Relación 3

1-. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo 𝕂 y sean v_{1}, v_{2} y v_{3} tres vectores de V. Da una condición necesaria y suficiente para que

W :=< {v_{1}, v_{2}} >=< {v_{1}, v_{3}} >=< {v_{2}, v_{3}} > y dim_{𝕂}(W) = 2

¿y para que dim_{𝕂}(W) = 1? ¿y para que < {v_{1}, v_{2}} >=< {v_{1}, v_{3}} >?

2-. ¿Es la aplicación f : ℝ^{4} → ℝ^{3} definida por

f(x, y, z, t) = (2x + y + z + t, 2x + 2y, y + t)

lineal? ¿Es inyectiva? ¿Y sobreyectiva? Calcula la matriz asociada a f respecto de las bases canónicas. Encuentra bases apropiadas para que la matriz asociada a

f respecto de estas bases sea de la forma ( \begin{matrix}Id_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ). ¿Quien es r?

3-. Sea 𝕂 un cuerpo y consideremos {(1, 2, 3), (5, 1, 0), (1, 0, 0)} ⊂ 𝕂^{3}. ¿Existe una aplicación lineal f : 𝕂^{3} → 𝕂^{2} tal que f(1, 2, 3) = (1, 1), f(5, 1, 0) = (0, 0) y f(1, 0, 0) = (1, 1)? ¿Es única? Calcula Ker(f) e Im(f) comprobando la formula de las dimensiones.

4-. Sea 𝕂 un cuerpo. Encuentra una aplicación lineal f : 𝕂^{2} → 𝕂^{3} tal que f(1, 1) = ((2, 3, 4) y Ker(f) tenga dimensión maximal. Da una respuesta razonada de porqué tu solución es correcta.

5-. Sea ℝ el cuerpo de los reales y ℝ[X] el espacio vectorial de los polinomios reales. Demuestra que la derivada es una aplicación lineal de ℝ[X] en ℝ[X]. ¿Es inyectiva? ¿Y sobreyectiva?

6-. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo 𝕂 y sea f : V → W. Demuestra que si dim_{𝕂}(V) < dim_{𝕂}(W), entonces f no es sobreyectiva y que si dim_{𝕂}(W) < dim_{𝕂}(V), entonces f no es inyectiva.

7-. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo 𝕂 y sea f : V → W un isomorfismo de espacios vectoriales. Demuestra que f^{−1} : W → V es también un isomorfismo de espacios vectoriales.

8-. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo 𝕂 y sea f : V → V un endomorfismo de espacios vectoriales. Demuestra que f es inyectiva si y sólo si f es sobreyectiva si y sólo si f es biyectiva.

9-. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo 𝕂 y sea f : V → W una aplicación lineal.

(i) Demuestra que la aplicación \overline{f} : V/Ker(f) → W definida por \overline{f}([v]) = f(v) está bien definida y es un monomorfismo de espacios vectoriales.

(ii) Demuestra que V/Ker(f) es isomorfo a Im(f), es decir, V/Ker(f) ≅ Im(F). (iii) Demuestra, a partir de lo anterior, la formula de las dimensiones.

10-. Sea V un espacios vectoriales sobre un cuerpo 𝕂 y sean W_{1} y W_{2} dos subespacios de V. Sea la aplicación f : W_{1} → (W_{1} + W_{2})/W_{2} definido por f(w_{1}) = [w_{1} + 0]

(i) Demuestra que f está bien definida y es un homomorfismo de espacios vectoriales.

(ii) Calcula Ker(f). (iii) demuestra, usando el ejercicio anterior que (W_{1} + W_{2})/w_{2} ≅ W_{1}/(W_{1} ∩ W_{2}). (iv) concluir que dim_{𝕂}(W_{1} + W_{2}) = dim_{𝕂}(W_{1}) + dim_{𝕂}(W_{2}) − dim_{𝕂}(W_{1} ∩ W_{2}).

11-. Calcula dos matrices inversibles P, Q tales que QAP = ( \begin{matrix}Id_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) en

donde A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 5 & 5 \\ 1 & 3 & 11 & 11 \end{matrix} ). ¿ Quien es r?

12-. Demuestra que la matriz P es inversible. ¿Es P una matriz de cambio de base? Encuentra dos bases B, B′ de ℝ^{4} tal que P = C_{BB′}.

P = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 5 & 5 \\ 1 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 5 & 6 \end{matrix} )

13-. Sea f : 𝕂^{3} → 𝕂^{2} definida por f(x, y, z) = (2x + 3y + z, 2x + 3y).

(i) Encuentra la matriz asociada a f respecto de las bases canónicas. (ii) Sean B = {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 0, 0)} base de 𝕂^{3} y B′ = {(1, 1), (0, 1)} base

de 𝕂^{2}. Encuentra la matriz asociada a f respecto B y B′. (iii) Calcula las matrices de cambio de base y demuestra que has hecho bien los

cálculos.