Convocatoria de febrero Viernes 22 de febrero de 2005.

Examen de Álgebra y Geometría

1-. Sea ℝ el cuerpo de los reales y V = ℝ^{3} con su estructura usual de espacio vectorial sobre ℝ. Sean

\begin{matrix}W_{1} = & \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x + y + z = 0\} \\ W_{2} = & < \{(1, 0, 1), (3, −2, 1)\} > \end{matrix}

(a) Demuestra que W_{1} es un subespacio de V. 0.5 (b) Determina W_{1} ∩ W_{2} y W_{1} + W_{2}. ¿Es la suma de W_{1} y W_{2} directa? 1.75 (b) Calcula una base de V/W_{1} y las coordenadas del vector \overline{(1, 1, 1)} en dicha base. 1.75

2-. Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo 𝕂 y f : V → V una aplicación lineal. Supongamos que el polinomio característico de f es C_{f}(X) = (X − 5)^{n}. Demuestra que f es diagonalizable si y sólo si f = 5Id. 1

3-. Sea f : ℝ^{3} → ℝ^{2} definida por f(x, y, z) = (x + y + z, x + 2y).

(a) Calcula la matriz asociada a f respecto de las bases canónicas. 0.5 (b) Calcula el núcleo de f y una base de éste. 0.5 (c) Encuentra bases apropiadas para que la matriz asociada a f sea ( \begin{matrix}0 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \end{matrix} ). 0.75 (d) Expresa la relación existente entre estas matrices calculando explícitamente las ma-

trices de cambio de base. 0.75 4-. Diagonaliza, si es posible, la aplicación f : ℝ^{3} → ℝ^{3} definida por: 1.5

f(x, y, z) = (7x − z, 2y, −4x + z).

5-. Contesta razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

(a) Sean X e Y dos conjuntos y f : X → Y una aplicación. Supongamos que existen dos aplicaciones distintas g_{1} : Y → X y g_{2} : Y → X tal que f ∘ g_{1} = Id_{Y} y f ∘ g_{2} = Id_{Y}. Entonces f no es inyectiva y es sobreyectiva. 0.5

(b) Calcula x ∈ ℝ para que las matrices con coeficientes reales ( \begin{matrix}2 & 4 & x \\ 3 & 6 & 9 \end{matrix} ) y ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) no sean equivalentes. 0.5 Nota I: la puntuación de cada ejercicio aparece a la derecha del mismo. Nota II: tiempo estimado 3 horas.