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\centerline{\bf{Relaci\'{o}n 5}}\vskip 0.3truecm

\ejj Encuentra si existe una aplicaci\'{o}n lineal $f:\KK^4\to \KK^4$ que tenga por valores propios a 2, 3, 5, 7 y 11.

\ejj Di si la  aplicaci\'{o}n $f:\RR^3\to \RR^3$ es diagonalizable y, en caso afirmativo, encuentra una base de vectores propios.
$$f(x,y,z)=(2x+3y+5z,3y+2z, 7z)$$

\ejj Di si la  aplicaci\'{o}n $f:\RR^4\to \RR^4$ es diagonalizable y, en caso afirmativo, encuentra una base de vectores propios.
$$f(x,y,z,t)=(y+z+t,z+t, t,0)$$

\ejj Demuestra que una aplicaci\'{o}n lineal  $f$ es inyectiva si y s\'{o}lo si el cero no es valor propio de $f$.


\ejj Calcula $A^{1000}$ en donde:  $$A=\pmatrix{4&-1\cr -1&4}$$ {\bf Nota:} Diagonaliza primero calculando la matriz de cambio de base $P$. Entonces
$A=PDP^{-1}$ y por tanto $A^{1000}=PD^{1000}P^{-1}$.

\ejj Sea $V$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $\KK$ y $f:V\to V$ una aplicaci\'{o}n lineal biyectiva. Demuestra que $\lambda\in \KK$ es un valor
propio de $f$ so y s\'{o}lo si $\lambda^{-1}$ es valor propio de $f^{-1}$.

\ejj Sea $V$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $\KK$ y $f:V\to V$ una aplicaci\'{o}n lineal. Sea $v$ un vector propio con valor propio $\lambda$ y $w$
un vector propio con valor propio $\mu$. Demuestra que $v+w$ es un vector propio si y s\'{o}lo si $\lambda=\mu$.

\ejj Sea $V$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $\KK$ y $f:V\to V$ una aplicaci\'{o}n lineal tal que todo vector de $V$ es vector propio. Demuestra que
$f$ es m\'{u}ltiplo de la identidad (es decir, que existe $\lambda\in \KK$ tal que $f=\lambda {\rm Id}$).

\ejj Construye  aplicaciones lineales $f_i:\RR^3\to \RR^3$ tal que: $f_1$ no tenga vector propio, $f_2$ tenga un \'{u}nico vector propio, $f_3$ tenga dos
 vectores propios y $f_4$ tenga tres vectores propios.

 \ejj Sea $V$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $\KK$ y $f:V\to V$ una aplicaci\'{o}n lineal diagonalizable. Sea $W$ un subespacio de $V$ tal que
 $f(W)\subset W$. ?`Es $f\vert_W:W\to W$ diagonalizable?


\end
