_{1} & = \{(x, y, z, t) ∈ ℝ^{4} | x + y + z + t = 0; x + t = 0\} \\ W_{2} & =< \{(1, 2, 3, 0), (0, 3, 2, 1)\} > . \end{aligned}

i) Demuestra que W_{1} es un subespacio de V.

ii) Da cada una de las ecuaciones que se han visto en teoría y la dimensión de los siguientes subespacios: W_{1}, W_{2}, W_{1} ∩ W_{2}, W_{1} + W_{2}.

iii) ¿Es W_{1} + W_{2} una suma directa?

2-. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo 𝕂 y sea S = {v} con v ∈ V. Da una condición necesaria y suficiente pare que S sea un conjunto de vectores independientes. Da una condición necesaria y suficiente para que S sea un sistema de generadores de V.

3-. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo 𝕂. Sea G un sistema de generadores de V y sea X un subconjunto de V. Demuestra que si G ⊂< X >, entonces X es también un sistema de generadores de V.

4-. Sea V = (ℝ^{3}, +, .) espacio vectorial usual sobre los reales.

(1) Demuestra que el conjunto {(1, 2, 3), (2, 3, 4), (1, 0, 1)} es una base de V. Da las coordenadas del vector (1, 1, 1) respecto de esta base.

(2) Si {v_{1}, v_{2}, v_{3}} es una base de V, demuestra que {v_{1} + v_{2} + v_{3}, v_{1} + v_{2}, v_{1}} también es una base de V.

5-. Encuentra una base de ℂ^{4} que contenga al siguiente conjunto de vectores {(i, i, i, i), (1, 1, 1, 0)}. ¿Existirá alguna base que contenga a {(i, i, i, i), (1, 1, 1, 1)}?

6-. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo 𝔽. Sean S y T subconjuntos de V tales que S ⊂ T. Entonces:

(i) Si S es un conjunto de vectores dependientes, entonces T es un conjunto de vectores dependientes. Si T es un sistema de generadores, entonces S es un sistema de generadores.

(ii) Supongamos que la dimensión de V es n. Todo sistema de generadores de V con n elementos es base. Todo sistema independiente de V con n elementos es base.

7-. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo 𝕂 y sea W ≤ V. Supongamos que dim_{𝕂}(V) = n. Demuestra que dim_{𝕂}(W) ≤ n y se da la igualdad si y sólo si V = W.

8-. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo 𝕂 y sean W, U dos subespacios vectoriales de V. Sea B una base de W y B′ una base de U. Entonces B ∪ B′ es un conjunto de vectores linealmente independiente si y sólo si W ⊕ U.

9-. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo 𝕂 y sea W un subespacio de V. Se dice que un subespacio U de V es un suplemento para W si W ⊕ U = V. Demuestra que todo subespacio vectorial posee suplemento.

10-. Sea 𝕂 un cuerpo y W = {(x, y, z, t) ∈ 𝕂^{4} | 2x+3y+z+t = 0; x+t = 0}. Calcula una base y la dimensión de 𝕂^{4}/W. Da las coordenadas del vector (1, 1, 1, 1) en dicha base.

11-. Sea 𝕂 un cuerpo y X un conjunto. Definimos

V_{X} = {f : X → 𝕂 | f(x) = 0 para casi todo x ∈ X}

(i) Demuestra que V_{X} con la suma y multiplicación usuales de aplicaciones es un espacio vectorial sobre 𝕂: dados f, g ∈ V_{X},

f + g : X → 𝕂 como f + g(x) = f(x) + g(x)
λf : X → 𝕂 como λf(x) = λf(x)

(ii) Demuestra que {f_{y}}_{y∈X} es una base de V_{X}, con f_{y} : X → 𝕂 definida por

f_{y}(x) = \{ \begin{matrix}1 & y = x \\ 0 & y ≠ x \end{matrix}

(iii) Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo 𝕂 y sea B una base de V. Demuestra que la única aplicación lineal Φ : V → V_{B} definida por Φ(e_{i}) = f_{e_{i}} es un isomorfismo de espacios vectoriales. Por tanto dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo son isomorfos si y sólo si sus bases tienen el mismo cardinal.