Convocatoria de febrero Viernes 9 de septiembre de 2005.

Examen de Álgebra y Geometría

1-. Sea 𝕂 un cuerpo y V = 𝕂^{3} con su estructura usual de espacio vectorial sobre 𝕂. Sea W = {(x, y, z) ∈ 𝕂^{3} | x + y + z = 0}

(a) Demuestra que W es un subespacio de V. 0.5 (b) Calcula las ecuaciones vectoriales, paramétricas y cartesianas de W. 0.75 (c) Encuentra un subespacio U de V tal que U ⊕ W = V. 0.5 (d) Calcula una base de V/W y expresa el vector [(1, 2, 3)] en dicha base. 0.5

2-. Sea ℝ^{+} = {x ∈ ℝ | x > 0}, los números reales positivos. Demuestra que (ℝ^{+}, +′, .) tiene estructura de espacio vectorial, en donde: 1

λ.a = a^{λ} para todo λ ∈ ℝ, a ∈ ℝ^{+} la operación externa
a +′ b = ab para todo a, b ∈ ℝ^{+}  la operación interna

3-. Sea f : ℝ^{2} → ℝ^{3} definida por f(x, y) = (x + y, x + y, 2x + 2y).

(a) Calcula la matriz asociada a f respecto de las bases canónicas. 0.5 (b) Calcula la imagen de f y una base de ésta. 0.75 (c) Encuentra, si es posible, bases apropiadas para que la matriz asociada a f sea

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ). 0.75

(d) Expresa la relación existente entre estas matrices calculando explícitamente las matrices de cambio de base. 0.75 4-. (a) Determina dos matrices inversibles P y Q tales que QAP = ( \begin{matrix}Id_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) para

A = ( \begin{matrix}2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{matrix} ) ∈ M_{2×3}(ℝ) ¿Quien es r? 1

(b) Al ser Q inversible, ¿ Es Q una matriz de cambio de base? En caso afirmativo determina bases B y B′ de ℝ^{2} tales que C_{BB′} = Q. 0.5

5-. Encuentra una aplicación linea, si existe, f : ℝ^{3} → ℝ^{3} tal que f(1, 2, 3) = (1, 1, 1), f(1, 2, 0) = (1, 1, 1) y f(1, 0, 0) = (1, 1, 1). 1

6-. Contesta razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

(a) Si (a, b, c), (d, e, f) son dos vectores independientes de ℝ^{3}. Entonces en el conjunto {(a, d), (b, e), (c, f)} hay dos y sólo dos vectores independientes de ℝ^{2}. 0.75

(b) Sea {v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}} un conjunto de vectores independientes de un espacio vectorial V sobre ℝ y sea w = 2v_{1} +3v_{2} +4v_{3}. Entonces {w, v_{2}, v_{3}, v_{4}} es un conjunto de vectores independientes. 0.75 Nota I: la puntuación de cada ejercicio aparece a la derecha del mismo. Nota II: tiempo estimado 3 horas.