Convocatoria de febrero Viernes 11 de febrero de 2005.

Examen de Álgebra y Geometría

1-. Sea ℝ el cuerpo de los reales y V = ℝ^{3} con su estructura usual de espacio vectorial sobre ℝ. Sean

\begin{matrix}W_{1} = & \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x + y − z = 0\} \\ W_{2} = & < \{(1, 1, 1), (3, 1, 1)\} > \end{matrix}

(a) Demuestra que W_{1} es un subespacio de V. 0.5 (b) Determina W_{1} ∩ W_{2} y W_{1} ⊕ W_{2}. ¿Es la suma de W_{1} y W_{2} directa? 1.75

2-. Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo 𝕂 y f : V → V una aplicación lineal. Supongamos que existen n subespacios de V

{0} = W_{0} ⊂ W_{1} ⊂ W_{2} ⊂ … ⊂ W_{n} = V

con dim_{𝕂} W_{i} = i, tales que f(W_{i}) ⊂ W_{i−1}.

(a) Demuestra que hay una base B de V tal que A_{B}^{f} es triangular estricta. 0.5^{⋆} (b) Supongamos que existe v ∈ V tal que f^{n−1}(v) ≠ 0. Entonces

{v, f(v), f^{2}(v), …, f^{n−1}(v)}

es base de V. 0.5^{⋆} 3-. Sea f : ℝ^{3} → ℝ^{2} definida por f(x, y, z) = (2x + y + z, x + y).

(a) Calcula la matriz asociada a f respecto de las bases canónicas. 0.5 (b) Calcula el núcleo de f y una base de éste. 0.5 (c) Encuentra bases apropiadas para que la matriz asociada a f sea ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{matrix} ). 0.75 (d) Expresa la relación existente entre estas matrices calculando explícitamente las ma-

trices de cambio de base. 0.75 4-. Diagonaliza, si es posible, la aplicación f : ℝ^{3} → ℝ^{3} definida por: 2

f(x, y, z) = (3x − 2z, y, −2x + 3z).

5-. Contesta razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

(a) Sean X e Y dos conjuntos y f : X → Y una aplicación. Supongamos que existen dos aplicaciones distintas g_{1} : Y → X y g_{2} : Y → X tal que g_{1} ∘ f = Id_{X} y g_{2} ∘ f = Id_{X}. Entonces f es inyectiva y no es sobreyectiva. 0.75

(b) Las matrices ( \begin{matrix}2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{matrix} ) y ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) son equivalentes. 0.75 (c) Sean v_{1}, v_{2}, v_{3} y v_{4} cuatro vectores de un espacio vectorial V. Supongamos que

{v_{1}, v_{2}, v_{3}}, {v_{1}, v_{2}, v_{4}}, {v_{1}, v_{3}, v_{4}} y {v_{2}, v_{3}, v_{4}} son conjuntos de vectores independientes. Entonces {v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}} es un conjunto de vectores independiente. 0.75 Nota I: la puntuación de cada ejercicio aparece a la derecha del mismo. Nota II: tiempo estimado 3 horas.