Relación 5

1-. Encuentra si existe una aplicación lineal f : 𝕂^{4} → 𝕂^{4} que tenga por valores propios a 2, 3, 5, 7 y 11.

2-. Di si la aplicación f : ℝ^{3} → ℝ^{3} es diagonalizable y, en caso afirmativo, encuentra una base de vectores propios.

f(x, y, z) = (2x + 3y + 5z, 3y + 2z, 7z)

3-. Di si la aplicación f : ℝ^{4} → ℝ^{4} es diagonalizable y, en caso afirmativo, encuentra una base de vectores propios.

f(x, y, z, t) = (y + z + t, z + t, t, 0)

4-. Demuestra que una aplicación lineal f es inyectiva si y sólo si el cero no es valor propio de f.

5-. Calcula A^{1000} en donde:

A = ( \begin{matrix}4 & −1 \\ −1 & 4 \end{matrix} )

Nota: Diagonaliza primero calculando la matriz de cambio de base P. Entonces A = P DP^{−1} y por tanto A^{1000} = P D^{1000}P^{−1}.

6-. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo 𝕂 y f : V → V una aplicación lineal biyectiva. Demuestra que λ ∈ 𝕂 es un valor propio de f so y sólo si λ^{−1} es valor propio de f^{−1}.

7-. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo 𝕂 y f : V → V una aplicación lineal. Sea v un vector propio con valor propio λ y w un vector propio con valor propio μ. Demuestra que v + w es un vector propio si y sólo si λ = μ.

8-. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo 𝕂 y f : V → V una aplicación lineal tal que todo vector de V es vector propio. Demuestra que f es múltiplo de la identidad (es decir, que existe λ ∈ 𝕂 tal que f = λId).

9-. Construye aplicaciones lineales f_{i} : ℝ^{3} → ℝ^{3} tal que: f_{1} no tenga vector propio, f_{2} tenga un único vector propio, f_{3} tenga dos vectores propios y f_{4} tenga tres vectores propios.

10-. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo 𝕂 y f : V → V una aplicación lineal diagonalizable. Sea W un subespacio de V tal que f(W) ⊂ W. ¿Es f|_{W} : W → W diagonalizable?