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{\bf Convocatoria de febrero}\hfill Viernes 11 de febrero de 2005.

\vskip 0.5truecm

 \centerline{\bf{Examen de \'{A}lgebra y Geometr\'{\i}a}}\vskip 0.3truecm

\ejj  Sea $\bbb R$ el cuerpo de los reales y $V={\bbb R}^3$ con su estructura usual de espacio vectorial sobre $\bbb R$. Sean
$$\eqalign{W_1=&\{(x,y,z)\in {\bbb R}^3\ \vert\ x+y-z=0\}\cr W_2=&<\{(1,1,1), (3,1,1)\}>}$$
\item{(a)} Demuestra que $W_1$ es un subespacio de $V$.\hfill {\bf 0.5}
\item{(b)} Determina $W_1\cap W_2$ y $W_1\oplus W_2$. ?`Es la suma de $W_1$ y $W_2$ directa? \hfill {\bf 1.75}


\ejj Sea $V$ un espacio vectorial de dimensi\'{o}n $n$ sobre un cuerpo $\bbb K$ y $f:V\to V$ una aplicaci\'{o}n lineal. Supongamos que existen $n$
subespacios de $V$ $$\{0\}=W_0\subset W_1\subset W_2\subset\dots\subset W_n=V$$ con $\dim_{\bbb K} W_i=i$, tales que $f(W_i)\subset W_{i-1}$.
\item{(a)} Demuestra que hay una base $B$ de $V$ tal que $A^f_B$ es triangular estricta.\hfill {\bf 0.5$^\star$}
\item{(b)} Supongamos que existe $v\in V$ tal que  $f^{n-1}(v)\ne 0$. Entonces $$\{v,f(v),f^2(v),\dots, f^{n-1}(v)\}$$ es base de $V$.\hfill {\bf 0.5$^\star$}

 \ejj Sea $f:{\bbb R}^3\to {\bbb R}^2$ definida por $f(x,y,z)=(2x+y+z, x+y)$.
 \item{(a)} Calcula la matriz asociada a $f$ respecto de las bases can\'{o}nicas.\hfill {\bf 0.5}
  \item{(b)} Calcula el n\'{u}cleo de $f$ y una base de \'{e}ste.\hfill {\bf 0.5}
\item{(c)} Encuentra bases apropiadas para que la matriz asociada a $f$  sea $\pmatrix{2 &0&0\cr 0&2&0}$.\hfill {\bf 0.75}
\item{(d)} Expresa la relaci\'{o}n existente entre estas matrices calculando expl\'{\i}citamente las matrices de cambio de base.\hfill {\bf 0.75}

 \ejj Diagonaliza, si es posible, la aplicaci\'{o}n $f:{\bbb R}^3\to {\bbb R}^3$ definida por: \hfill {\bf 2}

 \centerline{$f(x,y,z)=(3x-2z,y,-2x+3z)$.}


 \ejj Contesta razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

\item{(a)} Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos y $f:X\to Y$ una aplicaci\'{o}n. Supongamos que existen dos aplicaciones distintas $g_1:Y\to X$ y $g_2:Y\to X$
tal que $g_1\circ f=Id_X$ y $g_2\circ f=Id_X$. Entonces $f$  es inyectiva y no es sobreyectiva. \hfill {\bf 0.75}

\item{(b)} Las matrices $\pmatrix{2&4&6\cr 3&6&9 }$ y $\pmatrix{0&0&0\cr 0&0&1}$ son equivalentes. \hfill {\bf 0.75}

\item{(c)} Sean $v_1,v_2,v_3$ y $v_4$ cuatro vectores de un espacio vectorial $V$. Supongamos que $\{v_1,v_2,v_3\}$, $\{v_1,v_2,v_4\}$,
 $\{v_1,v_3,v_4\}$ y $\{v_2,v_3,v_4\}$ son conjuntos de vectores independientes.
Entonces $\{v_1,v_2,v_3, v_4\}$ es un conjunto de vectores independiente. \hfill {\bf 0.75}

{\bf Nota I:} la puntuaci\'{o}n de cada ejercicio aparece a la derecha del mismo.

{\bf Nota II:} tiempo estimado 3 horas.
\end
