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{\bf PRUEBA}\hfill 17-XII-2004.

\vskip 0.5truecm

 \centerline{\bf{Examen de \'{A}lgebra y Geometr\'{\i}a}}\vskip 0.3truecm

\ejj Sea $\KK$ un cuerpo y $V=\KK^3$. Sean $$\eqalign{W_1&=\{(x,y,z)\in V\ \vert\ x+y+z=0\}\cr W_2&=<\{(1,2,3),(1,1,1)\}>}$$

\item{(a)} Demuestra que $W_1$ es un subespacio de $V$.\hfill [0.5]
\item{(b)} Determina $W_1\cap W_2$ y $W_1+W_2$ y da sus dimensiones.\hfill [1]
\item{(c)} Ecuaciones vectoriales, param\'{e}tricas, continuas y cartesianas de $W_1\cap W_2$.\hfill [0.75]
\item{(d)} ?`Es la suma de $W_1$ y $W_2$ directa?\hfill [0.25]

\ejj (a) Determina dos matrices inversibles $P$ y $Q$ tales que $QAP=\pmatrix{Id_r&0\cr 0&0}$ para

$$A=\pmatrix{2&4&6\cr 3&6&9} \in {\cal M}_{2\times 3}(\RR)$$

?`Quien es $r$?\hfill [1]

(b) Al ser $P$ inversible, ?` Es $P$  una matriz de cambio de base? En caso afirmativo determina bases $B$ y $B'$ de $\RR^2$ tales que
$C_{BB'}=P$.\hfill [0.5]


\ejj Sea $V$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $\KK$ y sea $W$ un subespacio de $V$.

\item{(a)} Demuestra que la aplicaci\'{o}n $\Pi:V\to V/W$ definida por $\Pi(v)=[v]$ es un epimorfismo de espacios vectoriales.\hfill [0.75]

\item{(b)} Demuestra que $Ker (\Pi)=W$. Concluye que un subconjunto $W$ de $V$ es un subespacio vectorial si y s\'{o}lo si es el n\'{u}cleo de alguna
aplicaci\'{o}n lineal.\hfill [0.75]

\ejj Razona si las siguientes afirmaciones son verdadera o falsas:

\item{(a)} Si $V$ es un espacio vectorial sobre un cuerpo $\KK$ tal que $\dim_\KK(V)=20$ y $W_1$, $W_2$ son subespacios vectoriales de $V$ de
dimensiones 17 y 5 respectivamente, entonces la suma de $W_1$ y $W_2$ no es directa. ?`Importa que 17 y 5 sean n\'{u}meros primos? \hfill [0.75]

\item{(b)} Sea $V$ un espacio vectorial y $X=\{v_1,v_2,\dots,v_n\}$ un subconjunto de $V$. Vamos a elegir un subconjunto $Y$ de $X$ de la siguiente
manera: Si $v_1$ es un vector independiente lo ``echo" en $Y$, en caso contrario lo descarto. Si $v_2$ es independiente del conjunto $Y$ que estoy
construyendo, a\~{n}ado $v_2$ a $Y$, en caso contrario lo descarto. Repito el proceso con los siguientes. ?` Si permuto el orden de los vectores en $X$,
el conjunto $Y$ puede variar? ?` Puede variar su cardinal?. \hfill [1]


\item{(c)} Todo espacio vectorial no nulo tiene un n\'{u}mero infinito de elementos. \hfill [0.25]

{\bf Nota 1:} El n\'{u}mero que aparece al lado de cada ejercicio es su puntuaci\'{o}n.

{\bf Nota 2:} El examen punt\'{u}a sobre 7.5, ya que no hay nada de los \'{u}ltimos temas.

{\bf Nota 3:} 1, 2(a), 3(a) y 4(a) son preguntas b\'{a}sicas (el $66,\widehat 6\, \%$ de la puntuaci\'{o}n).
 \end
