PRUEBA 17-XII-2004.

Examen de Álgebra y Geometría

1-. Sea 𝕂 un cuerpo y V = 𝕂^{3}. Sean

\begin{aligned}W_{1} & = \{(x, y, z) ∈ V | x + y + z = 0\} \\ W_{2} & =< \{(1, 2, 3), (1, 1, 1)\} > \end{aligned}

(a) Demuestra que W_{1} es un subespacio de V. [0.5]

(b) Determina W_{1} ∩ W_{2} y W_{1} + W_{2} y da sus dimensiones. [1]

(c) Ecuaciones vectoriales, paramétricas, continuas y cartesianas de W_{1} ∩ W_{2}. [0.75]

(d) ¿Es la suma de W_{1} y W_{2} directa? [0.25] 2-. (a) Determina dos matrices inversibles P y Q tales que QAP = ( \begin{matrix}Id_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) para

A = ( \begin{matrix}2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{matrix} ) ∈ M_{2×3}(ℝ)

¿Quien es r? [1]

(b) Al ser P inversible, ¿ Es P una matriz de cambio de base? En caso afirmativo determina bases B y B′ de ℝ^{2} tales que C_{BB′} = P. [0.5]

3-. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo 𝕂 y sea W un subespacio de V.

(a) Demuestra que la aplicación Π : V → V/W definida por Π(v) = [v] es un epimorfismo de espacios vectoriales. [0.75]

(b) Demuestra que Ker(Π) = W. Concluye que un subconjunto W de V es un subespacio vectorial si y sólo si es el núcleo de alguna aplicación lineal. [0.75] 4-. Razona si las siguientes afirmaciones son verdadera o falsas:

(a) Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo 𝕂 tal que dim_{𝕂}(V) = 20 y W_{1}, W_{2} son subespacios vectoriales de V de dimensiones 17 y 5 respectivamente, entonces la suma de W_{1} y W_{2} no es directa. ¿Importa que 17 y 5 sean números primos? [0.75]

(b) Sea V un espacio vectorial y X = {v_{1}, v_{2}, …, v_{n}} un subconjunto de V. Vamos a elegir un subconjunto Y de X de la siguiente manera: Si v_{1} es un vector independiente lo “echo” en Y, en caso contrario lo descarto. Si v_{2} es independiente del conjunto Y que estoy construyendo, añado v_{2} a Y, en caso contrario lo descarto. Repito el proceso con los siguientes. ¿ Si permuto el orden de los vectores en X, el conjunto Y puede variar? ¿ Puede variar su cardinal?. [1]

(c) Todo espacio vectorial no nulo tiene un número infinito de elementos. [0.25] Nota 1: El número que aparece al lado de cada ejercicio es su puntuación. Nota 2: El examen puntúa sobre 7.5, ya que no hay nada de los últimos temas. Nota 3: 1, 2(a), 3(a) y 4(a) son preguntas básicas (el 66, ˆ6 % de la puntuación).