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\centerline{\bf{Relaci\'{o}n 4}}\vskip 0.3truecm

\ejj Explica razonadamente porqu\'{e} el n\'{u}mero de par\'{a}metros en la soluci\'{o}n de un sistema de ecuaciones lineales es el n\'{u}mero de inc\'{o}gnitas menos el
rango del sistema (rango de la matriz asociada y de la matriz asociada extendida).

\ejj Encuentra un sistema de 3 ecuaciones con tres inc\'{o}gnitas en ${\bbb R}^3$ que tenga en su conjunto soluci\'{o}n a $\{(1,1,1), (3,3,3), (1,1,0)\}$ y
no tenga a  $\{(1,0,1)\}$. ?`Este sistema puede no tener al punto $(1,1,2)$? Razona la respuesta.

\ejj Sean $\lambda_1,\lambda_2,\dots, \lambda_n$ n\'{u}meros reales distintos y no nulos. Demuestra que la matriz $A$ es inversible:
$$A=\pmatrix{\lambda_1&\lambda_2&\dots&\lambda_n\cr\lambda_1^2&\lambda_2^2&\dots&\lambda_n^2\cr \vdots&\vdots& &\vdots
\cr \lambda_1^n&\lambda_2^n&\dots&\lambda_n^n}$$

\ejj Sea $V$ un espacio vectorial de dimensi\'{o}n dos sobre un cuerpo $\KK$ y sea $f:V\times V\to \KK$ una aplicaci\'{o}n multilineal alternada tal que
$f(v,V)\ne 0$ para todo $0\ne v\in V$. Demuestra que hay una base $B=\{v_1,v_2\}$ de $V$ tal que $f(v_1,v_1)=0$, $f(v_2,v_2)=0$ y $f(v_1,v_2)=1$.

\ejj Sea $\KK$ un cuerpo y $A\in {\cal M}_n(\KK)$. Demuestra que  $A$ tiene rango $n$ entonces  $Adj(A)$ tiene rango $n$. ?`Es cierto el rec\'{\i}proco?

\ejj Calcula el rango de la matriz $A$:
$$A=\pmatrix{1&2&3&4\cr 1&1&1&1\cr -1&1&3&5\cr -3&-2&-1&0}$$

\ejj Sea $\KK$ un cuerpo y $a\in {\cal M}_n(\KK)$. Se sabe que $Adj(A)=\pmatrix{1&-5&3\cr 1&-5&3\cr 1&-5&3}$ y que $A=\pmatrix{1&2&3\cr 4&5&7\cr
x&y&z}$. Calcula el determinante de $A$. ?`Puedes determinar $y,x$ y $z$? 

\ejj ?`El rango de una matriz coincide con el rango de su matriz adjunta?

\end
