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\centerline{\bf{Relaci\'{o}n 3}}\vskip 0.3truecm

\ejj Sea $V$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $\KK$ y sean $v_1,v_2$ y $v_3$ tres vectores de $V$. Da una condici\'{o}n necesaria y suficiente para
que $$W:=<\{v_1,v_2\}>=<\{v_1,v_3\}>=<\{v_2,v_3\}>\quad \hbox{y} \quad \dim_\KK(W)=2$$ ?`y para que $\dim_\KK(W)=1$? ?`y para que
$<\{v_1,v_2\}>=<\{v_1,v_3\}>$?

\ejj ?`Es la aplicaci\'{o}n $f:\RR^4\to \RR^3$ definida por $$f(x,y,z,t)=(2x+y+z+t,2x+2y,y+t)$$ lineal? ?`Es inyectiva?
 ?`Y sobreyectiva? Calcula la matriz asociada a $f$ respecto de las bases can\'{o}nicas. Encuentra bases apropiadas para que la matriz asociada a $f$
 respecto de estas bases sea de la forma $\pmatrix{Id_r&0\cr 0&0}$. ?`Quien es $r$?


\ejj Sea $\KK$ un cuerpo y consideremos $\{(1,2,3),(5,1,0),(1,0,0)\}\subset \KK^3$. ?`Existe una aplicaci\'{o}n lineal $f:\KK^3\to \KK^2$ tal que
$f(1,2,3)=(1,1)$, $f(5,1,0)=(0,0)$ y $f(1,0,0)=(1,1)$? ?`Es \'{u}nica? Calcula  $Ker(f)$ e $Im(f)$ comprobando la formula de las dimensiones.

\ejj Sea $\KK$ un cuerpo. Encuentra una aplicaci\'{o}n lineal $f:\KK^2\to \KK^3$ tal que $f(1,1)=((2,3,4)$ y $Ker(f)$ tenga dimensi\'{o}n maximal. Da una
respuesta razonada de porqu\'{e} tu soluci\'{o}n es correcta.

\ejj Sea $\RR$ el cuerpo de los reales y $\RR[X]$ el espacio vectorial de los polinomios reales. Demuestra que la derivada es una aplicaci\'{o}n lineal
de $\RR[X]$ en $\RR[X]$. ?`Es inyectiva? ?`Y sobreyectiva?

\ejj Sean $V$ y $W$ dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo $\KK$ y sea $f:V\to W$. Demuestra que si $\dim_\KK(V)< \dim_\KK(W)$, entonces $f$
no es sobreyectiva y que si $\dim_\KK(W)< \dim_\KK(V)$, entonces $f$ no es inyectiva.

\ejj Sean $V$ y $W$ dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo $\KK$ y sea $f:V\to W$ un isomorfismo de espacios vectoriales. Demuestra que
$f^{-1}:W\to V$ es tambi\'{e}n un isomorfismo de espacios vectoriales.

\ejj Sea $V$ un espacio vectorial de dimensi\'{o}n finita sobre un cuerpo $\KK$ y sea $f:V\to V$ un endomorfismo de espacios vectoriales. Demuestra que
$f$ es inyectiva si y s\'{o}lo si $f$ es sobreyectiva si y s\'{o}lo si $f$ es biyectiva.

\ejj Sean $V$ y $W$ dos espacios vectoriales sobre un cuerpo $\KK$ y sea $f:V\to W$ una aplicaci\'{o}n lineal.

\item{(i)} Demuestra que la aplicaci\'{o}n $\overline f:V/Ker(f)\to W$ definida por $\overline f([v])=f(v)$ est\'{a} bien definida y es un monomorfismo de
espacios vectoriales.

\item{(ii)} Demuestra que $V/Ker(f)$ es isomorfo a $Im(f)$, es decir, $V/Ker(f)\cong Im(F)$.

\item{(iii)} Demuestra, a partir de lo anterior, la formula de las dimensiones.

\ejj Sea $V$ un espacios vectoriales sobre un cuerpo $\KK$ y sean $W_1$ y $W_2$ dos subespacios de $V$. Sea la aplicaci\'{o}n  $f:W_1\to (W_1+W_2)/W_2$
definido por $f(w_1)=[w_1+0]$

\item{(i)} Demuestra que $f$ est\'{a} bien definida y es un homomorfismo de espacios vectoriales.

\item{(ii)} Calcula $Ker(f)$.

\item{(iii)} demuestra, usando el ejercicio anterior que $(W_1+W_2)/w_2\cong W_1/(W_1\cap W_2)$.

\item{(iv)} concluir que $\dim_\KK(W_1+W_2)=\dim_\KK(W_1)+ \dim_\KK(W_2)-\dim_\KK(W_1\cap W_2)$.

\ejj Calcula dos matrices inversibles $P,Q$ tales que $QAP=\pmatrix{Id_r&0\cr 0&0}$ en donde  $A=\pmatrix{1&1&1&1\cr 0&1&5&5\cr 1&3&11&11}$. ?` Quien
es $r$?

\ejj Demuestra que la matriz $P$ es inversible. ?`Es $P$ una matriz de cambio de base? Encuentra dos bases $B,B'$ de $\RR^4$ tal que $P=C_{BB'}$.
 $$P=\pmatrix{1&1&1&1\cr 0&1&5&5\cr 1&1&2&4\cr 0&1&5&6}$$

 \ejj Sea $f:\KK^3\to \KK^2$ definida por $f(x,y,z)=(2x+3y+z, 2x+3y)$.

 \item{(i)} Encuentra la matriz asociada a $f$ respecto de las bases can\'{o}nicas.

 \item{(ii)} Sean $B=\{(1,1,1),(1,2,3),(1,0,0)\}$ base de $\KK^3$ y $B'=\{(1,1),(0,1)\}$ base de $\KK^2$. Encuentra la matriz asociada a $f$ respecto
 $B$ y $B'$.

 \item{(iii)} Calcula las matrices de cambio de base y demuestra que has hecho bien los c\'{a}lculos.
\end
