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%%%%%%%%%%%%%% FUENTES %%%%%%%%%%%%%%%%
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\centerline{\bf{Relaci\'{o}n 2}}\vskip 0.3truecm


\ejj Sea $V=({\Bbb R}^4,+,.)$ con su estructura de espacio vectorial usual. Conside\-remos  $$ \eqalign{W_1&=\{(x,y,z,t)\in {\Bbb R}^4\ \vert\
x+y+z+t=0; x+t=0\}\cr W_2&=<\{(1,2,3,0),(0,3,2,1)\}>.}$$

i) Demuestra que $W_1$  es un subespacio de $V$.

ii) Da cada una de las ecuaciones que se han visto en teor\'{\i}a y la dimensi\'{o}n de los siguientes subespacios: $W_1$, $W_2$, $W_1\cap W_2$, $W_1+W_2$.

iii) ?`Es $W_1+W_2$ una suma directa?

\ejj Sea $V$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $\KK$ y sea $S=\{v\}$ con $v\in V$. Da una condici\'{o}n necesaria y suficiente pare que $S$ sea un
conjunto de vectores independientes. Da una condici\'{o}n necesaria y suficiente para que $S$ sea un sistema de generadores de $V$.

\ejj Sea $V$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $\KK$. Sea $G$ un sistema de generadores de $V$ y sea $X$ un subconjunto de $V$. Demuestra que si
$G\subset <X>$, entonces $X$ es tambi\'{e}n un sistema de generadores de $V$.

 \ejj Sea $V=({\Bbb R}^3,+,.)$ espacio
vectorial usual sobre los reales.

(1) Demuestra que el conjunto $\{(1,2,3),(2,3,4), (1,0,1)\}$ es una base de $V$. Da las coordenadas del vector $(1,1,1)$ respecto de esta base.

(2) Si $\{v_1,v_2,v_3\}$ es una base de $V$, demuestra que $\{v_1+v_2+v_3,v_1+v_2,v_1\}$ tambi\'{e}n es una base de $V$.

\ejj Encuentra una base de ${\Bbb C}^4$ que contenga al siguiente conjunto de vectores $\{(i,i,i,i), (1,1,1,0)\}$. ?`Existir\'{a} alguna base que contenga
a $\{(i,i,i,i), (1,1,1,1)\}$?




 \ejj Sea $V$ un espacio vectorial sobre un cuerpo ${\bbb F}$. Sean $S$ y $T$ subconjuntos de $V$ tales que $S\subset T$. Entonces:

(i) Si $S$ es un conjunto de vectores dependientes, entonces $T$ es un conjunto de vectores dependientes.
 Si $T$ es un sistema de generadores, entonces
$S$ es  un sistema de generadores.

(ii) Supongamos que la dimensi\'{o}n de $V$ es $n$. Todo sistema de generadores de $V$ con $n$ elementos es base.
 Todo sistema independiente de $V$ con $n$ elementos es base.



\ejj Sea $V$ un espacio vectorial  sobre un cuerpo $\KK$ y sea $W\le V$. Supongamos que $\dim_\KK(V)=n$. Demuestra que  $\dim_\KK(W)\le n$ y se da la
igualdad si y s\'{o}lo si $V=W$.


\ejj  Sea $V$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $\KK$ y sean $W,U$ dos subespacios vectoriales de $V$. Sea $B$ una base de $W$ y $B'$ una base de
$U$. Entonces $B\cup B'$ es un conjunto de vectores linealmente independiente si y s\'{o}lo si $W\oplus U$.


 \ejj  Sea $V$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $\KK$ y sea $W$ un subespacio de $V$. Se dice que un subespacio $U$ de $V$ es un
suplemento para $W$ si $W\oplus U=V$. Demuestra que todo subespacio vectorial posee suplemento.

\ejj Sea $\KK$ un cuerpo y $W=\{(x,y,z,t)\in \KK^4\ \vert \ 2x+3y+z+t=0;\ x+t=0\}$. Calcula una base y la dimensi\'{o}n de $\KK^4/W$. Da las coordenadas
del vector $(1,1,1,1)$ en dicha base.

\ejj Sea  $\KK$ un cuerpo y $X$ un conjunto. Definimos $$V_X=\{f:X\to \KK\ \vert\ f(x)=0\ \hbox{ para casi todo }\ x\in X \}$$ (i) Demuestra que
$V_X$ con la suma y multiplicaci\'{o}n usuales de aplicaciones es un espacio vectorial sobre $\KK$: dados $f,g\in V_X$,
$$\eqalign{f+g:X\to \KK\ &\hbox{ como }\ f+g(x)=f(x)+g(x)\cr \lambda f:X\to \KK\ &\hbox{ como }\ \lambda f(x)=\lambda f(x)}$$
(ii) Demuestra que $\{f_y\}_{y\in X}$ es una base de $V_X$, con $f_y:X\to \KK$ definida por $$f_y(x)=\cases{1&\qquad   $y=x$\cr 0&\qquad  $y\ne x$}$$
(iii) Sea $V$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $\KK$ y sea $B$ una base de $V$. Demuestra que la \'{u}nica aplicaci\'{o}n lineal $\Phi:V\to V_B$ definida
por $\Phi(e_i)=f_{e_i}$ es un isomorfismo de espacios vectoriales. Por tanto dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo  son isomorfos si y s\'{o}lo
si sus bases tienen el mismo cardinal.
\end
